第九章数列-【高考一线·真题研究】2024年高考数学分类必刷1200题

高考一线 真题研究 数学 第九章 数 列 9.1 等差数列 【解题·小帮手】 方,转化成二次函数最值问题 ★两个基本概念 (2)通项法:若a0.d 0,则所有正数项 (1)等差数列:a,-a.-d(nN,d为常 之和最大;若a 0,d0,则所有负数项之 数). 和最小. (2)等差中项:A是a与b的等差中项一A a十b 548.(2023·新课标全国甲文,5)记S.为等差 数列{a。)的前n项和.若a。十a。=10. ★两个基本公式 aa-45,则S- ( ) (1)通项公式:a.=a+(n-1)d-dn十 A.25 B.22 (a:一d)(一次函数形式),其中a:为首项,d C.20 D.15 为公差. 549.(2023·新课标全国乙理,10)已知等差数 n(a.十a) (2)前”项和公式:S。 2 -n+ 。 N*,若S-(a,b,则ab ) 式),其中a为首项,为公差. A.-1 ★四个常用性质 C.0 (1)若a.为等差数烈··nEN'且nn 则a。=a.十(m-n)d-d“--。 550.(2023·新课标全国乙文,18)记S.为等 n一7 差数列a)的前n项和,已知a。三11, (2)若a为等差数列,且m十n一力十o(m; $n-40. n,,qN),则a十a.-a十a.特别 (1)求a的通项公式; 地,若m+n-2p,则a。+a.-2 (2)求数列a的前n项和T。 (3)若a。为等差数列,则数列S。,S。 S..S.-S...(N)是等差数列,公差 为d. (4)若a。),b都是等差数列,S。,T。分别 ★增减性:等差数列a。递增一公差d0:等 差数列。递减一公差<0. ★求S.最值的两种方法 第九章 数 列 DD二0.5.DC: 柏的举步之比分别为OD CC.二 551.(2023·新高考全国一,20)设等差数列 a。的公差为d,且d>1,令b。= n BB _b'BA d; AA.二b。,已知k,k。,k。成 k'CB 记S。,T。分别为数列a。,。的前n项 和. 公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜 ( 率为0.725,则 (1)若3a。=3a+a,S+T=21,求。 ) 的通项公式: (2)若{6。)为等差数列,且S一T。=99 求d. 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 552.(2023·新高考全国二,18)a。)为等差数 555.(2021·新课标全国甲,18)已知数列(a。) a.一6,n为奇数, 的各项均为正数,记S.为a。的前n项 列,。一 记S.,T. 分别 2a。,n为偶数, 和,从下面①②③中选取两个作为条件,证 明另外一个成立, 为数列{a-,{6。)的前n项和,S=32 T-16. ①数列a。是等差数列:②数列/S。是 (1)求。的通项公式; 等差数列;③a。-3a (2)证明:当n5时,T.S。 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一 个解答计分 553.(2022·新课标全国乙文,13)记S.为等 556.(2020·上海,8)已知数列a.)是公差不 差数列a。的前n项和,若2S。=3S,+6. 为零的等差数列,且a,十a。三a。,则 则公差d一 a,十a十...十a。 554.(2022·新高考全国二.3)图1是中国古 代建筑中的举架结构,AA',BB',CC'. 557.(2020·北京,8)在等差数列a。中,a DD是析,相邻的水平距离称为步,垂直 -9.a=-1.记T。=aa:.^a.(n=1,2, 距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面 ...),则数列(T。) ) 的示意图.其中DD.CC,BB,AA是 A.有最大项,有最小项 举,OD.DC,CB.BA是相等的步,相邻 B.有最大项,无最小项 高考一线 真题研究 数学 C.无最大项,有最小项 A.充分不必要条件 D. 无最大项,无最小项 B.必要不充分条件 558.(2019·新课标全国一,9)记S.为等差数 C.充分必要条件 列a)的前n项和.已知S-0,a一5,则 D.既不充分也不必要条件 ) ( 567.(2016·新课标全国一,3))已知等差数列 A.a.-2n-5 B.a.-3n-10 (a前9项和为27,a。-8,则a 。 ) C.S.-2n-8n D.S.三 A.100 B.99 559.(2019·新课标全国三,14)记S.为等差 C.98 D.97 数列{a。)的前n项和,若a::0,a。-3a. 568.(2016·北京,12)已知a)为等差数列, S. 为其前项和,若a-6,a十a:-0,则 560.(2019·北京,10)设等差数列a。)的前 569.(2015·重庆,2)在等差数列(a。)中,若 项和为S。,若a=-3,S=-10,则a= a-4,a-2,则a- ( ) ,S.的最小值为 A-1 B.0 561.(2019·江苏,8)已知数列a。)(nN') C.1 D.6 是等差数列,S.是其前n项和.若a:a。十 570.(2015·北京,6)设a。)是等差数列,下列 a。-0,S。-27,则S。的值是 0 结论中正确的是 ) 562.(2018·北京,9)设(a。)是等差数列,且 A.若a:+a>0,则a。+a>0 a.-3,a。+a=36,则{a。的通项公式为 B.若a:+a<0,则a,+a。<0 C.若o<a<a,则a:>aa。 563.(2018·上海,6)记等差数列(a的前 D.若a<o,则(a -a)(a-a)>0 项和为S。,若a-0,a。+a-14,则S 571.(2015·广东,10)在等差数列a.中,若 564.(2018·新课标全国一,4)记S.为等差数 a+a +a+a6+a-25,则a+a = 列(a。)的前n项和.若3S。-S。十S,a= 2,则a。一 572.(2015·陕西,13)中位数为1010的一组 ) B.-10 数构成等差数列,其末项为2015,则该数列 A.-12 的首项为 C.10 D.12 573.(2014·福建,3)等差数列a。)的前项 565.(2017·新课标全国一,4)记S.为等差数 和为S.,若a,-2,S=12,则a。=( ) 列a,)的前n项和,若a十a。=24,S。= A.8 B.10 _ 48,则a。的公差为 ) C.12 D.14 A.1 B.2 C.4 574.(2014·北京,12)若等差数列a.)满足 D.8 a+a;+a>0,a:十a。<o,则当n= 566.(2017·浙江,6)已知等差数列a。)的公 时,a。的前”项和最大 差为d,前n项和为S。,则“d>0”是“S十 S.2S”的 ( ) 78 第九章 数 列 9.2 等比数列 【解题·小帮手】 576.(2023·新课标全国甲理,5)已知正项等 ★两个基本概念 比数列a。)中,a=1,S,为a.)前n项 和,S-5S-4,则S= ( ~ A.7 B.9 ?70). C.15 D.30 (2)等比中项:G是a与b的等比中项一G 577.(2023·新课标全国甲文,13)记S.为等 士ab(ab+0). 比数列a。的前n项和.若8S。一7S,则 ★两个基本公式 a的公比为 (1)通项公式.-aq-_ ##?(数形 578.(2023·天津,6)已知a。)为等比数列,S. 为数列(a.)的前n项和,a一2S.十2,则 式),其中a为首项,g(o-0)为公比. a.的值为 ( ) (2)前n项和公式: A.3 B.18 n(-1). C.54 {a(1-”)_a--(q≠1), D.152 S.一 1- 579.(2023·新课标全国乙理,15)已知a。)为 其中a为首项.o(g-0)为公比. 等比数列,a2aa-asa。,aoat。--8,则 a二 580.(2022·新课标全国乙,8)已知等比数列 ,寡函数形式),注意指数 (a。)的前3项和为168,a。-a-42,则 A(其中A- 1- ( a。= ) 的系数和常数项互为相反数, A.14 B.12 ★三个常用性质 C.6 D.3 (1)若a。)为等比数列,则a.-aq””(m, 581.(2021·新课标全国二,9)记S.为等比数 nCN). 列a。)的前n项和,若S。=4,S.-6,则 (2)若a.为等比数列,且m十n一p十o(n, S一 ) ,,qN),则a.一a.特别地,若 A.7 B.8 m+n=2,则a=a. C.9 D.10 (3)公比不为一1的等比数列(a。)的前项 582.(2020·新课标全国二,6)数列a。中, 和为S,则S.S-S.S-S,.(kE a-2,a.-ama,若a,+a:十._十 N )是等比数列,其公比为q. 1-215-2,则 - 。 ) A.2 B.3 575.(2023·新高考全国二,8)记S。为等比数 C.4 D.5 列a的前n项和,若S=-5,S。= 583.(2019·新课标全国一,14)记S。为等比 21S,则S。一 ( ~ 数列a。)的前n项和.若a,= 1 A.120 B.85 C.-85 D.-120 则S P 高考一线 真题研究 数学 584.(2019·新课标全国三,5)已知各项均为 A.充要条件 正数的等比数列a。的前4项和为15,且 B.充分而不必要条件 a-3a+4a,则=_. C.必要而不充分条件 585.(2019·新课标全国二,18)已知(a。)是各 D.既不充分也不必要条件 项均为正数的等比数列,a=2,a。=2a。+ 590.(2016·新课标全国三,17)已知各项都为 16. 正数的数列a。)满足a-1,a-(2a- (1)求a。的通项公式 1)a.-2a..-0. (2)设b.一log-a。,求数列(b.的前n项和 (1)求a。,a; (2)求a的通项公式 586.(2018·新课标全国三,17)等比数列a 中,a-1,a-4a: 591.(2015·新课标全国二,4)已知等比数列 (1)求a的通项公式; (a。)满足a-3,a+a+a-21,则a+ (2)记S.为a。的前n项和,若$。=63 a十a= C ) 求m. A.21 B.42 C.63 D.84 592.(2014·大纲,10)等比数列a中,a= 2.a.一5,则数列(lga)的前8项和等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 587.(2017·新课标全国三,14)设等比数列 593.(2014·北京,5)设a。)是公比为g的等 a满足a+a--1,a,-a=-3,则 比数列,则“g>1”是“a。为递增数列”的 一 ( ) 588.(2017·江苏,9)等比数列a。的各项均 A.充分而不必要条件 为实数,其前n项和为S.,已知S。一 7 4 B.必要而不充分条件 63 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 589.(2016·天津,5)设a。)是首项为正数的 594.(2014·安徽,14)已知数列(a。)是递增的 等比数列,公比为。,则“o<0”是“对任意的 等比数列,a+a.-9,aa。-8,则数列 , 正整数n,a十a.<o”的 ) a。的前”项和等于 n 第九章 数 列 595.(2014·广东,14))若等比数列a。)的各 足3a十a.-0,a-- 4 ,则a。的前10 项均为正数,且aoa十aa1=2e,则 项和等于 ( lna:+lna十..十lna= ) 596.(2014·江苏,7)在各项均为正数的等比 A.-6(1-3-”) 数列a.中,若a。-1,a。=a。+2a.,则a C.3(1-3-1*) D.3(1+3-1*) 的值是 597.(2013·新课标全国,6)已知数列(a 满 9.3 差比综合问题 【解题·小帮手】 600.(2022·浙江,20)已知等差数列(a。)的首 若条件是等差数列,主体框架是等比数列, 项a三-1,公差d>1,记a的前n项和 则结合等差数列的有关知识表示出条件,再 为S.(nN). 在等比框架下生成代数式,进一步求解。 (1)若S-2a:a:+6-0,求S; 若条件是等比数列,主体框架是等差数列, (2)若对于每个nEN,存在实数c。,使 则结合等比数列的有关知识表示出条件,再 a。十c.,a。+4c,a+15c.成等比数 在等差框架下生成代数式,进一步求解 列,求d的取值范围 598.(2023·北京,14)我国度量衡的发展有着 悠久的历史,战国时期就已经出现了类似 于法码的、用来测量物体质量的“环权”,已 知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构 成项数为9的数列(a。,该数列的前3项 成等差数列,后7项成等比数列,且a=1, 601.(2021·新课标全国乙文,19)设(a。)是首 a-12,a。-192,则a ;数列 项为1的等比数列,数列(b。)满足b。一 a.所有项的和为 599.(2022·新高考全国二,17)已知a。)为等 3 差数列,(。)是公比为2的等比数列,且 (1)求a。和的通项公式; a-b-a-b-b -a (2)记S。和T。分别为a。和的前 (1)证明:a-b; (2)求集合(lb= +a,1<m<500 中 元素个数. 高考一线 真题研究 数学 602.(2020·新课标全国三,17)设等比数列 606.(2017·北京,10)若等差数列a。)和等比 。满足a+a=4,a-a-8 数列{b满足a=b=-1,a -b =8,则$ (1)求。的通项公式; ## (2)记S.为数列loga。的前n项和,若 607.(2016·新课标全国一,17)已知(a。)是公 S.+S,-S.求m. 差为3的等差数列,数列(b)满足b=1; 3,ab.+b。.,=nb. 1 b一 (1)求的通项公式; (2)求)的前n项和 603.(2019·天津,19(1))设a。)是等差数列. (6.是等比数列,已知a,=4,b-6,b= 2a -2,b=2a。+4,求a。)和{b。的通项 公式. 608.(2015·浙江,3)已知a)是等差数列,公 差d不为零,前n项和是S。,若a。,a,a。 成等比数列,则 ) A.ad>o.dS.>0 B.ad<o.dS<o C.ad>0,ds <o D.ad<0,ds >0 609.(2015·福建,8)若a·b是函数f(x) x-x+q(>0,q>0)的两个不同的零 604.(2018·北京,15)设a。)是等差数列,且 点,且a,b,一2这三个数可适当排序后成 a.-ln2,a+a-5ln2. 等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 (1)求a。的通项公式; p十q的值等于 ( ) (2)求e+e“士...+e。 A.6 B.7 C.8 D.9 610.(2014·新课标全国二,5)等差数列a。) 的公差是2,若a。,a,a:成等比数列,则 (a。的前:项和S。一 _ ~ A.n(n十1) B.n(n-1) C.(n1) D. nGn-1) 2 605.(2017·新课标全国三,9)等差数列a。 的首项为1,公差不为0.若a。,a。,a。成等 611.(2014·天津,11)设a.是首项为a,公 ( 比数列,则a。前6项的和为 ) 差为一1的等差数列,S.为其前n项和,若 A.-24 B.-3 S..S,S成等比数列,则a:的值为 C.3 D.8 s 第九章 数 列 612.(2014·安徽,14)设S。为等比数列a。) 615.(2013·大纲,17)等差数列a。)的前n项 的前n项和,若a=1,且3S,2S,S。成 和为S.已知S=a.且S.S.S.成等比 等差数列,则a。二_. 数列,求a的通项公式 613.(2013·重庆,12)已知a.)是等差数列, a=1,公差d云0,S.为其前n项和,若 a,a。,a:成等比数列,则S。= 614.(2013·新课标全国二,14)已知数列a。 和(b。满足a =1,b-0,4a -3 b.+4,4b..-3b。-a.-4. (1)证明:a。十b。是等比数列,a。一b。 是等差数列; 616.(2012·湖北,18)已知等差数列a.前三 (2)求。和。的通项公式 项的和为一3,前三项的积为8. (1)求等差数列a。的通项公式: (2)若a。,a,a成等比数列,求数列 (a。的前n项和 9.4 求通项公式 【解题·小帮手】 a..十入一力(a。十入),应用待定系数法解得 ★已知前”项和求通项 -_,得数列(a。十入)是以a:十入为首 S,n-1. 注意这是一个分段函 ( S.-S.-1.n2. 项,以)为公比的等比数列. (p,为常数,且0. 数,需要分段求解,最后用n二2的a。来检 (2)若= pu.十o 验. ★累加累乘求通项 .. s (1)累加:a。-(a -)十(a -)+. 1 一,则该式可变为B..,-6,转化为模 十(a:一a.)(n二2)结合数列求和知识求a.. 5 - u 型(1). (2)累乘:a。一 行) 口: (3)若=p。十q,o为常数,且1). a(n一2)结合数列求积知识求a. ①若一,则a一a。十p”,两边同除以 ★构造辅助数列求通项 # 是等差数列. (1)若a。一pa。十(p,o为常数),则可设 高考一线 真题研究 数学 ②若-q,则构造:十”-(。十 (2)若a,a,a。成等比数列,求S。的最 小值. -9 列a。十o”是以a;十ao为首项,以力为公 比的等比数列。 617.(2022·新课标全国乙·4)嫦娥二号卫星 在完成探月任务后,继续进行深空探测,成 为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星, 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期 621.(2021·新课标全国乙,19)记S.为数列 a。的前n项和,b.为数列S的前n项 -,b-1+- 一,...,依此类推. a十一 。 (1)证明:数列{。是等差数列 (2)求a。的通项公式 _ 其中aN(-1,2,.),则 ~ A.b.<b B.b<b C.b<b D.b<b 618.(2022·浙江,10)已知数列(a.)满足a= ~ ###2 5 <100a。<3 <100a100<4 622.(2016·新课标全国三,17)已知各项都为 正数的数列a满足a-1,a-(2a 619.(2022·北京,15)已知数列a。各项均为 Da.-2a-0. 正数,其前n项和S.满足a。·S。一9(n (1)求a。.a; 1,2...).给出下列四个结论:①a。的第2 (2)求数列a。的通项公式 项小于3;②a)为等比数列;③a.为递 的项.其中 所有正确结论的序号是 620.(2022·新课标全国甲理,17)记S.为数 t (1)证明:a。是等差数列; 第九章 数 列 623.(2015·广东,21)数列(a。)满足a十 626.(2009·全国二,19)设数列a。)的前n项 2:..+na,-4-n2 和为S。,已知a=1,S=4a.+2(n 2-7N. N). (1)求a:的值; (1)设b。=a-2a。,证明:数列(b)是等 (2)求数列a。)的前n项和T。 比数列; (2)求数列。的通项公式 624.(2014·大纲,17)已知数列a。)满足a= 627.(2009·陕西,21)已知数列a.)满足a l,a-2,:-2a-a.+2. a.+a(nN'). 1,a-2,a= . (1)令b.一a一a。,证明是等差数列 (2)求的通项公式. (1)令b.一a,一a。,证明b.)是等比数列; (2)求。的通项公式 625.(2010·新课标全国,17节选)设数列 628.(2008·陕西,21节选)已知数列a的首 满足a.-2,a.-a.-3x22*-1.求数列 3 项a a的通项公式 2a.十1 (a.的通项公式 1高考一线 真题研究数学 第九章数列 a1+d=11, a=13, 解得 所以4，=13 2a1+9d=8, d=-2, 9.1等差数列 2(n-1)=15-21. 548.C解析：（解法一）设等差数列{a.}的公 （2)S.=n13+5-2》=14n-n,令 差为d,首项为a1,由题意得a2十a6=a1+ 2 d+a1+5d=10,即a1+3d=5.又a1ag= a,=15-2n>0,解得n<号，且a∈N. (a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1= 当n≤7时，则a.>0,得Tw=a,|+ 2.所以S,=50,十54×d=5×2+10 |az+…+|a.|=a1十ag+…+an-Sn 20,故选C 14n-n2; (解法二)因为a2十a6=2a,=10,a,ag 当n≥8时，则a.<0,得T。=a1|十 a:+…+|a.|=(a1十a4+…+a7)- 45,所以a1=5,a=9,d=二4=1，则 8-4 (aa十…十an）=S1-(S.-S7)=2S, as=a,-d=5-1=4,所以S,=5a3=20, S.=2(14×7-7)-(14n-n2)=n2 故选C. 14n+98. 549.B解析：由题意得a.=a1十(n一1)· 14n-n2,n≤7， 综上，T。 +a因为y n2-14n+98,n≥8. 3a2=3a1+4a, 的周期为3，n∈N°， 551.解：(1)由题意得 2a:=a1+a1, 所以cosa,最多3个不同的取值.又 a:=2a1, 解得 {cosa.n∈N”)={a,b},所以在cosa1: as=3a1· cosa2,cosa1中，c0sa1=cosa:≠cosa3或 所以d=aa一a2=a1, cosa1≠cosa2=cosa,所以cos0 dw=a1+(n-1)a1=na1, os0+）,所以0+(+）=2张，k∈ 所以6.-n+”_n+nn+1 na a. Z,解得0=kx一 因为S3十T3=21, 所ua山=mkx}cosx-)+周 所以60，+9=21，解得a,=(会)或 a1=3, -cos-写）cos=-cos0s写 所以am=3n. (2)设a.=dm+s,bm=d1n十t,其中d>1. 一，故选B 记c.=a。一b.=(d一d:)n十s一1，则{cn}为等 550.解：(1)设等差数列的公差为d, 差数列， a2=a1十d=11, 所以Sm一Tw=cC十cg十·十c9= 由题意得 Sw=1,+10 即 2d=40, 99(c1+cn) =99c0=99,得c0=1. 262 参考答案 又b,=”+n m=dn十s,b.=d1n十t, 当0>5时，工.-S.=(侵+- 5 所以dn+1=”十n dn+s' (n2十4n)= 2(n+2)(n-5)>0,因此 所以n2+n=(d1t+t)(dn+s)=ddn2+ T.>S (dt+dis)n+ts, 所以当n>5时，T.>S. dd=1, 解法二：由(1)知，S.=n(5+2+3》 2 dt+d s=1, 所以 51 2n-3,n=2k-1 ts=0, 解得d一 n2+4n,6.= k∈N' 4n+6,n=2k, 50(d-d1)+s-1=1, 当n为偶数时，T。=(b十b:+…十 552.解：(1)设等差数列{a.}的公差为d,而 bn-1）+(bg+b+…+b.)= a。-6,n=2k-1 b.= k∈N, -1+2(n-1)-3.”+14+4n+6.” 2a,n=2k, 2 2 2 ·2 则b,=a1-6,b:=2ag=2a1+2d,b3= as-6=a1十2d-6, 20+2 S,=4a1+6d=32, a1=5, 所以 解得 当>5时，T.-5=(侵+-(am+ T.=4a1+4d-12=16, d=2, 1 所以am=a1+(n-1)d=2n+3. 4n)=2n(n-D>0,因此T.>S., (2)解法一：由Q)知，5.=n(5+2+3) 当n为奇数时，若n≥3，则T.=(b十 b1十…+bn)十(b2+b+…+bn-1)= 2n-3,n=2k-1, n2+4n,b.= k∈N -1+2m-3.n+1+14+4n-1)+6. 4n+6,n=2k, 2 2 2 当n为偶数时，bn-1十b。=2(n一1)一3十 5 221-2n士2”一5，显然T=6,=一1满 4n+6=6m+1,T.=13+(60+1).” 2 2 足上式，因此当n为奇数时，不。-十 +… ,7 21-5, 当>5时，.-=(侵+-(a+ 当n>5时，T。-S。= 3 )- 2n(n-1)>0,因此T.>S.: (m+4)=2n+2)(n-5)>0,因此 当n为奇数时，T。=Tm+t一bwt= T.>S m+1)+2(n+1)-[4(m+1)+6]= 3 7 所以当n>5时，Tm>S. 553.2解析：由2S:=3S2+6,得2(a1+ag十 +-5 a1)=3(a1+a2)十6，化简得2a3=a1+ 2的 高考一线真题研究数学 a2+6,即2(a1+2d)=2a1+d+6,解得 b)',解得6=0或b=- d=2. 3 554.D解析：设OD1=DC1=CB1=BA1= 当b=0时，a1=a2,a.=a(2n-1). 1,则CC,=k1,BB1=k2,AA1=ka,依题 当n≥2时，aw一a。-1=2a2满足等差数列 意，得kg一0.2=k1,ks一0.1=k,且 的定义，此时{a.为等差数列； DD,+CC,+BB,+AA=0.725,所以 当6=一号时S=0m+6=am 3, OD+DC+CB+BA 0.5十3k,-0.3=0.725,解得k,=0.9,故 S=-号<0不合题意，合去. 综上，{a.}为等差数列. 选D. 7 555.证明：选①②作条件证明③：设√S, 556.8 解析：设{a.}公差为d,由a1十aw=a an+b(a>0),则S。=(an十b). 得a1十(a1+9d)=a1十8d,则a1=-d,所以 当n=1时，a1=S1=(a十b)2: a1十a十十ae= 9a1+9(9-1 -d 2 当n≥2时，aw=S。-S.1=(an+b)2 S @10 a10 a1+9d (an-a+b)2=a(2an-a+26). 27d27 因为{a。}也是等差数列，所以(a十b)= 8d8 a(2a一a十2b),解得b=0, 557.B 解析：由题意知d=a一a1 所以a。=a(21-1),所以a2=3a1. 5-1 选①③作条件证明②： -1-（一9）=2，那么a,=a,+(n-1)d= 因为a2=3a1,{a.}是等差数列， -9+2(n-1)=2n-11. 所以公差d=ag一a1=2a1, 该数列单调递增，且as=一1<0，a6=1> 所以S,=a1+n(n1》 2 d=na1,即 0,这里T。=a1a2…a。表现的是前n项 的积。 S。=√a1n. 通过判断前5项都是负数，即当n≥6且 因为S.+-/S.=a,(n+1)-a1n= n∈N”时，T。<0,则当n=2或n=4时， ar, T.>0(偶数个负数之积为正)，那么T:和 所以{S。}是等差数列. T,必定可以比出大小，即T。有最大值.又 选②③作条件证明①：设√S。=u1+b(a> 当n≥6时，a,≥1，即T,不断减小，且没有 0).则S.=(an+b)2. 最小值，故选B. 当n=1时，a1=S=(a+b): 558.A解析：设{am}公差为d,首项为a1,由 当n≥2时，aw=S。-S.1=(an十b)2 S.=0+a2Dd得S,=a,十 (an-a+b)*=a(2an-a+2b). 因为a=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+ 4×(4-1Dd=6d+4a1=0①，而a:=a1+ 264 参考答案 4d=5②，联立①②解方程得a1=-3,d 方法二：设{a.}公差为d,首项为a1,Ss= 2,所以a。=a1+(n-1)d=-3+2(n- 5(a1+as)5X2a3 2 2 =5a1=-10,所以 D=2m-55,-号+a,号》a= a=一2.又a:=一3，则d=a3-a2=1,故 4n,故选A. a。=ag+(n-2)d=-3十(n-2)=n 559.4解析：设{am}的公差为d,由a2= 5或a.=a4+(n-3)d=-2十(n-3)= 3a1得a1+d=3a1,所以d=2a1,因此 Sw=10a1+1010-1) n-5,因此a,=-4,故S.=(a+a.) 2 2 d=50d.而S5= n(-4+n-5)1 2 m-昌，接下来同方 a+562- /.故1050C这4. 法一 56L.16解析：设公差是d,那么a2=as-3d, 560.0,一10解析：方法一：设{a.}公差为d, a#=ag十3d,则3a十ag=3(a:-3d)+ 首项为a,由S,=a,+n,1Dd得 2 (as+3d)=4a:-6d=0,解得d=2. 5,=5a,+5(5-1 方法一：S8=S。一a,=S。-(a+4d)= -d=10d+5a1=-10 2 27-(3+4×2)=16. ①，而a2=a1十d=一3②，联立①②解方 方法二：由a:=3和d=2得a1=a 程得a1=-4,d=1.所以as=a1+4d= 4d=-5,a8=a5+3d=9,所以S,= -4+4=0,a.=a1十(n-1)d=-4+ 8(a1+ag） =16. 2 (n-1）=n-5,S.=ma1+nn21Dd 2 方法三：由a6=3和d=2得a1=as一 - 1 4d=-5,S,=8a1+8(8D 2 =16. 关于S.的最小值计算有两种方法： 562.6n-5解析：设(am}公差为d,由a2十 ①S,=之-m是关于m的二次函数，且 aa=36得(a1+d)+(a1+4dl)=2a,+ n∈N,抛物线开口向上，对称轴n= 2所 5d=36.又a1=3,则d=36-2a 以当n=4或n=5时，S.最小，故 36-6=6,所以a,=a,+(n-1)d=3+ 5 (S.)最小做=S,=S,=一10. (n-1)×6=6n-3. ②a.=n一5是关于n的一次函数，且n∈ 563.14解析：设{a。}公差为d,首项为a1,则 N',单调递增，as=0,所以S,要取得最小 有a6+a,=(a1+5d)+(a1+6d)=2a1+ 值则需要所有的负数项相加，即前4项或 11d=14①，而as=a1+2d=0②，联立 前5项和最小.又a1=一4，则(S.)am ①②解方程可得a1=-4,d=2. s,=4a+a=s,=5a+a）=-10. 2 2 方法一：S=,+”2》d,得S, 25 高考一线真题研究数学 -4×7+77,1D×2=14. S6>2S5,所以S,+Sa-2S:=(S,-S:)十 2 (S6一S,)=a6一as=d>0,必要性成立.所 方法二：a:=-4+6×2=8,则S,= 以，d>0是S,十Sa>2S的充要条件.故 7(a+a2=14. 选C 2 方法三S,=7aa_7X2a=7a, 567.C 解析：方法一：S,= 9(a1十a 2 2 2 7(-4+2×3)=14. 9×2a=9a,=27,则a,=3,而aw=8.那 2 564.B解析：设{an}的公差为d,由S,=a1十 24得3s=3x2+3合 么a1m=an十90.a0二a=98,故选C. 10-5 方法二：观察S。的末项序号是奇数，那么 1+18.s+8=x242g)+ 中间项序号是号，即中间项为，则 x2售)=12+7a.又s,=S+ Sm=9a,=27,所以a=3,而4o=8,那么 S,则9d+18=12+7d,解得d=-3,所 aw=aw+90·0g=98,放选C 以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10,故 568.6解析：设{am}公差为d,由题意得a十 选B. 565.C解析：方法一：设{a.}公差为d,首项 a6=2a,=0,则a4=0,d=aa1= 3 为a,所以由S.=a1+21》4得 2 9=-2.S,=6×6+6x(6-1D×( 0一6 3 2 s.=6a,+6X(6-D4=15d+6a,=48 2)=6. 2 569.B解析：因为a十a6=2a4a6=2a:一a:= ①，而a:+a=(a1+3d)+(a1+4d) 0,故选B. 2a1+7d=24②，联立①②解方程得a1 570,C解析：A:a:十as=(a1+a,)+2d,虽 一2，d=4,故选C 然a1十a:>0,但因d的正负不明，所以 方法二：由S,=na十a)得s, 2 a:十a3正负不确定，故A错误. 6(a十a）=3(a1十4s)=48,则a,+as= B:因为a1+a1=2a2<0,则a2<0,但 a1正负不定，无法说明a1十a2<0,故B错 16①.又a4+as=24②，所以②-①得 误。 (a,+a5)-(a1+aa)=(a1+3d+a1+ C:因为a>a1>0,所以由基本不等式得 4d)-(a1+a1+5d)=2d=8,所以d= 4.故选C. a十a>a1a成立，故C正确. 2 566.C解析：充分性：因为d>0,所以S,十 D:(a:-a1)(a,-as)=-d2≤0，故D错 S6-2Sm=(S,-S:)+(S.-S:)=ae 误，故选C as=d>0,充分性成立.必要性：因为S,十571.10解析：方法一：因为ag十a?=a4十 266 参考答案 a6=2a5,所以a3+a,+as+a8+a; 有的正数项相加，即当n=8时，S最大. 5a5=25,因此a5=5,所以a:+ag=2a5 9.2等比数列 10. 方法二：因为3+4+5+6+7=5×5，所以 575.C解析：设等比数列{am}的公比为g,首 由“若x1十x2十…十。 项为a1.若q=1,则S。=6a1=3X2a1= n(色+++z）(其中+x++x∈ 3S2,与题意不符，所以q≠1：由S,=一5， N),则a十a十…十a,=a- S,=215,得11g2=-5.411-92 1-q 1-q (其中x,(i=1,2,…,n)∈N")”得aa十 21xa11=g20. 1-q a4十a5十a6十a7=5a5=25,因此as=5,所 由①得1+q2+g'=21,解得g=4, 以a2十ag=2as=10. a1-g）_a1-g2×1+ 572.5解析：设首项为41，如果只看首项、末项 所以S。= 1-9 1-9 和中位数的话，那么这三个数满足等差中项， g)=-5×(1+16)=-85,故选C. 即4+2015=1010，则a1=5. 576.C解析：因为Ss=5Sx一4.所以1+q十 2 q2+q+q=5(1+g+g”)-4,即g3+ 573.C解析：设{a.}公差为d,由S.=na1十 g=4g+4g°，即g+q2-4g-4=0,即 n(-1Dd和a1=2,得S,=3×2+ (g-2)(g十1)(q十2)=0.由题意知q>0, 2 所以q=2,所以S,=1+2+4+8=15,故 3×(3-1) 2 d=3d+6=12,则d=2,所以 选C. a。=a1+5d=2+10=12,故选C. 解析：若q=1,则由8S=7S3,得 574.8解析：因为7+8十9=3×8，由“若 8·6a1=7·3a1,则a1=0,不合题意，所以 q≠1：当q≠1时，因为8S。=7S1,所以8· （其中十x十…+之∈N),则a,十 a1=g2)=7.a1g）,即8·1 1-q 1-g a十…十ax.=u-t(其中x,(i=1, q)=7·(1-g),即8·(1+g)(1 g3)=7·(1-g3),即8·(1+g)=7,解得 2,…,n)∈N°)”得a,十ag+am=3ag>0, 即ag>0.继续利用ag,又7十10=8十9，所 以a十aw=ag十a,<0,由ag>0,得ag< 578.C解析：当n=1时，a2=2a1+2,即a1g= 0.设{a.}的公差为d,显然d=a,-ag<0, 2a1+2,① 由“a,=a,+(n-1)d=dn+(a1-d)"知 当n=2时，aa=2(a1十a:)+2,即a1q°= 等差数列的函数特征为类一次函数，因为 2(a1+a19)+2,② d<0,所以该数列单调递诚，则可得前8项 联立①②解得a1=2,g=3,则a4=a1g=54, 为正项，从第9项开始为负数项，则只有所 故选C 267 高考一线真题研究数学 579.一2解析：设{a.}的公比为q(q≠0)，则 25-2=2(24-2),所以k=4,故选C a2a,aa=aaa6=a:q·asq,显然aw≠0，则 5812 解析：方法一：因为6十2=2×4，则 a1=g°，即a1g=q,则a19=1,因为 a4a:=ai,又a=a6,故aa2=a6,所以 aga1n=一8，则a1q3·a19°=-8，则g5 (g)3=-8=(-2),则g=一2，则a1= a=1.设a,的公比为g:故g=8= a11 a19·q3=q3=-2. 3 580.D解析：设等比数列{am}的公比为q, q≠0，若q=1,则a2一a5=0,与题意矛盾， 3,则s=a1-9)3(1-3) 121 1-4 1-33 所以q≠1，则由题意得 方法二：设{a.}的公比为q,由a=as得 ata:ta,=4(1-q') a1=96, 168, 1-q 解得 1 a19=ag,则g=1 =3,所以S5= a:as=a19-a1q=42, =2 所以a。=a1g°=3，故选D. a,1-g)301-3) 121 1-9 1-3 3 581.A解析：方法一：结合上一题的小结论由 584.4解析：设{am}的公比为g,则由as 医童骨骨-1+-号 3a,+4a1得a1q=3a1g2+4a1,即q= 3 3g2+4,解得g”=4. 2则g=2而S2=Ag-A=4,解得 因为{a。}各项均为正数，故q=2,那么 A=-8,那么5，=A0-A=-8×(广 S,=a1+ag+a,+a:=a1(1+q+g+ q3)=15a1=15,则a1=1, (一8)=7，故选A. 所以a=a19=4. 方法二：由“等比数列的片段和依旧是等比 585.解：(1)设{a。)的公比为q,由a1=2,aa 数列，即若{a,是等比数列，其公比为q,前 2a2+16得2g2=4g+16,即(q-4)(q十 n项和为S.,则S.,Sn一S。,Ssm一S依 2)=0.因为{a.}各项都是正数，所以g=4, 然是等比数列，其公比q'=g”,得(S,一 故a.=2X4”1=22-1 S,)=(S。-S4)S,即S,=（SS) (2)由(1)知a。=22-1,则b.=1og2a S,=(6-4)+6=7,所以S。=7.故选A 1og22w-1=2n-1,所以b1=1,bw*1一bn 4 2,故b.}是以b:=1为首项、以d=2为公 582.C解析：当m=1时，由atm=aam得 差的等差数列.设{b}的前n项和为S.,则 a+1=a1a,=2a,则2+1=2，所以数列 s.-1+(20=D]m=m. 2 {a.}是a1=2,公比q=2的等比数列.而 586.解：(1)由题意知g=8=4,解得q a+1十a+进十…十a+1o=S+10一S是 21-2）_2(1-2)=2(2*0-2*)= 士2，所以当q=2时，am=21:当q= 1-2 1-2 一2时，an=(-2)"-. 268 参考答案 (2)当g=2时.S.=11-9"）=1-2 必要性：若aw-1十an=a1qa-十a1qn-1= 1-91-2 a1g(1+g)<0,则a1(1十q)<0,因为 2"-1=63,解得m=6. a1>0,所以g<-1,满足q<0,故必要性 当g=-2时，S=a1-g) 1-q 成立，故选C 590.解：(1)当n=1时，41=1，a-(2a2 1-(-2)”=63,即(-2)=-188，此方程 Da:-2a:=-0,得：=2.即a:-2当 无整数解。 综上，m=6. 2-(2a-D)u:-20, 587.-8解析：设{a.}的公比为q,则a1+ 0,得3a,-即a,= 3 ②得 a1g=-1①，a1-a1g=-3②， (2)因为{a.}各项都是正数，所以a.+1>0, a1二a14=1-q=3,解得g=一2③.再将 ataiq 则a.一2a+1=0,即2-2所以a是 ③代入①式得a,=1,则a,=a1g3=( 1 2)1=-8. 以a,=1为首项、g=2为公比的等比数 588.32解析：设{a.}的首项为a1,公比为q, 列，则a,一2 a1(1-q) 63 则=1 1-q =1+g2=7 591,B解析：设{am}的公比为q,则a1十a十 a(1-g)1-q as=a,(1+q+q)=3(1+q2+q)=21, 1-q 9,解得q=2. 即1十g2+'=7,解得g3=2,所以aa十 又S,=a1-2 as十a7=(a,+a:十as)q=21X2=42,故 1-2 =7a,=子则a=所 选B. 以a,=a9=4×2=32, 592.C解析：设{lga。}的前n项和为S。,则 Sg=lga1十lgag十…十lga,+lgas= 通过以上两题我们发现了一个小结论：在 lg(a1a2…a,ag),而1+8=2+7=3+6 等比数列(a.)中，若q=1,则 S 4十5，则a1a4=a:a,=a3a6=a4。=2X a1(1-g) 5=10,故a1a2…a:ag=10°，则Sg=lga1十 1-9=19=1+g lgag十…+lga?+lga#=lg(a1a2…a?ag)= a1(1-q")1-g" lg10=4,故选C. 1-4 593.D解析：充分性：由“a.=a1g-1=cg 589.C解析：充分性：设{am}的首项为a1,那 么aw-t十aw=a1gm-2+a1g= 其中c=)”知，因为g>1,所以g单调 a1g-(1十q),虽然a1q->0,但1十q 递增，但c=正负不定，所以无法说明单 正负不确定，所以a-1十am正负不定，故 充分不成立 调性，故充分性不成立 269 高考一线真题研究数学 必要性：若{a,}为递增数列，则c=a1>0. a,1-g9) 4非-(》州 1-9 =3(1 g”单调递增，即g>1且a1>0,或c=a1< -(》 31),故选C 0,g”单调递减，即0<g<1且a1<0,所以 必要性也不成立 9.3差比综合问题 因此，q>1是{am}为递增数列的既不充分 598.48384解析：（解法一）设前3项的公 也不必要条件，故选D. 594.2”一1解析：方法一：因为1十4=2十3， 差为d,后7项公比为9>0.则g-。 则a:·a:=a1·a:=8,又a十a,=9,且 102=16,且q>0,解得g=2,则a,=1+ 12 (a.}是递增的等比数列，则解得a1=1, 4=8.设{a.的公比为q,则g=√2 24-号即1+2=3.所以d=1.所以 aa=3,a,=4ag=48,a1十a2十…十ag= ,9=2.设其前n项和为S,则S,目 1+2+3+3×2+…+3×2°=3+ 3(1-2) a1(1-q")1-2" 1-2 =384. 1-g 1-2 =2"-1. (解法二)因为{a.},3≤n≤7为等比数列， 595.50解析：因为10+11=9十12，所以 则a=aa=12×192=48,且a。>0,所 aian=asa1g,由a1ua11十aga2=2e得 以a,=48. aoau=aa2=e,又lna1+lnaz+…+ 又因为a=aa1,所以a4=a=3.设后 lna20=ln(a1a2…a0),而a1ag…a20= (aoam)"=(e)°=e,所以lna1+ 7项公比为q>0,则g-:=4.解得g lna2+…十lna=ln(a1ag…ao)= lne"=50. 2,所以a1+a2+43= 3(a+as2=6,a,+ 2 596.4解析：设{a.}的公比为g,则由a#= a+a:+as十a,十as+a=a,二a9 as十2a,得d2q°=a2q'+2a2q2,即q'= 1-q q2十2，解得q=2,所以am=a2q'=4. 3-192X2=381,所以a1十a:+…+a, 1-2 四7.C解析：由题意得“=-了，所以1a, 6+391-a,=384. 599.解：(1)设等差数列{a.}的公差为d,则 4 是以a1= 3 1 1 =4为首项、公比为 a1+d-2h,=a1+2d-4b1, 2 解得 所 33 a1十d-2b1=81-(a1+3d), a=2' g=一号的等比数列，所以5。 以a1=b. 270 参考答案 (2)由(1D知，b,=a1=2,所以b:=a.十 601.解：因为{a.}是首项为1的等比数列且 a1,3a2,9a3成等差数列，所以6a2=a1十 a台b,×2-1=a1十(m-1)d十a1,化简得 9a3· 2-1=2m,所以m=2*-∈[1,500]，解得 所以6a1q=a1+9aq2,即9g-6g+1 2≤k≤10，所以满足等式的解k=2,3, 1 4,…,10,故集合{k1be=am十a1,1≤m≤ 0,解得q=3 500}中的元素个数为10一2+1=9. 600.解：(1)因为S,-2a2a3+6=0,a1=-1, 所以a,=(传，所以6，=号- 所以-4+6d-2(-1+d)(-1+2d)+ 1×- 6=0, (2)证明：由(1)得S.= 化简得d一3d=0,又d>1,所以d=3, 13 所以a.=3n-4, 所以s.=(ata,)n=3n2-5n 2 2 1 T.=3+3 (2)因为dw十c,am+4c.,a+2十15cm成 等比数列，所以(aw+1十4c。)=(a.+c.) .+++”+ 3”3@ (a.+2+15c.), 即(nd-1+4cn)2=(-1+nd-d+c.)(-1十 3" nd+d+15c), -动 化简得c号+(14d-8nd+8)c.+d=0. 3币 2 -) 因为关于c。的方程c十(14一8d十8)c。十 d=0有实数解， 3m+行， 所以△=(14d-8nd+8)2-4d2>0, 即(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)≥0对 所以T,--)-2 于任意的n∈N恒成立， 所以[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]≥0对 于任意的n∈N恒成立. 当n=1时，[(n-2)d-1][(2n-3)d 3 )= 2·30<0, 2]=(d+1)(d+2)≥0： 所似T,<受 当n=2时，由(2d-2d-1)(4d一3d 602.解：(1)设(a.}的公比为q,由a1十a2 2)≥0，解得d≤2： 当n≥3时，[(n-2)d-1][(2n-3)d a11+q)=4,得g≠1≠0，故9ga1= a1+a19 2]>(n-3)(2n-5)≥0. 又因为d>1,所以1<d≤2. ,g-1=员=2.则g=3.义a,十 1+q 271