6.4.1 样本的数字特征-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §4 §4 用样本估计总体的数字特征 2 §4 4.1 样本的数字特征 刷基础 3 1.（多选）某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分.该校高一（1）班 代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参 赛学生的成绩,下列说法正确的是( ) ACD A.众数为95 B.中位数为93 C.平均分超过93分 D.极差为16 题型1 众数、中位数、平均数 4 解析 将这6位参赛学生的成绩按从小到大的顺序排序为84,91,95,95,98,100. 对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确； 对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为 ，故B错误； 对于C，平均数为 ，故C正确； 对于D，极差为 ,故D正确. 题型1 众数、中位数、平均数 5 2.[江西抚州临川一中2024高一月考] 已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据 （单位：分）从小到大排列后，得到甲队：7，12，12，20，，31；乙队：8，9， , 19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则和 的值分别为( ) C A.2和3 B.0和2 C.0和3 D.2和4 题型1 众数、中位数、平均数 6 解析 由题意得甲队的平均数为 ， 乙队的平均数为 ， 又甲队的中位数为，所以乙队的中位数为，即 ， 故,得 . 题型1 众数、中位数、平均数 7 3.（多选）[重庆巴蜀中学2024月考] 小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为:15,16,18,20, 20,22,24,25.按比赛规则，计算选手最后得分时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉 这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是( ) ACD A.平均数 B.极差 C.中位数 D.众数 题型1 众数、中位数、平均数 8 解析 对于A，去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均数为 ， 去掉最高分和最低分之后，个数据的平均分为 ，A正确； 对于B，去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10，去掉最高分和最低分之后，6个数据的 极差为8，B错误； 对于C，去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据 的中位数为20，C正确； 对于D，去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的 众数为20，D正确.故选 . 题型1 众数、中位数、平均数 9 4.[江西宜春中学2024高一期末] 为了解学生体育锻炼情况，宜春中学 随机抽取甲、乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻 炼时间（单位： ）进行了数据统计，得到如图所示的折线图,下列 说法正确的是( ) C A.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的小 B.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72 C.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30 D.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大 题型1 众数、中位数、平均数 10 解析 由题意可知，班级甲的数据按从小到大的顺序排列得30，35，55，65，70，70，72； 班级乙的数据按从小到大的顺序排列得30，30，35，65，83，88，90. 对于选项A：班级甲的极差为,班级乙的极差为 , 所以班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大，故A错误； 对于选项B：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误； 对于选项C：班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C正确； 对于选项D：班级甲的平均数 , 班级乙的平均数 , 所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小，故D错误.故选C. 题型1 众数、中位数、平均数 11 5.（多选）下列对一组数据的分析，说法正确的是( ) ACD A.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 题型2 标准差与方差的应用 12 解析 极差反映了一组数据最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中.方差、标准差是用 来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大， 数据越不稳定.方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高.平均数越小，说明数据整体上 偏小，不能反映数据稳定与否.故选 . 题型2 标准差与方差的应用 13 6.[河南南阳2023高一月考] 如果数据，， ,的平均数为10，方差为8，则 ， ， ， 的平均数和方差分别为( ) C A.10,8 B.30,24 C.34,72 D.34,76 题型2 标准差与方差的应用 14 解析 由题意得 ， ， 即， . 设，， ，的平均数和方差分别为和 ， 则 ， , 所以，， ， 的平均数和方差分别为34,72.故选C. 题型2 标准差与方差的应用 15 多种解法 利用平均数和方差的性质得,, ,的平均数为 ,方 差为 ,故选C. 二级结论 若，，， ，的平均数为，方差为，则，， ， ，的平均数为，方差为 题型2 标准差与方差的应用 16 7.（多选）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列 四种说法正确的是( ) ABCD A.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 题型2 标准差与方差的应用 17 解析 由条形图可知甲、乙成绩的平均数分别为 ，故A正确； 甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B正确； 甲、乙成绩的方差分别为 ， ，故C正确； 甲、乙成绩的极差分别为,，故D正确.故选 . 题型2 标准差与方差的应用 18 8.（多选）[河南焦作普通高中2024高一期末联考] 已知一组数据,, , ， 由生成一组新数据，， ， ，则( ) CD A.新数据的平均数一定比原数据的平均数大 B.新数据的中位数一定比原数据的中位数大 C.新数据的标准差一定比原数据的标准差大 D.新数据的极差一定比原数据的极差大 题型2 标准差与方差的应用 19 解析 对于A，设,, ,的平均数为，即 ， 则新数据，， ，的平均数为 ， 当时， ，故A错误； 对于B，设,, ,的中位数为，由于函数 单调递增， 则新数据，， ，的中位数为 ， 当时， ，故B错误； 对于C，设,, ,的标准差为，则 ， 由A选项得新数据，， ，的平均数为 ，故新数据的方差为 ，故新数据的标准差为，由于 ，故 ，C正确； 对于D，设,, ,的极差为，由于函数 单调递增， 故新数据的极差为，由于，故 ,D正确. 故选 . 题型2 标准差与方差的应用 20 9. [陕西汉中汉台2024高一期末校际联考] 甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6 次得到的环数如表所示. 甲 9 10 6 9 6 8 乙 5 10 10 7 10 6 （1）分别求出甲、乙运动员6次射击得到的环数的平均数； 【解】由题中甲、乙运动员的6次射击成绩可得甲6次射击得到的环数的平均数为 ; 乙6次射击得到的环数的平均数为 . 题型2 标准差与方差的应用 21 （2）分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的 发挥更稳定. [答案] 甲射击环数的方差为 ； 乙射击环数的方差为 . 由于 ，因此甲运动员的发挥更加稳定. 题型2 标准差与方差的应用 22 链接教材 本题是教材第170页例3的同类题目，考查平均数与方差在实际生活中的应用.方差刻画 的是数据的离散程度，在平均数相等的情况下，方差越小，数据越稳定. 题型2 标准差与方差的应用 23 10.[江西上饶2024高一月考] 某校高一（3）班的40位同学对班委会 组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频 率分布直方图，则下列结论正确的是( ) B A.评分在区间内的有2人 B.评分的中位数在区间 内 C.评分的众数是90分 D.评分的平均数大于90分 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 24 解析 根据频率分布直方图可知，评分在区间内的人数为 ，故A错误； 前三组的频率之和为 ， 前四组的频率之和为 ， 故可以判断中位数在区间 内，故B正确； 由于在频率分布直方图中估计众数为最高小长方形底边中点的横坐标，故众数是89分，故C错误； 评分的平均数为 （分），故D错误．故选B． 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 25 11.某射击运动员在一次测试中射击10次，其测试成绩如表： 环数 7 8 9 10 频数 3 2 2 3 则该运动员测试成绩的中位数为_____. 8.5 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 26 解析 根据题意，得该运动员射击10次，命中环数从小到大排列为7，7，7，8，8，9，9，10， 10，10,所以它的中位数是 . 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 27 12.[四川成都七中2024高二月考] 2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式.某 校抽取100名学生进行了大运会知识竞赛并记录得分（满分：100,所有人的成绩都在 内），根据得分将他们的成绩分成,,,,, 六组，制成如 图所示的频率分布直方图. 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 28 （1）求图中 的值； 【解】由题意知 ， 即,得 ． 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 29 （2）估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）、众数及 中位数. [答案] 由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为 （分）. 众数约为 （分）. 前3组的频率为，前4组的频率为 ,所以 中位数为 （分）． 题型3 用频率分布直方图估计数字特征 30 13.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14， 12，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为 ，则有( ) D A. B. C. D. 易错点 众数、中位数、平均数的求解错误 31 解析 由已知得 ， ，， .故选D. 易错点 众数、中位数、平均数的求解错误 32 易错警示 根据众数、中位数、平均数的公式求解即可.易犯的错误是记错公式，所以一定要牢记 公式，再者就是确保计算正确. 易错点 众数、中位数、平均数的求解错误 33 §4 4.1 样本的数字特征 刷提升 34 1.（多选）[江西九江一中2024高一期末] 如图所示为某地2014 年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( ) AC A.这10年粮食年产量的极差为15 B.这10年粮食年产量的平均数为33 C.这10年粮食年产量的中位数为29 D.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 35 解析 由折线图知这组数据的最大值是40，最小值是25，极差是15，A正确； 这10年粮食年产量的平均数为 ， B错误； 这10年数据按从小到大排序为25,26,27,28,28,30,33,36,37,40，中位数为 ，C正确； 前5年数据波动比后5年数据波动要小，因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的 方差，D错误． 故选 ． 36 2.（多选）某单位对本单位200名党员同志进行党史测试 并进行评分，将得到的分数分成6组： ， ，， ，得到如图所示的频 率分布直方图.下列说法正确的是( ) ACD A. B.得分在 的人数为4 C.200名党员同志测试分数的众数约为87.5 D.据此可以估计200名党员同志测试分数的中位数为85 37 解析 ，解得 ，A正确； 得分在的人数为 ，B错误； 200名党员同志测试分数的众数约为 ，C正确； ， 估计200名党员同志测试分数的中位数为85， D正确． 38 3.[河南洛阳二高2023高一月考] 在高一新生入学后，某班体育委员统计了本班所有同学中考体育 成绩的平均分和方差.后来又转来一位新同学，若该同学中考体育成绩恰好是这个班级之前中考体 育成绩的平均分，则在这位同学转来之后，该班级的中考体育成绩的( ) A A.平均分不变，方差变小 B.平均分不变，方差变大 C.平均分变大，方差变小 D.平均分变小，方差变大 39 解析 设该班原有位同学，中考体育成绩的平均分为，方差为 ， 则， ， 故， ， 则转来一位新同学后该班中考体育成绩的平均分为 ， 方差为 ， 故该班中考体育成绩的平均分不变，方差变小.故选A. 40 4.（多选）[河南南阳六校2024高一期末] 某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境 治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的 环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断， 环境治理一定达标的地区是( ) AD A.甲地区：平均数为90，方差为10 B.乙地区：平均数为60，众数为50 C.丙地区：中位数为50，极差为70 D.丁地区：中位数为80，极差为20 41 解析 设每天的空气质量指数为，平均数为,则方差为 对于A，由，得 ，若这10天中有1天的空气质量指数大于 或等于100，则必有 ，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都小于100， 故A正确； 对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的 环境治理不达标，故B错误； 对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不 达标，故C错误； 对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与中位数为80矛盾，故最大 值不大于100，故D正确.故选 . 42 5.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生，将其成绩（百分制）（均为整数） 分成六组, , 后得到如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息，回答 下列问题： 43 （1）求分数在 内的频率，并补全这个频率分布直方图. 【解】设分数在内的频率为 ， 根据频率分布直方图，则有 ，解得 ， 分数在 内的频率为0.3． 补全的频率分布直方图如图所示． 44 （2）根据频率分布直方图，从图中估计总体的众数是多少分？中位数是多少分？ [答案] 分数在 内的小矩形最高，众数是最高小矩形底边中点的横坐标， 众数估计为75． 分数在内的频率为 ， 中位数在 内. 中位数要平分直方图的面积， 中位数为 ． 45 （3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分. [答案] 利用频率分布直方图估算抽样学生的平均分为 ， 估计这次考试的平均分是71分． 46 $$