1.4 一元二次函数与一元二次不等式 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 4 4 一元二次函数与一元二次不等式 2 4 §4 综合训练 刷能力 3 建议用时：60分钟 1.[辽宁省实验中学2024高一期中] 已知集合，集合 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 4 解析 , , . 故选D. 5 2.[北京一零一中学2023高一期中] 已知,，若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 6 解析 由得，解得或.因为是 的充分不必要条件，所以由 能推出或，得；当时由得不到 . 综上, ，故选B. 7 3.[河南济源2024高一月考] 在上定义运算，则满足 的 实数 的取值范围为( ) B A. B. C.或 D. 8 解析 ,,即 ,解得 .故选B. 9 4.关于的不等式的解集是，则关于的不等式 的解集是 ( ) C A.或 B. C. D.或 10 解析 由关于的不等式的解集是,可得且，即 . 所以不等式可化为,即 ，即 ，解得 .故选C. 11 5.[湖北武汉部分学校2024高一期中] 已知关于的不等式 恰有四个整数解， 则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.或 D.或 12 解析 不等式,可化为 . 当时,不等式 的解集为空集,不符合题意； 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 ; 当时,不等式的解集为 , 要使不等式恰有四个整数解,则 . 综上可得,实数的取值范围是或 .故选C. 13 6.若不等式对任意实数恒成立，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 14 解析 由于不等式对任意实数 恒成立，分以下两种情况讨论： ①当，即时，可得，解得 ，不符合题意； ②当，即 时，则有 解得 . 综上所述，实数的取值范围是 .故选D. 15 7.设，若关于的不等式在 上有解，则( ) C A. B. C. D. 16 解析 由在上有解，得在 上有解， 则.由于，而在上随着的增大而增大，故当 时， 取得最大值，故 ，故选C. 17 8.[江西南昌一中2024高一期中] 若两个正实数，满足，且不等式 有 解，则实数 的取值范围是( ) D A. B.或 C. D.或 18 解析 不等式有解, , ,, , , 当且仅当,即,时,等号成立,, , 或 , 实数的取值范围是或 .故选D. 19 9.（多选）二次函数 的图象如图所示，则下列结论中 正确的有( ) BCD A. B. C. D. 20 解析 由题中函数图象可知,,,,当时， ,整理化简 得,则,,，由此可知选项A错误，其余3个选项正确.故选 . 21 10.（多选）[湖南长沙2023高一月考] 下列说法正确的是( ) AB A.不论取何实数，命题“， ”为真命题 B.不论取何实数，命题“二次函数的图象关于 轴对称”为真命题 C.不论取何实数，命题“方程 必有两个负实根”为真命题 D.不论取何实数，命题“，使不等式 成立”为真命题 22 解析 对于A，，方程中， ，即一元二次方程 有不等实根,（假设），显然，即 ，因此不 等式的解集为，当时， ，A正确； 对于B，，二次函数的图象的对称轴为轴，因此二次函数 的图象关 于 轴对称，B正确； 对于C，，方程 两根之积为负数，故有异号两根，则命题“方程 必有两个负实根”为假命题，C错误； 对于D，当时，不等式的解集为，即不存在 使不等式 成立，D错误.故选 . 23 11.[重庆实验外国语2024高一月考] 若不等式的解集是 的子集，则实 数 的取值范围是________. 24 解析 原不等式可化为，当时，不等式的解集为，此时只要 即可，即；当时，不等式的解集为，此时符合要求；当 时，不等式 的解集为，此时只要即可，即 . 综上可得 . 25 12.[山东青岛2024高一月考] 某辆汽车以 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路 行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为,其中 为常数.若汽车以的速度行驶，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过 ， 则 的取值范围为_________________. 26 解析 因为汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为 ，所以 , 解得，故每小时的油耗为.依题意得 ,解得 ,又因为，所以 . 27 13.[河南南阳六校2024高一期末] 已知集合， , . （1）若，求 ； 【解】由得，故集合 . 由得, ， 因为， ， 所以集合 . 若，则 ， 所以 . 28 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围. [答案] 若“”是“”的充分不必要条件，则是 的真子集， 则有 （两个等号不同时成立）， 解得 ，经验证符合题意， 所以实数的取值范围是 . 29 14.[江苏淮安2024高一阶段检测] 已知关于的不等式的解集为 . （1）求实数， 的值； 【解】因为关于的不等式的解集为 ， 所以，为方程的根，且 . 所以解得 30 （2）当,，且满足时，有恒成立，求实数 的取值范围. [答案] 因为 恒成立， 所以 即可. 因为，所以 ， 当且仅当，即,时取等号.所以，解得 . 故实数的取值范围为 . 31 15.[陕西西安交通大学附属中学2024高一期末] 某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结 构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入， 当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员 户农民只从事水果加工，剩 下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为 万元，而从 事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高 ． （1）若动员 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水 果种植的农民的总年收入，求 的取值范围； 【解】根据题意可知，需满足 ， 化简为，解得 ， 故的取值范围为 . 32 （2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果 种植的农民的总收入，求 的最大值． [答案] 由题意得 , 整理可得 ， 因为，当且仅当 时取等号. 所以，即 的最大值为22. 33 16.[北京大学2023强基计划] 方程共有___个解表示不超过的最大整数 . 0 解析 显然,若,则,所以 , 所以,但 ，无解. 若,则 , 所以,所以,但 ,无解, 所以方程 解的个数为0. 34 17.[中国科学技术大学2024创新班考试] 求所有的实数，使对任意 恒成立. 35 【解】①若方程有实数解，则.此时 ，则 有，则，又易知该不等式在 时不成 立，故该情况不满足题意. ②若方程不存在实数解，则恒成立，此时 ，解得 ,则原不等式等价于或 . 当时，有 ， ， ； 当时，有， ， . 综上所述，所求实数的取值范围为 . 36 $$