幂函数与二次函数专项训练——2025届高三数学一轮复习

幂函数与二次函数-专项训练【原卷版】 基础巩固练 1. [2024·吉林模拟]“”是“函数在上是 2. 增函数”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. [2024·济南模拟]若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 3. [2024·成都模拟]若幂函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）. A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 4. [2024·新疆模拟]已知函数，则函数的图象大致是（ ）. A. B. B C. D. D 5. [2024·潍坊联考]已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和3，则该二次函数的单调递减区间为（ ）. A. B. C. D. 6. [2024·东莞模拟]已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）. A. B. 2 C. D. 1 7. [2024·苏州模拟]设函数的定义域为，若对于任意,，所有的点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）. A. B. C. D. 8. [2024·绵阳模拟]若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 综合提升练 9. [2024·江苏联考]（多选题）若函数，且，则（ ）. A. B. C. D. 10. [2024·衡阳模拟]（多选题）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的是（ ）. A. B. C. , D. , 11. [2024·开封模拟]已知函数,满足对任意的实数,，且，都有成立，则实数的取值范围为.。 12. [2024·蚌埠模拟]（双空题）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，  ；若对都有，则实数的取值范围为_______. 应用情境练 13. [2024·石家庄月考]已知函数，若的最小值为0，则 14. [2024·上海模拟]已知，设，则函数的值域为_______ 创新拓展练 15. [2024·鞍山模拟]已知进行适当变换后得到的方程为，则二次函数的单调递增区间为_______ 16. [2024·上饶月考]已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 幂函数与二次函数-专项训练【解析版】 基础巩固练 3. [2024·吉林模拟]“”是“函数在上是 4. 增函数”的（ A ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]若，则 的单调递增区间是,，且,， 所以函数 在 上是增函数，故充分性成立； 当 时，在 上是增函数，故必要性不成立. 故“”是“函数 在 上是增函数”的充分不必要条件.故选. 2. [2024·济南模拟]若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ B ）. A. B. C. D. [解析]因为，所以二次函数 图象的对称轴为直线. 因为，所以，又， 所以.故选. 3. [2024·成都模拟]若幂函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ C ）. A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 [解析]因为函数 为幂函数，所以，解得 或. 当 时，在 上单调递增，不满足题意，排除. 当 时，在 上单调递减，满足题意. 函数 在 和 上单调递减，但不是减函数，排除. 因为函数 的定义域关于原点对称，且， 所以 是奇函数，不是偶函数，故 正确，错误.故选. 4. [2024·新疆模拟]已知函数，则函数的图象大致是（ B ）. A. B. B C. D. D [解析]因为，所以 的图象与 的图象关于 轴对称. 由 的解析式作出 的大致图象，如图所示，从而可得 的图象大致为 选项.故选. 5. [2024·潍坊联考]已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和3，则该二次函数的单调递减区间为（ A ）. A. B. C. D. [解析]因为二次函数 的图象与 轴交点的横坐标为 和3， 所以其对称轴方程为，又，所以该二次函数的单调递减区间为.故选. 6. [2024·东莞模拟]已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ B ）. A. B. 2 C. D. 1 [解析] 已知 且，对于函数，令，解得，此时， 定点. 令点 在幂函数 的图象上， ，，，则,, 故.故选. 7. [2024·苏州模拟]设函数的定义域为，若对于任意,，所有的点构成一个正方形区域，则实数的值为（ D ）. A. B. C. D. [解析]由已知可得. 因为，所以，解得，所以. 因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 处取得最小值，最小值为， 所以 在 处取得最大值，最大值为， 所以函数 在 处取得最大值，最大值为. 因为，且所有的点 构成一个正方形区域， 所以，所以.故选. 8. [2024·绵阳模拟]若函数有最小值，则实数的取值范围是（ B ）. A. B. C. D. [解析]因为,, ,有最小值， 所以当 时，，显然 在 上单调递增，且，即 在 上没有最小值. 当 时，，易知 在 上必有最小值. 因为 在 上的图象是开口向上，对称轴为直线 的抛物线的一部分， 所以当 时，，易知， 故 不是 在 上的最小值，则 在 上没有最小值，不满足题意； 当 时，， 要使得 是 在 上的最小值，则，即，解得 或，所以. 综上所述，.故选. 综合提升练 9. [2024·江苏联考]（多选题）若函数，且，则（ AC ）. A. B. C. D. [解析]由幂函数的性质知，在 上单调递增. 因为,所以，即，， 所以，故 正确； 令,，则，故 错误； 令，则由函数单调性的性质知，在 上单调递增，在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 因为，所以，即，则，故 正确； 令,，则， 所以，故 错误.故选. 10. [2024·衡阳模拟]（多选题）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的是（ BD ）. A. B. C. , D. , [解析]因为二次函数 的值域为， 所以 所以 解得， 所以 ， 因为，，当且仅当,即 时取等号， 所以. 对于,，故 错误； 对于,，故 正确； 对于,令,，则，故 错误； 对于,，当且仅当 时，等号成立，，故 正确.故选. 11. [2024·开封模拟]已知函数,满足对任意的实数,，且，都有成立，则实数的取值范围为,. [解析]因为对任意的实数,，且，都有 成立，所以对任意的实数,，且，恒成立， 即函数,, ,是 上的减函数. 令，则，要使 在 上单调递减， 则 在,上单调递增， 且函数,为减函数， 所以 解得， 所以实数 的取值范围为,. 12. [2024·蚌埠模拟]（双空题）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，  ；若对都有，则实数的取值范围为,. [解析]因为 为定义在 上的奇函数，所以，解得. 当 时，，则， 因为 为奇函数，所以，所以. 当 时，为增函数，所以当 时，为增函数. 因为，所以 的图象关于直线 对称. 当 时,令，得，根据对称性可知，当 时，，可得,. 因为，所以，即 的周期为4， 所以 的解集为,,. 设，因为,，所以，,. 图象的对称轴为直线，且开口向下. 当 时，在 上单调递增，,,，解得； 当 时，,,，解得； 当 时，,,，解得； 当 时，在 上单调递减，,,，无解. 综上所述，实数 的取值范围为,. 应用情境练 13. [2024·石家庄月考]已知函数，若的最小值为0，则  . [解析]由题意可知，当 时，恒成立，且存在，使得，不等式两边同时除以，可得， 整理得. 因为，所以，当且仅当 时，等号成立. 设,则 图象的对称轴方程为, 所以当，即 时，在 上单调递增，所以，不符合题意； 当，即 时，在,上单调递减，在,上单调递增，,解得. 综上所述，. 14. [2024·上海模拟]已知，设，则函数的值域为  . [解析]由题意得,则， 即 的定义域为. . 令，则， 因为函数 在 上单调递增，所以， 故函数 的值域为. 创新拓展练 15. [2024·鞍山模拟]已知进行适当变换后得到的方程为，则二次函数的单调递增区间为,. [解析]， 两边同时取对数，得. 函数 进行线性变换后得到的方程为， ，，，即, 函数， 其图象开口向上，对称轴为直线， 函数 的单调递增区间为,. 16. [2024·上饶月考]已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. [解析]（1）由题意得,解得 或,又 是偶函数,所以，所以. （2）,其图象的对称轴是直线,若 在 上不是单调函数,则,解得，所以实数 的取值范围为.8. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2． (Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD． 【答案】 (Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F， 由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD， 得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO， 又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE， 又CD⎳FO，则CD⊥AE， 又E是PD中点，则AE⊥PD， 由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD， 又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD； 学科网（北京）股份有限公司 $$