第06讲 解三角形（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第06讲 解三角形（6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考11题 2024春考5题 解三角形 正弦定理 2023秋考8、11题 2023春考18题 余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何问题 正弦定理、三角形面积公式 2022秋考19题 2022春考8题 正余弦定理和面积公式 正弦定理和余弦定理 2021秋考18题 2021春考18题 正、余弦定理的应用、三角形面积求法 正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用 2. 命题规律及备考策略 【备考策略】 一、解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围． 二、解三角形实际问题的步骤 一、正弦定理、余弦定理及综合应用 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 二、解三角形的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 知识讲解 考点一．利用正弦定理解三角形 1．（2024•普陀区校级三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b＝　　． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，进而利用正弦定理可求b的值． 【解答】解：因为， 且A，B为三角形内角； ∴sinA，sinB； ∴由正弦定理可得：b． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 2．（2024春•普陀区校级月考）在三角形ABC中，已知A＝120°，B＝45°，AC＝2，则三角形面积S＝　　． 【分析】先利用正弦定理求出BC，再利用sinC＝sin（180°﹣120°﹣45°）＝sin（45°﹣30°）求出sinC，最后通过三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵A＝120°，B＝45°，AC＝2，由正弦定理得， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 3．（2023•青浦区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝　120°　． 【分析】已知sinC＝2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数． 【解答】解：将sinC＝2sinB利用正弦定理化简得：c＝2b， 代入得a2﹣b2＝3bc＝6b2，即a2＝7b2， ∴由余弦定理得：cosA， ∵A为三角形的内角， ∴A＝120°． 故答案为：120°． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 4．（2023•浦东新区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若5acosA＝bcosC+ccosB，则sin2A＝　　． 【分析】直接利用正弦定理和同角三角函数的关系式的变换及二倍角公式求出结果． 【解答】解：由于5acosA＝bcosC+ccosB， 利用正弦定理：5sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA， 由于A∈（0，π）， 故cosA， 所以，故sinA， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 考点二．正弦定理与三角形的外接圆 5．（2024•徐汇区模拟）在△ABC中，AC＝1，，，则△ABC的外接圆半径为 　1　 【分析】可求得∠B，利用正弦定理即可求得答案． 【解答】解：在△ABC中，∵AC＝1，，， ∴∠B＝π，设△ABC的外接圆半径为r， 由正弦定理得：2r， ∴r＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 6．（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为 　　． 【分析】由已知结合余弦定理可求出cosA，再由同角平方关系求出sinA，结合正弦定理即可求解． 【解答】解：设a＝2，b＝3，c＝4， 由余弦定理得，cosA， 所以sinA， 由正弦定理可得，2R． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 7．（2024•徐汇区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则该三角形外接圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A，再根据正弦定理求出外接圆半径即可． 【解答】解：∵，∴c﹣2b+2acosC＝0，∴sinC﹣2sinB+2sinAcosC＝0． ∴sinC﹣2sin（A+C）+2sinAcosC＝0， ∴sinC﹣2sinAcosC﹣2sinCcosA+2sinAcosC＝0， ∴sinC﹣2sinCcosA＝0，∵sinC＞0，∴， ∴，设该三角形外接圆的半径为r， 由正弦定理得， ∴r＝1． 故选：A． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 8．（2023春•长宁区校级期中）已知△ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，a＝4，cosB． （1）若sinA＝2sinC，求△ABC的面积； （2）设线段AB的中点为D，若，求△ABC外接圆半径R的值． 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得a＝2c，可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． （2）由已知在△BCD中，利用余弦定理可得BD2+2BD﹣3＝0，解得BD的值，可求c＝2，在△ABC中，由余弦定理可得b的值，进而利用正弦定理可得△ABC外接圆半径R的值． 【解答】解：（1）因为sinA＝2sinC， 所以a＝2c， 又a＝4， 所以c＝2， 因为cosB， 所以sinB， 所以△ABC的面积SacsinB． （2）因为线段AB的中点为D，若， 在△BCD中，由余弦定理可得19＝16+BD2﹣2×4×BD×（），整理可得BD2+2BD﹣3＝0，解得BD＝1或﹣3（舍去）， 所以c＝AB＝2， 在△ABC中，由余弦定理可得b2， 所以由正弦定理可得△ABC外接圆半径R． 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 考点三．余弦定理 9．（2024•黄浦区校级三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c．若，b＝c，则A＝　　． 【分析】在△ABC中，运用余弦定理：cosA，代入计算即可得到． 【解答】解：∵cosA， 又∵A∈（0，π），∴A． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题． 10．（2024•黄浦区校级三模）△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝4S，则角C＝　　． 【分析】由三角形的面积公式及余弦定理可得tanC的值，再由角C的范围，可得角C的大小． 【解答】解：由题意可得a2+b2﹣c2＝4S＝4absinC＝2absinC， 由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2abcosC， 所以可得sinC＝cosC，即tanC＝1， 而C∈（0，π）， 所以C． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题． 11．（2024•静安区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝5，c＝7． （1）求角C的大小； （2）求sin（A+C）的值． 【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解； （2）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【解答】解：（1）a＝3，b＝5，c＝7， 则cosC， C∈（0，π）， 则C； （2）b＝5，c＝7，C， ， 则sinB， A+B+C＝π， 则sin（A+C）＝sinB． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 12．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数． （Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的单调性可得所求区间； （Ⅱ）由三角形的余弦定理求得A，可得B的范围，再由正弦函数的图象和性质，可得所求取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）， 令，则， 所以，单调减区间是． （Ⅱ）， 由得：b2+c2﹣a2＝bc， 由余弦定理可得cosA，于是三角形的内角， 在△ABC中，得， 于是， 则， 所以， 则f（B）的取值范围是[，1）． 【点评】本题考查三角形的余弦定理和三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 考点四．三角形中的几何计算 13．（2024•杨浦区校级三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）试判断△ABC的形状； （Ⅱ）若c＝1，求△ABC周长的最大值． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式化简已知等式可得，由余弦定理得a2+b2＝c2，可得，即可得解△ABC是直角三角形； （Ⅱ）由（Ⅰ）及题意可得△ABC周长为，，利用正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）因为，得， 可得，即， 由余弦定理得，即a2+b2＝c2， 可得，所以△ABC是直角三角形； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形ABC中，a＝sinA，b＝cosA， 所以△ABC周长为，， 所以当时，即△ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为． 【点评】本题考查了二倍角公式，余弦定理，两角和的正弦公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 14．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，扇形AOB中，圆心角∠AOB，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧于点P． （1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长； （2）若∠COP＝θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值． 【分析】（1）通过已知条件，利用余弦定理，求出PC即可； （2）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把关系式变形成正弦型函数，进一步求出最值． 【解答】解：（1）在△POC中，∠PCO，OP＝2，OC＝1 由 得PC2PC﹣3＝0，解得PC（负舍去）． （2）在△POC中，由余弦定理可得OC2+PC2OC•PC＝4， 又OC2+PC2OC•PC≥（2）OC•PC， 即（2）OC•PC≤4 当且仅当OC＝PC时等号成立． 所以△COP面积S1． ∴θ时，S取得最大值为1． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用．属于中档题． 15．（2024春•松江区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B； （2）若D是AC边上的点，且AD＝3DC＝3，∠A＝∠ABD＝θ，求sinθ的值． 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得，再根据三角恒等变换化简求解即可． （2）根据题意，在△ABC中利用正弦定理求得BC，在△BDC中利用余弦定理求得BC2，由此列方程求出sinθ的值． 【解答】解：（1）△ABC中，，所以， 由正弦定理得，， 因为sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC， 所以； 又因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以sinB＝cosB，即tanB， 又因为B∈（0，π），所以B． （2）因为D是AC边上的点，且AD＝3DC＝3，∠A＝∠ABD＝θ， 所以∠BDC＝2θ，AD＝BD＝3，DC＝1，AC＝4， 在△ABC中，由正弦定理得，， 所以BC8sinθ， 在△BDC中，由余弦定理得，BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CDcos2θ＝10﹣6cos2θ， 所以64sin2θ＝10﹣6cos2θ，所以52sin2θ＝4，解得sin2θ， 又因为θ∈（0，），所以sinθ． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 16．（2024春•长宁区校级期中）如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上． （1）求C处与小岛A之间的距离； （2）求A，B两座小岛之间的距离． 【分析】（1）在△ACD中利用正弦定理计算可得； （2）在△CDB中利用余弦定理求出BC，再在△ACB中利用余弦定理求出AB． 【解答】解：（1）由题可知在△ACD中：∠ACD＝75°，∠ADC＝45°， 所以∠CAD＝60°， 由正弦定理可得：， 所以AC（海里）． （2）由题可知在△CDB中：∠BCD＝30°，∠CDB＝120°，所以∠CBD＝30°． 所以BD＝CD＝100 （海里）， 由余弦定理可得：BC2＝CD2+BD2﹣2CD•BDcos∠CDB ＝1002+1002+1002＝30000， 所以BC＝100（海里）， 由题意可知，在△ACB中，∠ACB＝45°， 由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB ＝（）2+（100）2﹣2100， 所以AB（海里）， 所以A，B两座小岛之间的距离为海里． 【点评】本题主要考查了解三角形问题的实际应用．考查了学生分析解决问题的能力． 考点五．解三角形 17．（2024•浦东新区校级三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC． （1）求A； （2）若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求cosA，进而可求A； （2）结合三角形面积公式可求出a及bc，然后结合余弦定理即可求解b+c，进而可求三角形周长． 【解答】解：（1）因为（2b﹣c）cosA＝acosC， 由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC， 即2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB， 因为在△ABC中，sinB≠0， 所以． 又因为0＜A＜π，所以； （2）因为△ABC的面积为，BC边上的高为1， 所以，得． 即，所以bc＝4． 由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即12＝b2+c2﹣bc，化简得（b+c）2＝3bc+12， 所以（b+c）2＝24，即， 所以△ABC的周长为． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 18．（2024•闵行区校级模拟）如图，河宽50米，河两岸A、B的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A走水路直接到B，也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到B的最短时间为 　8.66　分钟．（精确到小数点后两位） 【分析】过点B向河对岸作垂线，垂足为点O，设气垫船从点C开始走水路，设，将所需时间表示为关于x的函数，利用导数求得最小值． 【解答】解：过点B向河对岸作垂线，垂足为点O， 设气垫船从点C开始走水路，设， 则所需时间， 所以，则当时，t取最小值，约为8.66分钟． 故答案为：8.66． 【点评】本题考查解三角形的应用，属中档题． 19．（2024•金山区二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD是救生栈道的一部分，其中BC＝300m，CD＝800m，B在A的北偏东30°方向，C在A的正北方向，D在A的北偏西80°方向，且∠B＝90°．若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B﹣C﹣D，则最短距离为 　475　m．（结果精确到1m） 【分析】先在三角形ABC中求出AC，再利用正弦定理，在三角形ADC中求出sinD，进而转化到三角形ACE中求解即可． 【解答】解：作AE⊥CD交于E， 由题意可得∠B＝90°，∠CAB＝30°，BC＝300m， 所以AB300m， AC600m， 在△ADC中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 所以cos∠EAD， 所以sin∠EAD≈0.68， 所以cos∠CAE＝cos（80°﹣∠EAD）＝cos80°cos∠EAD+sin80°sin∠EAD ≈0.17×0.735+0.98×0.68 ＝0.12495+0.6664＝0.79135， 在直角△ACE中，AE＝AC•cos∠CAE， 即AE＝600×cos∠EAD≈600×0.79135＝474.81≈475． 故答案为：475． 【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题． 20．（2024•杨浦区校级三模）在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知． （1）求角B的大小； （2）当，时，求边长c和△ABC的面积S． 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合C＝π﹣（A+B）及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出A，结合B可求出C，用正弦定理即可得到c，再使用面积公式即可得到面积． 【解答】解：（1）由正弦定理得， 由于C＝π﹣（A+B），则， 展开得， 化简得， 则，所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为a＜b，所以A是锐角，即， 因为，所以， 由正弦定理，得， 所以 ． 【点评】本题考查由正弦定理、和角公式及三角形面积公式解三角形，属中档题． 考点六．三角形的形状判断 21．（2024•奉贤区三模）在△ABC中，“A”是“sinA”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】观察两条件的互推性即可求解． 【解答】解：∵A”⇒“sinA∴A”是“sinA的充分条件， 但sinA时A有无数解，可以是 A2kπ或A2kπ k∈Z， ∴sinA不能推出A， 故选：A． 【点评】本题考查充分必要条件是高考的热点问题，值得一做． 22．（2024春•徐汇区校级期末）已知三角形的三条边长分别为，若a2+b2＝c2，则此三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【分析】结合余弦定理，以及大边对大角，即可求解． 【解答】解：a2+b2＝c2， 则c＞a，c＞b，a2+b2+2ab＞c2， 则（a+b）2＞c2， 故a+b＞c， 三角形的三条边长分别为， 则对应的角最大，不妨设为角C， 则cosC，角C为锐角， 故此三角形是锐角三角形． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题． 23．（2024春•静安区校级月考）在△ABC中，，则△ABC的形状是 　等腰三角形　． 【分析】结合诱导公式及正弦定理进行化简即可求解． 【解答】解：在△ABC中，， 则asinA＝bsinB， 所以a2＝b2，即a＝b， 所以△ABC的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题主要考查了正弦定理在三角形形状判断中的应用，属于基础题． 24．（2024•徐汇区校级模拟）（1）已知，求的值． （2）已知△ABC中，，且，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）由已知结合两角和的正切公式可求tanα，然后结合同角基本关系可求； （2）由两角和的正切公式先求tan（A+B），进而可求tanC，C，再由二倍角公式及特殊角三角函数值求出B，即可判断． 【解答】解：（1）， 原式， （2）因为， 所以， ，且2B∈（0，2π）， 所以或，即或， 当，则，此时tanA无意义，矛盾． 当，则，满足题意，此时△ABC是正三角形． 【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，三角形的诱导公式及二倍角公式，属于中档题． 一．选择题 1．（2024春•浦东新区校级期中）在中，，，则角的大小为　　 A． B．或 C． D．或 【分析】由已知结合正弦定理先求出，然后结合三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：因为，， 由正弦定理得， 因为， 所以， 故或， 可得或． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形内角和定理的应用，属于基础题． 2．（2023秋•宝山区校级期末）在中，“”是“”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由正弦定理知，由，知，所以，反之亦然，故可得结论． 【解答】解：由正弦定理知， ， ， ． 反之，，， ，， 故选：． 【点评】本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形． 3．（2024春•上海期中）在中，，则一定是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【分析】由余弦定理结合题意得，由勾股定理逆定理即可得解． 【解答】解；， 由余弦定理可得，， ，化简整理可得，，， 故一定是直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题． 二．填空题 4．（2024春•浦东新区校级期中）已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径　2　． 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及正弦定理，即可求解． 【解答】解：的面积为， 则，即， ， 则， ， 则，解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查余弦定理，以及正弦定理，属于基础题． 5．（2024春•黄浦区期中）在中，，其面积为，则边　10　． 【分析】由题意及三角形的面积公式可得的值． 【解答】解：因为中，，其面积为， 所以，即， 解得． 故答案为：10． 【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，属于基础题． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，则最大角的余弦值是　　． 【分析】根据题意及正弦定理设，，，最大角的余弦值是，运算求出结果． 【解答】解：在中，，由正弦定理可得，可以设，，． 故角为最大角，故最大角的余弦值是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，设出，，，是解题的关键． 7．（2024春•闵行区校级期末）在中，角、、所对应的边分别为、、，若，则　　． 【分析】由题意及正弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小． 【解答】解：因为，由正弦定理可得， 在中，， 所以，而， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 8．（2024春•浦东新区校级期末）在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于 　　． 【分析】由条件及正弦定理得，再由三角形的面积公式求得，从而求得，，再由余弦定理即可求得． 【解答】解：因为，所以由正弦定理可得：， 因为在中，， 所以，解得， 所以，， 由余弦定理可得：，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题． 9．（2024春•浦东新区校级期中）中，已知，，，则边的长为 　　． 【分析】由题意利用正弦定理即可求解． 【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理，可得， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 10．（2024春•浦东新区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则　　． 【分析】利用余弦定理的推论即可求解． 【解答】解：由题意， 不妨令，， 则，， 由余弦定理的推论得． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 11．（2024春•黄浦区期中）已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为 　　． 【分析】设底角为，顶角为，则，由题意可得的值，进而的值，再求的值． 【解答】解：设底角为，顶角为，则， 由题意，则， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形内角定理及同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题． 12．（2024春•虹口区校级期末）在中，，，且，则的面积等于　或　． 【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积求出结果． 【解答】解：设， 利用余弦定理：， 整理得：， 即：， 解得：或4． ①当时， ②时，． 故答案为：或． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 三．解答题 13．（2024•徐汇区校级开学）在中，若 （1）判断三角形的形状； （2）如果三角形面积为4，求三角形周长的最小值． 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理化简已知的式子，整理后即可判断的形状； （2）由（1）和三角形的面积列出方程，表示出三角形的边和周长，由基本不等式即可得到最小值． 【解答】解：由题意得，， 由正弦定理得，， ， 化简得，， 所以是直角三角形； （2）由（1）可得，的面积， 则， ，， 的周长， （当且仅当时取等号）， 三角形周长的最小值是． 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用：边角互化，以及基本不等式，考查化简、变形能力，属于中档题． 14．（2024•黄浦区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为2，求． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出， （2）由（1）可知，利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可求出． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）可知， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题 一．选择题 1．（2024春•普陀区校级期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为、、，则此人　　 A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【分析】由已知结合三角形的面积公式可表示出三边长，然后结合余弦定理即可判断． 【解答】解：设三条高的长度分别为、、所对的三边分别为，，， 则由三角形面积公式可知，， 故可设，，， 设最大角为，因为，． 则为钝角， 故此三角形为钝角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了余弦定理在三角形形状判断中的应用，属于基础题． 2．（2024春•普陀区校级月考）在中，如果满足，则一定是　　 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【分析】利用正弦定理化边为角整理可得，即可得出结论 【解答】解：因为， 则由正弦定理得， 可得， 可得， 因为，，可得， 则， 则为等腰三角形． 故选：． 【点评】本题考查了正弦定理以及两角差的正弦公式在解三角形中的应用，考查学生的推理能力，属于基础题． 二．填空题 3．（2024春•闵行区校级期末）已知的三边长，，，则的面积为 　　． 【分析】先利用余弦定理求出一角，再利用三角形的面积公式即可得解． 【解答】解：由余弦定理有， 又，所以， 所以的面积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题． 4．（2024春•金山区校级月考）在中，三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则　　． 【分析】先求出，然后结合正弦定理即可求解． 【解答】解：由题意得，， 由正弦定理得，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题． 5．（2024春•浦东新区校级月考）在中，、、分别是的内角、、所对的边，，则　　． 【分析】根据正、余弦定理边角转化即可得结果． 【解答】解：因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 且，可得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 6．（2024春•普陀区校级月考）在中，，，面积为，则　　． 【分析】由已知利用三角形面积公式可求，利用余弦定理可求，利用比例的性质即可计算得解． 【解答】解：，，面积为， ，解得：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，比例的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 7．（2024春•浦东新区校级期末）在中，如果三条边，那么角　　．（用反三角形式表示角 【分析】先设，，，然后结合余弦定理可求，进而可求． 【解答】解：在中，， 设，，， 根据余弦定理得，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题． 8．（2024春•宝山区校级月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则　　． 【分析】由已知结合余弦定理先求出，的关系，然后再由余弦定理即可求解． 【解答】解：因为， 由余弦定理得，， 解得，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题． 9．（2024春•长宁区校级期中）锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知且，则的取值范围是　，　． 【分析】先根据余弦定理求出的值，再根据正弦定理即可求出的范围． 【解答】解：因为且， 所以， 故， 因为为锐角三角形，则， 所以，由正弦定理， 因为， 所以， 即， 故的取值范围是． 故答案为，． 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题． 10．（2024春•闵行区校级月考）在中，已知，，，则　　． 【分析】根据余弦定理求出的余弦函数值，然后求解正弦函数值即可． 【解答】解：由余弦定理可得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理在三角形中的应用，属于基础题． 11．（2024春•闵行区校级期中）在中，已知，则　2　． 【分析】作，为垂足，则． 【解答】解：作，为垂足，则， 故答案为：2． 【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，作，为垂足，判断要求的式子等于，是解题的关键． 12．（2024春•长宁区校级期中）在中，，，的角平分线长为，则　　． 【分析】结合勾股定理先求出，再由锐角三角函数定义求出，再由三角函数定义即可求解． 【解答】解：在中，，，的角平分线长为， ， ， ， 是的平分线， ， ， ，，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数定义的应用，属于基础题． 13．（2024春•普陀区校级月考）如图，矩形由两个正方形拼成，则的正切值为 　　． 【分析】有已知矩形由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，由图可知：，利用两角和的正切公式即可求得． 【解答】解：因为矩形由两个正方形拼成，设正方形的边长为1， 则在中，，， 所以． 故答案为： 【点评】此题考查了识图，还考查了两角和的正切展开式及学生的计算能力． 14．（2024春•黄浦区期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处，那么火场与距离约为 　14.6　．（结果精确到 【分析】根据题意作出图形，在算出、的度数，结合，利用正弦定理列式算出长，可得火场与点的距离． 【解答】解：根据题意，中，，， 所以， 因为，所以由，得， 解得，即火场与点的距离约为． 故答案为：14.6． 【点评】本题主要考查正弦定理、解三角形及其应用等知识，属于基础题． 15．（2024春•闵行区期中）在中，，，所对边分别为，，，若，则的形状是　等腰三角形或直角三角形　． 【分析】利用正弦定理化简，通过两角差的正弦函数，求出与的关系，得到三角形的形状． 【解答】解：在中，，，所对边分别为，，，若， 所以，所以或， 所以或． 所以三角形是等腰三角形或直角三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形． 【点评】本题是基础题，考查正弦定理在三角形中的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力． 16．（2024•浦东新区校级模拟）中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为1，则的最小值是 　　． 【分析】，可得，由三角形的余弦定理和面积公式、同角的平方关系可得，再由换元法和二次方程有实根的思想，结合判别式大于等于0，可得所求最小值． 【解答】解：设，由，可得， 由的面积为1，可得， 即，， 由余弦定理可得 ， 可设，，则， 两边平方可得， 即为， 由△，即，解得（或舍去）， 当，即，，，取得最小值， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及同角的平方关系，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题． 17．（2024春•黄浦区期中）在中，若，且，则的周长为 　　． 【分析】由正弦定理可得，的表达式，由题意可得的值，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的周长． 【解答】解：由正弦定理可得：， 又因为， 所以，， 又因为，所以， 可得， 由余弦定理可得， 即， 所以该三角形的周长为． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题． 18．（2024春•宝山区校级月考）数学中处处存在着美，菜洛三角形就给人以对称的美感．菜洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点，，为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到菜洛三角形（如图所示）．若菜洛三角形的周长为，则其面积是 　　． 【分析】根据莱洛三角形的周长先算出半径的长度，然后整个莱洛三角形的面积为等边三角形与三个拱形的面积之和，利用割补法求出拱形的面积，则问题可解． 【解答】解：易知弧的圆心角为，半径为， 故弧长为， 故莱洛三角形的周长， 所以，， 故阴影部分面积为， 故莱洛三角形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等，属于中档题． 19．（2024春•普陀区校级期末）在中，角、、的对边分别为、、．若是、的等比中项，则角的最大值为 　　． 【分析】结合等比数列的性质及余弦定理先表示，然后结合基本不等式及余弦函数的性质即可求解． 【解答】解：由题意得，，即， 则，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题． 20．（2024春•闵行区校级月考）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则　　． 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答； 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答． 【解答】解：方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小； 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小． 故答案为：． 【点评】本题考查了导数和辅助角公式的应用，属于中档题． 21．（2024春•浦东新区校级月考）将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度　　（用表示） 【分析】根据题意，先确定折叠后的不变量，再设，由角度关系可得，进而利用三角函数的定义求出，从而可得． 【解答】解：因为折叠后点落在上为点，， 又，则设，则， 又，， ，， 且，． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的定义，属于中档题． 三．解答题 22．（2024春•浦东新区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）若，求的值； （2）的面积等于，求的值． 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解即得的值； （2）利用三角形面积公式、余弦定理列出方程组求解即得． 【解答】解：（1）在中，，，， 由正弦定理，得， 所以的值是； （2）因为由的面积等于，得， 解得， 由余弦定理，得，即， 解得或， 所以或． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 23．（2024春•宝山区校级月考）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的面积． 【分析】（Ⅰ）根据，确定的范围，再求出，由正弦定理可求得； （Ⅱ）根据，的正、余弦值，求出，再由正弦定理求出，代入面积公式计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，且， 由正弦定理可得：， 即有； （Ⅱ）因为， 所以，故， 又因为，所以， 所以； 由正弦定理可得：， 所以， 所以． 【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题． 一．填空题（共5小题） 1．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　． 【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 【解答】解：在中，，，， 利用余弦定理，整理得， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 2．（2024•上海）三角形中，，则　　． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【解答】解：三角形中，， ， 由正弦定理，，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题． 3．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　　． 【分析】先利用余弦定理求出cosA，再利用同角三角函数间的基本关系求解． 【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6， 由余弦定理得，cosA， 又∵A∈（0，π）， ∴sinA＞0， ∴sinA． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题． 4．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　arccos　． 【分析】先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可． 【解答】解：斜坡的长度为l， 上坡所消耗的总体力y（1.025﹣cosθ）， 函数的导数y′， 由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ，θ＝arccos， 由f′（x）＞0时cosθ，即arccosθ时，函数单调递增， 由f′（x）＜0时cosθ，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减， 即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小． 故答案为：θ＝arccos． 【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题． 5．（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC＝CD，存在点A满足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，则∠BCA＝　7.8°　．（精确到0.1度） 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解． 【解答】解：在△ACD中，根据正弦定理可得， 设∠ACB＝α，则∠ACD＝90°﹣α， 所以，① 在△ABC中，根据正弦定理可得， ，② 联立①②，因为BC＝CD， 所以， 解得∠BCA＝7.8°． 故答案为：7.8°． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题． 二．解答题（共4小题） 6．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． （2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值． 【解答】解：（1）因为，可得， 又，可得， 由于，可得． （2）因为， 可得， 又， 可解得，，或，， 因为，可得，，可得为钝角， 若，，可得，可得， 可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去， 所以，由正弦定理，可得． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 7．（2021•上海）在中，已知，． （1）若，求． （2）若，求． 【分析】（1）由余弦定理求得，从而求得面积； （2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长． 【解答】解：（1）由余弦定理得， 解得， ； （2），由正弦定理得，又， ，，，，为锐角， ． 由余弦定理得：，又，， ，得：，解得：． 当时，时； 当时，时． 【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题． 8．（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2． （1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c； （2）若A﹣C＝15°，acsinA，求△ABC的面积． 【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求A，B，C，然后结合锐角三角函数即可求解； （2）由已知结合正弦定理先求出sinC，进而可求C，再由正弦定理求出a，结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1）∵A+C＝120°，且a＝2c， ∴sinA＝2sinC＝2sin（120°﹣A）cosA+sinA， ∴cosA＝0， ∴A＝90°，C＝30°，B＝60°， ∵b＝2， ∴c； （2）acsinA， 则sinAsinCsinA， sinA＞0， ∴sinC， ∵A﹣C＝15°， ∴C为锐角， ∴C＝45°，A＝60°，B＝75°， ∴， ∴a3， ∴S△ABCabsinC3． 【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 9．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 【分析】（1）在△OBC中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解； （2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题． 【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°， 由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（）＝196， 所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得， 所以，解得sin∠POB， 所以∠POB的大小为arcsin； （2）如图，连结QA，PB，OQ，OP， ∵曲线CMD上任意一点到O距离相等， ∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14， ∵P，Q关于OM对称， ∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM＝S△POM＝α， 则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP， 则五边形面积S＝2（S△AOQ+S△QOM） ＝2[] ＝196sinα+140cosα ＝28sin（α+φ），其中tanφ， 当sin（α+φ）＝1时，S五边形MQABP取最大值28， ∴五边形MQABP面积S的最大值为28． 【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解三角形（6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考11题 2024春考5题 解三角形 正弦定理 2023秋考8、11题 2023春考18题 余弦定理的应用、利用导数解三角形中几何问题 正弦定理、三角形面积公式 2022秋考19题 2022春考8题 正余弦定理和面积公式 正弦定理和余弦定理 2021秋考18题 2021春考18题 正、余弦定理的应用、三角形面积求法 正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用 2. 命题规律及备考策略 【备考策略】 一、解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围． 二、解三角形实际问题的步骤 一、正弦定理、余弦定理及综合应用 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 二、解三角形的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 知识讲解 考点一．利用正弦定理解三角形 1．（2024•普陀区校级三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b＝　　． 2．（2024春•普陀区校级月考）在三角形ABC中，已知A＝120°，B＝45°，AC＝2，则三角形面积S＝　 　． 3．（2023•青浦区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，则A＝　　 ． 4．（2023•浦东新区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若5acosA＝bcosC+ccosB，则sin2A＝　 　． 考点二．正弦定理与三角形的外接圆 5．（2024•徐汇区模拟）在△ABC中，AC＝1，，，则△ABC的外接圆半径为 　 6．（2024•虹口区二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为 　 　． 7．（2024•徐汇区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则该三角形外接圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．（2023春•长宁区校级期中）已知△ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，a＝4，cosB． （1）若sinA＝2sinC，求△ABC的面积； （2）设线段AB的中点为D，若，求△ABC外接圆半径R的值． 考点三．余弦定理 9．（2024•黄浦区校级三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c．若，b＝c，则A＝　　． 10．（2024•黄浦区校级三模）△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝4S，则角C＝　　． 11．（2024•静安区二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝5，c＝7． （1）求角C的大小； （2）求sin（A+C）的值． 12．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数． （Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围． 考点四．三角形中的几何计算 13．（2024•杨浦区校级三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （Ⅰ）试判断△ABC的形状； （Ⅱ）若c＝1，求△ABC周长的最大值． 14．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，扇形AOB中，圆心角∠AOB，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧于点P． （1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长； （2）若∠COP＝θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值． 15．（2024春•松江区校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B； （2）若D是AC边上的点，且AD＝3DC＝3，∠A＝∠ABD＝θ，求sinθ的值． 16．（2024春•长宁区校级期中）如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上． （1）求C处与小岛A之间的距离； （2）求A，B两座小岛之间的距离． 考点五．解三角形 17．（2024•浦东新区校级三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC． （1）求A； （2）若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长． 18．（2024•闵行区校级模拟）如图，河宽50米，河两岸A、B的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A走水路直接到B，也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到B的最短时间为 　8.66　分钟．（精确到小数点后两位） 19．（2024•金山区二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD是救生栈道的一部分，其中BC＝300m，CD＝800m，B在A的北偏东30°方向，C在A的正北方向，D在A的北偏西80°方向，且∠B＝90°．若救生艇在A处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B﹣C﹣D，则最短距离为 　 　m．（结果精确到1m） 20．（2024•杨浦区校级三模）在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知． （1）求角B的大小； （2）当，时，求边长c和△ABC的面积S． 考点六．三角形的形状判断 21．（2024•奉贤区三模）在△ABC中，“A”是“sinA”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 22．（2024春•徐汇区校级期末）已知三角形的三条边长分别为，若a2+b2＝c2，则此三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 23．（2024春•静安区校级月考）在△ABC中，，则△ABC的形状是 　 　． 24．（2024•徐汇区校级模拟）（1）已知，求的值． （2）已知△ABC中，，且，判断△ABC的形状，并说明理由． 一．选择题 1．（2024春•浦东新区校级期中）在中，，，则角的大小为　　 A． B．或 C． D．或 2．（2023秋•宝山区校级期末）在中，“”是“”的　　 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024春•上海期中）在中，，则一定是　　 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 二．填空题 4．（2024春•浦东新区校级期中）已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径　　． 5．（2024春•黄浦区期中）在中，，其面积为，则边　 ． 6．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，则最大角的余弦值是　　． 7．（2024春•闵行区校级期末）在中，角、、所对应的边分别为、、，若，则　　． 8．（2024春•浦东新区校级期末）在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于 　　． 9．（2024春•浦东新区校级期中）中，已知，，，则边的长为 　　． 10．（2024春•浦东新区校级期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则　　． 11．（2024春•黄浦区期中）已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为 　　． 12．（2024春•虹口区校级期末）在中，，，且，则的面积等于　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2024•徐汇区校级开学）在中，若 （1）判断三角形的形状； （2）如果三角形面积为4，求三角形周长的最小值． 14．（2024•黄浦区校级三模）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为2，求． 一．选择题 1．（2024春•普陀区校级期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为、、，则此人　　 A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 2．（2024春•普陀区校级月考）在中，如果满足，则一定是　　 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 二．填空题 3．（2024春•闵行区校级期末）已知的三边长，，，则的面积为 　　 ． 4．（2024春•金山区校级月考）在中，三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则　 ． 5．（2024春•浦东新区校级月考）在中，、、分别是的内角、、所对的边，，则　　． 6．（2024春•普陀区校级月考）在中，，，面积为，则　　． 7．（2024春•浦东新区校级期末）在中，如果三条边，那么角　 　．（用反三角形式表示角 8．（2024春•宝山区校级月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若，则　　． 9．（2024春•长宁区校级期中）锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知且，则的取值范围是　 　． 10．（2024春•闵行区校级月考）在中，已知，，，则　　． 11．（2024春•闵行区校级期中）在中，已知，则　　． 12．（2024春•长宁区校级期中）在中，，，的角平分线长为，则　 　． 13．（2024春•普陀区校级月考）如图，矩形由两个正方形拼成，则的正切值为 　　． 14．（2024春•黄浦区期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处，那么火场与距离约为 　 　．（结果精确到 15．（2024春•闵行区期中）在中，，，所对边分别为，，，若，则的形状是　 　． 16．（2024•浦东新区校级模拟）中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为1，则的最小值是 　　． 17．（2024春•黄浦区期中）在中，若，且，则的周长为 　 　． 18．（2024春•宝山区校级月考）数学中处处存在着美，菜洛三角形就给人以对称的美感．菜洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点，，为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到菜洛三角形（如图所示）．若菜洛三角形的周长为，则其面积是 　 　． 19．（2024春•普陀区校级期末）在中，角、、的对边分别为、、．若是、的等比中项，则角的最大值为 　　． 20．（2024春•闵行区校级月考）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则　 　． 21．（2024春•浦东新区校级月考）将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度　　（用表示） 三．解答题 22．（2024春•浦东新区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）若，求的值； （2）的面积等于，求的值． 23．（2024春•宝山区校级月考）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的面积． 一．填空题（共5小题） 1．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 　　． 2．（2024•上海）三角形中，，则　　． 3．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝　 ． 4．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　 ． 5．（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC＝CD，存在点A满足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，则∠BCA＝　 　．（精确到0.1度） 二．解答题（共4小题） 6．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 7．（2021•上海）在中，已知，． （1）若，求． （2）若，求． 8．（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2． （1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c； （2）若A﹣C＝15°，acsinA，求△ABC的面积． 9．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$