对数函数专项训练——2025届高三数学一轮复习

对数函数-专项训练【原卷版】 基础巩固练 1. 已知集合,，则（ ）. A. B. C. D. 2. [2024·四川模拟]已知，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 3.在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是( ). 　　　　　　　A　　　 　　　　　　　B 　　　　　　　C　　　 　　　　　　　D 4. 函数的单调递减区间是（ ）. A. B. C. D. 5. （改编）已知函数且的大致图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）. A. B. C. D. 6. 设,,，则,,的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 7. [2024·毕节模拟]已知,,，则实数的取值范围为（ ）. A. , B. , C. , D. , 8. [2024·湖北联考]已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. , D. , 综合提升练 9. [2024·邯郸模拟]（多选题）已知函数，则（ ）. A. 的定义域为 B. 有最大值 C. 不等式的解集为 D. 在上单调递增 10. （多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）. A. 函数的图象过定点 B. 函数在上单调递减 C. 函数在,上的最小值为0 D. 若对任意的,恒成立，则实数的取值范围为 11. 已知函数则_______. 12. 已知，，，则,,的大小关系是_______ 应用情境练 13. 某公司工人甲生产第件产品所需的时间（单位：）满足其中且，若甲生产第2件产品的时间为，生产第 件产品的时间为，则_______ 14. 已知大气压强（单位：帕）随高度（单位：米）的变化满足关系式,表示海平面的大气压强. （1）设在海拔4000米处的大气压强为，求在海拔8000米处的大气压强.（结果用和表示） （2）我国的陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如表所示： 平均海拔/米 第一级阶梯 第二级阶梯 第三级阶梯 若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为，在第三级阶梯某处的压强为,，证明：. 创新拓展练 15. [2024·南通统考]已知函数的图象既关于点中心对称，又关于直线对称.当时，，则的值_______ 16. 若存在实数,,使得，则称函数为,的“函数”. （1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数，的解析式. （2）设函数，，是否存在实数,,使得为，的“函数”，且同时满足：（ⅰ）是偶函数；（ⅱ）的值域为?若存在，请求出,的值；若不存在，请说明理由. 对数函数-专项训练【解析版】 基础巩固练 1. 已知集合,，则（ C ）. A. B. C. D. [解析]由 得，所以.故选. 2. [2024·四川模拟]已知，则下列不等式一定成立的是（ B ）. A. B. C. D. [解析]由 得，，所以，错误； 因为 为减函数，所以，正确； ，但 不一定大于1，所以 不一定大于0，错误； ，错误.故选. 3.在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是( D). 　　　　　　　A　　　 　　　　　　　B 　　　　　　　C　　　 　　　　　　　D [解析]　易知a与必有一个大于1,一个大于0且小于1,则f(x)=与g(x)=loga在各自定义域内单调性相反,可排除B;由g=0可排除A,C.故选D. 4. 函数的单调递减区间是（ B ）. A. B. C. D. [解析]易得函数 的定义域为. ，由复合函数的单调性可知，函数 的单调递减区间是.故选. 5. （改编）已知函数且的大致图象如图所示，则以下说法正确的是（ C ）. A. B. C. D. [解析]由图象可知 在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数 的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，所以 错误； ，又因为，所以，因此 不一定成立，所以 错误； 因为，即，且，所以，所以 正确； 因为，所以，即，所以 错误. 故选. 6. 设,,，则,,的大小关系为（ D ）. A. B. C. D. [解析]因为 是增函数， 所以，即. 又函数 在 上单调递增，所以，即.故选. 7. [2024·毕节模拟]已知,,，则实数的取值范围为（ D ）. A. , B. , C. , D. , [解析]由，且指数函数 在 上单调递减，得. 由，且幂函数 在 上单调递增，得. 由，且对数函数 在 上单调递减，得.综上所述，.故选. 8. [2024·湖北联考]已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ C ）. A. B. C. , D. , [解析]令,则 为偶函数，由定义法得 在 上单调递增，所以，所以 的图象关于直线 对称，且在 上单调递增,所以，两边平方并化简得，解得.故选. 综合提升练 9. [2024·邯郸模拟]（多选题）已知函数，则（ AB ）. A. 的定义域为 B. 有最大值 C. 不等式的解集为 D. 在上单调递增 [解析]由题意可得,解得，即 的定义域为，故 正确； ，因为 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，故 正确，错误； 因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且，所以不等式 的解集为，故 错误.故选. 10. （多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ACD ）. A. 函数的图象过定点 B. 函数在上单调递减 C. 函数在,上的最小值为0 D. 若对任意的,恒成立，则实数的取值范围为 [解析]因为函数 的图象过定点， 所以 的图象过定点，故函数 的图象过定点.故 正确. 当 时，，函数 单调递增，所以函数 在 上单调递增.故 错误. 由复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在,上单调递减，在 上单调递增，最小值，故函数 在,上的最小值为0.故 正确. 当 时，函数 单调递增，恒成立， 必有，解得，所以，故 正确.故选. 11. 已知函数则4. [解析]因为, 所以，. 12. 已知，，，则,,的大小关系是  . [解析]因为. 因为，所以，即，同理可得,. 综上所述，. 应用情境练 13. 某公司工人甲生产第件产品所需的时间（单位：）满足其中且，若甲生产第2件产品的时间为，生产第 件产品的时间为，则  . [解析]由甲生产第 件产品的时间为，得，解得，则. 由甲生产第2件产品的时间为，得，解得， 则 则. 14. 已知大气压强（单位：帕）随高度（单位：米）的变化满足关系式,表示海平面的大气压强. （1）设在海拔4000米处的大气压强为，求在海拔8000米处的大气压强.（结果用和表示） （2）我国的陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如表所示： 平均海拔/米 第一级阶梯 第二级阶梯 第三级阶梯 若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为，在第三级阶梯某处的压强为,，证明：. [解析]（1）设在海拔8000米处的大气压强为， 则 所以，解得. （2）设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，则 两式相减可得， 因为,，所以， 则，即，故. 创新拓展练 15. [2024·南通统考]已知函数的图象既关于点中心对称，又关于直线对称.当时，，则的值为  . [解析]用 表示函数 的图象，对任意的，令，则，且. 因为函数 的图象关于点 中心对称， 所以，即，且. 因为函数 的图象关于直线 对称， 所以点 关于直线 对称的点，即，且. 又 关于点 的对称点为， 所以，即,且， 由，令，可得， 所以， 所以. 16. 若存在实数,,使得，则称函数为,的“函数”. （1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数，的解析式. （2）设函数，，是否存在实数,,使得为，的“函数”，且同时满足：（ⅰ）是偶函数；（ⅱ）的值域为?若存在，请求出,的值；若不存在，请说明理由. [解析]（1）因为 为，的“函数”， 所以, ① 所以， 因为 为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以, ② 联立①②，解得,. （2）存在. 假设存在实数,，使得 为，的“函数”， 则. （ⅰ）因为 是偶函数，所以， 即， 即， 由，可得， 因为 对任意的 成立，所以. （ⅱ）由（ⅰ）得 . 因为，当且仅当，即 时，取等号， 所以，因为 的值域为，所以,且，解得，又因为，所以.综上所述，存在,满足要求. 学科网（北京）股份有限公司 $$