第七章平面向量及其应用-【高考一线·真题研究】2024年高考数学分类必刷1200题

高考一线真题研究 数学 第七章 平面向量及其应用 7.1线性运算与基本定理 【解题·小帮手】 点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m, ★向量的线性运算 CD=n,则CB= () 向量 A.3m-2n B.-2m十3n 语算 定义 法则（或儿何意义 运算律 C.3m+2n D.2m十3n 455.(2020·新高考全国二，3)在△ABC中，D /b 交换律： 是AB边上的中点，则CB= () 求两个向 a+b=b+a: 加法量和的通 三角形法则 结合律： A.2CD+CA B.CD-2CA (a+b)+e=a+ C.2CD-CA D.CD+2CA (b+c) 平行四边形法则 456.(2020·新高考全国一，4)如图，已知平行 求a与b 四边形ABCD,点E,F分别是AB,BC的 a-b 的相反向 中点，设AB=a,AD=b,则EF=() 减法 量一b的 a一b=a十(-b) 和的运算 三角形法则 aa=a1lal,当 求实数入以>0时，a与a以十红)a=a A(a)=(Au)a: E 与向量a的方向相同；当A 1 1 数乘 的积的运<0时，a与a的@ A.2(a+b) B.2(a-b) 方向相反：当A= A(a+b)=Aa 0时，Aa=0 C.) D.za+b ★平面向量基本定理 457.(2018·新课标全国一，6)在△ABC中， 如果e1,e是同一平面内的两个不共线向 AD为BC边上的中线，E为AD的中点， 量，那么对于这一平面内的任意向量ā，有且 则EB= 只有一对实数入1，入：，使a=入e1十入：e:(不 共线的向量e:,e:叫作表示这一平面内所有 A.AB-IAC BA店-AC 向量的一组基底)： C.3AB+IAC D.A店+Ad ★(1)向量b与a(a≠0)共线或平行的充要条 458.(2016·北京，4)设a,b是向量，则“|a= 件是存在唯一实数入，使得b=1a。 b|”是“a+b|=a-b|"的 () (2)在平而内A,P,B三点共线的充要条件 A.充分而不必要条件 是存在唯一的入，使得A丽=入P馆】 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 (3)若平面内三点A,P,B满足关系O市= D.既不充分也不必要条件 OA+OB(O为平面内异于A,P,B的任 459.(2015·新课标全国一，7)设D为△ABC 一点)，则A,P,B三点共线的充要条件是 所在平面内一点，BC=3CD,则() 入+：=1. AAd-专+号AC 454.(2022·新高考全国一，3)在△ABC中， BAD-a正-者AC 66 第七章平面向量及其应用 C.Ai=号Ai+号AC 463.(2014·新课标全国一，15)已知A,B,C D.AD-A店-}Ad 是圆O上的三点，者A0=号(A丽+AC), 则AB与AC的夹角为 460.(2015·新课标全国二，13)设向量a,b不 464.(2014·福建，10)设M为平行四边形 平行，向量Aa+b与a+2b平行，则实数 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 λ= ABCD所在平面内任意一点，则OA+ 461.(2015·北京，13)在△ABC中，点M,N OB+OC+OD= () 满足AM=2M,BN=NC,若MN= A.OM B.20M xAB+yAC,则x= y C.30M D.4OM 462.(2014·新课标全国一，4)设点D,E,F分 465.(2013·江苏，13)设D,E分别是△ABC 别是△ABC的边BC,CA,AB的中点，则 EB+FC= () 的边AB,BC上的点AD=)AB.CE A.AD a 号C,若D正=A.A正+a,Cdd:为实 C.BC 数)，则入1十入：的值为 7.2 坐标运算 【解题·小帮手】 BC= ★设a=(x1,y1),b=(x:,y2),则a十b= A.(-7,-4) B.(7,4) (x,十x2yy十十yg),a-b=(x1-xy1 C.(-1,4) D.(1,4) y:),Aa=(入x1,入y,),a=√x+y,和a 468.(2015·江苏，6)已知向量a=(2,1),b= 网商的华色的主为合司 a (1,-2),若ma十nb=(9,一8)(m,n∈R), 则m一n的值为 ★设A(x1y),B(xy:),则AB=(x一x 469.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把 y:-y).AB=(x:(y:-y. 向量a=(3,2)表示出来的是() ★设a=(x1y),b=(x·y:),若a∥b,则 A.e1=(0.0),e2=(1,2) xiy:-:y=0. B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) ★设a=(r1·y:),b=(xe,y:),若a⊥b,则 C.e1=(3.5),e2=(6,10) xir:十y1yg=0 D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 470.(2013·北京，13)向量a,b,c在正方形网 466.(2023·新高考全国一，3)已知向量a= (1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+ 格中的位置如图所示，若c=入a十b(入， b),则 ∈R),则 A.A+4=1 B.A+4=-1 C.y4=1 D.a4=-1 467.(2015·新课标全国一，2)已知A(0,1), B(3,2),向量AC=(一4，一3)，则向量 67 高考一线真题研究数学 7.3数量积 【解题·小帮手】 A. 5 2 ★数量积：若a=(x1,y1),b=(x:,y:),a与b 的夹角为0，则a·b=ab cos《a,b》= c号 x1x十yiy4, 472.(2023·全国课标全国乙文，6)正方形 ★运算律：(1)交换律：a·b=b·a:(2)结合 ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 律：(Aa)·b=入(a·b)=a·(入b):(3)分配 EC.ED= () 律：(a+b)·c=a·c十b·c. A.5 B.3 ★模：(1)若a=(x1,y,),则a=a·a= C.25 D.5 x+y,:(2)|a土b|=√(a±b)= 473.(2023·北京，3)已知向量a,b满足a十b= a士2a·b+b. (2,3)a-b=(-2,1),则a-b2=() Z1x:十yi3yg 大夹角0os0abx+v/于y A.-2 B.-1 C.0 D.1 ★极化恒等式：(1)a·6=(a+b》(a一b) 474.(2023·新高考全国二，13)已知向量a,b 4 =a+bl:la-b1: 满足a-b|=3,la+b=|2a-b|,则 4 1b1= (2)三角形模型：如图(1)所示，在△ABC中， 475.(2023·天津，14)在△ABC中，∠A= D为BC的中点，则AB·AC=|AD 60°，BC=1,点D为AB的中点，点E为 BD=AD-CD=AD- CD的中点，若设AB=a,AC=b,则AE C 可用a,b表示为 :若BF= (3)平行四边形模型：如图(2)所示，在平行 号成.则正·正的最大值为 四边形ABCD中.A店，AD=(AC1 476.(2022·新课标全国乙理，3)已知向量a, b满足1a|=1,b=3,a-2b|=3,则 BD). a·b= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 477.(2022·新课标全国甲理，13)设向量a,b B 图(1) 图(2) 的夹角的余弦值为3，且a=1.b=3 则(2a十b)·b= 471.(2023·新课标全国甲理，4)向量|a|= 478.(2022·新课标全国乙文，3)已知向量a= b|=1,c|=2,且a+b+c=0,则cos(a (2,1),b=(-2,4),则a-b1=() c,b-c〉= () A.2 B.3C.4D.5 68 第七章平面向量及其应用 479.(2022·新高考全国二，4)已知向量a= 487.(2021·新课标全国乙理，14)已知向量 (3,4),b=(1,0),c=a十tb,若〈a,c)=(b a=(1,3),b=(3,4),若(a-Ab)⊥b,则 c〉，则1= λ= A.-6 B.-5 488.(2021·新课标全国乙文，13)已知向量 C.5 D.6 a=(2,5),b=(入，4)，若a∥b,则入= 480.(2022·北京，10)在△ABC中，AC=3, BC=4,∠C=90°，P为△ABC所在平面 489.(2021·新课标全国甲文，13)若向量a,b 内的动点，且PC=1,则PA·PB的取值 满足a|=3,a一b|=5,a·b=1,则b 范围是 ) A.[-5,3] B.[-3,5] 490.(2021·北京，13)已知 C.[-6,4] D.[-4,6] 向量a,b,c在正方形网 481.(2022·浙江，17)设点P在单位圆的内 格中的位置如图所示，若 接正八边形A,A:…Ag的边A,A2上，则 网格纸上小正方形的边 长为1，则(a十b)·c= PA2+PA,2十…PA。2的取值范围是 ,a·b= 491.(2020·山东，7)已知P是边长为2的正 482.(2022·上海，10)在△ABC中，A=90°， 六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB AB=AC=2,点M为边AB的中点，点P 的取值范围是 () 在边BC上，则MP·CP的最小值为 A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 483.(2022·新课标全国甲文，13)已知向量 492.(2020·新课标全国一，14)设a,b为单位 a=(m,3),b=(1,m十1).若a⊥b,则m= 向量，且|a+b1=1,则1a一b1= 484.(多选题)(2021·新高考全国一，10)已知 493.(2020·新课标全国二，13)已知单位向量 O为坐标原点，点P1(cosa,sina), a,b的夹角为45°，ka一b与a垂直，则k= P:(cos B,-sin B).P:(cos(a++8),sin(a+ 3),A(1,0),则 494.(2020·新课标全国三，6)已知向量a,b A.IOP=OP. 满足a|=5,b=6,a·b=-6,则cos(a, B.IAPI=IAP:I a+b)= () C.OA·OP=OP·OP A D.Oi·OP=OP·OP 485.(2021·新高考全国一，15)已知向量a+ c D号 b+c=0,a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+ 495.(2020·北京，14)已知正方形ABCD的 b·c+c·a= 486.(2021·新课标全国甲理，14)已知向量a 边长为2，点P满足A户=号（A店+AC), =(3,1),b=(1,0),c=a+b,若a⊥c,则 则|PD1 ；PB·PD= k= 69 高考一线真题研究数学 496.(2019·新课标全国一，7)已知非零向量 503.(2016·江苏，13)如图 a,b满足a|=2b,且(a-b)⊥b,则a与 所示，在△ABC中，D是 b的夹角为 ( BC的中点，E,F是AD A.g & 上的两个三等分点， BA·CA=4,BF· c号 n CF=一1，则BE·CE的值是 497.(2019·新课标全国三，13)已知a,b为单 504.(2016·山东，8)已知非零向量m,n满足 位向量，且a·b=0,若c=2a一5b,则 4m=3n,cos(m,n)=3若nL(m十 cos(a,c〉= n),则实数t的值为 () 498.(2019·浙江，9)设点A,B,C不共线，则 A.4 B.-4 “AB与AC的夹角为锐角”是“AB+AC> BCI”的 c n-9 A.充分而不必要条件 505.(2016·新课标全国一，13)已知a=(m, B.必要而不充分条件 1),b=(1,2),a+b2=|a2+|b2,则 C.充分必要条件 m= D.既不充分也不必要条件 506.(2015·陕西，7)对任意向量a,b,下列关 499.(2018·新北京，6)设a,b均为单位向量， 系式中不恒成立的是 则“|a-3b1=|3a+b是“a⊥b”的() A.|a·bl≤al|b A.充分而不必要条件 B.|a-b|≤Ila|-|blI B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 C.(a+b)2=a+b12 D.既不充分也不必要条件 D.(a+b)·(a-b)=a2-b 500.(2017·新课标全国二，12)已知△ABC 507.(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 四边形，IAB=6,|AD=4,若点M,N 内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM· NM- () A.20 B.15 A.-2 C.9 D.6 c-i D.-1 508.(2015·重庆，6)若非零向量a,b满足 501.(2017·山东，12)已知e1,e2是互相垂直 lal-3 2 1b,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 的单位向量，若√3e一e2与e1十ae2的夹角 与b的夹角为 () 为60°，则实数入的值是 502.(2017·新课标全国一，13)已知向量a,b A 的夹角为60°，a1=2,b=1,则a+2b c D.π 70 第七章平面向量及其应用 509.(2014·新课标全国二，3)设向量a,b满 ABCD中，已知AB=8,AD=5,CP= 足|a+b=√/10，a-b|=6,则a·b= 3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是 A.1 B.2 511.(2014·江西，15)已知单位向量e1与e2 C.3 D.5 的夹角为a,且cosa=3,向量a=3e: 510.(2014·江苏， 2ex与b=3e1-e2的夹角为B,则cosB= 12)如图所示· 在平行四边形 7.4 平面向量的应用 【解题·小帮手】 Oi=O成，则O在AB的中垂线上 ★平面几何问题 ★三角函数问题 (1)b+1a表示的是将向量平移至共起，点， 把向量的平行（共线）或垂直问题，借助向量 向量b的终点与1a所在直线的距离，因为t 的坐标运算转化为三角函数问题求解 不确定，那么可以理解成向量a上动，点与向 量b的终点距离，所以b十tam即为过向 512.(2018·浙江，9)已知a,b,e是平面向量， 量b的终点作向量a所在直线的垂线段 e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 长度 因为t∈R,若t<0,则如图1理解b十amm 哥向量b满足6-4e·6十3=0，则 若1>0，则可按图2理解， a一b|的最小值是 () A.√3-1 B.3+1 C.2 D.2-3 图1 图 513.(2014·浙江，9)设0为两个非零向量a,b 的夹角，已知对任意实数t,b+ta|的最小 (2)若a,b,c满足(a一c)· -c (b一c)=0,平移a,b,c共 值为1，则 () 起点如图3所示，c的终点 A.若0确定，则1a唯一确定 轨迹是以a,b的终点为直 B.若0确定，则b唯一确定 径端点的圆(). 图3 C.若a确定，则0唯一确定 (3)在△ABC中，若AD=AB+AC,则点D D.若b确定，则0唯一确定 514.(2011·大纲，12)设向量a,b,c满足 在BC中线上：若AD=t AB AC ABI AC a=b1=1ab=-2,a-c,b-c) (t∈R),则点D在∠BAC的角平分线上 60°，则c的最大值等于 若AD·BC=O,则D在BC的高线上：若 A.2 B.3 C.2 D.1 71 高考一线真题研究数学 515.(2009·全国一，6)设a,b,c是单位向量， 519.(2015·山东，16)在平面直角坐标系zOy 且a·b=0,则(a一c)·(b一c)的最小值 中，已知向量m= n=(sin 为 () A.-2 B.2-2 C.-1 D.1-2 (1)若m⊥n,求tanx的值； 516.(2009·海南，9)已知点O,N,P在 △ABC所在平面内，且1OA1=1OB1= (2)若m与n的夹角为，求x的值。 OCL,NA+NB+NC=0.PA.PB= PB·PC=PC·PA,则点O,N,P依次 为△ABC的 A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 520.(2013·江苏，15)已知a=(cosa,sing), D.外心、重心、内心 b=(cos B,sin B).0<B<a<. 517.(2008·浙江，9)设a,b是平面内两个相 (1)若a-b=2,求证：a⊥b: 互垂直的单位向量，若向量c满足(a一 (2)设c=(0,1),若a十b=c,求a,3的值. c)·(b一c)=0,则|c的最大值是() A.1 B.2 C.2 n号 518.(2017·江苏，16)已知向量a=(cosx, sinx),b=(3,-3),x∈[0，r]. 521.(2013·辽宁，17)设向量a=(3sinx, (1)若a∥仍，求x的值： nr.b=(osr,io,引 (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最 (1)若a=|b|,求x的值： 小值以及对应的x的值. (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最 大值. 72参考答案 .c=esin C,.sinC=1,,C∈(0，π)， A店-AC,放连A cmcos A-sin A=0. tanA=3,:A为锐角，A= B=受骨-君 458.D解析：根据平行四边形法则可得a十b 第七章平面向量及其应用 和a一b分别为以a和b为邻边的平行四 7.1线性运算与基本定理 边形的对角线 充分性：a=b即邻边相等，而邻边相等 54.B解析：：CA=m,CD=n,.AD 的平行四边形是菱形，对角线不一定相 CD-CA=n-m.BD =2DA,:.AB= 等.故充分性不成立： 3AD=3(n-m)...CB=CA+AB=m+ 必要性：a十b|=a一b|即对角线相等，而 3(n-m)=-2m+3n,故选B. 对角线相等的平行四边形是矩形，其邻边 也不一定相等 所以a|=b|是|a+b|=a一b|的既不 充分也不必要条件，故选D. 459.A解析：方法一：根据选项可得基底是以 455.C解析：CB-CA+AB=CA+2AD A为起点的，所以对BC=3CD调整起点， CA+2(CD-CA)=2CD-CA,故选C. 则AC-AB=3(AD-AC),则AD= -店+C.故法八 456.A解析：如图，连结AC,则AC为△ABC 的中位线所以序-AC-2a+2b.故选A 方法二：由题得AD=AB+BD=AB十 等BC=A店+专(AC-A店)=-专A店+ E 457.A解析：根据选项可得基底是以A为起 AC,故选A 点的，所以对EB调整起点为EB=AB 460.2 解析：由题意知(a十b)∥(a十2b), A正，而A正=Ad=(A店+AC,所以 则存在t∈R,使得a+b=t(a十2b),又因 E成=A店-A正=AB-是(A店+AC) 为a,b不共线，比较a,b的系数可得入=t, 1=2,解得X=1-号 249 高考一线真题研究数学 解析：由题得基底是以A为起 465.2 解析：由题得基底是以A为起点的， 点的，所以调整起点，得M=AV-AM, 所以调整起来，得D正=A正一AD,而 而AN=(A店+AC),Ai=子AC,所以 A正=A店+BE,AD=2A,BE=-BC MN-AN-AMi-+aC)-号Ad- }(C-,所以正=A店+配 2A店-名A正，此时x=2y=- A店+}（AC-A)-号A正+AC,因此 DE=A店-AD=号A店+AC-AB 正+号AC.此时A=后，=名A十 462.A 解析：如图，B正=（BA+BC),CF 2(C+C),那么EB+F心=-2B+ )-(CB+CA)--(BA+C+CB+ Ci)=号A店+AC)=号·2AD=AD,故 7.2坐标运算 选A. 466.D解析：因为a=(1,1),b=(1,-1),所 以a+b=(1+A,1-a),a+b=(1+u, 1-).又因为(a+Ab)⊥(a+b),所以 (a+Ab)·(a+b)=0,即(1+A)(1+ 463.90° 解析：因为A0=号(A店+AC),由 :)+(1一入)(1一4)=0，化简得=-1， 故选D. 平行四边形法则得，O为BC的中点，所以 BC为圆O直径，故AB与AC的夹角为90°， 467.A解析：由题意知AB=(3-0,2-1) 464.D解析：由题意知M是AC和BD的中 (3,1),而BC=AC-AB=(-4-3,-3- 点，如图所示，则OA+OC=2Oi,OB+ 1)=(-7,一4)，故选A. OD=20i,所以OA+OB+O元+OD= 468.一3解析：由题意知ma十nb=(2m+n, 4OM,故选D. m-2n)=(9,-8),即2m+n=9,m D 2m=-8,解得m=2,n=5.所以m-n= -3. 469.B解析：通过对选项A,C,D判断可知这 250 参考答案 三组都满足e1e:,且都与a不平行，故这 三组的e1,e。无法表示a,故选B. 这里可以深入探究下B,设a=ae十ue:, 则(3,2)=(-入十54,2入-24)，即-入+ 54=3,2λ-24=2，解得入=2，a=1,即 D a=2e1+e2 OA=OB=1,OC=√2，所以△OAB是等 470.4解析：方法一：建立如图坐标系，则a (-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),又c= 腰直角三角形，AB边上的高OD= 2 入a十b,即(-1，-3)=入(-1,1)+(6,2)= AD= 2,所以CD=C0+OD=2+ (6一A,d+2),则6一A=-1,A十2μ=一3，解 得=-2= 2_32 ,则an∠ACD= AD 1 1 2 CD 3 cos∠ACD= 3,所以cos(a-c,b-c)= /1 cos∠ACB=cos2∠ACD=2cos2∠ACD -1=2× -1=言故选D, 472.B 解析：（解法一）以{AB,AD}为基底向 方法二：如图所示，a=一i十j,b=6i+2j, 量，可知AB1=AD1=2,AB·AD=0, c=-i-3j,又c=Aa+b,即-i-3j= 入(-i+j)+4(6i+2j)=(64-λ)i+(入+ 则配=成+BC=专A店+A币，ED 2u)j,则64一入=一1，入+2=一3，解得 所+A而=-专A店+A心，所以武， 1=-2=故 1 2 D=(2A+AD)·（仁2A店+AD) 一1十4=3，故选B. (解法二)如图，以A为坐标原点建立平面 直角坐标系，则E(1,0),C(2,2),D(0,2), 得EC=(1,2),ED=(-1,2),所以EC· 7.3数量积 ED=-1+4=3,故选B. 471.D解析：因为a+b十c=0,所以a十b= -c,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+ 2a·b=2,所以a·b=0.如图，设OA a,OB=b,OC=c.由题意知， B 251 高考一线真题研究数学 73.B解析：因为a,b满足a+b=(2,3), + a-b=(-2,1),所以|a12-|b2=(a+ b)·(a-b)=2×(-2)+3×1=-1,故 选B. 474.5解析：因为a+b=|2a一b,所以 (a+b)2=(2a-b)2,即a2+2a·b+b2= 4a2-4a·b十b,整理得a2-2a·b=0, 因为x2+y2-xy=1,所以x2+y-xy= 又因为1a一b|=3,所以(a-b)=3,即 1≥2xy-xy=xy,所以xy≤1，当且仅当 a-2a·b+b2=b=3,所以|b|=3. x=y=1取得等号，则x=y=1时，AE· 24 解析：因为E为CD的中 正有最大值是 A正+ED=AD, 476.C解析：|a-2b=3,∴.|a-2b2= 点，则ED+EC=0,得 两式 A正+E元=AC, (a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1a2 相加，得2A正=AD+AC,即2A正=20十 4a·b+4|b12=9, 又.1a=1,b=3,.1-4a·b+12= b,则A正=a+b.因为B丽=号BC,所 9,.a·b=1,故选C. AF+F元=AC, 477.11解析：设a与b的夹角为0，则由题意 以2FB+FC=0,所以 所 AF+下B=AB, 得c00=子义：10=1.b1=3 AF+FC+2(AF+FB)=AC+2AB. ∴.(2a+b)·b=2a·b+b2=2ab- 即-2a+b,曲正-号a+动， 00+1b=2×1×3×3+9=1. 所以A正·=(a+b·(导a+b 478.D解析：，a=(2,1),b=(-2,4), 122a+5a·b+2b').记AB=r,AC ∴.a-b=(4,-3),∴.a-b1=√4+(-3=5， 故选D. y.则A正.A正-2(2a+50b+26) 479.C解析：，a=(3,4),b=(1,0),.c a+tb=(3+t,4),又(a,c)=(b,c〉， 2（2x+5xyc0s60°+2y2) cos (a,e)=cos (b,c).alle a·c 2x+5+2w)月 b·c 5 在△ABC中，由余弦定理得BC=x”十y 869后-69+g+16 2xycos 60=x+y-xy=1, 3+1 1 所以A正.A正=(2+罗+2 解得t=5,故选C. 480.D解析：由题意，建立如图平面直角坐标 252 参考答案 系，则C(0,0),A(3,0),B(0,4).PC=1, 10P1≤1，：1+cos45 ≤x2十y2≤1， .点P在以C为圆心，1为半径的圆上运 2 动.设P(cos0,sin0),0∈[0,2r],则 :2+2 4 ≤x+y≤1.12+22≤ PA=(3-cos 0,-sin 0),PB=(-cos 0, 8(x+y)+8≤16，PA产+PA+… 4-sin0),∴.PA·PB=(-cos0)X(3 cos 0)+(-sin 0)x(4-sin 0)=cos0- PA2的取值范围是[12+2√2,16]. 3cos 0++sin0-4sin 0=1-(4sin 0+3cos 0)= 482-9 解析：方法一（基底法）：因为AB⊥ 1-5sin(0+g),其中sin9=5,cosg= 3 AC,且AB=AC=2,所以以向量AB,AC 为基底表示M下，CP展开计算.设BP= 言：-1≤n(0+g)≤1-4<1- λBC(0≤A≤1)，即AP=(1-A)AB+ 5sin(0+e)≤6，∴PA·PB∈[-4,6]，故 AAC,AMi=号AB,所以MP.CP=(AP 选D. AM).(AP-AC)-(1-A)AB+AAC 2A]·[1-A)AB+AC-C]= 号一a刘店+AC·[1-aA店+a 1)AC]=(经-A刘1-A)A十 81.[12+22,16]解析：以圆心为原点， Xa-10ACc=8x-10以+2.当入=8时， A,A所在直线为x轴，AA1所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，如图所示 (MF C) 方法二（建系法）：因为AB⊥AC,且AB= AC=2,以A为坐标原点，AB,AC为x 轴，y轴建立平面直角坐标系展开计算，如 图所示. 则A1(0,1),A √22 22 ,A(1,0), A停}Ao-A.( 2-2 2-2 所以A(0,0)B(2,0),C(0,2),M(1,0) A(10A-号设P则 易得BC:x十y-2=0,设P(.x,2-x)(0≤ PA2+PA+…PA。2=8(x”+y)+ x≤2)，则MP=(x-1,2-x),CP=(x, 8.cos22.5°≤|OP|≤1，.cos222.5°≤ -x),所以MP·CP=x(x-1)-x(2- 253 高考一线真题研究数学 x)=2x2-3x,当x= 子时.(M师： sm受与m号不一定相等，所以B错 币=是 误：OA·OP,-1×cos(a+B)+0× sin(a+8)=cos(a+),OP.OP2= 方法三（极化恒等式）：设MC中点为N,那 cos acos B+sin asin (-B)=cos(a+B), 么MP·CP=PM·PC=(P+Ni)· ∴.OA·OP=OP·OP,C正确：OA· (PN NC)=(PN NC).(PN+ NC)=PN-NC,而|NCI= OP 1X cos a +0X sin a cos a,OP2 -只那么(.C),即求 OP;=cos Bcos(a+8)+(-sin B)X sin(a+ 3)=cos(3+(a+3)=cos(a+23),∴.cos(a+ PV最小，即求(dxx)ain: )与cos(a十23)不一定相等，∴.D错误，故 由方法二可得N号，小，BC:x+y一2=0. 选AC 解析：a+b十c=0,∴(a十b十 那么PN=(d-) 2+1-2 c)2=a+b2+c2+2(a·b+b·c+c· a)=0,.9+2(a·b+b·c+c·a)=0, ② 4 9 .a·b+b·c+c·a= 2 所以.)=-- 486.-10 3 解析：.a=(3,1),b=(1,0), 8a.- 解析：由题意得a·b=m×1十3× .c=a十kb=(3+k,1), .a⊥c,∴.a·c=0,.3(3+k)+1×1=0, m十1)=4m+3=0,解得m=一三. 解得k=一 484.AC解析：：OP=(cosa,sina), 3 OP.=(cos B.-sin B)...OP= 487. 3 解析：a=(1,3),b=(3,4),.a OP,1=1,A正确：：AP=(cosa-1, Ab=(1-3入，3-4λ)，又.(a-b)⊥b, sin a).AP2=(cos B-1,-sin B), .(a-λb)·b=0,.3(1-3λ)十4(3- AP=(cos a-1)+sin'a 以》=0解得入=号 cos'a-2cos a+1+sin a =2(1-cos a)= 488.5 解析：由题意得2×4=5×入，解得 8 λ= AP:=(cos B-1)+sin'B =√cos3-2cos3+1+sin3 489.32解析：|a-b=5,∴.(a-b)2 25,.a-2a·b+b2=25,.b2=18, (1-cos B)-Asin' 2 =2 sin ∴.b1=32 254 参考答案 490.03解析：以a,b交点为坐标原点，建 、② 立直角坐标系如图所示。 2 494.D解析：由题意知a·(a十b)=a十a· b=25-6=19,且|a+b|=√(a+b)= O b √a+2a·b+b=7,则cos(a,(a+b)= a·(a+b)1919 则a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1), aa+b5X735放选D. .a+b=(4,0),(a+b)·c=0, 495,5,-1解析：由题意知A户-2(A店十 .a·b=2×2+1×(-1)=3. AC),则P为BC中点，那么|PD1= 91.A解析：如下图，AB1=2,根据正六边 形的几何结构得|AF|=2,∠FAB=120°， √2+1=5 AC1=23,∠CAB=30°，可得AP在 AB方向上的投影AP|osAP,AB)的范 围是(1AF1cos120°，1AC1c0s30),即(-1， B 3).所以AP·AB的取值范围是(-2,6)， 方法一：基底法.利用AB和AD表示出 故选A. P店和pi,P店=-2Ad,P币=PC+ C币=是AD-A,则P店·P币 -AD.(AD-AB)--1AD- D 1 注意：为什么（一1,3）是开区间呢？因为题 方法二：投影法.正方形中垂直多，可以考虑 目明确说明了P在六边形内，是不含边界 使用投影 的 通过观察可得PD在PB方向上的投影是 492.√3解析：由|a+b|=√a+b)= -PB,那么PB·PD=一PB2=一1. √a+2a·b+b=√2+2a·b=1,得a· 方法三：极化恒等式法.因为BD长度为定 值，可以考虑使用极化恒等式. b=2,那么0-b=a-b= 设BD中点为O,那么PB·PD=PO2- √a2-2a·b+b=5. }BD=1-青×22)P=-1. 解析：由题意知a·b=cos45°=2 方法四：建系法.以A为坐标原点，AB为 x轴，AD为y轴，建立如图的坐标系，则 （ka-b)·a=k0-a·b=6-2=0,即 P(2,1),B(2,0),D(0,2),那么PB=(0,-1), 2 25 高考一线真题研究数学 PD=(-2,1),所以PB·PD=-1. 所以AB与AC夹角为锐角. 综上所述，AB与AC夹角为锐角是AB十 AC>BC的充要条件，故选C. 注意：调整不等号右侧向量起点联系左右， 499.C解析：充分性：若a一3b|=3a十b, B 则(a-3b)2=(3a+b)2,化简得a·b=0, 496.B解析：设a=2b|=2,则a|=2, 所以a⊥b.故充分性成立： b|=1,由题意知(a-b)·b=a·b一 必要性：若a⊥b,则a·b=0,那么a一312 b2=a·b-1=0,即a·b=1,那么cos(a, 3a+b2=-12a·b=0,即|a-3b= 。-8t--2又abe0. 3a十b|,所以必要性成立，因此a一3b|= I3a+b是aLb的充要条件，故选C. ],所以a与b的夹角为，故选B. 500.B,解析：设BC中点为M,则AM 3,PB+PC=2PM,那么PA·(PB+ 解析：由题意知a·c-a·(2a PC)=2PA·PM,再设AM中点为N,所 5b)=2a2-5a·b=2,且1c1= 以Pi.PMi-P时-Ai≥-A游 W(2a-5b)=√4a-45a·b+5b” 3.所以cosa,c)= a·c2 圣，故[D.(P丽+心)]=(2， lallcl 3 498.C解析：充分性： Pi=- 2,放选B 方法一：由题意知AB与AC的夹角锐角， 那么cos(A店，AC)=AE+AC:-BC 01. 3 解析：由题意知e1·e2=0,而 2ABIACI (V3e1-ee)·(e1+ae2)=3ei+(3λ 0,即AB+AC>BC,且2AB·AC>0, 1)e,·e2-aei=3-a,l3e,-ea|= 所以AB2+AC2十2AB·AC>BC2,即 IAB+AC>BC,AB+ACI> (3e1-e:)2=√J3e-23e1·e2+ei= BC,所以充分性成立. 2,le,+λe2=(e1+λe2) 方法二：由题意知AB与AC夹角为锐角， √e+2λe1·e2+e=+1,则 则AB·AC>0,所以有AB+AC+ cos(3e1-e2),(e1+λez)）=cos60°= 2AB.AC>AB+AC-2AB·AC,即 -,B一入，解得A= AB+AC>AC-AB1'=BC1,所以 22·+1 3 充分性成立 502.23解析：|a+2b|=√(a十2b) 必要性：因为AB+AC1>1BC1=|AC √a+4a·b+4b=√8+8cos60=23. ABI,所以AB+AC+2AB·AC> AB+AC-2AB.AC,即AB·AC>0, 解析：由题意知BA·CA=AB· 256 参考答案 AC=AD-1BC=4,BF.C示=F店. AD+号A)}A店-AD,那么AM· F元=F币-}BC=AD-B NM=(a+3AD)·(得A店-AD) -1,解得AD-智，BC-号故配， 店-是A-号×6-×=9，故 CE=E店·C=-BC=音A 选C. c-得 508.A 解析：设1a=221b1=22,则 3 504.B解析：设4m=3n|=12,则1m a=2√2，b|=3,由题意知(a一b)· 3,n=4,则m·n=12·cos(m,n〉=4， (3a+2b)=3a-a·b-2b2=6-a·b= 而n·(tm+n)=tm·n+n2=4t+16=0, 0,即a·b=6,所以cosa,b》=0b= 则t=一4，故选B. 6 505.一2解析：由题意知a十b=(m十1,3)，那么 2√2×3 2又(a,b)∈[0.，所以a与 a+b2=m2+2m+10,la|2=m2+1,b2= 5,因为a+b12=a2+b|2,所以m2+ b的夹角为”，故选A 2mm+10=m”+1+5,解得m=-2. 509.A 506.B解析：A:因为cos(a·b)≤1，a·b 解析：a·b=4[(a+b)2-(a allb·cos(a·b)|≤|ab|,所以A正 b)]= a+b1-a-b1)=110 确，但不合题意.B:若向量a,b同向共线，则 6)=1,故选A. a一b=la一b11,若向量a,b反向共线， 510.22解析：这道题的背景图是平行四边 则a-b=1|a+b1I≥|川a-1b|,若向 量a,b不共线，由三角形法则和三角形边 形，且边长已知，我们选用邻边AB和AD 做基底来展开计算，这样的话我们就可以 之间的关系可得a一b>la-bl,综上 充分利用AB和AD了，且题目给出了 所述，a-b|≥|a|-b|,所以B错误， A下.B驴=2，这是一个等式，利用AB和 但合题意，是正确选项.C:由a|=√a知 AD表示出AP和BP,这样就可以形成关 (a+b)2=|a+b|正确，但不合题意.D: 于AB·AD的方程了. 根据数量积的运算法则知其正确，但不合 题意，故选B. AP-AD+DP-AD+AB.BP-BC+ 507.C解析：利用AB和AD表示出AM和 NM,进而计算AM·NM.AM=AB+ C正=A币-是A店，那么A币，B胶 BM=A店+AD,NM=AM-AN= AD+A)·(AD-A=AD 丽+A)-(A而+D)=(店+A可) 2A店，AD-A=25-2A店.AD 257 高考一线真题研究数学 12=2,解得AB·AD=22 则∠AOB=120°，∠ACB=60°，因为四边 如果此时我们继续探究的话可以得到 形对角互补，则O,A,C,B四点共圆，那么 (AB,AD),这样的话我们就可以利用基底 |c|.=|OC1x,即圆上两点的距离最大 AB和AD表示该平面上更多的向量并对 值，而最大值就是直径，在△AOB中，利用 其数量积等问题展开计算了. OA 正弦定理可得直径为 sin30=2,放 解析：由题意知e,·e2=cosa= 3 cmm=2,故选A. a|=√(3e,-2e2y=√9e-12e·e+4e=3, 515.D解析：设a=OA,b=OB,c=OC,因 bl=√(3e1-ez)=√9e-6e1·ez+ei= 为a|=b|=|c|=1,所以C在以O为圆 心半径为1的圆上，不妨以O为坐标原点， 2、2,而a·b=(3e1-2e2)·(3e1-ez)= OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，则 9e-9e1·e:+2e=8,所以cos(a,b)= A(1,0),B(0,1),设C(cos0,sin0)(0∈ a·b 822 cosB=ab3×2.2 3· [0,2π)，那么a-c=OA-OC=(1 cos 0,-sin 0),b-c=OB-CC=(-cos 0, 7.4平面向量的应用 1-sin0),那么(a-c)·(b-c)=(1- cos0)(-cos0)+(1-sin0)(1-sin0)=1 512.A解析：因为e2=1,所以b2一4e·b+ 3=b2-4e·b+3e=(b-e)·(b-3e)= (sin0+cos0)=-2sin0+牙）+1，所以当 0,设a=OA,e=OC,3e=OD,b=OB,则 B的终点轨迹为以C,D为直径端点的圆， 0=时，[a-c)b-e]=1-2,故 a一blmm即为ABIn,那么即求定点A 选D. 和圆上动点B的最小距离. 516.C解析：由OA=1OB1=1OC1得O到 设圆心为E,那么OE=2,圆心E到直线 △ABC三个定点的距离相等，则O为 OA的距离为OEin了=3，而圆的半径为 △ABC外接圆圆心，即为外心：设AB中 点为E,则NA+NB+NC=2NE+NC CD=1,那么ABm=5-1,即a-b 0,即V,E,C三点共线，则N在中线CE 上，所以N为中线交点，即N为重心： 的最小值是3一1.故选A. 由PA·PB=PB·PC=PC.PA得 513.B解析：由题意知b十tamm=1,即过向 PA·PB-PB·PC=0,PB·PC 量b的终点作向量a的垂线段距离最小值 PC·PA=0,即PB·(PA-PC)=0, 是1，则bsin0=1,若0确定，则|b|= PC·(PB-PA)=0,所以PB·CA=0, sin)唯一确定，故选B 1 PC·AB=0,所以点P为高线交点，即P 为垂心，故选C 514.A解析：由a=b=1,a·6=一号得 517.C解析：方法一：设a=OA,b=OB,c (a·b)=120°，设a=0i,b=0i,c=0元， O元，由题意知OA⊥OB,CA⊥CB,则四边 258