第六章解三角形-【高考一线·真题研究】2024年高考数学分类必刷1200题

第六章解三角形 第六章 解三角形 6.1正弦定理 【解题·小帮手】 392.(2020·北京，17节选)在△ABC中，a+ ★定理：在△ABC中 'sin A sin B sin C 6=11osA=gosB=号求a的值。 2R,其中R为△ABC的外接圆半径 ★变形：(1)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c= 2Rsin C:(2)sin A=4 2R'sin B=b 2R·sinC R:(3)b:c=sin A sinB sin C. ★常用公式：sinC=sin(A十B),cosC -cos(A+B),tan C=-tan(A+B). 393.(2019·江苏，15节选))在△ABC中，角 390.(2023·新课标全国乙文，4)在△ABC 中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 A,B,C所对的边分别为a,b,c.若inA acos B-bc0sA=c,且C=F,则∠B 求mB+引的值。 () A 1o C.jo n 391.(2020·天津，16节选)在△ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a= 22c=丽，C=不求inA的值 394.(2019·北京，15节选)在△ABC中，b= 7c5,cosB=一号求mB-C的值 53 高考一线真题研究数学 395.(2018·浙江，6)在△ABC中，角A,B,C 398.(2016·江苏，15)在△ABC中，AC=6, 所对的边分别为a,b,c.若a=√7，b=2, A=60°，则sinB= (1)求AB的长： 396.(2017·新课标全国三文，15)△ABC的 2)求oA-)的值。 内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 C=60°，b=6,c=3,则A= 397.(2016·新课标全国二理，13)△ABC的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosA 4 5·c。s—2,C红一1，贝刘6— 6.2余弦定理 【解题·小帮手】 401.(2020·新课标全国三理，7)在△ABC ★定理：在△ABC中，a”=b十c2-2 occos A. 中，c0sC号，AC=4,BC=3,则cosB b=a +c*-2accos B,e*=a+b*- 2abcos C. ★变形：(1)b2十e一a2=2 becos A,d”十c2 B h=2accos B,a+b-c=2abeos C: 2k cos B='+teb (2)cos Ac'-a' c n号 2u 402.(2020·新课标全国二文，17)△ABC的 cos C=-c 2ab 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ★已知两边及夹角或三边，一般用余弦定理 os(经+A)+csA-月 解题 (1)求A: 399.(2021·新课标全国甲文，8)在△ABC (2)若方-= 3a,证明：△ABC是直角三 中，已知B=120°，AC=/19,AB=2,则 角形. BC= () A.1 B.2 C.5 D.3 400.(2020·新课标全国一理， DP) 16)如图，在三棱锥 P一ABC的平面展开图中， AC=1,AB=AD=3,AB ⊥AC,AB⊥AD, E(P) FP) ∠CAE=30°，则cos∠FCB 54 第六章解三角形 403.(2019·北京，15节选)在△ABC中，a= 405.(2018·北京，15节选)在△ABC中，a= 36-6=2.osB=一号求6c的位 7,6=8,A=0sB=-7求AC边上 的高. 406.(2013·北京，15)在△ABC中，a=3,b= 26,∠B=2∠AmsA-求e的值 404.(2018·新课标全国二理，6)在△ABC C5 中，cos2=5,BC=1AC=5,则AB= A.4√2 B.√/30 C.√29 D.25 6.3正弦、余弦定理综合 【解题·小帮手】 cos Ab'te'-a ★正弦定理边角转化 2be (1)角化边：若等式的每一项都有齐次的内 一次余孩，根据cosB-4+c一b 2ac a =2R sin A, 角正孩值，根据b=2 Rsin B,可以将这些正 cos Ctb-c c=2Rsin C. 可将三个内角的余孩转化为边 弦值全部换成所对的边，等式仍然成立 ★余弦定理的配方，如a=b十c2一2 bccos A (2)边化角：若等式的每一项都有齐次式的 =(b十c)-2bc(1十cosA),可用于求三角 a =2Rsin A. 形周长问题 边，根据b=2 Rsin B,可以将这些边全部换 lc =2Rsin C. 407.(2023·北京，7)在△ABC中，(a+c)(sinA一 成所对角的正弦值，等式依然成立 sinC)=b(sinA-sinB),则∠C=() ★余孩定理角化边：若等式的每一项都有角的 A君 B后 c π 0.6 55 高考一线真题研究数学 408.(2023·新课标全国甲理，16)在△ABC 411.(2020·新高考全国二，17)在①ac=3, 中，AB=2,∠BAC=60°，BC=6,D为 ②esin A=3,③c=√3b这三个条件中任选 BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则 一个，补充在下面问题中，若问题中的三角 AD= 形存在，求c的值：若问题中的三角形不存 409.(2023·天津，16)在△ABC中，角A,B, 在，说明理由， C所对的边分别是a,b,c.已知a=39,b 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C =2,∠A=120°. 的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB, (1)求sinB的值： C'- (2)求c的值： 6' (3)求sin(B-C). 410.(2022·新课标全国乙理，17)记△ABC 412.(2021·上海，18节选)已知A,B,C为 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 △ABC的三个内角，a,b,c是其三条边， sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). a=2,osC=-若s如A=2snB,求 (1)证明：2a2=b2十c2: b.c. 2)若a=5,e0sA-药求△ABC的周长 56 第六章解三角形 413.(2019·新课标全国一理，17)△ABC的 2)若+c-a2=号c,求tanB. 6 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设 (sin B-sin C)2=sin'A-sin Bsin C. (1)求A: (2)若2a+b=2c,求sinC. 415.(2014·天津，12)在△ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知b-c= 414.(2016·四川理，17)在△ABC中，角A, 4a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 B,C的对边分别为a,b,c,且cosA+ 416.(2013·安徽，12)设△ABC的内角A,B, cos B sin C b C的对边分别为a,b.c,若b十c=2a: (1)证明：sin Asin B=sinC: 3sinA=5sinB,则角C= 6.4 三角形面积 【解题·小帮手】 417.(2023·新高考全国一，17)已知在△ABC ★面积公式 中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. ①S=号×底×高： (1)求sinA: (2)设AB=5,求AB边上的高. ”C之)s-1absin—2cimA—2sinB； 3)5=2(a+6+cr,其中r为△ABC的 内切圆半径 (4)S=√p(p-4)(p一b)(p-c),共中p= u十b十C(海伦公式). 2 ★解题提醒：在解三角形时，涉及面积问题用 的最多的是公式(2)，其他公式很少用，使用 的特征也很明显。若出现垂直，则用公式 (1)；若出现三边，则用公式(4)：若出现内 切，则用公式(3). 57 高考一线真题研究数学 418.(2023·新高考全国二，17)记△ABC的 421.(2022·新高考全国二，18)记△ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以 △ABC的面积为3，D为BC中点，且 a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次 AD=1. 为S,S,S,已知S,-S+5,= 2 （I)若∠ADC=3,求anB: (2)若b2+c2=8,求b,c. 咖B一 (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C=2, 3,求6. 419.(2023·新课标全国甲文，17)记△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b2十c2-a =2. cos A (1)求bc: (2)若cosB-bc0sA-b=1,求△ABC acos B+bcos A c 面积. 422.(2022·北京，16)在△ABC中，sin2C= √3sinC. (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求 420.(2023·新课标全国乙理，18)在△ABC △ABC的周长 中，已知∠BAC=120°，AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC: (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求 △ADC的面积. 58 第六章解三角形 423.(2022·浙江，18)在△ABC中，角A,B, 426.(2021·北京，16)在△ABC中，c= C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c, 2bcos B.C=2x 31 co C (1)求∠B: (1)求sinA的值： (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条 (2)若b=11,求△ABC的面积. 件中选择一个作为已知，使△ABC存在且 唯一确定，求BC边上中线的长。 条件①：c=√2b:条件②：△ABC的周长为 4+2,:条件@：△ABC的面积为3 424.(2021·新高考全国二，18)在△ABC中， 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a十 427.(2020·新课标全国一文，18)△ABC的 1,c=a+2. 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积： B=150° (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角 (1)若a=3c,b=27,求△ABC的面积： 三角形？若存在，求出a的值：若不存在， 说明理由. (2)若sinA+3sinC=2 ,求c 425.(2021·新课标全国乙理，15)记△ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3， B=60°，a2+c2=3c,则b= 59 高考一线真题研究数学 6.5三角形中的最值（范围）问题 【解题·小帮手】 430.(2020·浙江，18)在锐角△ABC中，角A, 高考题中求与三角形有关的最值（范国）问题 B,C的对边分别为a,b,c,且2 bsin A=√3a. 的基本方法 (1)求角B: ★将目标表示成角A(或角B,C)的西效关系， (2)求cosA十cosB+cosC的取值范围. 利用三角函数求最值， ★将目标表示成边4，b,c的表达式，利用基本 不等式或函数思想求最值， ★提醒：求最值时，注意等号成立的条件，对于 解答题，这一步不能省略」 428.(2022·新高考全国一，18)设记△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos A sin 2B 1+sin A 1+cos 2B a若C=求B: 431.(2019·新课标全国三理，18)△ABC的 ②求广的最小值。 内角A,B,C的对边分别为a,b,c. A+C=bsin A. 已知asin2 (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求 △ABC面积的取值范围. 429.(2020·新课标全国二理，17)△ABC中， sinA-sin2B-sin'C=sin Bsin C. (1)求A: (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. 432.(2018·江苏，13)在△ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b,c,∠ABC=120°， ∠ABC的平分线交AC于点D,且BD= 1,则4a十c的最小值为 60 第六章解三角形 433.(2016·山东理，16)在△ABC中，角A,435.(2013·江西理，16)在△ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+ B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC十 tanB)=tanA⊥tanB (cos A-3 sin A)cos B=0. cos B'cos A' (1)求角B的大小： (1)证明：a+b=2c: (2)若a十c=1,求b的取值范围. (2)求cosC的最小值. 434.(2016·北京理，15)在△ABC中，a2+ c2=b2+√2ac. (1)求角B的大小： (2)求2cosA十cosC的最大值. 6.6两个三角形联解 【解题·小帮手】 (2)如果通过分析，没有可以直接求解的三 ★当三角形被一些连线分成两个小三角形时， 角形，则可设几个未知量，分析相邻三角形 我们称这类解三角形问题为两个三角形联 的边角关系（如角互补等），寻找等量关系， 解问题.其解题策略如下： 建立方程组求解， (1)如果通过分析，得出已知条件最多的一 ★角平分线模型：题中出现角平分线，可以从 个三角形能够求解，一般先解该三角形，再 “角度”和“长度”两个方面入手 根据求得的结果逐步求解相关的其余三角 (1)角度：角被平分： 形，直至获得问题答案， (2)长度：在△ABC中，AD为∠BAC的平 61 高考一线真题研究数学 分线，则B肥一4AB DCAC(角平分线定理). 437.(2021·浙江，14)在△ABC中，∠B 60°，AB=2,M是BC的中点，AM=23, ★中线模型：在△ABC中，设D为BC边的中 则AC= ，cos∠MAC= 点，求中线AD的计算方法 (1)在△ABD,△ADC和△ABC中解三角 438.(2019·浙江，16)在△ABC中，∠ABC= 形，求解AD: 90°，AB=4,BC=3,点D在线段AC上 (2)向量法：AD=号(AB+AC),两边平方 若∠BDC=45°，则BD= Cos∠ABD= 得1A01=+A0+2A,AC,可 439.(2017·新课标全国三理，17)△ABC的 求AD: 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin A+3 cos A=0,a=27,b=2. 436.(2021·新高考全国一，19)记△ABC的 (1)求c: 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (2)设D为BC边上一点，AD⊥AC,求 b2=ac,点D在边AC上，BD sin.∠ABC= △ABD的面积. asin C. (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 62参考答案 '.f(x)的最大值为2,④正确,故选C. 386.C 解析:'f(x)=Asin(ax十)(A>0. 0,)是奇函数,=(). 389.D 又”.=0.'f(x)=Asin(r) '.一2x是/(x)的一个周期,..A正确; ·(8)-o(8)-cos3x-1-1是 2r.'=2,g(x)=Asinx,又':'g()-v2. f(x)的最小值,.B正确;f(r十x)= cos (++)=-cos(c+),当x= .(x) -s02.-() -sn()一 时,- o(0+)-o "_o..C正 3_,故选C. 2sin3 确,故选D. 第六章 解三角形 解析:·'/(x)<f()对任意的实数 6.1 正弦定理 390.C 解析:因为acosB-bcosA=c,所以 sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin Acos B- sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+ sin Bcos A,整理得sin Bcos A=0. 因为 BE(0,x),所以sinB>0,所以cosA=0. π π3π 2 510 388.解:(1).'f(x)=sinx十3sinxcosx= ^g$0-)一 故选C. _C 391.解:·.a asinC sin A"sinC.: sin A- C 2n '.f(x)的最小正周期T三 2 一. 22/13 13 13 13 392.解:^'cos A-1. 9 . sin2x-)-1, 8.cosB- . sinA- .2-2 +(62), 1-cosA-3/7 28,sinB-1-cos{B- 6 2 5/7 b d : sinA # 16 二 sinA 3 sin B 3#71 #{_)# 5d 8 5/7 233 高考一线 真题研究 数学 5a '$B=45^$$$A=180$-(B+C)-18 - .a十 6 -11,解得a=6. (45{*+60})-75*。 A cos B 26 21 393.解:. sinA 5 0 397. 解析::cosA- 26 13 5.cos C- 乙 13' # 2 b ._ _ ..'2sin B= 3 13 ..sin B=sin(A+C)=sin Acos C+ 一 cosAsinC= .sn(B+)-cos B225. 5。 .a sinA sinB' 。 394.解:'cos B--1. 2. ③ sinA '.sinB- 3},且B为钝角. 5. # “'sin B siC.. sinCccsin B 5、3 b 14 ..AB “'cos C-v1-sinC-11. 14 -5/2. sinB '.sin(B-C)-sin Bcos C-cos BsinC= (2)*.cosA--cos(B+C)=-cos BcosC+ ## nanGo0-分)# 7 2 # 395. 3 解析:.a 7,3 sinAsinB' . sin A=1-cos A-7 10' 6sinA2sin60*3 ②1 .sinB= 7 n -7 。 '.cos B=1-sinB-2 (-△## 7 .sinC= sin(A+B)=sin Acos B+cos 6.2 32133 余弦定理 AsinB- 2 ###7 2#7# 7 399.D 解析:设AB=c,AC=b,BC=,则$ $*=a+c-2accos B,即19=a+4- “sinAsinC' 4acos120{,整理得a*+2a-15=0,解得 ..casinC 2/73 sinA a-3,故选D. b 400.一 396.75* 解析:.AB AC,AC-1,AB-/3 sinB' sinB= sinC 4 bsin C6sin60*V2 .'$BC=AB+AC*=2.同理得BD=/6 2 ..'c..BC. C 3 由三校锥的平面展开图知,展开前点F与 234 参考答案 点P重合, 2),解得6-7,.c-5. 404.A .$BF=BD= 6,AE=AD=3$$ 解析:设a=BC=1,b=AC=5, = C 在△ACE中,AC=1,AF=③,CAE AB..'cos 2 ## 30”. 0 3 '$CE=AC+AE-2AC·AE·cOS30=1: .CF-CE-1. 25-2×1×5x(-3)-32.v c=4/2,故 在△BCF中,BC=2,BF=6,CF=1$ CF*+BC*-BF{ 选A. ..cos FCB 二 2CF·BC = 405.解:'b^{}-a{}+c^-2accosB,64-49+$ 1十4-6 1 c+2c:解得c=3,..AC边上的高为 2X1X2 4 csin A-3sin π3③ $1.A 解析:设a =BC=3,6=AC=4,c 3; AB,则cosC= 406.解:'a-b^+c-2bccosA, 2ab '.9-24+-8c. 16-c)=48,解得c=3,..cosB=$$ a+-689+9-161 *c-8c+15-0,解得c-3或c-5. 2×3×3故选A. 2ac 当c-3时,a-c-3,A=C. .B-2A. .由A+B+C=x,得乙A-C-” '.sinA+cosA= 5 4 .B- 5 1 2: c,矛盾,故舍去: .0<A<n.A-. a?+c2-6?2} 3 当c-5时,cos B= 2ac (2):A--.cos A- 6*+c②-a^{②}1 9-+25-241 2 +c②-a{} 2bc 2. 2×3×5 3.cosA= 2be 'b+c:-a-bc. 24+25-9 2×2/6×5 又-c= 3a..:a-3(b-c). 3 #.c04-~0 -1-1-()-1-1一 .6^}+c?-3(b-c)-bc *$ ^{}+2c}-5bc=0,解得b-2c(b> ) cosB..'.B-2A,满足题意..'.c-5. .a-③c. 6.3 正弦、余弦定理综合 '三a}十c^*,即△ABC是直角三角形 403.解::b-c=2,c=b-2.:b=a+ 407.B 解析:因为(a十c)(sinA一sinC)= -2accosB..,6-9+(-2)*+3( b(sinA一sinB),所以由正弦定理得(a十 235 高考一线 真题研究 数学 c)(a-c)-b(a-b),即a}-c^}-ab-6b}, 解得c-5或c=一7(舍去). 则a^{}+b^}-c^{}=ab,所以$ cosC= (3)由正弦定理得 C sinA *+6-0{}ab1 sinC即 2ab 2ab- 39 5/13 sin 120 sinC,解得 sinC= 26. Cπ ,故选B. 又A=120{},所以B,C都为锐角, 408.2 解析:如图,记AB-c,AC-b,BC-a; 25 339 因此cosC- 52 (解法一)由余弦定理得2{十b{-2×2x 26, $$ cos60{*}-6,解得6-1+、③. 13; 所以 sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= 133v39 239513 7、3 13 -#×-6 26 13 26 B 410.解:(1)证明:.sinCsin(A-B)= 由SAac-Sp+Scp,得 sin Bsin(C-A). '. sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B= sin 60*- 1 sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A. bXsin30*. '.2sin Bsin Ccos A=sin Asin Ccos B+ ③6 23(1+3) sin Asin Bcos C. 解得AD- -2. 3十③ 6士e-a② a*十c2-6{ .2bc· -C. -+ab. 2 2nc (解法二)由余弦定理得2^{}+b^{}一2×2× a*b-” $cos60*-6,解得b=1+③,由正弦定 2ab 6 'b^+c-a-a{,',2a{=b^{+c^} b 理得 2 (2).a-5,.6+c-50. 6十2 2 ,sinC= #2.因为1+3>、6> 又:cosA- 31' ②,所以C-45^*,B-180*}-60*-45^$= '.由a-b{}+c-2hccos A,得25-50- $75 {*},因为 BAD-30^{*},所以 ADB-75^$,$$ ..bc= 31 即AD-AB-2. 2: 409.解:(1)由正弦定理得 $sin A sB,即 '(6+c){}-6^{}+c^*}+2bc=50+31-8 $$ .b十e-9. 39 13 '△ABC的周长为a++c=5+9=14. (2)由余弦定理得a^}-b^{}十c-2bccosA. 即39-4+ei-2x2xcx(-). a=/3m,b-m(m>o),则 236 参考答案 *-^{}+^*}-2 abcosC=3m{}+m-2x$ #sinC3 #3 co CV## 2 =m,c=n. 1 ② 2cosC 2' 选择条件①,ac=③n}= /③,得n=1,故 c=n-1. 2 .. sin(C-30*)-) 2 选择条件②: b*+c②-a{m^{+m^{-3m^{} “.0<C<120. .cosA= 2be 2m^{} '-30*<C-30*90” ## 'C-30*-45*,C-45*+30*$ '.sin C-sin(45*+30)-sin45*cos30+ 3m_3. .sin A- + 2 2 cos45*sin30{- 2 1 十 2 2 .-m-2③. 6十2 414.解:(1)证明:. cos A cos B sin C c=③6矛盾,.三角形不存在 b a C 412.解:'.sinA-2sinB..'.a-2b. . cos A. cos B sinC -1. sinA sin B sinC 4 . cos Asin B+cos Bsin A sin Asin B -1. 'c=a}+b^-2abcosC=4+1-2x2$ $1#(-)-6 sin(A+B) sinC -1,. .sinAsin B sin Asin B -1. '.c-6. ..sin C-sin Asin B. 413.解:(1).(sinB-sinC)*=sin*A- (2)'6?十c”-{二 sin BsinC, b?tc-a .(b-c):-a-bc, .cosA= 2bc ## 整理得6^{+c{-a^{②}-bc, .0<A<n. 6{+c-a{ bc .'.cosA- 1 .sinA- 2bc 7 2bc ## 2. “0* A<180*..'A-60”。 .o03. (2)'A-60*.'B-120{*-C. .sinA4 ./2a+b-2c. 又. cos A cos B sin A sinB -1. '②sin A+sin B-2sinC. .cosB -1- cosA 1 ./②sinA+sin(120*-C)=2sinC. .sinB sinA ### ## . tanBsin B cosB -4. 237 高考一线 真题研究 数学 415.- 解析:.2sinB-3sinC,.',2 sin B=2sin(A-C)=/2(sin A- 2/5 cosA)一 3c,又'b-c= 5 “2c-c= 由正弦定得BsfC' b _C 1 9 所以6csinB 5 ×2-2/10. 2bc ”。 设△ABC中,AB边上的高为h,则由三角 #416. 2π 解析:'3sin A-5sin B..',3a -5$ 3/10 所以h-bsinA-2/10 3a -6. b一 5 57~ 0 418.解:(1)解法一:在△ABC中,因为D为 9a{49a a+B-。 25 25 BC中点,乙ADC-. .cosC= ,AD=1, 2ab 二 1. 则SAo.= X 2π 3. ③ 8 2,解得 6.4 三角形面积 a-4. 417.解:(1)因为A+B=3C,A+B+C=π; 所以3C+C=x,得C-”. 4. 又因为2sin(A-C)=sinB, 在△ABD中,乙ADB- 2π 3 ,由余弦定理得 所以2sin(A-)-sin(3-)A). c*-BD*+AD*-2BD·ADcos ADB$$ 所以 2(sin Acos-cos Asin 即。{-4+1-2×2x×1x(-)-7.解得 3r 7+4-157 c=/7,则cosB= 2/7×2 14 解得sinA-3cos A. 所以 tanBsin B3 coS B5 10. 解法二:在△ABC中,因为D为BC中点; 10 <ADC. 238 参考答案 又S△AC= ③ 2 8= 2. ③ 解得sin ADC-1 },解得a-4. 又0<乙ADC<n,所以之ADC-” 在△ACD中,由余弦定理得6^一CD^{}+ 2. AD*-2CD·ADcos ADB 所以$-c- AD+CD-2. 419.解:(1)因为a^{}-b}+c^②}-2bccosA, 所以 b^*+c*-a2bc cos A -2bc-2. cosA ③,所以AC+AD^{*}=4=CD^.$$ cosA 解得bc-1. 2 acos B+bcos A C BC于E,则CE=ACcosC= #},.AEF= sin Acos B-sin Bcos A sin Bsin(A-B) sin Aoos B十sin Boos A sin C sin(A+B) AC sin C#.# 2, sin B sin(A-B)-sinB -1. sin(A+B) sin(A+B) BE.# #,$所以tanB-AF3# BE 5 整理得sin(A-B)一sin(A+B)=sinB (2)解法一:在△ABD与△ACD中,由余 即-2cos Asin B-sinB. 弦定理得 因为0<sinB<1,所以cosA=- 2. 1 1 ③ 又0<A<n,所以sinA= 2, 62二 1 所以△ABC的面积为SAmc= tbe sinA 1 1 ### 420.解:(1)由余弦定理得BC*-a^②}-b^{+^②}- 3 $ccosA-4+1-2×2x1$ cos120-7$ 2 ,解得sin ADC=1.又0<ADC 则BC-/7. a*+-b7+4-157 cosB一 2ac 2×2×/7 14 解法二:在△ABC中,因为D为BC中点, 所以2AD-AB+AC. 又因为CB-AB-AC. (2)由三角形面积公式得 所以4AD{}+CB{}=(AB+AC){十 1×ABXADxsin 90{ SAn_ (AB-AC)-2(b+c)-16,即4+a^}- 2 S△ACD -4. 16,解得a-2③. 23 高考一线 真题研究 数学 则SAco- (2);-6,△ABC的面积为6/3 ..SAnC= 1 # '-4③. ③ ③ b. 421.解:(1)由题意得S $ $=a*}+6^2}-2abcos C=48+36- x 7 3×6×# # -12, .c=23,.,△ABC的周长为a+b+c .$-S+S- ③ 2. 6/3十6. 3(a{ 6+e)_ 2. .a-b+c-2, . sinC-4. # a*+c-b1 ..cosB 一...accosB-1 .4a=/5c..',4sin A-/5sinC. 2ac ac .'.cosB0. . sin A5 4 5 : 又'sinB= 3. cosB22 1 3 (2):4a=c.cosC-3. 7. 3/2 a*+121- 16 cos B , a十6-? ..cosC= ##。 22 2ab _ .Snc= 1. 2ucsin B= 2 3 4 8 ## C (2).. 2 sin B sinAsinC' '}+6a-55-0,解得a-5. 2 C .: ac sinC sin AsinC sinB sin A 4 3/2 1 1. 4 '△ABC的面积S #### ” 乙, -22. . b sinB2 424.解:(1)'.2sinC-3sinA..'.2c=3a 422.解:'.C(0,)..'.sinC>0. .c=+2...2(a+2)-3a,解得a-4 ..c-6,b-5. 又.sin2C-3sinC. {+6- '.cosC- .2sin Ccos C= /3sinC. 2ab 40 8 3 ..C” '.sinC-1-cos°C= ..cosC一 3/7 2 6 8 240 参考答案 ..△ABC的面积S= 27ab sinC= 圆半径为R,则a-b=2Rsin 3/7157. 5x 2Rsin3 8 (2);c>b>a,..若△ABC为钝角三角 C=2R+③R=4+2③,解得R=2 形,则C为钝角; .a-b-2,c-2③. a”+b”-ca+(a+1)-(a+2)* ..cosC= ..BC边上中线的长为 2b a(a+1) -2a-3<0, (2/3)*+1*-2×23×1×cos 6 -/7 2a(a十1) 选择③,由(1)得A-”. .,a-2a-3 0,解得-1<a 3, 又.a>0...0 a<3 3/3 ·.△ABC的面积为 又:a+b>c, '.a+(a+1)>a+2,解得a>1 2 ..1<a<3. 4 又:a是整数..'.a一2. 解得a-③: .BC边上中线的长为 425.2/② 2π ③ 121 -8. 2· a*+c*-2accosB-12-2x4x # 427.解:(1)''b-a+c-2accosBa=3c .6-2/2. '28-a+c-2accosl50{-7c} 426.解:(1)'.c-2bcosB. 解得c-2,a-2③. '.sin C-2sin Bcos B. 1 '.△ABC的面积S= 2acsinB= ③ :C 2 B (o),B(0,2), (2)':B-150{*,.A+C-30 2· -③. 2' c=3b与c=/2b矛盾,故这样的△ABC 2 不存在. 2: 选择②,由(1)得A- ..sin(C+30) 2 241 高考一线 真题研究 数学 b^{+c-a{} ·'0{C<30”..'30<C+30<60. -bc .cosA 1 2be 2bc 2' ..C+30*-45*..C-15^*。 2π “:AE(0,n)..A- ## 6.5 三角形中的最值(范围)问题 . sin 2B (2)'.'a{}-b*}+c-2bccosA,a-3,A= 428.解:(1).cosA 1+sinA1+cos 2B' '9-b+c*+bc, cos A 2sin Bcos B sin B '(b+c)-b=9,bc=(b+c)-9 2cosB cosB' '.sin B+sin Asin B=cos Acos B. '.sin B=cos Acos B-sin Asin B= ·.(2)()一. cos(A+B)=-cos C=-cos3-2- 2π1 .3(6+e): <9..b十c2③. 4 .C 6 ..△ABC周长的最大值为3十2/3. (2)由(1)知,sinB=-cosC>0. 430.解:(1).·2bsinA-③a. 2 '.2sin Bsin A=3sin A. ":'sin B=-cos C=sin(C-). 2rA: (2) 'A+B+C=r..C- 3 sin?A+sin*B . cos*2B+sin*B sin:C sinC #t A+{o △-$n{A+)+ cos2B+1-cos{B (2cosB-1)+1-cos^$*B$ 2 coS{B oSB 4cos{B+2 --5>28-5-42-5. cosB 由 2π 2.3 0<C- 3 :0 的最小值为4/2-5. 。 $ 29.解:设BC-a,AC=b,AB-$c. (1)*.sinA-sin B-sinC=sin BsinC. '-b-c-bc,'b^+c*-a=-$ , 242