最值问题培优专练 2023-2024学年苏科版数学八年级下册

八年级下最值问题专练（培优） 目前所学线段最值问题思路主要有2个： 1、 单线段：点到直线的距离垂线段最短 2、 两线段和：两点之间线段最短 本节内容主要分为7个类型，如下： 【类型一：构造全等三角形】 【类型二：平移】 【类型三：旋转】 【类型四：将军饮马】 【类型五：中点、中位线】 【类型六：其他】 【类型七：综合】 【类型一：构造全等三角形】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝84°，点M为AC上一动点，在BC上取点N，使CN＝AM，连接AN，BM，当AN+BM的值最小时，求∠ANC的度数． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】作∠BCD＝∠BAC，并使CD＝AB，连接DN，△DCN≌△BAM，从而DN＝BM，于是AN+BM＝AN+DN≥AD，于是当点A、N、D共线时，AN+BM最小，△ABC，△ACD均为等腰三角形，进一步得出结果． 【解答】解：作∠BCD＝∠BAC，并使CD＝AB，连接DN，如图： 在△ABM和△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴BM＝DN， ∴AN+BM＝AN+DN≥AD， ∴当点A、N、D共线时，AN+BM最小； ∵AB＝AC＝CD，∠BCD＝∠BAC＝84°， ∴∠ACB＝＝48°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝132°， ∠CAD＝＝24°， ∴∠AN′C＝180°﹣∠CAD﹣∠ACB＝108°． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2．（2024春•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持AP+AQ＝AB，连结BQ和CP，当BQ+CP值达到最小时，的值为 　1　． 【考点】全等三角形的判定与性质；合并同类项．版权所有 【分析】由“SAS”可证△ACP≌△BEH，可得CP＝HE，由“SAS”可证△CBQ≌△BCH，可得CH＝BQ，则BQ+CP＝CH+HE，即当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，由“ASA”可证△ACH≌△BEH，可得AH＝BH，即可求解． 【解答】解：如图：过点B作BE∥AC，且BE＝AC，在BA上截取BH＝AP，连接CH， ∵AB＝AC，AP+AQ＝AB，AB＝AP+BP，AC＝AQ+CQ， ∴AQ＝BP，CQ＝AP＝BH， ∵AC∥BE， ∴∠A＝∠EBH， 在△ACP和△BEH中， ， ∴△ACP≌△BEH（SAS）， ∴CP＝HE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△CBQ和△BCH中， ， ∴△CBQ≌△BCH（SAS）， ∴CH＝BQ， ∴BQ+CP＝CH+HE， ∴当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值， 此时，∵AC∥BE， ∴∠A＝∠EBA，∠ACH＝∠BEH， 又∵AC＝BE， ∴△ACH≌△BEH（ASA）， ∴AH＝BH， ∴点H是AB的中点， ∴AP＝BH＝AB， ∴点P与点H重合， ∴BP＝BH＝AQ＝AP， ∴＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【类型二：平移】 3．（2024春•扬州期末）如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．则EM+AF的最小值是 　4　． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【分析】根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM＝EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴AB＝BC＝8，∠ABC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴BM＝4， ∴AM＝＝4， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， ∴△ABM≌△FGE（ASA）， ∴AM＝EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小， 此时EM+AF＝AH＝＝＝4， ∴EM+AF的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定EM+AF取最小值的位置． 4．（2022春•芜湖期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且MN＝2，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 　12+2　． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．版权所有 【分析】连接BD，DN，作点E关于BD的对称点F，则BE＝BF＝2，连接NF，DF，根据正方形的性质和平行四边形的判定可证明四边形MEFN是平行四边形，得ME＝NF，BN＝DN，利用三角形三边关系可得ME+BN＝NF+DN≥DF，再利用勾股定理求得DF即可求解． 【解答】解：连接BD，DN，作点E关于BD的对称点F，则BE＝BF＝2， 连接NF，DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，DB⊥AC，BN＝DN， ∴EF∥AC，EF＝， ∴四边形MEFN是平行四边形， ∴ME＝NF， ∴ME+BN＝NF+DN≥DF（当D，N，F共线时取等号）， 在Rt△DCF中，CD＝8，CF＝8﹣2＝6，则DF＝， ∴ME+BN≥10， ∴MN+BE+ME+BN， 即四边形BEMN的周长的最小值为12+2， 故答案为：12+2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，将EM+BN的最小值转化为FN+DN是解题的关键． 【类型三：旋转】 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，BD＝3，CD＝4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE．若M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为 　　． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．版权所有 【分析】连接CE，作CF⊥DE于点F，可证明BAD≌△CAE，得CE＝BD＝3，∠ACE＝∠B＝45°，则∠DCE＝90°，求得DE＝＝5，由×5CF＝×3×4＝S△CDE，得CF＝，由CM≥，求得线段CM的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CE，作CF⊥DE于点F， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∠B＝∠ACB＝45°， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD＝3，∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∵CD＝4， ∴DE＝＝＝5， ∴×5CF＝×3×4＝S△CDE， ∴CF＝， ∵CM≥CF， ∴CM≥， ∴线段CM的最小值为， 故答案为：． 【点评】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2024春•姑苏区期末）如图，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是对角线AC上的一个动点，连结BE，将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF，连接OF，则OF的最小值是（　　） A． B． C． D． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．版权所有 【分析】由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，可证△ABD是等边三角形，可得AB＝BD＝4，∠ABD＝60°，由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝60°＝∠ABD，由“SAS”可证△ABE≌△DBF，可得∠BAO＝∠BDF＝30°，则点F在过点D与BD成30°的射线上移动，由垂线段最短和直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴AB＝AD，AC⊥BD，BO＝OD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝4，∠ABD＝60°， ∴BO＝DO＝2，∠BAO＝30°， ∵将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF， ∴BE＝BF，∠EBF＝60°＝∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBF， ∴△ABE≌△DBF（SAS）， ∴∠BAO＝∠BDF＝30°， ∴点F在过点D与BD成30°的射线上移动， ∴当OF⊥DF时，OF有最小值， ∴OF的最小值为OD＝， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点F的运动轨迹是解题的关键． 7．（2020•历城区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为　　． 【考点】旋转的性质；菱形的性质．版权所有 【分析】根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长． 【解答】解：如图，连接MN，CE，AC， ∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°． ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN． 即∠MBA＝∠NBE． 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）， ∴AM＝EN， ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM． 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短， ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°， ∵BC＝2， ∴BF＝1，EF＝，在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2＝EC2， EC＝2． 故答案为2： 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题和旋转的问题． 【类型四：将军饮马】 8．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，钝角△ABC中，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，当CM+MN最小时，∠CMN＝50°，点P，Q分别是射线BA，BC上的动点，当△PMQ周长最小时，∠PMQ＝　80°　. 【考点】轴对称﹣最短路线问题；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】作C关于BD的对称点E交AB于E，过E作EN⊥BC交BD于M，则此时CM+MN＝EN最小，作点M关于AB的对称点G，关于BC的对称点F，连接GF交AB于P，交BC于Q，则此时△PMQ周长最小，连接BG，BF，根据三角形的内角和定理得到∠MCN＝40°， 根据等腰三角形的性质得到∠MEC＝∠MCE，求得∠MCE＝∠MEC＝＝25°，得到∠ECN＝65°，求得∠CBE＝50°，得到∠FBG＝2∠ABC＝100°，根据全等三角形的性质得到∠PMB＝∠PGB＝40°，同理∠BMQ＝∠BPQ＝40°，于是得到结论． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴点C的对称点在线段AB上， 作C关于BD的对称点E交AB于E，过E作EN⊥BC交BD于M， 则此时CM+MN＝EN最小， 作点M关于AB的对称点G，关于BC的对称点F，连接GF交AB于P，交BC于Q， 则此时△PMQ周长最小， 连接BG，BF， ∵∠CMN＝50°，∠CNM＝90°， ∴∠MCN＝40°， ∵CM＝EM， ∴∠MEC＝∠MCE， ∴∠MCE＝∠MEC＝＝25°， ∴∠ECN＝65°， ∵BC＝BE， ∴∠BEC＝∠BCE＝65°， ∴∠CBE＝50°， ∵BG＝BM＝BF，BA⊥MG，BC⊥MF， ∴∠GBP＝∠PBM，∠FBQ＝∠MBQ， ∴∠FBG＝2∠ABC＝100°， ∴∠BGF＝∠BFG＝40°， ∵BG＝BM，PG＝PM，BP＝BP， ∴△BPG≌△BPM（SSS）， ∴∠PMB＝∠PGB＝40°， 同理∠BMQ＝∠BPQ＝40°， ∴∠PMQ＝∠PMB+∠QMB＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024春•碑林区校级期末）如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD，AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的边长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【分析】过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值，再根据等腰直角三角形的性质求出正方形的边长 【解答】解：过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′． ∵DD′⊥AE于F， ∴∠AFD＝∠AFD′＝90°， ∵∠DAC的平分线交DC于点E， ∴∠DAE＝∠CAE， ∵在△DAF与△D′AF中， ， ∴△DAF≌△D′AF（ASA）， ∴D′是D关于AE的对称点，AD＝AD′， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′＝45°， ∴AP′＝P′D′＝2， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝8， ∴AD′＝2，AD＝AD′＝2， ∴正方形ABCD的边长为2， 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，正方形 到现在，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 10．（2024春•天津期末）如图，直线l1：y1＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y2＝kx+4与x轴交于点B（4，0），直线l1与直线l2相交于点M． （Ⅰ）求直线l2的解析式及点M的坐标； （Ⅱ）点P是直线l1上的一点． ①当S△ABP＝5时，求点P的坐标； ②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（Ⅰ）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （Ⅱ）①由S△ABP＝5＝×AB×|m+1|＝5×|m+1|＝5，即可求解； ②当点P（1，2）时，作点P关于x轴的对称点T（1，﹣2），连接MT交x轴于点Q，则此时QP+QM取最小值，即可求解；当点P（﹣3，﹣2）时，则此时QP+QM＝PM为最小，即点Q和点A重合，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）将点B的坐标代入函数表达式得：0＝4k+4，则k＝﹣1， 则直线l2的表达式为：y＝﹣x+4， 联立直线l1和l2的表达式得：﹣x+4＝x+1， 解得：x＝，则点M（，）； （Ⅱ）①设点P（m，m+1）， 由直线l1的表达式知，点A（﹣1，0），则AB＝5， S△ABP＝5＝×AB×|m+1|＝5×|m+1|＝5， 解得：m＝1或﹣3， 即点P（1，2）或（﹣3，﹣2）； ②当点P（1，2）时，如下图， 作点P关于x轴的对称点T（1，﹣2），连接MT交x轴于点Q，则此时QP+QM取最小值，理由： QP+QM＝QT+QM＝MT为最小， 由点M、T的坐标得，直线TM的表达式为：y＝7（x﹣1）﹣2， 则点Q（，0）； 当点P（﹣3，﹣2）时， 则此时QP+QM＝PM为最小，即点Q和点A重合， 即点Q（﹣1，0）； 综上，点Q的坐标为：（，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到点的对称性、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 【类型五：中点、中位线】 11．（2024春•扬州期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，，则GH的最小值是 　1　． 【考点】菱形的性质；垂线段最短；等腰直角三角形；三角形中位线定理．版权所有 【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题． 【解答】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝2， ∵G，H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GH＝AF， 当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值， 则∠AFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝AB＝×2＝2， ∴GH＝1， 即GH的最小值为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 12．（2023春•玄武区校级期中）如图，将边长为2的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 　　． 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．版权所有 【分析】取CD的中点N，连接PN，PB，BN．首先证明PQ＝PN，PB＝PG，推出PQ+PG＝PN+PB≥BN，求出BN即可解决问题． 【解答】解：如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN， 由翻折的性质以及对称性可知；PQ＝PN，PG＝PC，GH＝CD＝2， ∵点Q是GH的中点， ∴， 在Rt△BCN中，， ∵∠CBG＝90°，PC＝PG， ∴PB＝PG＝PC， ∴， ∴PQ+PG的最小值为， ∴△GPQ的周长的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，学会添加常用辅助线是解题的关键． 13．（2024春•深圳校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，AB＝13cm．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得△DEC，直线AD、EB相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 　9　cm． 【考点】旋转的性质．版权所有 【分析】设∠BCE＝∠ACD＝α，可得∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，根据四边形内角和可得∠BFA＝90°，取AB的中点H，连接HG、HF，则HG＝AC，HF＝AB，继而可得FG≤HG+HF，即可得到答案． 【解答】解：取AB的中点H，连接HG、HF，如图： ∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到， ∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD， 设∠BCE＝∠ACD＝α，则∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α， 在四边形BCDF中，∠BFA＝360°﹣∠BCD﹣∠CDA﹣∠CBE＝360°﹣（90°+α）﹣2（90°﹣α）＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm， Rt△ABF中，HF＝AB＝cm， ∵HG是△ABC中位线， ∴HG＝AC＝cm， 而FG≤HF+HG＝9cm， ∴当F、H、G在一条直线上时，FG最大，最大值为HF+HG＝9cm， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以FG为边的三角形，根据三角形三边关系得出FG的长度范围是解题的关键． 【类型六：其他】 14．（2024•娄星区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论． 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE＝＝＝3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 15．（2022春•泗洪县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB上一点，且AE＝3，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰直角三角形FEG，EG＝EF，∠GEF＝90°，连接AG，则AG的最小值为　1　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．版权所有 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEB，可得GH＝BE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当AG⊥MN时，AG有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝4，∠B＝90°， ∵AE＝3，AB＝4， ∴BE＝1， ∵∠GHE＝∠B＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEB＝90°， ∴∠EGH＝∠FEB， 又∵GE＝EF， ∴△GEH≌△FEB（AAS）， ∴GH＝BE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当AG⊥MN时，AG有最小值， ∴AG的最小值＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 16．（2024春•海门区期末）如图，在锐角△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝3，，P为BC上一动点，将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积．版权所有 【分析】作AF⊥BC于点F，由S△ABC＝×3AF＝，求得AF＝，由AP≥，求得AP的最小值为，由翻折得AD＝AE＝AP，∠DAB＝∠PAB，∠EAC＝∠PAC，则∠DAE＝2∠BAC＝90°，所以S△ADE＝AD•AE＝AP2，当AP取最小值时，S△ADE最小＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AF⊥BC于点F， ∵S△ABC＝BC•AF＝，且BC＝3， ∴×3AF＝， ∴AF＝， ∵AP≥AF， ∴AP≥， ∴AP的最小值为， 由翻折得AD＝AE＝AP，∠DAB＝∠PAB，∠EAC＝∠PAC， ∴∠PAD＝2∠PAB，∠PAE＝2∠PAC， ∴∠DAE＝∠PAD+∠PAE＝2（∠PAB+∠PAC）＝2∠BAC＝2×45°＝90°， ∴S△ADE＝AD•AE＝AP2， ∴当AP取最小值时，S△ADE最小＝×＝， 故选：C． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形的面积公式、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【类型七：综合训练】 17．（2024•南关区校级模拟）【问题呈现】数学社团课上，同学们遇到这样一个问题：如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，点P为边AB上一动点，连接CP将线段CP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CQ，当点P从点A运动到点B时，试探究点Q的运动轨迹． 【问题解决】经过讨论，同学们想利用全等三角形的知识解决该问题，如图②，连结AC，BC，易证CB⊥CA，且CB＝CA，通过证明△CAP≌△CBQ，可以确定点Q的运动轨迹为端点与B重合且垂直于AB的线段，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：1°当点P不与点A重合时， 证明过程缺失 ∴∠CBQ＝∠CAB＝45°． 2°当点P与点A重合时， 易知CQ⊥CA，且CQ＝CA．故，此时点Q与点B重合． 综上，点Q的运动轨迹为经过点B且垂直于AB的线段． 【问题延伸】如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AB＝2，点P为线段AB上一动点，在点C右侧作线段CQ，使CQ⊥CP，且CQ＝2CP，当点P从点A运动到点B时，试探究点Q的运动路径的长为 　4　． 【能力提升】如图④，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一点，且CE＝1，O为正方形对角线的交点，点M为线段DE上的一个动点，直角三角形OMN中∠MON＝90°，且ON＝2OM，求点M从点D运动至点E时，点N距离点O的最短距离为 　　． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】【问题解决】由∠ACB＝∠PCQ＝90°，得∠ACP＝∠BCQ，再证明△ACP≌△BCQ即可． 【问题延伸】当P′与A重合时，Q′如图所示．当P″与B重合时，Q″如图所示．由等腰Rt△性质得CA＝CB＝，由CQ＝2CP，得CQ′＝，CQ″＝2，再利用勾股定理得Q′Q″＝CQ″＝4． 【能力提升】如图建立平面直角坐标系，当M′与D重合时，如图所示．当M″与E重合时，如图所示．过N'作N'K⊥x轴，过O作OH⊥x轴，OG⊥N'N“．由正方形性质得OA＝OD＝OC＝OB＝2，由ON＝QOM，得ON′＝4，CN′＝2，KC＝KN′＝2．再利用勾股定理得OM″＝，N″M″＝5，N″C＝6，故△CN′N″面积＝N″C•N′K＝×6×2＝6．利用勾股定理求出N′N″＝2，故△CN′N″面积＝N′N″•OG＝×2×OG＝6，即OG＝． 【解答】【问题解决】∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）． 【问题延伸】当P′与A重合时，Q′如图所示． 当P″与B重合时，Q″如图所示． ∵AB＝2， ∴CA＝CB＝， ∵CQ＝2CP， ∴CQ′＝2CP′＝， CQ″＝2CP″＝2， 又∠Q′CQ″＝90°， ∴Q′Q″＝CQ″＝4． 即点Q的运动路径的长为4， 故答案为：4． 【能力提升】如图建立平面直角坐标系， 当M′与D重合时，如图所示． 当M″与E重合时，如图所示． 过N'作N'K⊥x轴，过O作OH⊥x轴，OG⊥N'N“． ∵AB＝4， ∴OA＝OD＝OC＝OB＝2， ∵ON＝QOM， ∴ON′＝4， ∴CN′＝2， ∴KC＝KN′＝2． ∵OB＝2， ∴OH＝HB＝2， ∴HE＝HM″＝1， ∴OM″＝＝， ∴ON″＝2， ∴N″M″＝＝5， ∴N″C＝6， ∴△CN′N″面积＝N″C•N′K＝×6×2＝6． ∵N′N″＝＝＝2， ∴△CN′N″面积＝N′N″•OG＝×2×OG＝6， ∴OG＝． 即点N距离点O的最短距离为 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形综合题，利用手拉手证明全等，同时按运动轨迹画出图形是解题关键． 18．（2024春•大足区期末）已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝60°，AB＝4，求BD的长； （2）如图2，AB⊥AC，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，过点A作AE⊥AF交BD于点E，求证：OE＝CF+OF． （3）如图3，在（1）的条件下，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP′＝60°且AP＝AP′，连接DP′，当AP′+DP′的值最小时，请直接写出△ADP的面积． 【考点】四边形综合题．版权所有 【分析】（1）证出四边形ABCD为菱形，再由三角形函数OB＝ABsin∠BAC计算即可解答； （2）作AH⊥BD于H，证明出△ABE≌△ACF，△AOH≌△COF，得到EH＝CF，OF＝OH，即可证明； （3）连接P′C作直线，交BD于H，交AB于G，连接AH，连接BP′，DP′，证明出△CAP′≌△DAP，当B、P′、D共线时，其和最小，此时△ACH的面积为所求△ACP′即△ADP的面积，再计算出△ACH的面积即可解答此问． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∴OB＝AB•sin∠BAC＝4×＝2， ∴BD＝4； （2）证明：如图，作AH⊥BD于H， ∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△BAO和△COF中， ∵∠BAO＝∠CFB＝90°，∠AOB＝∠COF， ∴∠ABE＝∠ACF， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， ∵AH⊥BD， ∴AH＝EH， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S△ABD＝S△CDB， ∴AH＝CF， ∴EH＝CF， ∵∠AHO＝∠CFO＝90°，∠AOH＝∠COF， ∴△AOH≌△COF（AAS）， ∴OF＝OH， ∴OE＝EH+OH，即OE＝CF+OF； （3）解：如图，连接P′C作直线，交BD于H，交AB于G，连接AH，连接BP′，DP′， 由（1）得，四边形ABCD为菱形，△ABC、△ACD为等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∵∠PAP′＝60°， ∴∠CAP′＝∠DAP， ∵AP＝AP′， ∴△CAP′≌△DAP（SAS）， ∴∠ACP′＝∠ADP＝30°， ∴∠BCP′＝∠ACP′＝30°， ∵AC＝BC， ∴CP′垂直平分AB， ∴AP′＝BP′， ∴AP′+DP′＝BP′+DP′， 当B、P′、D共线时，其和最小， ∴此时△ACH的面积为所求△ACP′即△ADP的面积， ∵AB＝4， ∴AG＝2， ∵CP′垂直平分AB， ∴AH＝BH， ∴∠GAH＝∠GBH＝30°， ∴AH＝＝， ∵BO垂直平分AC， ∴AH＝AH＝， ∴S△ACH＝CH•AH＝××2＝． ∴当AP′+DP′的值最小时，△ADP的面积为． 【点评】本题考查了四边形综合应用，平行四边形判定和和性质、菱形判定和和性质、等边三角形判定和和性质、等腰直角三角形的性质及线段和最值问题的应用是本题的解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下最值问题专练（培优） 目前所学线段最值问题思路主要有2个： 1、 单线段：点到直线的距离垂线段最短 2、 两线段和：两点之间线段最短 本节内容主要分为7个类型，如下： 【类型一：构造全等三角形】 【类型二：平移】 【类型三：旋转】 【类型四：将军饮马】 【类型五：中点、中位线】 【类型六：其他】 【类型七：综合】 【类型一：构造全等三角形】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝84°，点M为AC上一动点，在BC上取点N，使CN＝AM，连接AN，BM，当AN+BM的值最小时，求∠ANC的度数． 2．（2024春•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持AP+AQ＝AB，连结BQ和CP，当BQ+CP值达到最小时，的值为 　　． 【类型二：平移】 3．（2024春•扬州期末）如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．则EM+AF的最小值是 　　． 4．（2022春•芜湖期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且MN＝2，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 　 　． 【类型三：旋转】 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，BD＝3，CD＝4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE．若M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为 　　． 6．（2024春•姑苏区期末）如图，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是对角线AC上的一个动点，连结BE，将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF，连接OF，则OF的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．（2020•历城区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为　　． 【类型四：将军饮马】 8．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，钝角△ABC中，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，当CM+MN最小时，∠CMN＝50°，点P，Q分别是射线BA，BC上的动点，当△PMQ周长最小时，∠PMQ＝　 　. 9．（2024春•碑林区校级期末）如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD，AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的边长为（　　） A．1 B． C．2 D． 10．（2024春•天津期末）如图，直线l1：y1＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y2＝kx+4与x轴交于点B（4，0），直线l1与直线l2相交于点M． （Ⅰ）求直线l2的解析式及点M的坐标； （Ⅱ）点P是直线l1上的一点． ①当S△ABP＝5时，求点P的坐标； ②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标． 【类型五：中点、中位线】 11．（2024春•扬州期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，，则GH的最小值是 　　． 12．（2023春•玄武区校级期中）如图，将边长为2的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 　 　． 13．（2024春•深圳校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，AB＝13cm．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得△DEC，直线AD、EB相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 　 　cm． 【类型六：其他】 14．（2024•娄星区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 15．（2022春•泗洪县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB上一点，且AE＝3，F为BC边上的一个动点，连接EF，以EF为边向左侧作等腰直角三角形FEG，EG＝EF，∠GEF＝90°，连接AG，则AG的最小值为　　． 16．（2024春•海门区期末）如图，在锐角△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝3，，P为BC上一动点，将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【类型七：综合训练】 17．（2024•南关区校级模拟）【问题呈现】数学社团课上，同学们遇到这样一个问题：如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，点P为边AB上一动点，连接CP将线段CP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CQ，当点P从点A运动到点B时，试探究点Q的运动轨迹． 【问题解决】经过讨论，同学们想利用全等三角形的知识解决该问题，如图②，连结AC，BC，易证CB⊥CA，且CB＝CA，通过证明△CAP≌△CBQ，可以确定点Q的运动轨迹为端点与B重合且垂直于AB的线段，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：1°当点P不与点A重合时， 证明过程缺失 ∴∠CBQ＝∠CAB＝45°． 2°当点P与点A重合时， 易知CQ⊥CA，且CQ＝CA．故，此时点Q与点B重合． 综上，点Q的运动轨迹为经过点B且垂直于AB的线段． 【问题延伸】如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AB＝2，点P为线段AB上一动点，在点C右侧作线段CQ，使CQ⊥CP，且CQ＝2CP，当点P从点A运动到点B时，试探究点Q的运动路径的长为 　4　． 【能力提升】如图④，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC上一点，且CE＝1，O为正方形对角线的交点，点M为线段DE上的一个动点，直角三角形OMN中∠MON＝90°，且ON＝2OM，求点M从点D运动至点E时，点N距离点O的最短距离为 　　． 18．（2024春•大足区期末）已知▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝60°，AB＝4，求BD的长； （2）如图2，AB⊥AC，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF，过点A作AE⊥AF交BD于点E，求证：OE＝CF+OF． （3）如图3，在（1）的条件下，点P是直线BD上的一个动点，∠PAP′＝60°且AP＝AP′，连接DP′，当AP′+DP′的值最小时，请直接写出△ADP的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$