精品解析：陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第四次检测数学试题

神木四中2023~2024学年度第二学期高二第四次检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程得到斜率，再运用公式求出倾斜角即可. 【详解】因为直线，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：D． 2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 3. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 【答案】A 【解析】 【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以， 当时，， 则. 故选：A. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可通过求导得出，然后代入即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：D. 5. 已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，即可得出离心率. 【详解】设长轴为，焦距为， 由题意有，得. 故选：C. 6. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 7. 设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率分布列性质，概率之和为1，求出，再求出，运用线性运算性质，求出即可. 【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得， ， ， . 故选:C. 8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值． 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ， ， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得或． 故选：D． 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ） A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量 C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，选项A，为非确定性关系， 选项B为相关关系，且为正相关关系． 选项C，为非确定性关系， 选项D，为相关关系，且为正相关关系． 故选：BD 10. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可. 【详解】由在上是增函数，故A正确； 对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误； 函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确； ， 定义域为， 在定义域内不是增函数，故D错误； 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次 C. 若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，通过计算即可判断B；先对进行排列，再将放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；分3人，1人一组，和2人，2人一组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可. 【详解】因为，故A错误； 因为6人两两握手，共握（次），故B正确； 先在5个位置中选出3个位置，对进行全排列，剩下两个位置将放入即可， 故有：（种），而正确的共有1种， 所以可能出现的错误共有（种），故C正确； 因为， 当按3，1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组， 再将两组分配到两个不同科室中：共（种）分法， 当按2，2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科， 故有：（种）分法，故共有（种）安排方法，故D错误． 故选：BC 12. 某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为，下列说法正确的是（ ） A. 若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种 B. 若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种 C. 甲中奖的概率为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得甲第1次投掷正面朝上的点数为3时甲中奖的可能情况判断选项A；求得甲第3次投掷正面朝上的点数为5时甲中奖的可能情况判断选项B；求得甲中奖的概率判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】当时，甲中奖情况有种，故错误； 当时，甲中奖情况有种，故B正确； 甲中奖情况如下：当时，共有1种； 当时，共有种；当时，中奖情况有种， 当时，共有种； 记“”的事件为A，则中奖的可能情况共有种， 所有可能情况有种，，故C正确； 四人参加抽奖，每人中奖的概率均为， 中奖人数，所以，故D正确． 故选：BCD． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知的展开式中含的项的系数为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出含的项的系数，结合已知即可得解. 【详解】的展开式中含的项的系数为，解得. 故答案为：. 14. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______. 【答案】－1 【解析】 【分析】求f(x)在x=0处导数值，根据导数的几何意义即可计算． 【详解】，则，则，解得． 故答案为：－1． 15. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________. ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出的值，即可判断选项③④. 【详解】由题意知，成绩非优秀的学生数是， 成绩非优秀的学生数是70，所以， 选项①正确、②错误； 根据列联表中的数据， 得到 因此没按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 故③错误，④正确， 故答案为：①④. 16. 已知两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由可能的取值，计算相应的概率，得到期望和方差，根据方差的算式，利用基本不等式求最大值. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 ， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为． 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 解：因为，， 所以， 又， 所以. 因为也满足，所以. 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，，. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）因为四边形是矩形，， 所以 又因为，，所以平面 因为，所以平面，， 又，所以平面，从而. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可证得. （2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，所以，又， 故， 设为平面的法向量，则即， 取，解得， ∴为平面的一个法向量 显然，为平面的一个法向量 则. 据图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 19. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）5.10万人 【解析】 【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案； （2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论. 【小问1详解】 由， ， 有， ， 故y关于x的经验回归方程为； 【小问2详解】 由（1）知经验回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为5.10万人 20. 袋中有5个白球､4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率： （1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出1个黑球. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式计算即可； （2）通过求对立事件的概率进而求解即可； （3）通过求对立事件的概率进而求解即可； 【小问1详解】 根据题意，设从中摸出白球的个数为，则服从超几何分布， 所以， 即摸出2个或3个白球的概率为. 【小问2详解】 由（1）得，， 即至少摸出1个白球的概率为. 【小问3详解】 至少摸出1个黑球： ， 故至少摸出1个黑球的概率为. 21. 每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图. （1）求a的值； （2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 不常参加体育锻炼人员 总计 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）； （2） ； （3）列联表如下： 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 150 50 200 不常参加体育锻炼人员 110 90 200 总计 260 140 400 有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a值作答. （2）利用频率分布直方图估计平均数作答. （3）结合给定的频率分布直方图列出列联表，再计算的观测值，并与临界值比对作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得， 所以. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得： ， 所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间. 【小问3详解】 常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：， 则“睡眠不足”的人数为50； 不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：， 则“睡眠不足”的人数为90， 列联表如下： 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 150 50 200 不常参加体育锻炼人员 110 90 200 总计 260 140 400 因此， 所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. 22. 设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点. （1）若点为线段的中点，求直线的方程； （2）证明：以线段为直径的圆恒过点. 【答案】（1） （2）证明： 因为在抛物线上， 当直线过时，，解得，满足， 此时有一点与重合，易得此时以线段为直径的圆过点； 当直线不过时， 由（1）可得， 则，， 所以 ， 所以， 因此，此时以线段为直径的圆恒过点， 综上所述，以线段为直径的圆恒过点 【解析】 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，消去得到，从而中点坐标可以用表示，从而求出并得到直线的方程. （2）分直线l过不过B点进行讨论，结合（1）可得，利用韦达定理可以得到，从而以线段为直径的圆恒过点. 【小问1详解】 联立方程组，消去得. 设，则. 因为为线段的中点，所以，解得，此时， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神木四中2023~2024学年度第二学期高二第四次检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A. 23.4 B. 23.6 C. 23.8 D. 24.0 4. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 7. 设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ） A. B. C. D. 或 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ） A. 学生的身高与学生的化学成绩 B. 汽车行驶的里程与它的耗油量 C. 人的年龄与年收入 D. 水果的重量与它的总价 10. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次 C. 若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法 12. 某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为，下列说法正确的是（ ） A. 若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种 B. 若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种 C. 甲中奖的概率为 D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知的展开式中含的项的系数为，则__________. 14. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______. 15. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________. ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，，. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 19. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 20. 袋中有5个白球､4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率： （1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出1个黑球. 21. 每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图. （1）求a的值； （2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关. 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 不常参加体育锻炼人员 总计 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 22. 设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点. （1）若点为线段的中点，求直线的方程； （2）证明：以线段为直径的圆恒过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $