精品解析：江西省鹰潭市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷

鹰潭市2023—2024学年度下学期期末质量检测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1. 已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：，则， 所以在复平面内的共轭复数对应的点位，位于第一象限. 故选：A. 2. 若角的终边经过点（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用任意角三角函数定义求正弦值和余弦值再计算即可. 【详解】，为坐标原点， 则，， 故. 故选：C. 3. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，， 在中，，则三角形的周长为． 故选：D． 4. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用数量积的坐标公式求出，进而得出的坐标，再利用两向量夹角余弦的坐标公式计算，结合特殊角的三角函数值得出答案； 【详解】， 所以，， ∴， ∵，∴. 故选：C. 5. 已知，，是三个不重合的平面，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误． 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：设，在平面内任取一点（不在、上）， 作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理， 可得，，又，即，，所以， 又因为，，可得，又，即，所以，故B正确； 对于C：若，则或与相交，故C错误； 对于D：若，则与相交，不一定是垂直，故D错误. 故选：B 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解 【详解】由和差化积公式， 得， ， 两式相除，所以. 所以. 故选：B． 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三棱锥放入长方体中，结合长方体的结构特征求外接球的半径和表面积. 【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，如图所示 则，则 因为球的直径即为长方体的体对角线，可知球的半径为， 所以球的表面积是. 故选：A. 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角：当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知，，分别是的内角，，的对边，且，，若为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和正弦公式得到，然后利用余弦定理得到，利用题目的结论和等面积的思路得到，最后求数量积即可. 【详解】 由， 则有， 即， 由，故，则有，即，即； ∴，∴， 又， ∴， 设，，， ∵， ∴三角形的三个角均小于120， ∴根据题意可得， 又， ∴， ∴， ∴ . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用复数除法化简复数，再根据复数的实部、共轭复数、模和乘法运算计算判断各个选项； 【详解】， 对于A，的虚部为，故A正确； 对于B，的共轭复数为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 函数（）的图象如图所示，则有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，把点代入，求出，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】依题意，， 由时，取最大值， 得，，解得，， 而，解得，，的最小正周期为，A错误； 是偶函数，B正确； 的图像关于对称，C错误； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：BD. 11. 在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，则（ ） A. 该正四棱台的高为3 B. 球的表面积为 C. 该正四棱台体积为56 D. 动点的轨迹长度是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取正方形的中心，正方形的中心，连接，，，过点作于点，则为正四棱台的高，根据已知条件计算判断，对于B，外接球球心在直线上，连接，，利用勾股定理列方程求出外接球半径，从而可求出球的表面积，对于C，利用棱台的体积公式计算判断，对于D，求出，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，从而可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A，取正方形的中心，正方形的中心， 连接，，，则平面，过点作于点， 则平面，，， ∵，，∴，， 故，， ∴， ∵，由勾股定理得，故A错误； 对于B，正四棱台外接球球心在直线上， 连接，，则，如图所示. 设，则，由勾股定理得 ，∴， 解得，则，故表面积，故B正确； 对于C，正四棱台的体积 ，故C正确； 对于D，如图所示，，勾股定理得 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，且刚好与边、相切， 故轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱台的有关计算，考查棱台的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，从而可求出外接球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在方向上的投影数量是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，，再结合投影数量的定义分析求解. 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影数量是. 故答案为：1. 13. 已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先用诱导公式对函数进行化简，再利用三角函数的周期公式、最值求得答案； 【详解】 ， 所以，，由题意得为最小值，为最大值， 所以最小为半个周期，所以的最小值为， 故答案为：. 14. 正方体棱长为，为线段的动点，为线段上一动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，连接，，由题意可知当为等腰三角形，当垂直于时最短，从而确定的位置，延长至，使得，连接，当，，三点共线时，最小，结合勾股定理，即可求解. 【详解】如图，连接，， 则由题意可知当为等腰三角形，当垂直于时最短， 此时为中点，面， 如图延长至，使得，连接， 则面，且， 所以，，面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示和； （2）若，与的夹角为60°，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案； （2）结合（1）的结果，利用数量积的运算律，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. ， 即； 因为是的中点， 所以， ∴. 【小问2详解】 因为，与的夹角为60°， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 16. 已知函数（），其相邻两个对称中心之间的距离为. （1）求实数的值及函数的单调递增区间； （2）将图象上所有点向平左移个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间是（）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得，再由相邻两个对称中心之间的距离为，可求得，即，再根据正弦函数的单调性即可求解； （2）由三角函数的图象变换可得，然后将的零点问题转化为直线与函数在的图象的交点个数问题，再结合几何图形求出实数的取值范围. 【小问1详解】 依题意， 因为相邻两个对称中心之间的距离为， 所以的周期，解得， 所以， 由，， 得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由，可得， 由，， 得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在的图象如图所示： 因为在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个交点，此时， 所以实数的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图取中点，连接，， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形，即得，由线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）结合题意可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积法即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面的距离为， 因为，平面，平面，所以平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ∵，，底面为菱形，为正三角形， 底面，底面，故, 得，，所以， 所以， 所以，所以， 所以到平面的距离为. 18. 在中，已知， （1）求的长； （2）若的平分线交点， （i）若，求的长； （ii）求的最大值.； 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）对已知等式化简变形后，利用正弦定理转化为边的形式，再结合可求出的长； （2）（i）利用余弦定理求出，然后利用角平分线的性质可求出的长；（ii）设，，由可得，再利用余弦定理表示出，然后利用三角恒等变换公式化简可求得结果. 【小问1详解】 由题意得， 得到， 所以， 由正弦定理，得到， 又，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）如图所示，在中， 由余弦定理得， 所以， 所以，所以， 因为为角平分线，所以， 所以， 所以. （ⅱ）设，， 因为， 所以，又，， 所以，由余弦定理 ， 所以， 当时，取到最大. 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可求； （2）设，依题意可得，，从而得到，，对赋值，可求出复数的值所组成的集合； （3）依题意得，即方程的根为，分析可得，再令即可求解. 【小问1详解】 依题意，， 所以 ， ∴. 【小问2详解】 设，则 因此，，则，，解得，， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为0，，，，，. 因此对应的依次为1，，，，，， 所以所求的集合是. 【小问3详解】 当时，，， 则，，， 因此关于的方程的根为，则， 又，，，…， 由此，则， 令，得， 而2019为奇数，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹰潭市2023—2024学年度下学期期末质量检测 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上. 1. 已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若角的终边经过点（），则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是三个不重合的平面，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是（ ）. A. B. C. D. 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角：当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知，，分别是的内角，，的对边，且，，若为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 函数（）的图象如图所示，则有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 11. 在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，则（ ） A. 该正四棱台的高为3 B. 球的表面积为 C. 该正四棱台体积为56 D. 动点的轨迹长度是 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在方向上的投影数量是______. 13. 已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为______. 14. 正方体棱长为，为线段的动点，为线段上一动点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示和； （2）若，与的夹角为60°，求. 16. 已知函数（），其相邻两个对称中心之间的距离为. （1）求实数的值及函数的单调递增区间； （2）将图象上所有点向平左移个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 在中，已知， （1）求的长； （2）若的平分线交点， （i）若，求的长； （ii）求的最大值.； 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $