第05讲 轴对称的性质（4知识5题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第05讲 轴对称的性质 课程标准 学习目标 1 理解轴对称的基本性质，包括对应点连线被对称轴垂直平分等； 2 能运用轴对称的性质进行简单的推理和计算。 1. 透彻理解轴对称的性质； 2. 能够灵活运用性质解决问题。 知识点一、线段的垂直平分线 1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 2.线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 知识点二、轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形全等； 2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； 3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称. 知识点三、画已知图形的轴对称图形 1.找：找出原图形的关键点； 2.作：作出关键点关于对称轴的对称点； 3.连：按原图顺序依次连接相应的对称点； 4.若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合. 知识点四、画对称轴 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 画对称轴的步骤： 1.找：找出任意一对对应点； 2.连：连接这对对应点； 3.画：画出对应点所连线段的垂直平分线 题型01 利用轴对称的性质求角度 1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【分析】由轴对称的性质可得∠B＝∠B′＝110°，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°， ∴∠B＝∠B′＝110°， 又∵∠A＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°， 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为（　　） A．20° B．21° C．24° D．25° 【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解． 【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝25°， ∴∠PDQ＝∠ADQ＝25°，AD＝DP， ∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形， ∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD， ∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝140°， ∵AD＝DP，CD＝AD， ∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形， ∴∠DCP（180°﹣∠CDP）＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 4．如图，∠AOB内有一点P，且∠AOB＝35°，作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，再作射线OP1，OP2，则∠P1OP2＝　　． 【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，然后得出∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2＝∠AOB＝35°即可求解． 【解答】如图，连接OP， ∵点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2， ∵∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2＝∠AOB＝35°， ∴∠P1OP2＝∠AOP+∠BOP+∠AOP1+∠BOP2＝2∠AOB＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型02 利用轴对称的性质求长度 1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 【分析】根据△ABC的面积是30cm2，可得到BC＝12cm，再由勾股定理可得AC＝13cm，再根据△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，可得△ACD≌△AED，从而得到AE＝AC＝13cm即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2， ∴， ∴BC＝12cm， ∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称， ∴△ACD≌△AED， ∴AE＝AC＝13cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，轴对称图形的性质，根据题意得到△ACD≌△AED是解题的关键． 2．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据轴对称的性质可得PM＝P1M，PN＝P2N，然后求出△PMN的周长＝P1P2． 【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2， ∵△PMN的周长是5cm， ∴P1P2＝5cm． 故选：C． 【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 　　． 【分析】根据轴对称的性质得出△ADC≌△EDC，故AC＝EC，据此可得出结论． 【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称， ∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD， ∴△ADC≌△EDC（SAS）， ∴AC＝EC， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝13， ∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11． 故答案为：11． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 4．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　　cm． 【分析】利用对称性得到CM＝PC，DN＝PD，把求MN的长转化成△PCD的周长，问题得解． 【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D， ∴MC＝PC，ND＝PD， ∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm． 故答案为：30． 【点评】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等． 题型03 在格点中作轴对称图形 1．如图，在2×2正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请找出格纸上所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形有　　个． 【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知． 【解答】解：如图所示：与△ABC成轴对称的有：△FBM，△ABE，△AND，△CMN，△BEC共5个， 故答案为：5． 【点评】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 2．如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑） 【分析】直接利用轴对称图形的性质进而得出符合题意的答案即可． 【解答】解：如图1，2，3所示，即为所求；． 【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 3．如图，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l在网格线上． （1）在网格中作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． （2）网格中每一个小正方形的边长均为1，在（1）的基础上，计算△AC'A'的面积． 【分析】（1）利用轴对称变化的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）利用三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）△A'B'C'即为所的三角形． （2）连接 AA'；AC'； S△AA′C′6×4＝12． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 4．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取CD的中点E，作直线BE即可． （3）利用网格取格点P，使∠MPF＝∠NPF＝45°即可． 【解答】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求． （2）如图②，取CD的中点E，作直线BE， 则直线BE即为所求． （3）如图③，点P即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 题型04 利用轴对称的性质解决折叠问题 1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG，FH折叠．若∠1+∠2＝140°，则∠B′EF+∠C′FE的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】根据长方形的性质可得AD∥BC，从而可得∠1＝∠BEG，∠2＝∠CFH，进而可得∠BEG+∠CFH＝140°，然后利用折叠的性质可得：∠BEB′＝2∠BEG，∠CFC′＝2∠CFH，从而可得∠BEB′+∠CFC′＝280°，最后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠BEG，∠2＝∠CFH， ∵∠1+∠2＝140°， ∴∠BEG+∠CFH＝140°， 由折叠得：∠BEB′＝2∠BEG，∠CFC′＝2∠CFH， ∴∠BEB′+∠CFC′＝2∠BEG+2∠CFH＝280°， ∴∠B′EF+∠C′FE＝2×180°﹣（∠BEB′+∠CFC′）＝80°， 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x，由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝x+c，然后根据△EDF的周长为4得a+b+c＝4，再根据△ABF的周长为12得x+c+a+b+x＝12，据此可求出AF的长． 【解答】解：设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x， 由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝AF+EF＝x+c， ∵△EDF的周长为4， ∴DE+DF+EF＝4，即：a+b+c＝4， ∵△ABF的周长为12， ∴AB+BF+AF＝12，即：x+c+a+b+x＝12， ∴2x+a+b+c＝12， ∴2x+4＝12，解得：x＝4， ∴AF＝4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换和性质． 3．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝　　． 【分析】先求出BD，再证明出∠B＝∠DPB，得到BD＝PD，由PC＝PD可得到PC的长． 【解答】解：∵将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处， ∴PD＝PC，AD＝AC＝3，∠ADP＝∠C， ∵AC＝3，AB＝5， ∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2， ∵∠C＝2∠B， ∴∠ADP＝2∠B＝∠B+∠DPB， ∴∠B＝∠DPB， ∴BD＝PD， ∴PC＝BD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的推论，推出PC＝PD＝BD是解题的关键． 4．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点E，AE＝DE．将△CDE沿CE折叠，点D落在点D′处，若∠BED'＝30°，则∠BCD′的大小为 　　． 【分析】证明△ABE≌△DCE（ASA），得∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴∠ABE＝∠DCE，BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB， 由翻折可知：∠D′CE＝∠DCE，∠D′EC＝∠DEC， ∵∠BED'＝40°， ∴∠D′EC＝∠DEC＝∠AEB（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ABE＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ABE＝∠DCE＝∠D′CE＝15°， ∵BE＝CE，∠AEB＝75°， ∴∠EBC＝∠ECB＝37.5°， ∴∠BCD′＝∠EBC﹣∠D′CE＝37.5°﹣15°＝12.5°， 故答案为：12.5°． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 题型05 利用轴对称的性质解决最短路径问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠C＝44°，D为BC边上一点．将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点E处．当BD最短时，∠ABE＝　47　°． 【分析】由折叠得BD＝DE，当DE⊥AC时，DE最小，即BD最短，再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如图，∵将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边上的E处， ∴BD＝DE， ∴当DE⊥AC时，DE最小，即BD最短， ∴∠CDE＝90°﹣∠C＝90°﹣44°＝46°， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB＝23°， ∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣66°﹣44°＝70°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBE＝70°﹣23°＝47°， 故答案为：47． 【点评】本题考查了折叠的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，三角形外角性质等，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键． 2．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可） （2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹） 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图即可． （2）结合垂线段最短，过点P作AB的垂线，交AB于点Q，则点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求． （2）如图2，过点P作AB的垂线，交AB于点Q， 则点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的定义、垂线段最短是解答本题的关键． 3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△DEF（要求：点A，B，C分别与点D，E，F相对应）； （2）在（1）的结果下，连接AD，求四边形ADEC的面积； （3）在直线l上找一点P，使PB+PD的长度最短，并在图中画出最短路径． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接AD，利用割补法计算即可． （3）连接BD，交直线l于点P，则点P和最短路径BD即为所求． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求． （2）连接AD，四边形ADEC的面积为S△ACD+S△CDE2×6（3+4）×64×13×5＝6+21﹣2． （3）如图，连接BD，交直线l于点P， 此时PB+PD的长度最短，为线段BD的长， 则点P和最短路径BD即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质、线段的性质是解答本题的关键． 1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠．图中∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【分析】先利用平行线的性质可得∠BEG＝∠1＝110°，然后再利用折叠的性质可得：∠2∠BEG＝55°，即可解答． 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠1＝110°， 由折叠得：∠2∠BEG＝55°， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 2．如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】 【解答】解：如图，剪纸后可以的图3中的四个图形． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣剪纸问题，解题的关键是学会动手操作解决剪纸问题． 3．四边形ABCD的边长如图所示，∠BAD＝90°，∠ABC＝120°，E为边AD上一动点（不与A，D两点重合），连接BE，将△ABE沿直线BE折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】E点沿AD运动时，当折叠F落在BC时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到FC＜8，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【解答】解：如图所示，连接CF， 根据折叠的性质，我们可以得到△ABE≌△BEF， ∴BF＝AB＝3， ∵BC＝5， 根据三角形三边关系BC+BF＞FC， 可以得到3+5＞FC， ∴FC＜8， 当折叠F落在BC时， 此时CF为最小值， CF＝BC﹣BF＝5﹣3＝2， 故取值范围为：2＜CF＜8， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键． 4．如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 【分析】如图，折痕为AC与BD，∠ABC＝90°，根据正方形的性质，可得∠ABD＝45°，∠BAC＝45°，所以剪口与折痕所夹的角α的度数为45°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，如图， ∴，，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝45°，∠BAC＝45°， ∴剪口与折痕所成的角α的度数应为45°， 故选：B． 【点评】本题通过折叠变换考查正方形的有关知识，及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 5．如图：已知点D、E分别在AB、AC边上，将△ADE沿DE折叠，点A落在∠BAC外部的点A′处，则∠1：∠2：∠A的比值可能为（　　） A．6：4：1 B．6：4：2 C．6：4：3 D．6：4：4 【分析】由折叠性质可得∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再用∠ADE和∠A列出∠1和∠2，组成等式得出∠1﹣∠2＝2∠A，再进行逐个判断即可． 【解答】解：由折叠性质可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE， ∴∠1＝180°﹣2∠ADE，∠2＝2∠AED﹣180°＝2（180°﹣∠DEC）﹣180°＝180°﹣2∠DEC， ∵∠ADE＝∠DEC﹣∠A， ∴∠1＝180°﹣2（∠DEC﹣∠A），即2∠DEC＝180°+2∠A﹣∠1， ∴∠2＝180°﹣（180°+2∠A﹣∠1），即∠1﹣∠2＝2∠A， 若∠1：∠2：∠A＝6：4：1，设∠A＝x， 则∠1＝6x，∠2＝4x， 满足∠1﹣∠2＝2∠A，故A符合题意； 若∠1：∠2：∠A＝6：4：2 则不满足∠1﹣∠2＝2∠A，故B不符合题意； 若∠1：∠2：∠A＝6：4：3 则不满足∠1﹣∠2＝2∠A，故C不符合题意； 若∠1：∠2：∠A＝6：4：4 则不满足∠1﹣∠2＝2∠A，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了几何的折叠问题，三角形的外角的含义，熟练掌握折叠的性质和平角定义是解题的关键． 6．如图，将直角三角形纸片ABC按如图方式折叠：折痕分别为DC和DE，点A与点G重合，点B与DG延长线上的点F重合，连接CF．若满足∠ABC＝∠DCB＝20°，∠DCF＝∠DFC，则∠GCF的度数为 　40°　． 【分析】由折叠可得∠EDC＝90°，∠BED＝∠FED，由角平分线和三角形内角和得∠DEC＝70°，再利用三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：由折叠可得：∠EDF，， ∵∠BDF+∠GDA＝180°， ∴∠EDF+∠GDC＝90°， ∵∠ACB＝40°， ∴∠GCD＝40÷2＝20°， ∴∠DEC＝180°﹣90°﹣20°＝70°， 由折叠可得：∠BED＝∠DEF＝70°+∠CEF， 由三角形外角的性质可得，∠BED＝90°+20°＝110°， ∴70°+∠CEF＝110°，即∠CEF＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查图形的折叠，熟知折叠前后图形的形状和大小相等、得到∠BED＝∠DEF并利用三角形内角和是解本题的关键，属于常见题型． 7．如图，四边形ABCD为一个长方形纸片，点E、F分别在AB、DC上，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，折叠后FD与EB交于点N．若∠NEF＝34°，则∠NFC＝　112　度． 【分析】由折叠可知：∠EFH＝∠NFE，然后根据矩形的性质证明BE∥CF，再根据平行线的性质求出∠EFH，最后根据平角定义，求出答案即可． 【解答】解：如图所示： 由折叠可知：∠EFH＝∠NFE， ∵四边形ABCD是长方形， ∴BE∥CF， ∴∠NEF＝∠EFH＝∠NFE＝34°， ∵：∠EFH+∠NFE+∠NFC＝180°， ∴∠NFC＝180°﹣34°﹣34°＝112°， 故答案为：112． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角和平行线的性质，解题关键是根据折叠得到∠EFH＝∠NFE，熟练掌握平行线的性质和平角定义． 8．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　100°　． 【分析】由折叠的性质可得∠ADE，再根据平行线的性质可得∠ADF＝∠C，根据三角形的内角和定理用含有∠A的代数式表示出∠C的度数，再根据三角形的外角性质可得∠DEF的度数，进而得出∠AED的度数． 【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE， ∵A′D∥BC， ∴∠ADF＝∠C， ∵∠B﹣∠A＝20°， ∴∠B＝∠A+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A， ∴∠ADE∠C＝80°﹣∠A， ∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°， ∴∠AED＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100°． 【点评】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出∠DEF的度数是解答本题的关键． 9．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝　65°　． 【分析】由折叠可得，，进而可得∠1+∠2＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，结合∠AED+∠ADE+∠A＝180°，可得∠1+∠2＝2∠A＝130°，即可求解． 【解答】解：∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴，， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A， ∵∠1+∠2＝130°， ∴， 故答案为：65°． 【点评】本题考查折叠的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝28°，D是线段AB上一个动点，连接CD，把△ACD沿CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处，当A′D平行于△ABC的边时，∠ACD的大小为 　26°或65°　． 【分析】由∠A＝50°，∠B＝28°，求得∠ACB＝102°，由折叠得∠A′＝∠A＝50°，再分三种情况讨论，一是A′D∥BC，则∠A′＝∠A′CB＝50°，所以2∠ACD+50°＝102°，求得∠ACD＝26°；二是A′D∥AC，则∠A′+∠ACA′＝180°，求得∠ACA′＝130°，由2∠ACD＝130°，求得∠ACD＝65°；三是由点D在线段AB上，说明不存在A′D∥AB的情况，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝28°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝102°， 由折叠得∠A′＝∠A＝50°， 如图1，A′D∥BC，则∠A′＝∠A′CB＝50°， ∵∠ACD＝∠A′CD，且∠ACD+∠A′CD+∠A′CB＝∠ACB＝102°， ∴2∠ACD+50°＝102°， ∴∠ACD＝26°； 如图2，A′D∥AC，则∠A′+∠ACA′＝180°， ∴50°+∠ACA′＝180°， ∴∠ACA′＝130°， ∴2∠ACD＝130°， ∴∠ACD＝65°； ∵点D在线段AB上， ∴不存在A′D∥AB的情况， 综上所述，∠ACD的度数为26°或65°， 故答案为：26°或65°． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、轴对称的性质、平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 11．在下列方格纸上画出关于直线l对称的图形． 【分析】从图形上的各关键点分别向L引垂线并延长相同长度，得到对应点顺次连接就可． 【解答】解：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质． 12．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）求出△A1B1C1的面积． 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用△A1B1C1所在矩形面积减去周围三角形面积即可得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（2，2）； （2）△A1B1C1的面积为：2×31×12×21×3＝2 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是边BC上的一点，连接AD， ∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F． （1）求∠AFC的度数； （2）若∠C＝30°，试证明：DE∥AC． 【分析】（1）由折叠的性质得出∠BAD＝∠DAE＝30°，由三角形外角的性质可得出答案； （2）由折叠的性质得出∠B＝∠E＝45°，证出∠E＝∠FAC，则可得出结论． 【解答】（1）解：∵将△ABD沿AD折叠得到△AED， ∴∠BAD＝∠DAE＝30°， ∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝45°+30°+30°＝105°； （2）证明：∵∠C＝30°，∠AFC＝105°， ∴∠FAC＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣30°﹣105°＝45°， ∵将△ABD沿AD折叠得到△AED， ∴∠B＝∠E＝45°， ∴∠E＝∠FAC， ∴DE∥AC． 【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 14．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 【分析】（1）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°，可得∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°，则∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°，根据∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF，求解作答即可； （2）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P，可得CE＝CP＝DP，DP＝DF，即CE＝DF，由CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13，可求CE＝5，进而可得CP的长． 【解答】解：（1）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°， ∴∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°， ∴∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°， ∴∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF＝100°， ∴∠CPD＝100°； （2）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P， ∴CE＝CP＝DP，DP＝DF， ∴CE＝DF， ∴CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13， 解得CE＝5， ∴CP＝5． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 15．折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝　25°　；∠GFC'＝　130°　； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到所求的角的度数； （2）分两种情况，依据两次折叠后角的和差关系，即可得到求∠NFE的大小． 【解答】解：（1）如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α， ∴∠DEG＝2α， ∵AD∥BC， ∴当α＝25°时，∠BFE＝25°； ∴∠BGE＝25°×2＝50°， ∵ED'∥FC'， ∴∠CFC'＝∠BGE＝50°， ∴∠GFC'＝180°﹣50°＝130°； 故答案为：25°；130°； （2）分两种情况： 当α＜60°时，如图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α， ∴∠DEG＝2α， ∵AD∥BC， ∴∠FGD'＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α， 又∵FC'∥GD， ∴∠GFC'＝180°﹣∠FGD'＝180°﹣2α， ∴∠GFN＝180°﹣2α， ∴∠NFE＝∠GFN﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α； 当60°＜α＜90°时，如图所示，同理可得，∠GFN＝180°﹣2α，∠EFG＝α， ∴∠NFE＝∠EFG﹣∠GFN＝α﹣（180°﹣2α）＝3α﹣180°； 综上所述，∠NFE的度数为180°﹣3α或3α﹣180°． 【点评】本题主要考查了列代数式，轴对称的性质及平行线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长； （2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数． 【分析】（1）根据轴对称的性质，将△PEF的周长转变为MN的长． （2）由∠C+∠D的度数得出∠A+∠B的度数之和，再根据PG⊥AD，PH⊥BC即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称， ∴EM＝EP，FP＝FN， ∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）． （2）∵∠C+∠D＝134°， ∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°． 又∵PG⊥AD，PH⊥BC， ∴∠PGA＝∠PHB＝90°， ∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 17．已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP （1）依题意补全图形； （2）直接写出AB与CP的位置关系； （3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP即可； （2）根据角平分线的性质可知∠BAD＝∠CAD，再由轴对称的性质可知∠P＝∠CAD，据此可得出结论； （3）作辅助线，构建等腰三角形，易证△ACH≌△AFH，则AC＝AF，HC＝HF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得：AG＝AH，再由线段的和可得结论． 【解答】解：（1）如图． （2）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵点A与点P关于直线CH对称， ∴∠P＝∠CAD， ∴∠P＝∠BAD， ∴AB∥CP； （3）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH＝AB+AC． 证明：延长AB和CH交于点F，取BF的中点G，连接GH． 在△ACH与△AFH中， ， ∴△ACH≌△AFH（ASA）， ∴AC＝AF，HC＝HF， ∴GH∥BC， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠AGH＝∠AHG， ∴AG＝AH， ∴AB+AC＝AB+AF＝2AB+BF＝2（AB+BG）＝2AG＝2AH． 【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，构建等腰三角形是解题的关键． 18．在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 【分析】（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1＝180°﹣2∠CDE，∠2＝180°﹣2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将∠2看作180°﹣2∠CED，∠1看作2∠CDE﹣180°，再根据三角形内角和定理来求． 【解答】解：（1）∠1+∠2＝180°﹣2∠CDE+180°﹣2∠CED ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED） ＝360°﹣2（180°﹣∠C） ＝2∠C ＝60°； （2）连接DG， ∠1+∠2＝180°﹣∠C′﹣（∠ADG+∠AGD） ＝180°﹣30°﹣（180°﹣80°） ＝50°； （3）∠2﹣∠1＝180°﹣2∠CED﹣（2∠CDE﹣180°） ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED） ＝360°﹣2（180°﹣∠C） ＝2∠C 所以：∠2﹣∠1＝2∠C． 【点评】此题是一道折叠问题，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 轴对称的性质 课程标准 学习目标 1 理解轴对称的基本性质，包括对应点连线被对称轴垂直平分等； 2 能运用轴对称的性质进行简单的推理和计算。 1. 透彻理解轴对称的性质； 2. 能够灵活运用性质解决问题。 知识点一、线段的垂直平分线 1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 2.线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 知识点二、轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形全等； 2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； 3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称. 知识点三、画已知图形的轴对称图形 1.找：找出原图形的关键点； 2.作：作出关键点关于对称轴的对称点； 3.连：按原图顺序依次连接相应的对称点； 4.若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合. 知识点四、画对称轴 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 画对称轴的步骤： 1.找：找出任意一对对应点； 2.连：连接这对对应点； 3.画：画出对应点所连线段的垂直平分线 题型01 利用轴对称的性质求角度 1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 3．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨同“蝶”），如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为（　　） A．20° B．21° C．24° D．25° 4．如图，∠AOB内有一点P，且∠AOB＝35°，作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，再作射线OP1，OP2，则∠P1OP2＝　　． 题型02 利用轴对称的性质求长度 1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（　　） A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm 2．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 　　． 4．如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　　cm． 题型03 在格点中作轴对称图形 1．如图，在2×2正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请找出格纸上所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形有　　个． 2．如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三角形的顶点都在格点上，不涂黑） 3．如图，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l在网格线上． （1）在网格中作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． （2）网格中每一个小正方形的边长均为1，在（1）的基础上，计算△AC'A'的面积． 4．如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称． （2）在图②中，画出△BCD的对称轴． （3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF＝∠NPF． 题型04 利用轴对称的性质解决折叠问题 1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在BC边上，点G，H在AD边上，分别沿EG，FH折叠．若∠1+∠2＝140°，则∠B′EF+∠C′FE的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝　　． 4．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点E，AE＝DE．将△CDE沿CE折叠，点D落在点D′处，若∠BED'＝30°，则∠BCD′的大小为 　　． 题型05 利用轴对称的性质解决最短路径问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠C＝44°，D为BC边上一点．将△ABC沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点E处．当BD最短时，∠ABE＝　　°． 2．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可） （2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹） 3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（三角形的顶点都在网格格点上）． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△DEF（要求：点A，B，C分别与点D，E，F相对应）； （2）在（1）的结果下，连接AD，求四边形ADEC的面积； （3）在直线l上找一点P，使PB+PD的长度最短，并在图中画出最短路径． 1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠．图中∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 2．如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3．四边形ABCD的边长如图所示，∠BAD＝90°，∠ABC＝120°，E为边AD上一动点（不与A，D两点重合），连接BE，将△ABE沿直线BE折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 4．如图所示把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 5．如图：已知点D、E分别在AB、AC边上，将△ADE沿DE折叠，点A落在∠BAC外部的点A′处，则∠1：∠2：∠A的比值可能为（　　） A．6：4：1 B．6：4：2 C．6：4：3 D．6：4：4 6．如图，将直角三角形纸片ABC按如图方式折叠：折痕分别为DC和DE，点A与点G重合，点B与DG延长线上的点F重合，连接CF．若满足∠ABC＝∠DCB＝20°，∠DCF＝∠DFC，则∠GCF的度数为 　 　． 7．如图，四边形ABCD为一个长方形纸片，点E、F分别在AB、DC上，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，折叠后FD与EB交于点N．若∠NEF＝34°，则∠NFC＝　 　度． 8．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　 　． 9．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠1+∠2＝130°，则∠A＝　 　． 10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝28°，D是线段AB上一个动点，连接CD，把△ACD沿CD折叠，点A落在同一平面内的点A′处，当A′D平行于△ABC的边时，∠ACD的大小为 　 　． 11．在下列方格纸上画出关于直线l对称的图形． 12．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）求出△A1B1C1的面积． 13．如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是边BC上的一点，连接AD， ∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F． （1）求∠AFC的度数； （2）若∠C＝30°，试证明：DE∥AC． 14．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 15．折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝α（0°＜α＜90°且α≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）当α＝25°时，则∠BFE＝　 　；∠GFC'＝　 　； （2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含α的代数式表示）． 16．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长； （2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数． 17．已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．以直线CH为对称轴作点A的对称点P，连接CP （1）依题意补全图形； （2）直接写出AB与CP的位置关系； （3）用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 18．在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$