1.3探索三角形全等的条件（HL讲义）（暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2024-2025学年苏科版数学八年级上册 1.3探索三角形全等的条件（HL讲义） （暑期自学课） 知识梳理 【知识点】 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 典型例题 【例1】如图，，垂足为，且，若用“”证明，则需添加的条件是　　 A． B． C． D． 【例2】如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是　　．（写出一个即可） 【例3】如图，，点，，，在同一直线上，，，求证：． 【例4】如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 举一反三 【变式1】如图，，若添加一个条件，可使用“”判定与全等，则以下给出的条件适合的是  (    ) A. B. C. D. 【变式2】下列说法： 有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； 有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等； 有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等； 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【变式3】过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是　　 A． B． C． D． 【变式4】如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则是　　 A．4 B．3 C．3.5 D．2.5 【变式5】如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：． 【变式6】如图，，分别为线段上的两个动点，且于点，于点若，，交于点． 求证：，； 当，两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 小试牛刀 一、选择题（共4题） 1.如图，若，则的理由是（       ） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 2. 如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 3.如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 4.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（共4题） 5.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　 　，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 6.如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：　 　． 7.如图所示，已知在中，，，交于点，若，则______ 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，P，Q两点分别在AC和AC的垂线AD上移动，PQ＝AB，则当AP＝　　时，才能使△ABC和△APQ全等． 三、解答题（共4题） 9. 如图，是内的一点，，，垂足分别为点，，求证：． 10.如图，、相交于点，，于点，于点，且． 求证：． 11.如图，在中，，是的平分线，于E. （1）求证：； （2）若，求的周长. 12.已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$