第1章 预备知识 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.已知集合，，0，1，，， ，则下列关系正确的是( ) C A. B. C. D. 3 解析 由集合，，0，1，，，，得,0, ，所以 ，故选C． 4 2.已知命题,，则命题 的否定是( ) B A., B., C., D., 5 解析 由全称量词命题的否定是存在量词命题可知， 命题,的否定是, .故选B. 6 3.[重庆田家炳中学2024高一期中] 设，是两个实数，且 ，有如下三个式子： ;; .其中恒成立的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7 解析 不恒成立； 恒成立，则 恒成立；,的正负不确定，所以 不恒成立.故选B. 8 4.[黑龙江齐齐哈尔第一中学2023高一期中] 已知，，，则 的最小值 为( ) D A.13 B.19 C.21 D.27 9 解析 ，当且仅当 ，即，时，等号成立，故 的最小值为27. 故选D. 10 5.“”是“关于的不等式 无解”的( ) C A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11 解析 若关于的不等式无解，则，解得 . 由于，故“”是“关于的不等式 无解”的充分不必要 条件． 故选C. 12 6.命题“存在，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) B A. B. C. D. 13 解析 因为“存在，使得 ”为真命题， 所以，因此上述命题的一个充分不必要条件是 . 故选B. 14 7.设正实数，满足，，不等式恒成立，则实数 的最大值为( ) D A. B. C.8 D.16 15 解析 设， , 则当且仅当 ， 即，时取等号，故 .故选D. 16 8.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘 再求和，例如，则可求得和为.则对 的所有非 空子集，这些和的总和为( ) B A.508 B.512 C.1 020 D.1 024 17 解析 因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合的所有非空子集中分别出现次,所以对 的所有非空子集 中的每一个元素都乘 再求和,则这些和的总和是 .故选B. 18 9.[安徽部分学校2024高一期中联考] 下列命题中，正确的是( ) AB A.“”是“ ”的充分不必要条件 B.“”是“ ”的必要不充分条件 C.“”是“ ”的充要条件 D.“”是“ ”的必要不充分条件 19 解析 对于A项，由可以推出 ,反之不可以,故A正确. 对于B项，由推不出 ,反之可以,故B正确. 对于C项,由可以推出 ,反之不可以,故C错误. 对于D项，由题意知是的子集,所以 可以推出 ,反之不可以,故D错误. 故选 . 20 10.[陕西西安2024高一期中] 已知关于的不等式 的解集是 ，则( ) ABD A. B. C. D. 21 解析 不等式等价于不等式 ， 因为关于的不等式的解集是，所以 ，且 ，，则 ，故B，D正确，C错误. 设，，则不等式的解集是 . 又关于的不等式即的解集是 ， 所以是的真子集，所以 ，则A正确. 故选 . 22 11.[广西四校2024高一期中联考] 已知表示不超过的最大整数，例如： , ,.若集合,, ，则下列说法 正确的是( ) CD A.集合,0,1,2, B.集合 的非空真子集有30个 C.若“”是“”的充分不必要条件，则 D.若 ，则 23 解析 当时,,当时, , 当时,,当时,,当时,,当 时, , 所以,,0,1,2,,集合A的非空真子集有 个,所以A,B错误. 若“”是“”的充分不必要条件,则A是B的真子集,所以 ,C正确. 若 ,则当 时, ； 当 时,解得 , 综上可得 ,所以D正确. 故选 . 24 12.[江西南昌大学附中2024高一期中] 对于,两个集合，满足, , ，且中元素个数不属于,中元素个数不属于，则满足题意的不同的集合 的个数为 ____. 10 25 解析 ,, . 当中的元素个数为1时,中的元素个数为5,此时且 ,1种情况； 当中的元素个数为2时,中的元素个数为4,此时且 ,4种情况； 当中的元素个数为3时, 中的元素个数为3,不成立； 当中的元素个数为4时, 中的元素个数为2,根据对称性知有4种情况； 当中的元素个数为5时, 中的元素个数为1,根据对称性知有1种情况. 综上所述,共有10个不同的 满足条件. 26 13.[陕西西安长安区一中2024高一质量检测] 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行 连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中， 前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为____. 29 27 解析 记第一天、第二天、第三天参加志愿者的人员分别构成集合，， ， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为 ， 根据题意可作 图,如图. 依题意必有,,, 均为自然数， 所以， ， 故这三天参加的志愿者总人数为 , 当时，总人数最少，最少人数为 . 28 14.已知，，且，则的最大值为__， 的最小值为______.（答对一空给 3分） 29 解析 ，，，，，则 ，当且仅当 时取等号，即的最大值为 . ，当且仅当 ,且时取等号，故的最小值为 . 30 15.（本小题满分13分）已知全集,0,1,2,，集合,0,， . （1）求 ； 【解】易知,0,1, . （2）求 . [答案] 易知,,1,2, . 31 16.（本小题满分15分）[湖南长沙六校2024高一月考] 已知命题, 为假 命题.设实数的取值集合为，集合，若 ___ ，求实数 的取值范围. 在①“”是“”的必要不充分条件；②“”是“ ”的充分条件； ,这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 32 【解】由命题为假命题,可知命题的否定:， 为真命题, 当时,, ,显然不成立； 当时,只需 . 所以 . 选①：“”是“”的必要不充分条件,则 , 当 时, ,满足要求； 当 时,解得 . 所以实数的取值范围是或 . 选②：“”是“”的充分条件,则,而 , 当 时, ,满足要求； 33 当 时,解得.所以实数的取值范围是 . 选③： , 当 时, ,满足要求； 当 时,解得 . 所以实数的取值范围是或 . 名师点拨 由存在量词命题为假命题求参数的范围,即得集合,根据所选条件判断集合, 的包含 关系,讨论 , ,求参数 的范围. 35 17.（本小题满分15分）[河南郑州第四高级中学2023高一期末] 已知 . （1）当，时，求 的最小值； 【解】因为，，，则 ， 所以 ， 当且仅当且，即时，等号成立，所以，故 的最小值 为 . 36 （2）当，时，求 的最小值. [答案] 因为，， ， 则， ， 所以 ， 当且仅当且，即, 时，等号成立， 所以，故 的最小值为3. 37 18.（本小题满分17分）[广西南宁2024高一月考] 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧 化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处 理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 38 【解】由题意可知，月处理成本（元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可近似地表示为 ， 所以每吨二氧化碳的平均处理成本为 .由基本不等式可得 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 39 （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少 元才能使该单位不亏损？ [答案] 每月的利润 ， ， 当时，函数取得最大值 . 所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40 000元才能使该单位不亏损. 40 19.（本小题满分17分）[黑龙江哈尔滨师大附中2023高一月考] 设 是实数集的非空子集，称集 合,且为集合 的生成集. （1）当时，写出集合的生成集 ； 【解】因为,所以 . 41 （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集 中元素个数的最小值； [答案] 设,,,,,且 . 因为,所以 中元素个数大于或等于7. 不妨设,,,,,则,,,,,,,此时中元素个数为7,所以生成集 中 元素个数的最小值为7. 42 （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集 ，并说明理由. [答案] 不存在,理由如下：假设存在4个正实数构成的集合,,, ,使其生成集 ,不妨设,则集合的生成集,,,,, , 则必有,,4个正实数的乘积；也必有, ,4个正实数的乘积 ,矛盾. 所以假设不成立,故不存在4个正实数构成的集合,使其生成集 . 43 名师点拨 （1）通过简单的例子理解新定义； （2）列举出集合元素的时候按照一定的顺序来写,例如本题第2问按照元素的大小顺序来写可得 出一些值的大小关系； （3）对于存在性问题,可以先假设存在,若推出矛盾,则不存在,若推不出矛盾,则举出一个满足条件 的例子即可. 44 $$