第二讲 全等三角形（新知预习+二大考点讲练+难度分层练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第二讲 全等三角形 教学目标： 1. 能说出全等三角形的概念.能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2. 经历三角形平移、翻折、旋转的操作活动，会用图形运动的方法识别复杂图形中的全等三角形. 3. 会运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质解决问题，并能进行简单的推理和计算. 重点：会运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质解决问题，并能进行简单的推理和计算. 难点：能够用图形运动的方法识别复杂图形中的全等三角形. 新知预习 1 知识总结 3 高频易错点拨 3 考点精讲1：全等三角形的概念 4 考点精讲2：全等三角形的性质 6 中档题真题练 8 培优题真题练 12 新知预习 复习导入 在上节课我们学习了全等图形，想一想全等图形具有怎样的性质？那么能完全重合的两个三角形具有哪些性质呢？这节课我们就来探讨全等三角形的性质. 预习导学 知识点01：全等三角形的对应元素  阅读课本本课时“操作”之前的内容，通过观察图形，找出全等三角形的对应元素. 思考　(1)图中的两个三角形全等吗？若全等，如何用符号表示这两个三角形全等？ (2) 全等三角形有几组对应顶点、有几组对应边、有几组对应角？ (3) 对应边之间有什么数量关系呢？对应角呢？ 答:(1)图中的两个三角形全等，记作“△ABC≌△A'B'C'”，读作“△ABC全等于△A'B'C'”.表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上. (2) 全等三角形有3组对应顶点、3组对应边、3组对应角.其中，顶点A和A'、B和B'、C和C'叫做对应顶点.AB和A'B'、BC和B'C'、AC和A'C'叫做对应边.∠A和∠A'、∠B和∠B'、∠C和∠C'叫做对应角. (3) 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 归纳总结 两个三角形全等，用“≌”表示，如△ABC≌△A'B'C'，读作“△ABC全等于△A'B'C'”，注意对应顶点的字母写在对应的位置上，顺序要一一对应；全等三角形的 　 　⁠相等， 　 　⁠相等.  已知△ABC≌△DEF，那么∠EDF的对应角是(　 ) A.∠DEF B.∠BCA C.∠ABC D.∠BAC 知识点02：探讨全等三角形的性质  阅读课本本课时“操作”和“讨论”部分的内容，体会全等三角形的几种变换形式. 思考　若只改变△ABC的位置，不改变形状和大小，得到△A'B'C'，则△ABC与△A'B'C'的位置关系是 . 归纳总结 只改变图形的 　 　⁠，而不改变其形状、大小的变换叫做全等变换，常见的全等变换有  　⁠、 　 ⁠、 　 　⁠三种形式.  已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 　 　⁠.  知识总结 知识点01：全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这意味着两个三角形的形状和大小完全相同，与它们在平面上的位置无关。 理解： 全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关。 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。 三角形全等不因位置发生变化而改变。 知识点02：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。即长边对长边，短边对短边。 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。即最大角对最大角，最小角对最小角。 周长相等：由于对应边相等，全等三角形的周长也相等。 面积相等：全等三角形的面积也相等。 对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等：这些线段在全等三角形中的对应部分也相等。 高频易错点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02：对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点03：对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点04：忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点精讲1：全等三角形的概念 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．两点确定一条直线 C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形 D．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” 【举一反三1】（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【举一反三2】（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【举一反三3】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【举一反三4】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 考点精讲2：全等三角形的性质 【典例精讲】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【举一反三2】（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，点F从点B出发，沿线段以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段以的速度运动至点G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，与交于点D，设点E的运动时间为t（秒）．    (1)分别写出当和时线段的长度（用含t的代数式表示）． (2)在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值． (3)当时，直接写出所有满足条件的t值． 【举一反三3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三4】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 中档题真题练 1．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，点在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，，则的长度可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（    ） A．24 B．26 C．32 D．48 4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．2或4或5 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 6．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 7．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 8．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 10．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，求的度数和的长． 11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    12．（23-24八年级上·浙江·期末）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 13．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 培优题真题练 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角互补，两直线平行 B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 C．全等的图形都可以通过平移得到 D．直角三角形两锐角互余 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ）    A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 17．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 18．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于 ．    19．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在长方形的中，已知，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ．    20．（18-19七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，是的中点．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ．    21． （22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，点从出发向运动，速度之比为：，运动到某一瞬间两点同时停止，在上取点，使与全等，则的长度 为 ．    22．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，E为线段上一点，，，．则：    （1）线段与的位置关系为 ，大小关系为 ； （2） （填“”“”或“”）． 23．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 24．（23-24八年级上·四川乐山·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，求的值； (2)【类比应用】 ①若，则______ ②若满足，求的值． (4) 【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 25．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第二讲 全等三角形 教学目标： 1. 能说出全等三角形的概念.能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2. 经历三角形平移、翻折、旋转的操作活动，会用图形运动的方法识别复杂图形中的全等三角形. 3. 会运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质解决问题，并能进行简单的推理和计算. 重点：会运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质解决问题，并能进行简单的推理和计算. 难点：能够用图形运动的方法识别复杂图形中的全等三角形. 新知预习 1 知识总结 3 高频易错点拨 3 考点精讲1：全等三角形的概念 4 考点精讲2：全等三角形的性质 8 中档题真题练 13 培优题真题练 23 新知预习 复习导入 在上节课我们学习了全等图形，想一想全等图形具有怎样的性质？那么能完全重合的两个三角形具有哪些性质呢？这节课我们就来探讨全等三角形的性质. 预习导学 知识点01：全等三角形的对应元素  阅读课本本课时“操作”之前的内容，通过观察图形，找出全等三角形的对应元素. 思考　(1)图中的两个三角形全等吗？若全等，如何用符号表示这两个三角形全等？ (2) 全等三角形有几组对应顶点、有几组对应边、有几组对应角？ (3) 对应边之间有什么数量关系呢？对应角呢？ 答:(1)图中的两个三角形全等，记作“△ABC≌△A'B'C'”，读作“△ABC全等于△A'B'C'”.表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上. (2) 全等三角形有3组对应顶点、3组对应边、3组对应角.其中，顶点A和A'、B和B'、C和C'叫做对应顶点.AB和A'B'、BC和B'C'、AC和A'C'叫做对应边.∠A和∠A'、∠B和∠B'、∠C和∠C'叫做对应角. (3) 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 归纳总结 两个三角形全等，用“≌”表示，如△ABC≌△A'B'C'，读作“△ABC全等于△A'B'C'”，注意对应顶点的字母写在对应的位置上，顺序要一一对应；全等三角形的 　对应边　⁠相等， 　对应角　⁠相等.  已知△ABC≌△DEF，那么∠EDF的对应角是(　 ) A.∠DEF B.∠BCA C.∠ABC D.∠BAC 知识点02：探讨全等三角形的性质  阅读课本本课时“操作”和“讨论”部分的内容，体会全等三角形的几种变换形式. 思考　若只改变△ABC的位置，不改变形状和大小，得到△A'B'C'，则△ABC与△A'B'C'的位置关系是 全等 . 归纳总结 只改变图形的 　位置　⁠，而不改变其形状、大小的变换叫做全等变换，常见的全等变换有 平移　⁠、 　旋转　⁠、 　翻折　⁠三种形式.  已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 　60°　⁠.  知识总结 知识点01：全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这意味着两个三角形的形状和大小完全相同，与它们在平面上的位置无关。 理解： 全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关。 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。 三角形全等不因位置发生变化而改变。 知识点02：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。即长边对长边，短边对短边。 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。即最大角对最大角，最小角对最小角。 周长相等：由于对应边相等，全等三角形的周长也相等。 面积相等：全等三角形的面积也相等。 对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等：这些线段在全等三角形中的对应部分也相等。 高频易错点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02：对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点03：对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点04：忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点精讲1：全等三角形的概念 【典例精讲】（23-24八年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．两点确定一条直线 C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形 D．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” 【答案】B 【思路点拨】根据绝对值的意义，确定直线的条件，全等三角形的判定，命题的条件与结论逐项判断即可． 【规范解答】解：A.若，则或，原说法错误； B.两点确定一条直线，说法正确； C.面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误； D.命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形的三个内角都相等”，原说法错误； 故选：B． 【考点评析】本题考查了绝对值的意义，确定直线的条件，全等三角形的判定，命题的条件与结论，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【举一反三1】（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【思路点拨】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【规范解答】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 【举一反三2】（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 【举一反三3】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【思路点拨】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【规范解答】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【考点评析】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 【举一反三4】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质即可作图； （2）①先画出点A、B、C的对应点，再依次连接即可；②连接交直线l于点P，点P即为所求；③用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： 连接， 与①对应的三角形全等， 与②对应的三角形全等， 与③对应的三角形全等，    （2）解：①如图，即为所求； ②连接交直线l于点P，点P即为所求； 连接， ∵和关于l对称， ∴， ∴，此时最小， 故点P即为所求． ③ ． 故答案为：．    【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质，轴对称的作图，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；以及轴对称的作图方法． 考点精讲2：全等三角形的性质 【典例精讲】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【规范解答】解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 【举一反三1】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由，得到，即可得出； （2）由，得到，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【举一反三2】（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，点F从点B出发，沿线段以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段以的速度运动至点G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，与交于点D，设点E的运动时间为t（秒）．    (1)分别写出当和时线段的长度（用含t的代数式表示）． (2)在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值． (3)当时，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】(1)当时，，当时，； (2)； (3)或4 【思路点拨】本题考查的是函数关系式的确定和全等三角形的性质的应用： （1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点F从点B运动至点C、从点C返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：当时，， 则，即， 解得， 当时，， 则，即， 解得， 则或4时，． 【举一反三3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 【举一反三4】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2) 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质． （1）由全等三角形的性质得到，，求出的长，即可得到长． （2）由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到． 【规范解答】（1）解：， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 中档题真题练 1．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，点在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，，则的长度可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系，根据得出对应边相等，即得出，．结合三角形的三边关系列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴ 即 四个选项满足这个范围的是B选项的3， 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（    ） A．24 B．26 C．32 D．48 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，，再利用三角形面积公式即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：，，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 故选A． 4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．2或4或5 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据得到，，然后利用三角形三边关系得到，然后利用的周长为偶数求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴，， ∴，即 ∴的周长为 ∵的周长为偶数 ∴为偶数 ∴为偶数 ∴． 故选：B． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【规范解答】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 6．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【规范解答】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 7．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【思路点拨】 本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，求出，得到，求出，得到，求出，由邻补角的性质得到． 【规范解答】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 8．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【规范解答】解：于，于， ， 设运动分钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ，，， ； ②若，则， 解得：，， 此时与不全等； 综上所述：运动4分钟后与全等； 故答案为：4． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证． 【规范解答】解：．证明如下： ， ． ， ， ． ， ， ． 10．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，求的度数和的长． 【答案】． 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的性质，线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，对应边相等即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 11．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    【答案】或或 【思路点拨】本题考查三角形全等的性质；分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【规范解答】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点 的运动时间为 秒． ②当在上，时， ， ， ． 点 的运动时间为 秒． ③当在上，时， 点的运动时间为 秒 ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：或或． 12．（23-24八年级上·浙江·期末）在长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形．是格点三角形，请分别画出符合下列要求的图形（各画出一个即可）．    (1)在图甲中画格点，使与全等． (2)在图乙中画格点，使与不全等但面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查格点作图、全等三角形： （1）利用格点作点B关于的对称点，即可求解； （2）等底等高的三角形面积相等，利用格点作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，即为所求．    13．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关的知识 （1）根据角平分线的定义求的度数，利用垂线和三角形内角和定理求解即可； （2）利用角平分线和垂线的性质准备条件，根据证明，利用全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的判定即可证明． 【规范解答】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 培优题真题练 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角互补，两直线平行 B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 C．全等的图形都可以通过平移得到 D．直角三角形两锐角互余 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了真假命题，根据平行线的判定、全等三角形的性质、直角三角形的性质逐项判断即可，熟练掌握平行线的判定、全等三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】、同位角相等，两直线平行，原说法不是真命题，不符合题意； 、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法不是真命题，不符合题意； 、全等的图形不一定通过平移得到，但平移后的两个图形全等，原说法不是真命题，不符合题意； 、直角三角形两锐角互余，原说法是真命题，符合题意； 故选：． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，平分，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形的外角，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等得到，外角的性质，求出，进而求出，三角形的内角和定理，求出，即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 16．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（    ）    A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【思路点拨】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【规范解答】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 17．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当与全等时，t的值不可能是（　　） A．2 B． C．3 D．6 【答案】C 【思路点拨】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． 【规范解答】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 18．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于 ．    【答案】/58度 【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质等知识．先根据三角形的内角和定理求出，再根据和全等，，得到两个三角形的对应角，问题得解． 【规范解答】解：如图，    ∵， ∴， ∵和全等，， ∴， ∴． 故答案为： 19．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在长方形的中，已知，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为 ．    【答案】4或 【思路点拨】分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【规范解答】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为或， 故答案为：4或． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 20．（18-19七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，是的中点．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ．    【答案】2或 【思路点拨】表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论，即可获得答案． 【规范解答】解：∵，，点为的中点， ∴， ∵点、的运动时间为，则，， ①当时，则有， 解得， 则， 故点的运动速度为：； ②当时，则有， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为． 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是要考虑全所有情况，避免遗漏． 21．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，点从出发向运动，速度之比为：，运动到某一瞬间两点同时停止，在上取点，使与全等，则的长度为 ．    【答案】或 【思路点拨】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得，可得；情况二：当，时，列方程解得，可得． 【规范解答】解：点从出发向运动，点从出发向运动，速度之比为：， 设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ，， ， 解得：， ； 情况二：当，时， ，， ， 解得：， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键． 22．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，E为线段上一点，，，．则：    （1）线段与的位置关系为 ，大小关系为 ； （2） （填“”“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】（1）根据三角形全等的性质，由得到，再根据垂直的定义得到，则，利用平角定义得到，所以，然后根据垂直定义即可得到； （2）根据全等三角形的性质得，， 所以． 【规范解答】解：（1），，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的重要工具． 23．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 24．（23-24八年级上·四川乐山·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，求的值； (2)【类比应用】 ①若，则______ ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1) (2)①3；②1007 (3)一块直角三角板的面积为30 【思路点拨】（1）把，，代入，从而可得答案； （2）①先求出，根据求出结果即可； ②先求出，再利用完全平方公式变形求值即可； （3）先证明 三点共线，，可得 结合已知条件可得，再利用求出，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：，，而， ， 解得：； （2）①， ∵， ∴ ； 故答案为：3； ②， ∵， ∴ ． 故答案为：1007． （3）解：三点共线，且， ， ∴， ∴三点共线， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即一块直角三角板的面积为30． 【考点评析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． 25．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【思路点拨】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【规范解答】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 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