精品解析：四川省南充市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题

南充市2023—2024学年度下期普通高中一年级学业质量监测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（ ） A. 17 B. 20 C. 23 D. 25 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，则下列说法中正确有（ ） A. B. 一条对称轴方程为 C. 的一个对称中心为 D. 的单调递增区间为， 10. 正方体中，，是的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 过，，三点作正方体的截面，则截面面积为 D. 若为正方体对角线上一个动点，则最小值为 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则周长的最大值为18 B. 若，，则面积的最大值为 C. 若角内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D. 若，，为的中点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（14题第一空2分，第二空3分） 12. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是__________． 13. 如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则__________． 14. 已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________． 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）； （3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 18. 在中，内角，，对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，． ①求的面积； ②若，求． 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南充市2023—2024学年度下期普通高中一年级学业质量监测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 2. 若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（ ） A. 17 B. 20 C. 23 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数的概念及计算方法，即可求解. 【详解】这组数据有10个数，所以， 则该组数据的分位数为第4个数据， 故选：B. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件式平方，根据同角三角函数关系式，结合正弦二倍角公式即可得解. 【详解】若， 两边同时平方可得， 即， 由正弦二倍角公式及同角三角函数关系式可知， 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及正弦二倍角公式的简单应用，属于基础题. 4. 对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系及性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则或或相交，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 5. 的内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出，再结合正弦定理，即可求解． 【详解】， ， ，， 则由正弦定理可得，． 故选：C． 6. 已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 7. 在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三点共线定理，依题意可得，，根据平面向量三点共线定理计算可得. 【详解】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得. 故选：A 8. 如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 设外接圆的半径为，圆心为，则，即， 设三棱锥外接球的半径为，球心为，则，解得（负值已舍去）； 因为平面，所以， 即，即，解得（负值已舍去）； 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找到球心位置，求出底面外接圆半径和外接球半径，再根据勾股定理求出棱锥的高. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 的一条对称轴方程为 C. 的一个对称中心为 D. 单调递增区间为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据三角恒等变换分析判断即可；对于BC：代入检验，结合对称性的性质分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为为最小值， 所以的一条对称轴方程为，故B正确； 对于选项C：因为为最大值， 所以不是的对称中心，故C错误； 对于选项D：令，解得， 所以的单调递增区间为，，故D正确； 故选：ABD. 10. 正方体中，，是的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 过，，三点作正方体的截面，则截面面积为 D. 若为正方体对角线上的一个动点，则最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；利用线面平行的判定定理和线面垂直的性质可判断B选项；作出截面，并计算出截面面积，可判断C选项；将、延展至同一个平面，由、、三点共线时，取最小值可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，因为，则异面直线与所成角为或其补角， 因为，且，， 则， 所以，， 故异面直线与所成角的余弦值为，A正确； 对于B选项，连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 又因为平面，平面，所以，平面， 若平面，则，根据正方体性质知四边形为矩形， 且，则其对角线与不垂直，则B不正确； 对于C选项，设平面交棱于点，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 又因为，则，因为，故四边形为平行四边形， 所以，，故为的中点，所以，， 又因为，则，所以，四边形为平行四边形， 因为平面，平面，所以，， 所以，四边形为矩形，且其面积为，C正确. 对于D选项，将、延展至同一个平面，如下图所示： 且，， 结合图形可知，当、、三点共线时，取最小值， 即， 易知，，， ，则在中，， 则，则 ， 则由余弦定理有 故最小值是，D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是将平面、延展至同一个平面，再结合三角恒等变换和余弦定理即可得到最小值. 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则周长的最大值为18 B. 若，，则面积的最大值为 C. 若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D. 若，，为的中点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理，结合二次函数求解最值判断C，根据余弦定理所得方程进行相加即可判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即，即， 即，则，解得， 当且仅当时，等号成立， 则周长最大值为18，所以A正确； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，故B错误； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和. 因为，所以，即，所以， 由余弦定理可得， 所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，所以C正确； 对于D，设， 在中利用余弦定理得，① 在中利用余弦定理得 ，② 则①②有，解得，则，则D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是根据两角互补，则其余弦值和为0，再结合余弦定理即可得到方程，解出即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（14题第一空2分，第二空3分） 12. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，，则边的实际长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】把直观图还原为原图形，如图所示， 则， 所以. 故答案为：. 13. 如图，已知正方形的边长为3，且，与交于点，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明为中点，再利用转化法求得，代入数据即可. 【详解】因为，则为中点， 则，则， 则， 则. 故答案为：3. 14. 已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是__________；二面角的余弦值是__________． 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. 【详解】如下图，过点作，连接， 结合题意可知为的中点，且， 所以即为二面角的平面角，由题意可知，. 因为，，所以，， 所以，且，进而得到， 因为，则异面直线与所成角即为或其补角， 中，由余弦定理可得， 则异面直线与所成角的余弦值是； 取的中点，连接，因为，， 所以，，则即为所求二面角的平面角， 在中，因为，， 所以，同理， 在中，由余弦定理可得， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可. 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式得到答案. 【小问1详解】 因为，所以， 解得：或. 【小问2详解】 因为， 所以，解得：， 所以， ， 所以与夹角的余弦值为. 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）； （3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数． 【答案】（1）， （2）72.9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可； （2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可； （3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得. 估计这200名员工所得分数的平均数 ， . 小问2详解】 的频率为， 的频率为， 所以中位数落在区间，设中位数为， 所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9. 【小问3详解】 的人数：， 的人数：， 的人数：， 所以这组中抽取的人数为：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，是与的交点，平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线得，再利用线面平行的判定即可； （2）利用线面垂直的性质得，再证明，最后根据面面垂直的判定即可证明； （3）取的中点，连接，，根据线面角定义转化为求的正切值，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【小问1详解】 连接，在平行四边形中， 为与的交点， 为的中点，又为的中点，， 又平面平面， 平面. 【小问2详解】 平面平面，， 在中，，，又，， 因为平面平面，所以平面， 又平面，平面平面. 【小问3详解】 取的中点，连接，， 为的中点，，且 由平面，得平面， 是直线与平面所成的角， ， 在Rt中，， ，从而， 在Rt中，， 直线与平面所成角的正切值为. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，． ①求的面积； ②若，求． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式即可得到答案； （2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积即可得到答案；②根据向量线性运算得，最后利用转化法即可求出模长. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即，又， 所以，所以，则. 【小问2详解】 ①因为，由正弦定理可得.又， 由， 所以， 解得或(舍去)，所以， 所以. ②因为， 所以. 所以. 所以 . 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【小问1详解】 因为向量 所以 所以. 【小问2详解】 因为. 所以 . . ，所以. 【小问3详解】 方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$