基础课10 指数与对数的运算 专项训练——2025届高三数学一轮复习

指数与对数的运算-专项训练【原卷版】 基础巩固练 1. [2024·琼海模拟] （ ）. A. 9 B. C. 3 D. 2. [2024·绵阳模拟]设，则的值是（ ）. A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 3. [2024·河南模拟]已知函数则（ ）. A. B. C. 2 D. 4 4. [2024·天津模拟]已知,，则（ ）. A. 25 B. 5 C. D. 5. [2024·陕西模拟]若且,,，且，则（ ）. A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知实数，，满足，，，则（ ）. A. 2 B. C. 3 D. 7. [2024·大连模拟]若实数,满足，则（ ）. A. B. C. D. 8. [2024·河南联考]若函数为奇函数，则（ ）. A. 0 B. C. D. 综合提升练 9. （多选题）已知正数，，满足，则（ ）. A. B. C. D. 10.（多选题）下列结论正确的是（ ）. A. B. C. D. 11. ______ 12. 已知实数，满足，，则______ 应用情境练 13. [2024·郑州模拟]地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为.若地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为，地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为，则是的______倍. 14. [2024·文昌预测]荧光定量是一种通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中呈指数级增加的靶标进行实时监测的方法.在扩增的指数时期，当荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为参考数据：, 创新拓展练 15. [2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音的音阶频率为，则简谱中七个音，，，，，，组成的音阶频率分别是，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 ，， 称为全音， 称为半音，则______ 16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记uv为uv除以p的余数,um为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,…,ap-2两两不同,若an=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=log(p)ab. (1)若p=11,a=2,求ap-1. (2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1m2=0).证明:log(p)a(bc)=log(p)ablog(p)ac,其中b,c∈X. (3)已知n=log(p)ab.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,y2=xbk.证明:x=y2. 注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(mod n).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(mod 9). . 指数与对数的运算-专项训练【解析版】 基础巩固练 1. [2024·琼海模拟] （ B ）. A. 9 B. C. 3 D. [解析].故选. 2. [2024·绵阳模拟]设，则的值是（ B ）. A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 [解析]由，得，即，所以.故选. 3. [2024·河南模拟]已知函数则（ B ）. A. B. C. 2 D. 4 [解析]，.故选. 4. [2024·天津模拟]已知,，则（ C ）. A. 25 B. 5 C. D. [解析]因为，，即，所以.故选. 5. [2024·陕西模拟]若且,,，且，则（ A ）. A. 2 B. C. 3 D. [解析]由题意得，所以.故选. 6. 已知实数，，满足，，，则（ A ）. A. 2 B. C. 3 D. [解析]由题意得，， 由，得，化简得，即. 因为，所以，即. 由指数函数的值域可得，，所以，即.故选. 7. [2024·大连模拟]若实数,满足，则（ A ）. A. B. C. D. [解析]由题意知，，. ，，，， ，即. 在 上单调递增，， . 设，则. 与 在 上单调递增，在 上单调递增，，即.故选. 8. [2024·河南联考]若函数为奇函数，则（ B ）. A. 0 B. C. D. [解析]， 因为 为奇函数，所以，即，解得，经检验，满足题意, 所以，所以.故选. 综合提升练 9. [2024·湖北联考]（多选题）已知正数，，满足，则（ ABD ）. A. B. C. D. [解析]设，，则，，， 所以，正确； 因为，所以， 因为，所以， 所以，正确； 因为，所以，正确； 因为，则，所以，错误. 故选. 10. [2024·陕西模拟]（多选题）下列结论正确的是（ BD ）. A. B. C. D. [解析]因为，所以，错误； 因为，，所以，正确； 因为 ，， 所以 ，错误； 因为，所以，正确.故选. 11. [2024·四川适应性考试]  . [解析]. 12. 已知实数，满足，，则1. [解析]因为，化简得，所以， 又，所以构造函数， 因为函数，在 上均单调递增，所以 在 上单调递增，因为，所以，解得，，所以. 应用情境练 13. [2024·郑州模拟]地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为.若地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为，地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为，则是的  倍. [解析]由题意知，，所以，，故，则. 14. [2024·文昌预测]荧光定量是一种通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中呈指数级增加的靶标进行实时监测的方法.在扩增的指数时期，当荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为  参考数据：, [解析]由题意得，即，可得，解得. 创新拓展练 15. [2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音的音阶频率为，则简谱中七个音，，，，，，组成的音阶频率分别是，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比值是相邻两个音的台阶.上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 ，， 称为全音， 称为半音，则0. [解析]因为相邻两个音的频率比值分别为，，，，，， 由题意知，，所以. 16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记uv为uv除以p的余数,um为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,…,ap-2两两不同,若an=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=log(p)ab. (1)若p=11,a=2,求ap-1. (2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1m2=0).证明:log(p)a(bc)=log(p)ablog(p)ac,其中b,c∈X. (3)已知n=log(p)ab.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,y2=xbk.证明:x=y2. 注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(mod n).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(mod 9). [解析]　(1)若p=11,a=2,且注意到210=1024=93×11+1, 则ap-1=210=1. (2)当p=2时,此时X={1},此时b=c=1,bc=1, 故log(p)a(bc)=0,log(p)ab=0,log(p)ac=0, 此时log(p)a(bc)=log(p)ablog(p)ac. 当p>2时,因为1,a,a2,…,ap-2相异,所以a≥2, 而a∈X,故a,p互质. 设n=log(p)a(bc),n1=log(p)ab,n2=log(p)ac, 则∃k1,k2∈N,使得=pk1+b,=pk2+c, 故=(pk1+b)(pk2+c),故≡bc(mod p), 设n1+n2=t(p-1)+s,0≤s≤p-2,则n1n2=s, 因为1,2,3,…,p-1除以p的余数两两相异, 且a,2a,3a,…,(p-1)a除以p的余数两两相异, 所以(p-1)!≡[a×2a×3a…×(p-1)a](mod p),故ap-1≡1mod p, 故as≡bc(mod p),而an≡bc(mod p)=bc(mod p),其中0≤n≤p-2, 故s=n,即log(p)a(bc)=log(p)ablog(p)ac. (3)当b≥2时,由(2)可得bp-1≡1mod p,若b=1,则bp-1≡1mod p也成立. 因为n=log(p)ab,所以an≡b(mod p). 另一方面,y2≡y2≡(xbk)(ak)n(p-2) ≡(xbk)akn(p-2)≡(xbk)bk(p-2)≡x(bp-1)k-1≡x(1)k-1(mod p)≡x(mod p). 因为x∈X,所以x=y2. 学科网（北京）股份有限公司 $$