第四章导数-【高考一线·真题研究】2024年高考数学分类必刷1200题

第四章导数 第四章导数 4.1 导数的计算 【解题·小帮手】 183.(2018·天津，10)已知函数f(.x) ★基本初等函数的导数公式 elnx,f'(x)为f(x)的导函数，则f'(1) (1)若f(x)=C(C为常数)，则f'(x)=0: 的值为 (2)若f(x)=x“(a∈Q且a≠0)，则f'(x) 184.(2016·天津，10)已知函数f(x)=(2x十 =a.x-1: 1)e,f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)的 (3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx: 值为 (4)若f(x)=cosx,则f'(x)=一inx: 185.(2015·天津，11)已知函数f(x)= (5)若f(x)=a(a>0且a≠1)，则f'(x) arIn x,x∈(0，+o∞)，其中a为实数， =a'In a: f(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3,则a (6)若f(x)=e,则'(x)=e: 的值为 (7)若f(x)=logx(a>0且a≠1)，则 186.(2013·江西，13)设函数f(x)在(0， f'()=1=1 十∞)内可导，且f(e')=x十e,则f'(1) =一0ge: rInu r (8)若f(x)=lnx,则r(x)= 187.(2010·江西，4)若f(x)=ax+bx2+c 满足f'(1)=2,则'(-1)=() ★导数的四则运算法则 A.-1 B.-2 C.2 D.0 1)Lf(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x): (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(.x)+f(x) 188.(2009·湖北，140若f)=f(）)osx十 g'(x): (3)fD'g()-fog'c) sinx,则f(T)的值为 g(r) g(x) 189.(2008·宁夏海南，4)设f(x=xlnx,若 ★复合函数导数公式：若y=f[g(x)门(g(x) f'(xn)=2,则x。= () ≠0)，则y'=f[g(x)]·g'(x). A.e B.e 182.(2020·新课标全国三，15)设函数f(x) D.In 2 -千a者了-则a 4.2 切线 【解题·小帮手】 ★曲线y=∫(x)过点P(4,b)的切线 ★曲线y=f(x)在，点P(a,b)的切线 曲线y=f(x)过点P(a,b)的切线不一定 曲线y=f(r)在，点P(a,b)的切线一定通过点 通过点P(a,b),设切，点为Q(xu·f(x。)), P(a,b),切线方程为y一b=f'(xn)(x一a). 则切线方程为y一f(xm)=f'(x)(x一x。) 23 高考一线真题研究数学 ①，又切线过，点P(a,b),则b一f(x。) 193.(2023·北京，20节选)设函数f(x)=x '(x。)(a一x。)②.由①②解出x,代入① -xe+,曲线y=f(x)在点(1，f(1)) 即可求得切线方程 处的切线方程为y=一x+1.求a,b ★注意：求曲线的切线方程时，一定认清“曲线 的值. 在点”与“曲线过点”两个不同的要求 190.(2023·新课标全国甲文，8)曲线y= 十在点1，)处的切线方程为（) e A.y=4 e B.y=22 e C.y=+ e D.y-r+ e 191.(2023·新课标全国乙理，21节选)已知函 194.(2022·新高考全国一，15)若曲线y= (x十a)e有两条过坐标原点的切线，则a 数fx)=(侵+a)ln1+x).当a=-l 的取值范围是 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的 195.(2022·新高考全国二，14)曲线y=lnx 切线方程. 的过原点的两条切线为 196.(2021·新课标全国甲，13)曲线y= 工+2在点（一1，-3)处的切线方程为 2.x-1 197.(2021·天津，20节选)已知a>0.函数 f(x)=ax-xe,求曲线f(x)在点(0， 192.(2023·天津，20节选)已知函数f(.x)= f(0)处的切线方程. （+2)m(x+1D.求曲线y=f(x)在 x=2处切线的斜率。 198.(2020·新课标全国一，15)曲线y= lnx十x十1的一条切线的斜率为2，则该 切线的方程为 24 第四章导数 199.(2020·新课标全国一，21节选)已知函数 204.(2019·天津，1D曲线y=c0sx一号在点 f(x)=ae--lnx十lna,当a=e时，求 曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与 (0,1)处的切线方程为 两坐标轴围成的三角形的面积. 205.(2018·新课标全国一，5)设函数f(x)= x3+(a-1)x2十a.x.若f(x)为奇函数，则 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 () A.y=-2x B.y=-x C.y=2.x D.y=x 206.(2018·新课标全国二，13)曲线y=21nx 在点(1,0)处的切线方程为 207.(2018·新课标全国三，14)曲线y= 200.(2020·新课标全国三，21节选)设函数 (ax十1)e在点(0,1)处的切线的斜率为 f(x)=x十bx十c,曲线y=∫(x)在点 -2,则a= (2分》处的切线与y轴垂直，求6， 208.(2017·新课标全国一，14)曲线y=x2十 上在点(1,2)处的切线方程为 209.(2017·天津，10)已知a∈R,设函数 f(x)=a.x-lnx的图象在点(1，f(1)处 的切线为，则【在y轴上的截距为 210.(2016·新课标全国三文，16)已知f(x) 201.(2019·新课标全国一，13)曲线y 为偶函数，当x≤0时，f(x)=e-1一x, 3(x2+x)e在点(0,0)处的切线方程为 则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程 是 202.(2019·新课标全国二，10)曲线y= 211.(2016·北京，18节选)设函数f(x)= 2sinx十cosx在点(r,一1)处的切线方程 xe+bx,曲线y=f(x)在点(2，f(2) 为 处的切线方程为y=(e一1)·x十4，求a,b A.x-y-x-1=0 的值. B.2.x-y-2π-1=0 C.2x+y-2x+1=0 D.x十y-π十1=0 203.(2019·新课标全国三，6)已知曲线y= ae十xlnx在点(1，ae)处的切线方程为 y=2.x+b,则 () A.a=e,b=-1 B.a=e,6=1 C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=-1 25 高考一线真题研究数学 4.3单调性 【解题·小帮手】 213.(2023·新高考全国二，22节选)证明：当 ★利用导数判断单调性 0<x<1时，x-x2<sinx<x. 已知函数f(x)在区间D上可导，若f(x)>0. 则f(x)在区间D上单调境增：若'(x) 0,则f(x)在区间D上单调递减. ★利用导数求单调区间 在定义城上求得导数为正的区间即为函数 的递增区间，导数为负的区间即为函数的递 减区间 ★含参导数的分类讨论 (1)求导后分离出导数中控制正负“开关” 214.(2023·新课标全国甲理，21节选)已知 根据其代数特征确定其对应西数类型，在定 fx)=a-nr∈o,》若a=8,i讨 cos"r 义城上结合该函数可能出现的单调性和零 论f(x)的单调性. 点，讨论其出现正负的各种可能，从而确定 函数的单调性， (2)若求导后，分离出的是不能有理因式分 解的二次函数，则需要讨论其图象与x轴的 关系，即从讨论判别式△开给.当△>0时， 表示出两个零点，接着需要讨论这两个零点 的大小以及和定义城区间瑞点的大小，讨论 各种情况下二次函数出现正负的可能情况， 215.(2023·新课标全国乙理，16)设a∈(0， 从而确定函数单调性， 1),若函数f(x)=a+(1十a)在(0，十∞) (3)若求导后分离的是多项式乘积代数式 上单调递增，则α的取值范围是 (求导后的因式分解很重要)，则分类讨论每 216.(2022·新高考全国二，22节选)已知函数 一个多项式函数的单调性以及它们的零点 f(x)=xe“-e,当a=1时，讨论f(x)的 大小，结合零，点分成的定义域片断，在每一 单调性。 个片断上讨论每一个多项式函数可能出现 的正负，进而确定出每一个定义城片断多项 式乘积的正负，从而确定函数单调性 212.(2023·新高考全国二，6)已知函数f(x) =ae一lnx在区间(1,2)上单调递增，则 a的最小值为 () A.e2 B.e C.e D.e- 26 第四章导数 217.(2022·北京，20节选)已知函数f(x)= 220.(2021·新高考全国二，22节选)已知函数 eln(1十x),设g(x)=f'(x),讨论函数 f(x)=(x-1)e-ax+b,讨论f(x)的 g(x)在[0，+oo)上的单调性. 单调性. 218.(2022·浙江，22节选)设函数f(x)= 221.(2021·新课标全国甲，21节选)已知a> 2云+lnx(x>0),求fx)的单调区间 0且a≠1，函数f(x)=(x>0),当a=2 a 时，求f(x)的单调区间. 219.(2021·新高考全国一，22节选)已知函数 222.(2021·新课标全国乙，21节选)已知函数 f(x)=x(1一lnx),讨论f(x)的单调性. f(x)=x-x2+ax+1,讨论f(x)的单 调性. 27 高考一线真题研究数学 223.（2020·新课标全国一，理21节选)已知 226.(2019·天津，理20.(1))设函数f(x)= 函数f(x)=e十a.x一x,当a=1时，讨论 e'cosr,g(x)为f(x)的导函数，求f(x) f(x)的单调性. 的单调区间. 224.(2020·新课标全国一，文21节选)已知 227.(2019·天津，文20.(1))设函数f(.x) 函数f(x)=e-a(x十2)，当a=1时，讨 lnx-a(x-1)e,其中a∈R.若a≤0，讨 论∫(x)的单调性. 论f(x)的单调性. 225.(2019·新课标全国三，20节选)已知函数 228.(2018·新课标全国一，21节选)已知函数 f(x)=2.x3-a.x+2,讨论f(x)的单调 f(x)=-x+aln,讨论f(x)的单 性. 调性， 28 第四章导数 229.(2018·新课标全国三，21节选)已知函数 230.(2017·新课标全国一，文21节选)设函 f(x)=e一ax2,若a=1,证明：当x≥0 数f(x)=a.x一a一lnx,其中a∈R,讨论 时，f(x)≥1. f(x)的单调性. 23L.(2017·新课标全国一，理21节选)已知 函数f(x)=ae“+(a一2)e一x,讨论 f(x)的单调性. 4.4极值与最值 【解题·小帮手】 大值也有极小值，则 ( ★若'(x。)=0,在x。的左侧f'(x)<0,在 A.be>0 B.ab> xm的右侧'(x)>0,则x。是f(x)的极小 C.b2+8ac>0 D.ac<0 值点：在x的左侧f'(x)>0,在x的右侧 233.(2023·新高考全国一，19)已知函数 '(x)<0,则x。是f(x)的极大值点 f(x)=a(e'+a)-x. ★若函数f(x)可导，则“f'(x)=0”是“函数 (1)讨论f(x)的单调性： 「(x)在x=x。处有极值”的必要不充分条 件，由极值，点求参数问题一定要检验极值点 (2)证明：当a>0时，f(x)>21na+2. 是否成立 ★函数在开区间上的最值必在极值处取得，极 值中最大的是极大值，最小的是极小值：函 效在闭区间上的最值，除了考虑极值外，还 要考虑闭区间的端点值 232.(多选题)(2023·新高考全国二.11)若函 数f(x)=alnx十2+二(a≠0)慨有极 x 29 高考一线真题研究数学 234.(2022·新高考全国一，8)已知正四棱锥 238.(2021·新课标全国乙，20节选)设函数 的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上 f(x)=ln(a一x),已知x=0是函数y 若该球的体积为36π，且3≤1≤33，则该 xf(x)的极值点，求a. 正四棱锥体积的取值范围是 A.15. 2781 B.44到 c劉 D.[18,27] 235.(2022·新课标全国甲，6)当x=1时，函 数f(r)=aln工+仁取得最大值-2，则 239.(2020·天津，20.节选)已知函数f(.x)= f'(2)= x十klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函 A.-1 数.当k=6时，求： c (1)曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线 D.1 方程： 236.(多选题)(2022·新高考全国一，10)已知 函数f(x)=x3一x十1，则 (2)函数g(x)=f(x)-f'(x)+9的单调 A.∫(x)有两个极值点 区间和极值. B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 237.(2022·新高考全国一，22节选)已知函数 f(x)=e-a.x和g(x)=a.x-lnx有相 同的最小值，求a. 240.(2018·北京，19)设函数f(x)=[ax2 (3a+1)x+3a+2]e'. (1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切 线斜率为0，求a: (2)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的 取值范围. 30 第四章导数 241.（2017·新课标全国二，11)若x=一2是 244.(2015·重庆，15)已知函数f(x)=a.x3+ 函数f(.x)=(x2+a.x一1)·e-的极值 点，则f(x)的极小值为 () xa∈R)在工=一专处取得极值.确定d A.-1 B.-2e3 的值 C.5e1 D.1 242.(2016·四川，6)已知a是函数f(.x)=x 一12.x的极小值点，则a= () A.-4 B.-2 C.4 D.2 243.(2015·陕西，15)函数y=xe在其极值 点处的切线方程为 4.5图象 【解题·小帮手】 246.(2018·新课标全国二，3)函数f(x) ★导数的正负在函数图象中的体现是增减，而 函数的单调性在导数中体现出来的是正负，导 二的图象大致为 效与函数的核心：导数看正负，函敏看增减 ★导数递增，则原西数下凸：导数递减，则原函 数上凸（导数的几何意义为切线斜率，导数 递增，删切线斜率逼增，导数递减，别切线斜 率遥减). 245.(2021·浙江，7)已知函数f(x)=x2+ g(x)=sinx,则图象为如图的函数可 能是 247.(2018·新课标全国三，7)函数y= 一x十x十2的图象大致为 A.y=f(z)+g(z)-I B.y=f(z)-g(r)-1 C.y=f(x)g(x) n渴 A B 31 高考一线真题研究数学 的图象如图所示，则该函数的图象是 D 248.(2017·浙江，7)函数y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的图象可能是 C 251.(2012·重庆，8)设函数 f(x)在R上可导，其导 函数为f'(x),且函数 y=(1-x)f'(x)的图象 如图所示，则下列结论中 B 一定成立的是 ( A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(一2) D.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(2) D 252.(2008·福建，12)已知 y 249.(2015·安徽，10)函数f(x)=ax1+ 函数y=∫(x),y= v=f(r)/)-g'r) hx十cx十d的图象如图所示，则下列结论 g(x)的导函数的图象如 成立的是 () 图所示，那么y=f(x), y=g(x)的图象可能是 0 y↑y=网 y4=f) =g(x) v=g(x) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0d>0 A B D.a>0,b>0,c>0,d<0 VA 250.(2013·浙江，8)已知 =g)/ =gx) y=fx) 函数y=f(x)的图象 v=fx) 是下列四个图象之一，寸0 且其导函数y=f'(x) D 32高考一线真题研究数学 181.C解析：：f(2)=3-1>0,f(4)= 3 简证：f(x)是偶函数，即f(一x)=f(x), 对等式两边求导可得一了（一x)=f'(x), 2<0,.f(x)在(2,4)上有零点，故选C. 即f'(-x)=-f'(x). 第四章导数 同样地，若f(x)是奇函数，则f'(x)是偶 函数. 4.1导数的计算 因为f(x)=a.x'十b.x十c是偶函数，故 182.1解析：对f(x)=e 十a求导可得 f'(x)是奇函数，则f'(-1)=一f(1)= -2. f)=t. Gx+a,而f(1) 188.1 解析：对f(x)=f()osx+ a6)解方程得a=1 simx求导得f(x)=一f(）inx十 183.e解析：对f(x)=elnx求导可得 f()=cnx+e-enx+),则 cosx,则f(图）=-f(图)sim+cos平 f'(1)=e. 解得f（）=2-1,则f)=(2-1)csx+ 184.3解析：对f(x)=(2x+1)e求导可得 sinx,所以f(经）=(2-1)os牙+ f(.x)=2e+(2x+1)e'=e(2x+3),则 '(0)=3.总结出一个常见小结论：若 g(x)=e'f(x),g(x)=e"[f(t)+ 189.B 解析：对f(x)=xlnx求导可得 f'(x)]. f'(x)=lnx+1,而f'(xa)=lnx。+1=2, 185.3解析：对f(x)=axIn x求导可得 解方程得x。=e.故选B. f'(x)=a(nx+1),而f'(1)=a=3,故 a=3. 4.2切线 186.2解析：本题先要求得f(x),再进一步 求f'(1),通过换元求解f(x).令t=e≥ 190.C 解折：设曲线y=千在点1，》处 0,则x=nt,所以f(t)=lnt+t,即 的切线方程为y一气=k(x-1,因为y f(x)=lnx十x,而f'(x)=1+1,所以 e f'(1)=2. T所以y'=e+)e (x+1) 187.B解析：方法一：对f(x)=ax+bx十c +D,所以k=y1=,所以y re" 求导可得f'(x）=4a.x8十2b.x,则f'(1)= 4a+2b=2.f'(-1)=-4a-2b= 十1在点 :-红-1D.所以商线y-是 -(4a+2b)=-2,故选B. 方法二：若f(x)是偶函数，则f'(x)是奇 (1,)处的切线方程为y=号x+,故 函数. 选C 212 参考答案 191,解：当a=-1时f(x)=(-1ln(x十 0.所以y'1-=-n毛-km,解得 1)(x>-1,且x≠0)，则f'(x)=- 1 =e,所以切点P(e,Dy1,-,切线 1a红+1D+侵-小×中所以f) 为y=是 0,f'(1)=-1n2,函数在(1，f(1))处的切 当x<0时，y=n(一x)y'=】,设切点Q 线方程为y一0=一1n2(x一1)，即 (ln2).x+y-ln2=0. (x2,ln(-x2),O(0,0),所以y'- 192.解：由f(x)=1nx+1D+lnr,1D,得 1_(一t》=ka,解得x:=一e,所以切 T: x: 1 1In(x+1) f(r)-r(r+D)Xr+D) x 点P(-e,lDy1,=-,切线为y=-怎 所以了2)=}：放x=2处的切线 注意：因为y=lnx|是偶函数，所以其过 原点的两条切线也关于y轴对称，即两切 1 In3 斜率为3一4 线斜率互为相反数. 193.解：因为f(x)=x-xer,x∈R, 96.y=5远十2解析：对y=,+2求导，得 所以f'(x)=1-(3x2+a.x3)e+ 5 因为f(x)在(1，f(1)处的切线方程为 )一红十2)还是在点处切线同题，(-1， y=-x+1,所以f(1)=-1+1=0, 一3)是切点，所以k=y'-1=5,则所求 1-13×e“+a=0, f(1)=一1，则 解 切线为y一(-3)=5(x十1)，即y=5x+2. 1-(3+a)e+6=-1, 197.y=(a-1)x解析：对f(x)=ax 得1， 所以a=-1,b=1. xe求导，得f'(x)=a一(x+1)e',则 b=1, f'(0)=a一1，且f(0)=0,故曲线在(0， 194.(-o∞，一4)U(0,+∞)解析：y'=(x十 0)处得切线为y=(a-1).x. a十1)e,设切点P(xo,(x。十a)e),则 198.y=2x解析：对f(x)=lnx+x+1求 y'ln=(zo+a+1)e=(rota)e" To 导，得f)=+1,设切点P( kop,即x8十axo-a=0.因为y=(x+ a)e有两条过原点的切线，所以x十axo f,》.由题意知=f)名+1=2， 一a=0有两个不等实根，则需△=a”+ 解得x。=1,则切点P为(1,2).所以，斜率 4a>0,解得a>0或a<-4,故a∈(-co, 为2的切线为y一2=2(x一1)，即y=2x, -4)U(0,+∞). 199.e-1 解析：当a=e时，f(x)=c一 195y=y=- 解析：当x>0时，y= e nx+1,对其求导得了(x)=C-士则 ny-设切点P(n.00, f'(1)=e-1,f(1)=e+1,则曲线在(1， 203 高考一线真题研究数学 e+1)处的切线方程为y-(e+1)=(e 1.所以，f(x)=x3+x,对f(x)=x3十 1)(.x-1),即y=(e一1)x十2，故该切线与 x求导得f(x)=3x2+1,还是个在点处切 两坐标轴的交点分别为（己。0小，(0,2， 线问题，(0,0)是切点，所以k=f'(0)=1, 则所求切线为y=x,故选D. 所以5小×2= 206.y=2.x一2解析：对y=2lnx求导，得 200.-4 y=2,这是在点处的切线问题，那么给定 解析：对f(x)=x3+bx十c求导，得 的点就是切点了，所以k=y'|==2,则所 f)=3x+b.则（份》=+b,又曲线在 求切线为y=2(x-1)=2x-2. (2(份)处的切线与y轴垂直，即 207.-3解析：对y=(ax十1)e求导，得 y'=(a.x十a+1)e,由题意得y|,-n=a十 3 6=0,解得b=- 1=一2，解得a=一3. 4 201.y=3x解析：对y=3(x十x)e求导， 208.y=x+1 解析：对y=x+求导，得 得y'=(3x2十9x+3)e,这是在点处切线 问题，(0,0)是切点，所以k=y'1,-。=3,则 )=2:一是·还是在点处的切线同题，那么 所求切线为y=3x. (1,2)必是切点，所以k=y',=1,则所 202,C解析：对f(x)=2sinx十cosx求导， 求切线为y一2=x-1,即y=x十1. 得f'(x)=2cosx-sinx,这是在点处切 209.1解析：对f(x)=a.x-lnx求导，得 线问题，（π，一1）是切点，所以k=y',-,= f(x)=a-子则长=了4=a-1,而 -2,则所求切线为y-(一1)=-2(.x x),即2x+y一2π+1=0，故选C. f(1)=a,所以所求切线为y一a=(a 203.D解析：对f(x)=ae+xlnx求导，得 1)(x-1),即y=(a-1)x+1,故1在y轴 f'(x)=ae+lnx+1,由题意得f'(1)= 上的截距为1. 2,即ae=1,且f(1)=ae=b+2,解得a= 210,y=2x解析：方法一：利用对称性求出 e1,b=-1,故选D. (0,十∞)的解析式，再求导得斜率，利用点 斜式求出切线方程 204y=-+1解折：对f(x)=cos2 设x>0,则一x<0,所以f(一x)= 求导，得x)=-si血x一号，显然还是 e)-1-(-x)=e+x.因为f(x)是 偶函数，故f(x)=f(一x)=e一'十x,所 在点处切线问题，(0,1)是切点，所以k= 以当x>0时，f(x)=e1+x,此时 y1=一2，则所求切线为y-1= f'(x)=e1+1(.x>0),故f'(1)=2,则曲 1 线在(1,2)处的切线为y一2=2(x-1),即 -0.即y=+1 y=2.x. 205,D解析：由题意知f(x)是奇函数，即 方法二：利用二级结论：若∫(x)是偶函数， f(-x)十f(x)=2(a-1)x=0,则a= 则f(x)是奇函数，若f(x)是奇函数，则 204 参考答案 f'(x)是偶函数.证明如下： sinx,x∈(0,1)，则G(x)=2x-1+ 证明：因为∫(x)是偶函数，即f(一x) cosx,x∈(0,1). f(x),对等式两边求导可得一f'(一x) 令g(x)=G(x),x∈(0,1，则g'(x) '(x),即f(-x)=-f'(x) 2一sinx>0对Hx∈(0,1)恒成立， 若f(x)是奇函数，则f(一x)=一f(x), 所以g(x)在(0,1)上单调递增，所以 对等式两边求导可得一f'(一x)=一f'(x), g(x)>g(0)=0,即G'(x)>0对x∈ 即f(-x)=f(x). (0,1)恒成立， 因为f(x)是偶函数，则f'(x)是奇函数， 所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以 则f'(1)=-'(-1),而当x≤0，f'(x)= G(x)>G(0)=0,所以sinx>x-x2,x∈ -e1-1,故f(1)=-f'(-1)=2,则曲 (0,1) 线在(1,2)处的切线为y一2=2(x一1)，即 综上，x-x2<sinx<. y=2x. 214.解：fx)=dcos cos+3 sin rcos'rsin cos'.r 211.a=2,b=e解析：对f(x)=xe+ bx求导，得f'(x)=(1-x)·e+b,由 -acos'r +3sin'a3-2cos'z cos'r cos'r 题意知f'(2)=-e-3+b=e-1,且 令cosx=t,则t∈(0,1)，则f'(x)= f(2)=2e2+2b=2e+2,解得a=2,b=e g()=a-3-21_a42+21-3 4.3单调性 当a=8,f(x)=g)=8+24-3= 212.C解析：由题意知f(x)=ue-1≥0 (21-1)(41+3) 在(，2)上恒成立，显然a>0,所以xe≥ 设gx)=x∈2，则g'(z)门 当eo,2,即x∈（贤，/x<0当 (x+1)e>0,所以g(x)在(1,2)上单调递 e(2,即x∈0.)f'(x)>0, 增，因为g)>g0)=e所以e≥。，即 所以∫(x)在(o,)上单调递增，在 a≥】=e,即a的最小值为e,故选C e (行，)上单调递减 213.解：令F(x)=x-sinx,x∈(0,1)，则 215 2 解析：由题意知f(x)= F'(x)=1-cosx>0对Hx∈(0,1)恒成 立， alna+(1+a)ln(1+a)≥0在区间(0， 所以F(x)在(0,1)上单调递增， +∞)上恒成立，则(1十a)1n(1+a)≥ 所以F(.x)>F(0)-=0, 所以x>sinx,x∈(0,1). G(x)=sin x-(x-x2)=x2-x+ 0,+∞)上恒成立，所以(）)”=1≥ 205 高考一线真题研究数学 1n十a),又因为a+1∈(1,2)，所以 In a f'(x)=-lnx(x>0),f'(x)单调递减且 f'(1)=0. ln(1+a)>0,所以 n(a+1)≥-lha'即 所以当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调 0<a<1, 递增：当x∈(1，+o)时，f'(x)<0, a(a十1)≥1，， 1解得5,1a<1. f(x)单调递减. 0<a<1, 2 220.解：①若a≥0，则y2=e-2a>0, 216.解：当a=1时，f(x)=xe-e=e'(.x- 当x∈(-∞，0)时，'(x)<0,f(x)单调 1),则f'(x)=e(x-1)+e'=xe. 递减：当x∈(0，+c∞)时，f'(x)>0, 当x<0时，f'(x)<0:当x>0时， f(x)单调递增. f'(x)>0, ②若a>0,则y1=x,y:=e-2a的零点 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在 分别为0，ln2a. (0,十∞)上单调递增， 2.解：因为ga)=了c)=ea1+ (1)若a=2则0=lh2a.当x∈(-0， 0)时，y1<0,y2<0,y1y:>0:当x∈(0， 所以ge)=e1++子a 2 1 +∞)时，y1>0,y:>0,y1y2>0:当x=0 2 1 时，y1=0,y:=0,y1y2=0,所以当x∈R, 令hx)=ln1+x)+十xa+r),则 y1y:≥0，即f'(x)≥0，则f(x)在R上单 1 2 2 M'(x)=1中xa+x+a+ 调递增. 0+>0. x+1 (i)若a>2,则0<n2a.当x∈(-∞， 0)时，y1<0,y2<0,y1y2>0,即f'(x)> 所以h(x)在[0，十∞)上单调递增， 0,∫(x)单调递增： 所以h(x)≥h(0)=1>0. 当x∈(0，ln2a)时，y1>0,y2<0,y1y2< 又因为e>0,所以g'(x)>0在[0， 0,f'(x)<0,f(x)单调递减： +∞)上恒成立，所以g(x)在[0，+o∞)上 当x∈(ln2a,+∞)时，y1>0,y:>0, 单调递增。 y1y:>0,f'(x)>0,f(x)单调递增 218解：f(x)2+1=e x2.x2 (m)若a<号，则0>ln2a. 当0<1<时，fr)<0:当x>时， 当x∈(0，ln2a)时，y1<0,y2<0,y1yz 0,即f'(x)>0,f(x)单调递增： f'(x)>0, 当x∈(ln2a,0)时，y1<0,y2>0,y1yg< 所以f(x)的递减区间为0，)f(x)的递 0,f(x)<0,f(x)单调递减； 增区间为（兮，+∞） 当x∈(0，+∞)时，y1>0,y:>0,y1y2> 0,f'(x)>0,f(x)单调递增 219.增区间为(0,1)，减区间为(1，十∞) 解析：对函数f(x)=x(1一lnx)求导，得 综上，若a=2,则f(x)在R上单调递增： 206 参考答案 若a>,则f(x)在(-，0)和n2a, 1十3a,十c)上单调递增， 3 +∞)上单调递增，在(0，ln2a)上单调递减： 在-1-3a,1+1-3 3 上单调递减」 3 若a<2,则f(x)在(0，ln2a)和(0， 223.减区间为（一∞，0），增区间为(0，十6∞) +o∞)上单调递增，在(ln2a,0)上单调递减. 解析：由题意知f(x)=e十x2一x,求导得 21,增区间为0，品。：诚区间为品2+) f'(x)=e+2x-1(x∈R),f'(x)单调递 增且f(0)=0.所以当x∈（一∞，0）时， 解析：由题意知f(x)= 2,求导得 f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(0， +∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. fe)=·2(2-l血2(x>0),其中 4 224.减区间为（一∞，0），增区间为(0，十∞) 解析：由题意知f(x)=e-(x十2)，求导 得f'(x)=e-1(x∈R),f'(x)单调递增 令f'(x)>0,即2-xln2>0,解得0<x< 且f'(0)=0.所以当x∈(-∞，0)时， n2令f'(x)<0,即2-xn2<0,解得 2 f'(x)<0,f(x)单调递减：当x∈(0， 十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. >品2放1x)在0，品上单调递增。 、2 225.解：方法一：由题意知f(x)=6x 2ax=2x(3.x-a)(x∈R) 在品。+上单调递说。 令f'(x)=0,解得x1=0x:=g 3 22.解：①当a≥号4=4-12a<0.fu)≥ ①若a=0,则=0=号-，此时 0,所以f(x)在R上单调递增。 f'(x)≥0，则f(x)在R上单调递增， @当a<34=4-12a>0. ②若a<0,则x=0>号=，故当x∈ 设f'(x)=3.x一2x十a的两个零点为x1, x,则x1=1-1-3 3 ,=1+和 (-∞，)和(0，+∞)时，f(x)>0 3 fx)单调递增：当x∈(？0)时f(x)< 显然x2>x1 当x∈(-o∞，x1)和(x,+o)时，f(x)> 0,f(x)单调递减. 0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时， ③若a>0.则x1=0<号=x:,故当x∈ '(x)<0,f(x)单调递减. 综上可得： (-o,0)和（号+∞）时，f(x)>0, 当a>行，f)在R上单调递增： x)单调递增：当x∈(0，）时，f(x)< 当a<f(x)在(，10和 0,f(x)单调递减. 综上，当a=0时，f(x)在R上单调递增： 207 高考一线真题研究数学 当a<0时，f(x)在(-0，)和(0，+ 0,f(x)>0,f(x)单调递增. 综上，当a=0,f(x)在R上单调递增： ∞)上单调递增，在x∈侣0)上单调递减： 当a<0,fx)在-∞，号)和(0，+∞)上 当a>0时，f(x)在（一o∞，0）和 停+∞上单调递增，在x∈0，)上单 单调递增，在？0)上单调递减： 调递减。 当a>0,fx)在(-∞，0)和(3+∞上 方法二：由题意知f'(x)=6x-2ax= 单调递增，在0，号)上单调递减。 2x(3.x-a)(x∈R. 设y1=2.x,y:=3x一a,y1与y:都在R上 26,增区间为(-3+2kx,至+2kx(其中 单调递增，零点分别为0，号 k∈Z,减区间为（任+2kx,5+2k小（其 ①若a=0,则0=号当x∈(-0,0)时， 中∈∈Z) 解析：由题意得f'(x) y1<0,y2<0,y1y2>0:当x∈(0，+∞) e(cost-sinr)=e·2cos(女+开，其 时，y1>0,y:>0,y1y2>0:当x=0时， y1=0,y:=0,y1y:=0,所以当x∈R时， 中e>0恒成立.令f'(x)>0,即 yy≥0，即f'(x)>≥0，则f(x)在R上单 coc+>0,解得-7+2kx<x<十 调递增。 2kπ（其中k∈Z),令f'(x)<0,即 ②若a>0,则0<号当x∈(-，0)时， cosk+）<0,解得+2kx<r<+ y1<0,yg<0,y1y2>0,即f(x)>0, 2kπ（其中k∈Z),故f(x)在 f(x)单调递增： 当x∈(0，）时y>0y<0yy:<0, (-3+2kx,+2kx小其中k∈)上单调 f'(x)<0,f(x)单调递减； 道增，在（任+2,5+2小水其中及∈ 当x∈(+时y>0y>0yy:> Z)上单调递减。 0,f'(x)>0,f(x)单调递增 227.解：由题意知f(x)=1 -axe(x>0), ⑤若a<0,则0>3，当x∈(-，号)时， 因为x>0,e>0,a≤0,1>0，-4≥0， y1<0,yg<0,y1yz>0,即f'(x)>0, ∫(x)单调递增： re>0,-axe≥0，进而'(x)=1 当x∈（号0）时y<0y>0yy:<0, axe>0,所以若a≤0，则f(x)在(0， 十∞)上单调递增. f(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(0，+∞)时，y1>0,y:>0,y1y2> 28,解：f)=-号-1+=-a+D 208 参考答案 (x>0). △=a2-4. 遥增，其零点为层·当∈，园》 ①若-2≤a≤2，则△≥0，f'(x)≤0， f(x)在(0，十∞)上单调递减. ②若a>2,则△>0. f(x)>0,函数单调递增. 设y=一(x2一a.x十1)的两个零点为x1, 综上，若a≤0，则f(x)在(0，十∞)上单调 递减： 则x,=a04,=a+04， 2 若a>0,则fx)在02a 上单调递减， 显然x:>x1>0.当x∈(0，x1)和(x2, +∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当 +上单适 在 x∈(x1x2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 231. 解：f'(x)=2ae+(a-2)e-1 ③若a<一2，则△>0，但此时x1·x:= (2e+1)(ae-1),其中2e+1>0. 1>0,x1十x2=a<0,所以x1<xg<0.当 ①若a≤0，因为e'>0,则ae≤0，ae x∈(0，+∞)时，f'(x)<0,f(x)在(0， 1<0,所以f(.x)在R上单调递诚. +∞)上单调递减. ②若a>0,y=ae-1单调递增，其零点为 综上可得：若a≤2，则f(x)在(0，十o∞)上单调 -lna,当x∈(-∞，-lna),f'(x)<0, 递减：若u>2,则fx)在0,4-a4和 函数单调递减；当x∈（一lna,+∞）， 2 f'(x)>0,函数单调递增. +v。4,十e)上单调递减。 综上，若a≤0，则f(x)在R上单调递减： 2 若a>0,则f(x)在(-o∞，-lna)上单调 在一三.a+合马上单调造增. 递减，在（一lna,十∞）上单调递增. 2 2 229.解：若a=1,则f(x)=e-x,则 4.4极值与最值 f)≥1.即证gx)=+1≤1，则需 232.BCD解折：fx)=alnc++S的定 g(x)≤1，而g'(x)=2x-(x'+D e 义域为(0，+∞)，f(x)=0-6-2e= -(x-1)°≤0，所以g(x)在[0，+∞)上单 e ax-bx一2c.因为函数f(x)既有极大值 调递减，因此g(x)mx=g(0)=1.所以 也有极小值，所以函数f(x)在(0，十 g)=中1≤1，即当x≥0时，fr)≥1 ∞)上有两个变号零点，又a≠0，所以方程 e a.x2一bx一2c=0有两个不等的正根x1, 230.解：f/x)=2ax-12ar-1(r>0. △=b2+8ac>0, ①若a≤0，因为x2>0,则2a.x2≤0， ,所以r+x:=&>0即62+8ac>0. 2ax2-1<0,所以f(x)单调递减。 ②若a>0,y=2a.x2-1在(0，十o∞)上单调 2c70 a 209 高考一线真题研究数学 ab>0,ac<0,显然abc<0,即bc<0,A错 误，BCD正确，故选BCD. 所以u-lha-2>0,得证. 233.解：(1)f(x)=a(e'+a)-x的定义域为 234.C解析：因为球的体积为36π，所以球的 R,f'(r)-ae"-1. 半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a, 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在R 高为h,则1产=2a”+h,32=2a2+ 上单调递减； (3-h)2,所以6h=1,2a2=1-h2,所以 当e>0时，令fx=0,得x=h 正四棱锥的体积V-号Sh=号×4×h- 当x∈（-oo,n时，fx)<0fx)单 台x-编×6--)： 调递减： 所以v--8）=4。 当x∈n2+∞)时，fx)>0fx)单 当3≤1≤26时，V>0.当26<1≤ 调递增。 33时，V'<0,所以当1=26时，正四棱锥 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，fx)在(-co.h上单调递减。 的体积V取最大值，最大值为，又1 在n+∞上单调递增。 3时，V-1=35时.V-,所以正四 27 (2)证明：由(1)可知，当a>0时，f(x)m= 棱锥的体积V的最小值为，所以该正四 》-a层+a)-n。-1+a+lna 棱锥体积的取值范围是 2764 43 ,故选C. 要证fx)>2ha+,只需证1+a十 235.B解析：由题意得x>0,而当x=1时， f(x)x=b=一2，结合极值点可知x= 1na>2na+2,只需证a2-lna-2>0. 2a>0),则g'(a)= 1 1是商数的极大值点，了)-兰兰则 设g(a)=a-lna f'(1)=a-b=0,所以a=-2,因此 2a-2a,令g'a)=0.得u=g 2 了a)=-是+是所以了(2)=-号升 当a∈b.号）时，ga)<0ga)单稠递 2 2= 2,放选B 减：当a∈+o时gu>0ga)单 236.AC解析：f(x)=3x2-1 调递增， 3-儿+） 所以g(a)≥g2】 A当x∈,-9和停+时， 270 f>0:当xe(,）时，) 210 参考答案 0,所以)在-，利+上单 当x>1时，g'(x)>0,所以g(x)在 调递增，在 33 3'3 】上单调递减.x (后十⊙上为增函数， 3 故gx)=s(）=1-n 3 是f)的极大值点，工=3 f(x)的极小值点，f(x)有两个极值点，故 因为f(x)=e一ax和g(x)=ax lnx有相同的最小值， A正确. B:f(x)版*=f3 9-25 9 >0,所以 所以1一lh=a一alna,整理得二=na 1+a (a>0). f(x)只有一个零点，故B错误. C:设A(s,t)在y=f(x)的图象上，即t= 令g(a)=a-1 1+a -lna,a>0,则g'(a)= s3-s十1，若y=f(x)关于(0,1)对称，则 2 1-a2-1 A(s,t)关于(0,1)的对称点B(-s,2 1+aaaa+a≤0， t)也在y=(x)的图象上，而（一s)3 所以g(a)为(0，十∞)上的减函数，又 (-s)+1=-(x一s+1)一2=2-t,所以 g(1)=0. C正确. 所以8a-0的唯一解为。=1.放千。 D:g(x)=2x,y=f(x)-g(x),f(0)- g(0)=1-0>0,f(1)-g(1)=1-2<0, lna的解为a=l. 所以y=2x与y=f(x)相交，故D错误， 238.1解析：由题意得f(x)=ln(a-x), 故选AC f)=。又y=xf,则 237.解：f(x)=e一a.x的定义域为R, f'(x)=e'-a. f(x)+zf'(x)=In(a-x)+- -a 若a≤0，则f'(x)>0,所以f(x)在R上 因为函数y=xf(x)在x=0处取得极值， 单调递增，f(x)无最小值，故a>0. 则y'|,=o=1na=0,解得a=1, 当x<lna时，f'(x)<0,所以f(x)在 (一c∞，lna)上为减函数； 所以y=ln(1-x)+ x-1 当x>lna时，f'(x)>0,所以f(x)在 而y'=n(1-x)+ x-7=ln(1-r)+ (lna,十oo)上为增函数， 1 f(x)min=f(In a)=a-aln a. x与+1.又y=ln1-x)和y=x二1 g(x)=ax-lnx的定义域为(0，+oo), 1都是单调递减函数，故y'=1n(1-x)+ g'(x)=a-1-ax-1 二单调递减，且y。=0.面定义议为 当0<<时，g)<0.所以g)在 (-∞，1)，所以当x∈(-∞，0)时， f'(x)>0,f(x)单调递增：当x∈(0,1) (0,)上为减函数： 时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 211