1.3 不等式 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §3 §3 不等式 2 §3 §3 综合训练 刷能力 3 建议用时：35分钟 1.若 ，则下列不等式中总成立的是( ) C A. B. C. D. 4 解析 ，故选C. 5 多种解法 （特殊值法）令，，排除A，D；再令， ，排除B.故选C. 6 2.[河北石家庄2024高一月考] 若,且，则 成立的一个充分不必要条件是( ) C A. B. C. D. 7 解析 A.当时，，则 ，故A错误； B.当,时，不满足 ，故B错误； C.当时，，则，反过来，当时， ，推不出 ，所以是 成立的一个充分不必要条件，故C正确； D.当,时，不满足 ，故D错误.故选C. 8 3.[四川成都2024高一期中联考] 若，则 的最小值为( ) D A.12 B. C. D. 9 解析 因为,所以,则 , 故 ,当 且仅当,即时等号成立,故的最小值为 ,故选D. 10 4.[重庆一中2024高一期末] 已知正实数，满足，则 的最小值为( ) D A. B. C.10 D.11 11 解析 因为,显然,得到,所以 , 又,为正实数,所以,得到,即 , 所以 , 当且仅当,即, 时取等号,故选D. 12 5.（多选）[江苏扬州2024高一月考] 已知,， ，下列说法中正确的是( ) BD A.的最小值为2 B.若，则 的最小值为4 C.若，则 D.若，则的最大值为 13 解析 选项A:,当且仅当 时等号成立,但是 无解，故A错误.选项B:由，，可得 （当且仅当 时等号成立），故B正确.选项C：由，， ，得 当且仅当时等号成立 ， 则，故C错误.选项D:,故，当且仅当 时等号成 立，故D正确.故选 . 14 6.已知，，，请写出使得“ ”恒成立的一个充分不必要条件为 ______________________. （答案不唯一） 15 解析 由，，,得 ， 当且仅当 时取等号，所以当恒成立时， . 故“”恒成立的一个充分不必要条件为 ，答案不唯一. 16 7.[贵州六盘水2024高一期中] 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂并大斜 幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开 平方得积.即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶 公式.现有一个三角形的边长满足, ，则此三角形面积的最大值为_____. 17 解析 由题意可得,,则 .由基本不等式可得, . 当且仅当,即 时取等号. 18 8.[山东德州第一中学2023高一月考] 已知， . （1）求 的取值范围； 【解】因为，，两个不等式相加可得，解得 ， 所以的取值范围是 . 19 （2）求 的取值范围； [答案] 因为， ， 所以 ， 所以 . 所以的取值范围是 . 20 （3）求 的取值范围. [答案] 设，则 , 所以解得 所以 . 因为,所以.因为 ，所以 . 由得，所以的取值范围是 . 21 9.[河南郑州六校联盟2023高一期中] 已知，，，为正实数，且 . （1）若，，求 的最小值； 【解】由已知可得 ， 又，，所以 ， 当且仅当，即， 时等号成立. 所以 的最小值为16. 22 （2）若，的最小值为18,求， 的值. [答案] 因为，，，，为正实数，且 ， 所以 . 当且仅当,且时，等号成立，此时的最小值为 . 又的最小值为18，所以，得 . 联立解得或 23 10.[复旦大学2024数学英才班选拔考试] 一个圆周上分布有2 024个点，记为,, , ， 其象征着2 024个不同的数，记表示,, 的中位数，其下标为模2 024意义下的余数. 已知，则 的取值范围是__________________. 24 解析 由柯西不等式可得 ， 当且仅当时取等号,但由于,, ,两两不相等，故,, , 不可能全部相等，因此 ,解得 . 二级结论柯西不等式：设,,, ，,,,, , 是实数，则 ,当且仅当 或存在一个数，使得 时等号成立. 25 $$