第十三讲 等腰三角形的轴对称性（新知预习+十大考点讲练+难度分层练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第十三讲 等腰三角形的轴对称性 教学目标： 1．理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 2．能够证明等腰三角形的性质定理； 3．能够运用等腰三角形的性质定理解决相关问题； 4．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径． 教学重点：等腰三角形的轴对称性及其相关的性质． 教学难点：等腰三角形的性质证明及其应用． 五大知识点精讲分析 2 考点讲练1：三线合一的概念与证明应用 9 考点讲练2：格点图中画等腰三角形 10 考点讲练3：根据等角对等边证明等腰三角形 12 考点讲练4：根据等角对等边证明边长相等与求边长 13 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 14 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 16 考点讲练6：三角形边角的不等关系 17 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 19 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 20 考点讲练8：斜边的中线等于斜边的一半 21 中档题真题练 22 培优题真题练 26 五大知识点精讲分析 课时导入 看到下面三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质 . 感悟新知 1. 性质1 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 几何语言：如图2.5-1， 在△ABC中， ∵ AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 2. 性质2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角 平分线重合(简称“三线合一”). 如图2.5-1，在△ABC中， (1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC，BD＝DC. (2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC. (3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC，AD⊥BC． 3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 特别提醒 作用： 是证明角相等的常用方法， 应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便. 特别解读 (1)这里的“ 线”是一条线段， 给出一线的名称， 可以得出其他两线的名称. (2)作用： 是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 例 1 如图2.5-2， 在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. 特别提醒 (1)在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直． (2)“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 1. 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)． 几何语言：在△ABC中， ∵∠B＝∠C，∴ AB＝AC. 2. 等腰三角形的性质与判定的异同 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”； 不同点： 由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即 等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等； 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 3. 拓展 根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形的“三线合一”性质的逆命题可得出等腰三角形的三个判定方法： (1)三角形中一边上的中线和高线重合时，利用线段的垂直平分线定理可以判定该三角形为等腰三角形； (2)三角形中一边上的中线和对角的平分线重合时，利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形； (3)三角形中一边上的高线和对角的平分线重合时，直接利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形. 特别提醒 (1)“ 等角对等边” 不能叙述为“ 如果一个三角形有两个底角相等， 那么它的两条腰相等”， 因为在未判定出它是等腰三角形之前， 不能用“ 底角” “ 顶角” “ 腰” “ 底边” 这些名词. (2)“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角之间的关系得到角相等，从而得到所对的边相等. 例 2 [期末·朝阳区] 如图2.5-3， 在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点． 特别提醒 本题包括两个模型：(1)由“角平分线+ 平行线” 推出“等腰三角形”，实际上由“①角平分线，②平行线，③等腰三角形”三个结论中两个可以推出另一个成立；(2)由 “直角三角形+ 等腰三角形”推出“斜边中点”， 实际上由“①直角三角形，②等腰三角形，③斜边中点”三个结论中两个可以推出另一个成立. 1. 定义 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形. 2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高线、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质： (1)任意两边都可以作为腰； (2)任意一个角都可以作为顶角； (3)任意一边上都有“三线合一”. 例 3 如图2.5-4，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，且DE⊥AC、EF⊥BC、FD⊥AB，计算△DEF各个内角的度数. 解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数. 特别提醒 等边三角形的三个内角都等于60°，为三角形的内角直接提供了角的条件. 若同时要运用三个内角， 只需以一个角为例计算，其余可同理得到. 例 4 如图2.5-5，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上. 若DE＝DB，求CE的长. 方法点拨 等边三角形的任何一边上都有“三线合一”的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化. 1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图2.5-6，在△ABC中， ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形. 2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言：如图2.5-6，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)， ∴△ABC是等边三角形. 证明等边三角形的思维导图： 特别解读 (1)在等腰三角形中，只要有一个角是60 °，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. (2)等边三角形的判定方法： ①若已知三边关系，一般选用定义判定； ②若已知三角关系，一般选用判定定理1判定； ③若已知三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定. 例 5 如图2.5-7， 在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB、OC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连接OE、OF. 求证：△OEF是等边三角形. 教你一招 (1)从角的角度证明三角形是等边三角形的两条思路： 一是证明三角形的三个内角相等； 二是求出三角形的三个内角的度数都是60° . (2)在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形时，原等边三角形的三个内角为60°，为求新等边三角形的内角度数提供了条件. 例 6 如图2.5-8，C为线段AB上一点， △ACM和△CBN都是等边三角形，AN、MC相交于点E，BM、CN相交于点F. 求证： (1) AN＝MB； (2) △CEF是等边三角形. 1. 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如图2.5-9，在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴ CD＝AB. (1)在直角三角形中，有斜边上的中点，通常考虑运用这一性质解题. (2)根据性质可知直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形. 特别提醒 此性质在填空和选择题中可以直接应用，在解答题中需要取斜边上的中线，构造等腰三角形证明线段的倍分关系和计算角的度数. 2. 易错警示 在△ABC中，D为AB的中点， 不能得出CD＝AB，前提是∠ACB＝90° 3. 拓展 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言：如图2.5-10，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ BC＝AB 特别提醒 应用含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要方法. 例 7 [中考·淮安] 如图2.5-11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若 AB＝10，则DE的长是( ) A. 8　　　　　B. 6　　　　　C. 5　　　　　D. 4 方法点拨 可以运用“ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 解决的问题往往具有两个明显特征：一是有直角(直角三角形或待证明的直角)，二是有中点(斜边上的中线). 考点讲练1：三线合一的概念与证明应用 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 考点讲练2：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【举一反三1】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【举一反三2】（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知．    (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． ①作的平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点，交于点． (2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________． 考点讲练3：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【举一反三1】．（21-22八年级上·新疆省直辖县级单位·期末）已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【举一反三2】（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形． 考点讲练4：根据等角对等边证明边长相等与求边长 【典例精讲】（18-19八年级上·北京·阶段练习）如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）    A．32 B．64 C．128 D．256 【举一反三1】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，F为的中点，，则的长为 ． 【举一反三2】（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 【典例精讲】（21-22八年级上·河北廊坊·期末）已知等腰直角三角形如图所示放置，根据题目要求补全图形，并保留作图痕迹． ①作点关于线段的对称点点． ②在延长线上取得一点，连接，并以点为直角顶点，线段为直角边作等腰直角三角形． ③连接． (1)找出补全后图中与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)求证：． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【举一反三2】（23-24八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【举一反三1】．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【举一反三2】（20-21八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，分别为边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 考点讲练6：三角形边角的不等关系 【典例精讲】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【举一反三1】（20-21八年级上·河北沧州·期末）如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【举一反三2】（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 【典例精讲】（2024·湖南岳阳·二模）如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】（18-19八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 【典例精讲】（2024·湖北襄阳·一模）如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三1】（2024七年级下·全国·专题练习）已知：如图，是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．    (1)当动点P、Q同时运动时，则 cm， cm． (2)当动点P、Q同时运动时，分别用含有t的式子表示； cm， cm． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 【举一反三2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 考点讲练8：斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在中，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（    ） A．    B．   B． C．   D．   【举一反三1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 【举一反三2】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，E为上一格点，点D为上任一点，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点G，使； (2)在图（2）中，先作线段的中点D，再在线段上作点E，使． 中档题真题练 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知直线，点，在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）在中，，为边上的中线，若以为斜边作，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃金昌·一模）如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 5．（2024·山西阳泉·三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ． 6．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 ． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 8．（2024·山西运城·三模）如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ． 9．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 10．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 11．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 培优题真题练 12．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，于点D，于点E，与交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 14．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·湖南长沙·一模）如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为 ． 16．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 17．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是 . 18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是 ． 19．（19-20八年级下·广东深圳·期中）如图，已知等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有 个． 20．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长． 21．（2024·吉林长春·一模）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 22．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第十三讲 等腰三角形的轴对称性 教学目标： 1．理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 2．能够证明等腰三角形的性质定理； 3．能够运用等腰三角形的性质定理解决相关问题； 4．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径． 教学重点：等腰三角形的轴对称性及其相关的性质． 教学难点：等腰三角形的性质证明及其应用． 五大知识点精讲分析 2 考点讲练1：三线合一的概念与证明应用 11 考点讲练2：格点图中画等腰三角形 14 考点讲练3：根据等角对等边证明等腰三角形 17 考点讲练4：根据等角对等边证明边长相等与求边长 20 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 24 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 28 考点讲练6：三角形边角的不等关系 33 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 36 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 39 考点讲练8：斜边的中线等于斜边的一半 42 中档题真题练 45 培优题真题练 55 五大知识点精讲分析 课时导入 看到下面三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质 . 感悟新知 1. 性质1 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 几何语言：如图2.5-1， 在△ABC中， ∵ AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 2. 性质2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角 平分线重合(简称“三线合一”). 如图2.5-1，在△ABC中， (1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC，BD＝DC. (2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC. (3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC，AD⊥BC． 3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 特别提醒 作用： 是证明角相等的常用方法， 应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便. 特别解读 (1)这里的“ 线”是一条线段， 给出一线的名称， 可以得出其他两线的名称. (2)作用： 是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 例 1 如图2.5-2， 在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. 解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答. (1)求∠ADB的度数； 解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC，∴∠ADB＝90° . (2)若∠BAC＝100°，求∠B、∠C的度数； 在△ABC中，∵ AB＝AC，∠BAC＝100°，∴ ∠B＝∠C＝1/2×(180 °－∠BAC)＝1/2×(180 °－100°)＝40°. (3)若BC＝3 cm，求BD的长. 解：∵ AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ AD是BC边上的中线， ∴ BD＝1/2BC＝1/2×3＝1.5(cm)， 即BD的长是1.5 cm. 特别提醒 (1)在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条线段互相垂直． (2)“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 1. 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)． 几何语言：在△ABC中， ∵∠B＝∠C，∴ AB＝AC. 2. 等腰三角形的性质与判定的异同 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”； 不同点： 由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即 等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等； 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等. 3. 拓展 根据等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形的“三线合一”性质的逆命题可得出等腰三角形的三个判定方法： (1)三角形中一边上的中线和高线重合时，利用线段的垂直平分线定理可以判定该三角形为等腰三角形； (2)三角形中一边上的中线和对角的平分线重合时，利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形； (3)三角形中一边上的高线和对角的平分线重合时，直接利用三角形全等可以判定该三角形为等腰三角形. 特别提醒 (1)“ 等角对等边” 不能叙述为“ 如果一个三角形有两个底角相等， 那么它的两条腰相等”， 因为在未判定出它是等腰三角形之前， 不能用“ 底角” “ 顶角” “ 腰” “ 底边” 这些名词. (2)“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角之间的关系得到角相等，从而得到所对的边相等. 例 2 [期末·朝阳区] 如图2.5-3， 在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点． 解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可. 证明：∵ AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD． ∵ DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE． ∴∠BAD＝∠ADE．∴ AE＝DE． ∵ AD⊥DB，∴∠ADB＝90°． ∴∠EAD＋∠ ABD＝90°， ∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE．∴ BE＝DE＝AE. ∴ E为AB的中点． 特别提醒 本题包括两个模型：(1)由“角平分线+ 平行线” 推出“等腰三角形”，实际上由“①角平分线，②平行线，③等腰三角形”三个结论中两个可以推出另一个成立；(2)由 “直角三角形+ 等腰三角形”推出“斜边中点”， 实际上由“①直角三角形，②等腰三角形，③斜边中点”三个结论中两个可以推出另一个成立. 1. 定义 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形. 2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高线、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质： (1)任意两边都可以作为腰； (2)任意一个角都可以作为顶角； (3)任意一边上都有“三线合一”. 例 3 如图2.5-4，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，且DE⊥AC、EF⊥BC、FD⊥AB，计算△DEF各个内角的度数. 解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数. 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60° . ∵ DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB， ∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°， ∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， ∴∠EDF＝180°－∠ADE－∠FDB＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60° . ∴△DEF各个内角的度数都是60° . 特别提醒 等边三角形的三个内角都等于60°，为三角形的内角直接提供了角的条件. 若同时要运用三个内角， 只需以一个角为例计算，其余可同理得到. 例 4 如图2.5-5，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上. 若DE＝DB，求CE的长. 解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化. 解：∵等边三角形ABC的边长是3， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝3. ∵ D是AC的中点， ∴ CD＝1/2AC＝1.5，∠DBE＝1/2∠ABC＝30°. ∵ DE＝DB，∴∠DEC＝∠DBE＝30°. ∵∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ACB－∠DEC＝30°， ∴∠CDE＝∠DEC，∴ CE＝CD＝1.5，即CE的长是1.5. 方法点拨 等边三角形的任何一边上都有“三线合一”的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化. 1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图2.5-6，在△ABC中， ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形. 2. 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言：如图2.5-6，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)， ∴△ABC是等边三角形. 证明等边三角形的思维导图： 特别解读 (1)在等腰三角形中，只要有一个角是60 °，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立. (2)等边三角形的判定方法： ①若已知三边关系，一般选用定义判定； ②若已知三角关系，一般选用判定定理1判定； ③若已知三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定. 例 5 如图2.5-7， 在等边三角形ABC中， ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB、OC的垂直平分线分别交BC于点E、F，连接OE、OF. 求证：△OEF是等边三角形. 解题秘方：利用等边三角形的判定定理1， 通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得到△OEF是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60° . ∵ CO、BO分别平分∠ACB、∠ABC， ∴∠OBE＝∠OCF＝30° . ∵ OB、OC的垂直平分线分别交BC于点E、F， ∴ OE＝BE，OF＝CF， ∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30° . ∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°， ∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60° . ∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠OFE＝60°， ∴△OEF是等边三角形. 教你一招 (1)从角的角度证明三角形是等边三角形的两条思路： 一是证明三角形的三个内角相等； 二是求出三角形的三个内角的度数都是60° . (2)在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形时，原等边三角形的三个内角为60°，为求新等边三角形的内角度数提供了条件. 例 6 如图2.5-8，C为线段AB上一点， △ACM和△CBN都是等边三角形，AN、MC相交于点E，BM、CN相交于点F. 求证： (1) AN＝MB； 解题秘方：要证AN＝MB，只需证△ACN ≌△MCB； 证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形， ∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60° . ∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN， 即∠ACN＝∠MCB. 在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB，∴ AN＝MB. (2) △CEF是等边三角形. 解题秘方：根据已知条件， 易求∠ ECF＝60°，故证明△ECF为等腰三角形即可. 证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC＝∠FBC. ∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°， ∴∠ECN＝∠FCB. 在△ECN和△FCB中，∴△ECN≌△FCB，∴CE＝CF. 又∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形. 另解 ∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMF. ∵∠MCF＝180° －∠ACM－∠NCB＝60°， ∴∠ACE＝∠MCF. 在△ACE和△MCF中，∴△ACE ≌△MCF，∴ CE＝CF. 1. 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如图2.5-9，在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴ CD＝AB. (1)在直角三角形中，有斜边上的中点，通常考虑运用这一性质解题. (2)根据性质可知直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形. 特别提醒 此性质在填空和选择题中可以直接应用，在解答题中需要取斜边上的中线，构造等腰三角形证明线段的倍分关系和计算角的度数. 2. 易错警示 在△ABC中，D为AB的中点， 不能得出CD＝AB，前提是∠ACB＝90° 3. 拓展 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言：如图2.5-10，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ BC＝AB 特别提醒 应用含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要方法. 例 7 [中考·淮安] 如图2.5-11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若 AB＝10，则DE的长是( ) A. 8　　　　　B. 6　　　　　C. 5　　　　　D. 4 解题秘方：先利用等腰三角形的“三线合一”性质得出AD⊥ BC，再由直角三角形斜边中线的性质可求出DE的长． 解：∵ AB＝AC＝10，AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC，∴∠ADC＝90°． 在Rt△ADC中，∵ E为AC的中点，∴ DE＝AC＝5．答案：C 方法点拨 可以运用“ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 解决的问题往往具有两个明显特征：一是有直角(直角三角形或待证明的直角)，二是有中点(斜边上的中线). 考点讲练1：三线合一的概念与证明应用 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，点E是延长线上一点，连接是的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出即可． 【规范解答】解：∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∵，平分， ∴， ∴ 故选：C 【举一反三1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中， ，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【规范解答】解：连接，    ∵，点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， 故选：B． 【举一反三2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． (1)求证：是的中点； (2)求证． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点讲练2：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，画的角平分线； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中，在边上确定点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （2）取格点，连接，取的中点，连接交一点，线段即为所求； （3）取的中点，连接，取格点，连接，取的中点，连接，作的角平分线，交于点，连接，延长交于点，点即为所求（可以证明，，再利用三角形的外角的性质证明． 【规范解答】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，点即为所求． 【举一反三1】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质； （1）根据证明即可得出结论； （2）由（1）可得，因为，则，所以，又因为平分，所以，所以，则． 【规范解答】（1）在和中， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∵， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∴ ∴． 【举一反三2】（23-24八年级上·海南·期末）如图，已知．    (1)利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． ①作的平分线交于点； ②作线段的垂直平分线交于点，交于点． (2)在所作的图中，连接、．写出图中所有的等腰三角形：___________． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)，，， 【思路点拨】本题考查了基本作图和等腰三角形的判定： （1）①利用尺规作出的角平分线即可；②利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据等腰三角形的定义判断即可． 【规范解答】（1）解：①如图，射线就是所要求作的的平分线；    ②如图，直线就是所要求作的线段的垂直平分线；    （2）垂直平分线段， ，， ，是等腰三角形， ，，， ， ， ，是等腰三角形． 故答案为：，，，． 考点讲练3：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【思路点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，可得，即．中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得，由此可求得的长． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三1】．（21-22八年级上·新疆省直辖县级单位·期末）已知：如图中，，平分，平分，过D作直线平行于交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）， ， 平分， ， ， ， ，， ∴的周长为： ． 【举一反三2】（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）5 【思路点拨】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论． （2）根据等腰三角形的定义，判断即可． 【规范解答】（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△EBC和△DCB中， ， ∴△EBC≌△DCB（SAS）， ∴BE＝CD． （2）图中共有5个等腰三角形． ∵∠BAC＝108°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°， ∵∠D＝∠E＝36°， ∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE， ∴∠DAB＝∠EAC＝72°， ∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找． 考点讲练4：根据等角对等边证明边长相等与求边长 【典例精讲】（18-19八年级上·北京·阶段练习）如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　）    A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，数字规律的探求，正确得出各三角形边长的数字规律是解题的关键．根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质，可得出每个等边三角形的边长的规律，进而得出答案． 【规范解答】是等边三角形， ， 同理可得，，，以此类推， 的边长为． 故选D． 【举一反三1】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，F为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．先证明和是等腰三角形，再证明，设，则，根据，列方程可得结论． 【规范解答】解：，， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【举一反三2】（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；    （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 【典例精讲】（21-22八年级上·河北廊坊·期末）已知等腰直角三角形如图所示放置，根据题目要求补全图形，并保留作图痕迹． ①作点关于线段的对称点点． ②在延长线上取得一点，连接，并以点为直角顶点，线段为直角边作等腰直角三角形． ③连接． (1)找出补全后图中与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用，解题是注意等腰直角三角形同时具备等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，利用判定； （2）根据全等三角形的对应角相等，可得，根据，可得到，进而得出． 【规范解答】（1）如图所示， 解：， 证明：∵点关于线段的对称点点 ∴， ∴ ∴与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； （2）证明：由（1）， 则， 又， ， ． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【规范解答】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 【举一反三2】（23-24八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定及性质，尺规作图， （1）根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定即可得出结果； （2）利用垂直平分线的性质作图即可； 熟记等腰三角形的两腰相等，两底角相等，作已知直线的中垂线是解题关键． 【规范解答】（1）解：连接，如图 ，， ． 由作图得：， ， ， ， ， 和均为等腰三角形； （2）如图2，点D即为所求． 考点讲练5：作等腰三角形（尺规作图） 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，点F是上一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【思路点拨】（1）由，平分，可得，即，根据，求解即可； （2）由平分，可得，则，，由，，可得，进而结论得证． 【规范解答】（1）解：∵，平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，平行线的判定与性质是解题的关键． 【举一反三1】．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【答案】(1)①，② (2)①；②， (3) 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先得出，进而判断出，即可得出结论； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，② （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积＝的面积+的面积 ； 【举一反三2】（20-21八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，分别为边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）连接并延长，交于H，先由线段垂直平分线的性质得到，，则，，进而利用三角形外角的性质得到，再证明，则 （2）仿照（1）求解即可． 【规范解答】（1）解：连接并延长，交于H， ∵，分别为，边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 同理可得，， ∵， ∴， ∴． 考点讲练6：三角形边角的不等关系 【典例精讲】（21-22八年级上·贵州遵义·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【思路点拨】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【规范解答】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【考点评析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 【举一反三1】（20-21八年级上·河北沧州·期末）如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（    ） A．10 B．14 C．15 D．19 【答案】B 【思路点拨】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解． 【规范解答】解：连接PC，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为， 若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小， ∵， ∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长， ∴的周长最小值为； 故选B． 【考点评析】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键． 【举一反三2】（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【思路点拨】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【考点评析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 【典例精讲】（2024·湖南岳阳·二模）如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明是等边三角形，得到，则由平行线的性质可得． 【规范解答】解：∵斜边 与直线交于的中点 E ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【举一反三1】（18-19八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，得到，，则可求出，进而得到，则． 【规范解答】解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定方法进行判断即可； （2）证明，得出即可． 【规范解答】（1）解：是等边三角形． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点讲练7：等边三角形的判定与性质 【典例精讲】（2024·湖北襄阳·一模）如图，在中，，，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点G．若，则长（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了作图——基本作图，等腰三角形的判定和含直角三角形的性质． 根据作法可知，为的平分线，由，，则，，即可得出，然后利用含直角三角形的性质，即可解答．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， 根据作法可知，为的平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三1】（2024七年级下·全国·专题练习）已知：如图，是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为．    (1)当动点P、Q同时运动时，则 cm， cm． (2)当动点P、Q同时运动时，分别用含有t的式子表示； cm， cm． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)1，2 (2)，t (3)或 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，理解直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半和掌握分类讨论的思想是解答本题等关键． （1）根据“路程=速度×时间”并结合图形即可解答； （2）根据“路程=速度×时间”并结合图形即可解答； （3）根据等边三角形的性质可得该直角三角形，所以就可以表示出与的关系，要分和两种情况，分别在直角三角形中根据、列出关于t的方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， 当动点P、Q同时运动时，则，； 故答案为：1，2； （2）解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ∴当动点P、Q同时运动时， ∴． 故答案为：，t  ； （3）解：在中，， 若是直角三角形，则点P或点Q为直角顶点 ①若点P为直角顶点， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②若点Q是直角顶点， ∵， ∴， ∴，即，解得． 答：当或时，是直角三角形．    【举一反三2】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质： （1）证明，即可证明； （2）由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则． 【规范解答】（1）证明：∵，D，E分别在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点讲练8：斜边的中线等于斜边的一半 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在中，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【思路点拨】根据等腰三角形的定义一一判断即可． 【规范解答】解：A、由作图可知，是等腰三角形，本选项不符合题意． B、由线段垂直平分线的性质可知，是等腰三角形，本选项不符合题意． C、由直角三角形斜边中线的性质可知，是等腰三角形，本选项不符合题意． D、由作图可知是的角平分线，推不出是等腰三角形，本选项符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和直角三角形的性质． 【举一反三1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定义斜边一半的性质是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【规范解答】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【举一反三2】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，E为上一格点，点D为上任一点，先将线段向右平移得到线段、画出线段，再在上画点G，使； (2)在图（2）中，先作线段的中点D，再在线段上作点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据平移的性质作出线段，连接并延长交于点G； （2）取格点M，N，连接交于点D；取格点J，连接交于点E，连接． 【规范解答】（1）解：如图所示： 易得，则； （2）如图所示： 利用网格构造全等的直角三角形可得， 则为直角三角形， 易证，则点D为的中点， 根据直角三角形斜边中线的性质得出． 【考点评析】本题考查了作图—平移，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质；灵活运用相关判定定理和性质定理，将复杂作图转化为一般作图是解题的关键． 中档题真题练 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，已知直线，点，在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解决问题的关键． 根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质即可得解． 【规范解答】解：， ， 根据作图可知，， ， ， 直线， ， 故选：B． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）在中，，为边上的中线，若以为斜边作，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，熟记此性质是解题的关键．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断． 【规范解答】解：如图， 、是直角三角形，为的中点， ，， ， 、、都正确， 故选：． 3．（2024·甘肃金昌·一模）如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了与角平分线线有关的内角和计算以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，再根据等边对等角得出，利用三角形内角和可得出，最后利用角的和差关系即可得出的度数． 【规范解答】解：∵是等边三角形，为角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，分别以点A，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是的垂直平分线 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．根据作图方法可得，进而可得是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，． 【规范解答】解：，则 ，则 ，故A结论正确； 根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故C结论正确；D结论错误； ， ，故B结论正确； 故选：D． 5．（2024·山西阳泉·三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【思路点拨】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质．由等边对等角结合三角形内角和定理求得，由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 由作图可得：为直线的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， 平分的外角， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点、．如果测得，那么 ． 【答案】/84度 【思路点拨】由等边三角形的性质得，由邻补角得，再由翻折的性质得：，，从而，，再利用三角形的内角和定理即可得解． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，邻补角性质，折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 8．（2024·山西运城·三模）如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先证明，再证明是的垂直平分线，然后得出，再证明得出，最后根据直角三角形角的性质即可得出答案． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，， ， 分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F， 是的垂直平分线， ，， ，， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故答案为：4． 9．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：于点，于点， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 10．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ； 即是等腰三角形； （2）解：∵， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，， ， 又∵， ． 11．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作BC平行线交于、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边： （1）和的平分线相交于点O， ，所以， 进而，即可求解； （2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解； 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 培优题真题练 12．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和，平行线的性质等知识点，先证明，得出，由可得，结合即可求出，进而得出，是等边三角形，再根据三角形的内角和即可解答，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【规范解答】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 13．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，于点D，于点E，与交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理和线段垂直平分线的性质，由于点E，于点D，得，则，而，则，所以，即可证明，则，可判断①；过点作于点，于点，证明，得可得平分从而判断②；分别证明是等腰直角三角形，可证，得进而得到，再证明即可判断③；延长到点，使，连接，，证明得证明是等边三角形，进一步判断④． 【规范解答】解：①∵于点E，于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②过点作于点，于点，    ∵ ∴ 又 ∴， ∴ ∴平分 又 所以，； ③， ∵ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 同理可得：是等腰直角三角形， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，故③错误； ④延长到点，使，连接，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：B． 14．（2024·陕西榆林·三模）如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质可得，然后结合，由求解即可． 【规范解答】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 15．（2024·湖南长沙·一模）如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为 ． 【答案】/30度 【思路点拨】本题考查了多边形的内角，根据正六边形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论，熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：多边形是正六边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 16．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．根据题意，由垂直平分线的性质和直角三角形的性质，求出，然后求出的度数． 【规范解答】解：根据题意，垂直平分， ∴点D是的中点，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是 . 【答案】 【思路点拨】本题考查角平分线尺规作图，等腰三角形底边上三线合一，勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据题意综合运用这些知识点是解题关键． 根据作图得到是的角平分线，结合可得，，根据勾股定理即可得到，根据F为的中点得到，即可得到答案． 【规范解答】解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E， ∴是的角平分线， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 故答案为：． 18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是 ． 【答案】/106度 【思路点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到E点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 【规范解答】解：连接， ， 由作法得垂直平分， ∴E点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（19-20八年级下·广东深圳·期中）如图，已知等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有 个． 【答案】①②③④ 【思路点拨】连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出与的和等于，再证明是等边三角形，即可判断结论②，③，在线段上截取，连接，证明可判断结论④． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，， ∴是的中垂线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即结论①正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即结论②正确； ∵是等边三角形 ∴，即结论③正确； 在线段上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵，， ∴，即结论④正确， 综上所述：①②③④都正确， 故答案为：①②③④． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构造等腰三角形，等边三角形，全等三角形． 20．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）由含角的直角三角形的性质得出，再由即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（2024·吉林长春·一模）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 22．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3） 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【规范解答】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：由①可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①90度；②2；（3）6 【思路点拨】（1）先证明，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）①同（1）证明即可；②过点A作，垂足为M，先证明，再根据等腰直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接，同（1）得，，可得，再证明，，由平行线间距离处处相等得出，再根据，得出，即可求解． 【规范解答】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）①∵， ∴， 即， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，垂足为M，    ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）连接，    同（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴同底等高，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$