第1章 集合与逻辑 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第1章 集合与逻辑 单元综合检测 一、填空题 1．已知全集，，则 2．下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 3．集合，则实数 4．陈述句“存在实数x，”的否定为 . 5．已知集合，用列举法表示为 . 6．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 7．已知集合，且，则 . 8．已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 9．集合，集合，则 ． 10．如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为    11．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 12．集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则 . 二、单选题 13．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题 17．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 18．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 19．已知，且，，且或 (1)若，，求实数a的值. (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 20．设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围； 21．对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑 单元综合讲义 一、集合及其运算 1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性； 2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法； 3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x满足P｝；读法：满足条件P的x的集合； 4．空集Ø是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 5．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“，⊆”表示集合与集合间的包含关系． 6．给出下列条件： ①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素； ②集合B至少存在一个元素不在集合A中； ③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素， 如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A⊆B）； 如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（AB）； 如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）. 注意：①A⊆B，讨论时别忘A＝Ø的情况；考察集合的关系借助韦思图； ②几个特殊数集之间的包含关系为：NZQRC（N*表示正整数集）； ③正确区分Ø、{0}、{Ø}：Ø是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0．{Ø}是含有一个元素Ø的集合，其关系为：Ø{0}，Ø{Ø}，Ø∈{Ø}． 7．集合的含义： （1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域； （2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域； （3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合·· 8．集合间的基本运算： (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作A，即A＝{x|x∈U，且x∉A}． 9．运算性质： A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C； Ø⊆A∩B＝B∩A⊆A（或B）⊆A∪B＝B∪A； A∩B=A∪B ;A∪B =A∩B ;Ø =U; U =Ø 10．几个结论： 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3.容斥定理：记集合M中的元素的个数为Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card（A∩B)(可推广到有限个集合) 11．正整数（整数）分类：被2整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）； 被3整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）； 被4整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k∈N（或Z），k≥1）；其余依此类推． 二、命题 1.命题的概念 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 2.命题的形式 在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 用集合的语言描述：满足α满足β 3.真命题，假命题 命题：“若p,则q”,如果由题设p能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命题. 温馨提示 一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题， (2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，则不是命题。 (3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。 (4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。 (5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 【知识拓展】四种命题及其等价关系 （1）一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出。记作：；读作：“推出”；换言之：表示以为条件、为结论的命题是真命题。 如果，，并且；那么；读作：“与等价” 又推出关系满足传递性：，那么； （2）复习初中学过的命题与逆命题的知识 定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题； 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定叫做互否命题； 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定叫做互为逆否命题； （3）若为原命题条件，为原命题结论； 则： 原命题：若 则 逆命题：若 则 否命题：若 则 逆否命题：若 则 在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假； 三、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p⇒q”, 这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q,记作p ⇏q, 这时称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 . 2 .充要条件 一般地，如果既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作 p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q, 那么p与q互为充要条件. 3.常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p与q的关系如下： 原命题 逆命题 p与q的关系 结论 真 假 p ⇒ q 且 q ⇏p p是q的充分不必要条件 假 真 p ⇏q且q⇒ p p是q的必要不充分条件 真 真 p ⇒ q且q⇒ p p是q的充要条件 假 假 p ⇏q 且 q ⇏ p p是q的既不充分也不必要条件 四、证明命题成立的方法 1．综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 → →…→ →→…→ 文字 语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2．反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法． (2)反证法的证题步骤： ①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 3.常见词语的否定词语 原词 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多 有一个 至多 有n个 至少 有一个 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也 没有 4.充要条件及其判定(A、B分别可以是命题，也可以是一个“开语句”) 若A⟹ B (或B ⟸ A), 则A是B的充分条件 若 A ⟸ B (或 A⟹ B), 则A 是B的必要条件 若 A ⟺ B (或A⟺ B), 则A 是B的充分必要条件，简称充要条件， 5.充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 6.充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇 （1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB， 若p是q的必要不充分条件，则BA； （2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件， 若N⊆M，则p是q的必要条件， 若M＝N，则p是q的充要条件； ( 第 2 页 共 5 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑 单元综合检测 一、填空题 1．已知全集，，则 【答案】 【分析】根据补集的定义直接求解. 【解析】由题全集，，所以. 故答案为：. 2．下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【答案】① 【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断. 【解析】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 3．集合，则实数 【答案】2 【分析】根据集合间关系可知，即可求出. 【解析】因为， 所以，解得， 故答案为：2 4．陈述句“存在实数x，”的否定为 . 【答案】所有实数x， 【分析】根据存在量词命题的否定形式可得. 【解析】由存在量词命题的否定形式可知： “存在实数x，”的否定为“所有实数x，”. 故答案为：所有实数x， 5．已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【解析】， 故答案为：. 6．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 【答案】且 【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可. 【解析】“或”的否定为“且”. 故答案为：且 7．已知集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解. 【解析】因为，所以或，解得或， 当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去； 当时，经检验，符合题意，所以． 故答案为：． 8．已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【点睛】由是的充分非必要条件，集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【解析】因为是的充分非必要条件， 所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 9．集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可. 【解析】依题意，由，解得或， 所以. 故答案为： 10．如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为    【答案】 【分析】根据韦恩图及集合的运算表示即可. 【解析】由韦恩图可知阴影部分表示集合中集合的补集与集合的公共部分， 所以可以表示为. 故答案为； 11．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解. 【解析】由可得， 由于，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 所以,故Q的真子集个数为， 故答案为：7 12．集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则 . 【答案】-1 【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案. 【解析】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况 ①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积； ②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个 ③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个 其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0， ④只含元素-1的子集1个，满足， 综上：所有子集中元素乘积. 故答案为：-1 二、单选题 13．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 14．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【解析】充分性： 因为:整数能被2整除，所以设此数为， 则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立； 必要性： 因为：整数能被6整除，所以设此数为， 则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立. 综上所述，是的必要非充分条件. 故选：B 15．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【解析】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【解析】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、解答题 17．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)是的真子集 (2) 【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集； （2）分，和三种情况，求出答案. 【解析】（1）， 时，， 故是真的子集 （2），故， 当时，，满足要求， 当时，若时，，解得， 若时，，解得， 故实数的取值集合为. 18．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】结合判别式、根与系数关系，先证得充分性，然后证得必要性. 【解析】①充分性： 因为， 所以方程的判别式，且两根积， 所以方程有两个同号且不相等的实根. ②必要性： 若方程有两个同号且不相等的实根， 设两根为， 则有，解得. 综合①②可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证. 19．已知，且，，且或 (1)若，，求实数a的值. (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定； （2）利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到a的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以由数轴法可得，解得， 此时，或，满足，， 故. （2）因为p是q的充分条件，所以， 又因为， 所以结合数轴可得，或，得或， 所以满足p是q的充分条件的实数的取值范围为. 20．设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合B元素情况分类求解即可. 【解析】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以. （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解； 综上，. 21．对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【解析】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$