第二章一元二次函数、方程和不等式-【高考一线·真题研究】2024年高考数学分类必刷1200题

第二章一元二次函数、方程和不等式 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1不等关系与不等式性质 【解题·小帮手】 38.(2015·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉 ★实数大小的比较 刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三 (1)a>b=a-b>0:a=b=a-b=0:a< 个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉 b=a-b<0. 刷面积（单位：m)分别为x,y,z,且x< (2a∈R.b>0,8>1Pa>b:分=1pa=bi y<之，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ m)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的 <l-<h 方案中，最低的总费用（单位：元）是() A.ax+by+cz B.az+by+cx ★不等式的性质 C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz (1)a>b=b<a, 39.(2014·四川，5)若a>b>0,c<d<0,则 (2)a>b.b>c-a>c. 一定有 () (3)a>b→a+c>b+c. (4)ab,e0→ac>a>b,c<0→ac<b. A.a>6 c-d B< (5)a>b,c>d→a+c>b+d. (6)a>b>0.c>d>0ac>bd. c (7)a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2). 40.(2012·湖南，7)设a>b>1,c<0,给出下 (8)a>b>0→a>6(n∈N,n≥2). 列三个结论：①日>6②u<b:③1oga a ★判断不等式成立的常用方法 一c)>log.(b一c).其中所有的正确结论的 (1)函敏性质法：利用常见画数的单调性： 序号是 () (2)作差法：判断差值的正负： A.① B.①② (3)特殊值法：根据题设条件合理赋给字母 C.②③ D.①②③ 特殊值，化抽象大小关系为具体数值比较 41.(2010·辽宁，15)已知-1<x+y<4且 大小 2<x-y<3,则之=2.x-3y的取值范围是 (答案用区间表示) 36.(2019·新课标全国二，6)若a>b,则( 42.(2010·江苏，12)设实数x,y满足3xy2 A.In(a-b)>0 B.3"<3 C.a-b>0 D.la> 8,4≤≤9，则的最大值是 37.(2017·北京，8)已知x,y∈R,且x>y> 43.(2007·上海，13)已知a,b为非零实数，且 0,则 () a<b,则下列命题成立的是 () 0 B.sin x-sin y>0 A.a<62 B.ab'<ab c.(g广-()'<0D.nx+in>0 C11 aba'b D. b 5 高考一线真题研究数学 2.2一元二次不等式 【解题·小帮手】 ★一元二次不等式在某区间上恒成立问题 ★判别式、求根公式、根与系数的关系 设f(x)=ax+b.x十c(a≠0)，则 一元二次方程ax十bx+c=0(a≠0)的判 (1)当a>0时，f(x)<0在区间[a,3]上恒 别式△=b-4ac. f(a)<0, 成立一 (1)当A<0时，方程没有实数根， f(3)<0. (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根 (2)当a<0时，f(x)>0在区间[a,3]上桓 b x1=t4=2a f(a)>0, 成立台 f(3)>0. (3)当△>0时，方程有两个不相等的实数根 1x,且x1a=二6士v-4ae 44.(2020·新课标全国一，1)已知集合A= 24 {xx2-3.x-4<0},B={-4,1,3,5},则 it;=- it:= ,x1-x: A∩B= () aC(当两根的差是常数时，用此结论 A.{-4,1} B.1,5} a C.{3,5} D.{1,3 方便快捷). 45.(2020·山东春，12)已知二次函数y= ★三个“二次”的关系 a.x+bx十c的图象如图所示，则不等式 若不等式a.x十b.x十c>0(a>0)解集为{x a.x2十bx十c>0的解集是 () x<x1或x>x:}或.x2十bx十c<0(a>0) 的解集为{xx1<x<x:,则x1,E:是对应 y=ax+bx+c 二次方程《.x2十b.r十c=0的两个实敦根，也 是对应二次函数f(x)=a.x十bx十c的 零点 A.(-2,1) ★一元二次不等式在R上恒成立问题 B.(-∞，-2)U(1,+∞) (1)不等式ax十b.x十c>0在R上恒成立 C.[-2,1] 当a=0时，b=0,且c>0或当a>0时，且 D.(-∞，-2]U[1,+∞) 4<0. 46.(2019·新课标全国一，1)已知集合M= (2)不等式ax十b.x十c<0在R上恒成立台 {x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}, 当a=0时，b=0,且c<0或当a<0时，且 则M∩N= () 4<0. A.{x|-4<x<3} 6 第二章一元二次函数、方程和不等式 B.{x|-4<x<-2} fx0的解集为<-1或x>引， C.{x|-2<x<2} 则f(10)>0的解集为 ) D.{x2<x<3} A.{x|x<-1或x>-lg2} 47.(2018·新课标全国一，1)已知集合A B.{x-1<x<-lg2} {xlx一x-2>0},则C.A= () C.(xlx>-lg 2) A.{x|-1<x<2 D.xlr<-lg 2) B.{x|-1≤x≤2 51.(2014·江苏，10)已知函数f(x)=x2+ C.{.x|x<-1}U{xx>2 m.x一1，若对于任意的x∈[m,m+1],都 D.{xx≤-1}U{xx≥2} 有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为 48.(2015·广东，11)不等式-x2-3x十4>0 的解集为 .(用区间表示) 52.(2012·福建，15)已知关于x的不等式 49.(2013·重庆，7)关于x的不等式x2 x2-a.x十2a>0在R上恒成立，则实数a 2a.x-8a2<0(a>0)的解集为(x1,xz),且 的取值范围是 x2一x1=15,则a= () 53.(2012·江苏，13)已知函数f(x)=x2+ A号 a.x十b(a,b∈R)的值域为[0，+o∞)，若关 C 号 于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m十 6),则实数c的值为 50.(2013·安徽，6)已知一元二次不等式 2.3基本不等式 【解题·小帮手】 2若a>0.b>0.则，2，≤b<“士 11 2 ★重要不等式：若a,b∈R,则a十b≥2ab(当 且仅当4=b时取等号). a”+6 （当且仅当a=b时取等号）. 2 ★基本不等式：若a≥06>0，则“，>⑦ ★利用基本不等式求最值 (当且仅当a=b时取等号). (1)如果积ub等于定值P,那么当a=b时， ★重要不等式链：(1)若a,b∈R,则ab 和a十b有最小值2P;如果和a十b等于 <0告”（当且仅多=6时取年 定值S,那么当a=b时，积ab有最大值 1 号) 7 高考一线真题研究数学 (2)注意事项：①“一正”就是各项必须为正 58.(2021·浙江，8)已知a,3,Y是互不相同的 数：②“二定”就是“和或积”是定值：③“三相 锐角，则在sin acos3,sin3cosy,sinycoso三 等”就是验证等号能够成立 个值中，大于，的个数的最大值是() ★常用重要变形：(1)“1”的代换（代数或三角 代换)：(2)“配凑”变形：(3)整体换元 A.0 B.1 C.2 D.3 54.(多选题)(2022·新高考全国二，12)若x, 59.(2021·天津，13)若a>0,b>0,则1+ y满足x2十y-xy=1,则 ( ) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 是+6的最小值为 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 60.(多选题)(2020·新高考全国一，11)已知 55.(2022·新课标全国甲，16)已知△ABC a>0,b>0,且a十b=1,则 () 中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD= 2.CD=2BD,当A取得最小值时，BD Aa+6≥号 B2>号 56.(2021·新课标全国乙，8)下列函数中最小 C.log2a+logb≥-2 值为4的是 D.√a+石≤2 A.y=x2+2x+4 61.(2020·天津，14)已知a>0,b>0,且ab= B.y=lsinl+Isin xI 4 1期哈+立+。6的最小值为 C.y=2+2- 62.(2020·江苏，12)已知5.x”y2+y=1(x, D.y=Inr+inz 4 y∈R),则x+y2的最小值是 57.(2021·新高考全国一，5)已知F1,F:是椭 63.(2019·天津，13)设x>0,y>0,x+2y 圆C:号+号-1的两个焦点，点M在C 5,则x+12y+D的最小值为 √xy 上，则MF:|·MF:的最大值为( 64.(2017·山东，12)若直线2+y=1(a>0, a b A.13 B.12 b>0)过点(1,2)，则2a十b的最小值为 C.9 D.6 8高考一线真题研究数学 sin(2nπ+3)=sinB:当k=2n+1(n∈ 40.D解折：0>b>10<<分：e< Z)时，sina=sin(2nx+x-B)=sin(r B)=sin3,即充分性成立：若“sina 0∴合名①正确：帮函数f) a sinB”,则a=2kπ十3或a=2k元十（π x(c<0)在R上是减函数，且a>b>1, B)=(2k+1)π-3(k∈Z),整理得a=kπ+ f(a)<f(b),即a<b,∴.②正确： (一1)3(k∈Z),即必要性成立，故选C c<0,∴.-c>0,a>b>1,a-c>b c>1-c>1.对数函数g(x)= 第二章一元二次函数、方程和不等式 logx(a>1)底数越大，图象越低，且a> 2.1不等关系与不等式性质 b>1,.log(a-c)>log.(b-c),∴.③正 确，故选D. 36.C解析：，f(x)=x在R上是增函数， 41,(3,8)解析：设x=2.x-3y=m(x十y)+ 且a>b,.f(a)>f(b),即a>b2, n(x一y)=(m+n)x+(m-n)y,则 ∴.a3-b>0,故选C 1 m十n=2, m=- 2 37.C解析：“f(x)=(（ 在R上是减函 解得 ∴.z=2x- m一=一3， n=2' 数，且x>y>0,.f(x)<f(y),即 2)<2广.…()-(<0，故选c 2x+y)+ 3y- x-y).-1<x+ 38.B解析：，x<y<,a<b<c,x-g<0, y<4,2<x-y<3-2<- 2(x+y)< a-c<0,b-c<0, 1 2x+y)+ ∴.(a.x十by+cz)-(az十by+cx)=a(x x)十c(x-x)=(x-x)(a-c)>0, 2x-y)<8,x∈(3,8). ∴.ax+by十cz>a+by+cx. (ay+bz+cx)-(ay+bx+cz)=b(z- 4227解析：3<cy≤8,4≤1≤9， x)+c(x-≈)=(g-x)(b-c)<0, ..ay+bz+ex<ay+bx+cz. ,(ax+by+ex)-(ay+bz十cx)=a(之 y)+b(y-x)=(x-y)(a-b)<0, 27,.的最大值是27. .ag+by+cx<ay+bx+cx,故选B. 39.D解析：由题意，令a=2,b=1,c=-2, 43.C解析：取a=一2，b=一1，则a2=4, b b b2=1,a2>b2,排除A:令a=0,b=1,则 d=-1.则=-1-1号- ab2=a”b=0,排除B:令a=1,b=2,则 号名放选D 白=2>公-)·排除D.故选C a 184 参考答案 对于任意的x∈[m,m+1门，都有f(x)<0成 2.2一元二次不等式 f(m)=m2十m2-1<0, 立，则 44.D解析：，A={xx2-3x一4<0}= f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-1<0, {x1-1x<4},B={-4,1,3,5},.A∩ 解得 <m<0,,实数m的取值范围 B={1,3},故选D. 2 5.A解析：不等式a.x+bx十c>0的解集 为9o 是函数y=ax+bx+c的图象位于x轴上 52.(0,8) 解析：，关于x的不等式x2 方的部分对应的x的取值范围，即一2< ax十2a>0在R上恒成立，.判别式△ x<1,故选A. (-a)￥-4×1×2a<0,即a2-8a<0,解 46.C解析：M={x|一4<x<2},N= 得0<a<8,.实数a的取值范围是(0,8). {xx-x-6<0}={x-2<x<3}, 53.9解析：，函数f(x)=x2十ax+b(a .M∩N={x|-2<x<2},故选C b∈R)的值域为[0，十o∞)，.判别式△= 47.B解析：：A={xx2-x-2>0》={x x<-1或x>2},.CRA={x|-1≤x≤ a-6=0.得6-不等式f)< 2},故选B. 48.(一4,1)解析：一x2一3.x+4>0, 的解集为(m,m十6)，即x+ax+4一c< .x2+3x-4<0,.(x+4)(x-1)<0, 0的解集为(m,m+6),.(m十6)-m .-4<x<1,.不等式一x2-3.x+4>0 的解集为（一4,1）. 化简得c=9. 4织.A解折：由1x,-,=一如C.得 lal 2.3基本不等式 15-=2a4X(-80】,化商得15= 1 54.BC解析：(x+y)=x2+y2+2xy, .x+y2-xy=(x+y)2-3xy,:x2+ 6a,则a-号，故选A y2-xy=1,∴.(x+y)2-1=3xy≤ 50.D解析：：一元二次不等式f(x)<0的 3x+)-1≤3(，解 解集为女r<一1或x>引∴可设) 得-2≤x十y≤2，当且仅当时x=y= (-x-1D(-》…f10)>0可化为 -1时，x+y=-2;当且仅当x=y=1时， x十y=2,.A错误，B正确：x十y 10+1D10-2<0.10<< y=1.∴(x2+y)1=y≤2少，解得】 g号-g2.故选D, x2+y≤2，当且仅当x=y=士1时取等号， C正确x2+y-xy=1∴（女-）+ 解析：函数∫(x)=x2十 mx一1的图象为开口向上的抛物线，若 185 高考一线真题研究数学 则x=c0s0+im0.y= 3 后sin0,∴.x2+ 1+4在(0,2]上单调递减，当1=1时， y=os0+3n0+ 2 ymm=5,排除B:y=2+22x的定义域为 sin 0cos 0=1+ 3 R,:2>0·y=2+2=2+2 2-4:当且仅当2-即2-2，即 0-)∈[层小当= 3’y 1时取等号y=4:y=h十的定义 、气时满足等式，”2十少≥1不成立， 域为(0,1)U(1,+o),,lnx∈R,nx≠0， ∴.D错误，故选BC. 当nx=1时y=lnx士0青 =-5, 55.3-1解析：如图，设BD=m>0,则 排除D,故选C. CD=2m. 永，C解折：椭圆C的方程是写+学-1， .∴a2=9,a=3,∴.|MF1|+|MFz|=2a=6, MF,·Mr,≤M,+MF=9. 2 B D 当且仅当MF,|=|MF,|=3时取等号， 在△ABD中，AB=BD2+AD-2BD· 故选C AD·cos∠ADB=m+4+2m,在△ACD 中，AC2=AD+CD2-2AD·CD· 58.C解析：：sin acos月≤sina+cos9 2 cos☑ADC=4m2+4-4m,则AC AB sn8eos7≤n9 cos,sn7cosa≤ 2 4m+4-4m_4m2+4+2m)-12(m+1) m2+4+2m m2+4+2m sin'+cosasin acos +sin Beos 2 4-12(m+1) =4- 12 sin≤nato9+sinco十 (m+1)+3 m+10+3≥4 2 2 m+1 sin'y+cos'a3 2 sin acos B.sin Bcos 7. 12 =4一23，当且仅当 3 2/(m+1D· m十1 如0a不可能均大于公取a-看=号 m+1=3 11 十T即m=3-1时取等号，故 y=开则sin acos月=是2im月osy 当分S取得最小值时，BD=m=-1. 6、1 42'sin Ycos a= 百~故三个中 56.C解析：：y=x+2.x十4=(x+1)+ 大于2的个数的最大值为2，故选C 3≥3，当且仅当x=-1时取等号，∴.ymm= 3,排除A:令t=Isinz∈(0,1]，则y= a,2区解折：a>0.6>0日+是+6≥ 186 参考答案 2后+6=+6≥2层6=2 2 ≥2×-当且仅当 当且仅当。 2 =b,即a=b=√2时等 ,即y=1 4y 品时取等号十 号成立日+后+b的最小值为22。 少的最小值为 63.43 解析：x>0,y>0,x+2y=5, 60.ABD y>0, (x+1)(2y+1) a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等 Vry 2xy+x+2y+1_2.xy+62/2xyX6 号，.A正确：a十b=1,.b=1-a,a> Vry √xy Vry 0,∴.a-b=2a-1>-1,∴.2->2-1 4√3，当且仅当2xy=6,即xy=3且x+ 2B正确；1og:a十1og:b=1og:ab≤ 2=5,即x=3y=1或x=2y=2时取等 1oge)=1og-2.当且仅当a= 号：.+1)3y+D的最小值为45. ry b=2时，等号成立，C不正确：： 64.8 解析：直线乙+=1(a>0,b>0)过 (a+√b)2=1+2√ab≤1+a+b=2, 点(1,2. 1,2 =1.a>0,b>0, ÷a+万<2，当且仅当a=b=2时，等 号成立，.D正确，故选ABD. ∴2+6=(2a+6)×(侵+2)=4+ a 4解析：a>0,b>0,b1,氏2元中 伯+g)≥4+22×g-8,当且仅当 +6++。 8 2 合号且+号=1，即0=26=4时取等 a b a 8 号，∴.2a+b的最小值为8. a+b 8 a十b =4,当且仅当 a+b_8 2a十b,即a+b=4且ab=1,即a 第三章函数 2-5,b=2+3或a=2+3,b=2 3.1计算基础 后时等号成立心女十动十。子6的最小值 65.ACD解析：由题意得60≤20X1gP≤ 为4. 90,解得1000p≤p1≤10000√10po.同理可 62.解析：5ry2+y=1.y≠0月 得100/10p≤p2≤1000p,p,=100p。,所以 x'=I-y' C正确：因为p≥1000p:≥p2,所以A正 确：因为10pa=1000p。≥p2,所以B错误： 187