广东省湛江市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷

湛江市 2023-2024 学年度第二学期期末调研考试 高一数学 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1 以 的虚部为实部,以 的实部为虚部的新复数是 ( ) A. B. C. D. 2. 如图, 下边长方体中由右边的平面图形围成的是 ( ) A. B. C. D. 3. 下列各组数的方差从小到大排序是 ( ) (1) (2) ; (3) ; (4) . A. (1) (2) (3) (4) B. (4) (3) (2) (1) C. (3) (1) (2) (4) D. (2) (1) (3) (4) 4. 圆台一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,其侧面积为 ,则较小底面的半径为 ( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 已知点 在 所在平面内,且 , 则点 依次是 的 A. 外心、重心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 重心、外心、垂心 D. 外心、重心、内心 6. 在等腰 中, 平分 与 相交于点 ,向量 在向量 上的投影向量为 ( ) A. B. C. D. 7. 掷两枚质地均匀的骰子,设 “第一枚出现奇数点”, “第二枚出现偶数点”,则 与 的关系为 ( ). A. 互斥 B. 包含 C. 互为对立 D. 相互独立 8. 已知直线 与平面 ,能使 的充分条件是 ( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分. 9. 中,角 所对的边分别为 ,且 ,则下列说法正确的是 A. B. 若 ,则 面积的最大值为 C. 不可能为锐角三角形 D. 若 为 的外心,则 10. 已知 ,方程 有一个虚根为 为虚数单位,另一个虚根为 ,则 A. 该方程存在实数根 B. C. D. 11. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的 1 个白球、 1 个红球、 2 个黑球, 现从中依次不放回地随机抽取 2 个小球,事件 “取到红球和黑球”,事件 “第一次取到黑球”,事件 “第二次取到黑球”,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知复数 ,若 ,则 的取值范围是 . 13 已知 是两个不共线的向量, . 若 与 是共线向量,则实数 . 14. 如图,透明塑料制成的长方体 内灌进一些水,固定容器底面一边 于水平地面上,再将容器倾斜, 随着倾斜度不同, 有下面五个命题: (1) (2) (3) ①有水的部分始终为四棱柱形; ②没有水的部分始终呈棱柱形; ③水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; ④棱 始终与水面所在平面平行; ⑤当容器倾斜如图 (3) 所示时, 是定值. 其中所有正确命题的序号是 . 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 如图, 平面 ,底面 为矩形, 于点 于点 . （1）求证: 平面 ; （2）设平面 交 于点 ,求证: . 16. (15 分) 已知 的三个角 的对边分别为 , (1) 已知 ,求 边上中线长。 (2) 请用 表示 边的中线长,并写出推导过程。 17. (15 分) 为检测同学体能, 学校从高一年级随机抽取了 100 名同学参加体能测试, 并将成绩分数分成五组: 第一组 ,第二组 ,第三组 , 第四组 ,第五组 ,绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知 第一、二组的频率之和为 0.3 , 第一组和第五组的频率相同. (1) 估计这 100 名同学体能成绩分数的平均分和第 66 百分位数; (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人进行成绩分析, 第二组同学成绩的平均数和方差分别为 62和 40, 第四组同学成绩的平均数和方差分别为 80 和 70 , 据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差. 18. (17 分) Matlab 是一种数学软件, 用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域, 推动了人类基础教育和基础科学的发展, 某中学举行了 Matlab 科普讲座后进行了问答比赛,已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛,甲、乙答对每一道题的概率分别为 与 , 乙连续 2 次答错的概率为 . (1)求乙答对题的概率; (2) 若甲、乙两人各回答 2 次, 求两人共答对 3 次的概率. 19. (17 分) 如图,矩形 中, . 过顶点 作对角线 的垂线,交对角线 于点 ,交边 于点 ,现将 沿 翻折,形成四面体 ,如右图. (1) 求四面体 外接球的体积; (2) 求证: 平面 平面 ; (3)若点 为棱 的中点,请判断在将 沿 翻折过程中,直线 能否平行于面 . 若能请求出此时的二面角 的大小; 若不能,请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$【高一数学 参考答案 】第 1 页 共 4 页 湛江市 2023-2024 学年度第二学期期末调研考试 高一数学 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C A B D B 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分. 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.（-2，2） 13.-4 14. ②④⑤ 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1) ABCD 为矩形，∴ �� ⊥ �� ∵ �� ⊥平面����，BC平面���� ∴ �� ⊥ ��， 又∵PA∩AB＝A，PA与 AB平面 PAB， ∴ �� ⊥平面���………………………………………………………………………………………….2 分 又∵AE平面 PAB AE BC  ……………………………………………………………………………………….3 分 又�� ⊥ ��，PB∩BC＝B，PB与 BC平面 PBC， 【高一数学 参考答案 】第 2 页 共 4 页 ∴ �� ⊥平面���。…………………………………………………………………………………….5 分 （2）∵PC平面 PBC AE PC  又�� ⊥ ��，�� ​ ∩ �� = �，AE与 AF平面 AEF ∴ �� ⊥平面���；…………………………………………………………………………………….7 分 ABCD 为矩形∴ �� ⊥ �� ∵ �� ⊥平面���� ∴ �� ⊥ �� ∴ �� ⊥平面��� ∴ �� ⊥ ��………………………………………………………………………….9 分 ∵ �� ⊥平面��� PC AG  …………………………………………………………………………………….11 分 ∴ �� ⊥平面��� ∴ �� ⊥ ��………………………………………………………………………….13 分 16. （1）设边 BC 上的中线记为��，根据余弦定理得��� � = �2+�2−�2 2�� = 21 5 33 ………….2 分 所以��2 = � 2 2 + �2 − 2 ⋅ � 2 ⋅ � ⋅ ��� �=49， …………………………………………….4 分 所以�� = 7 2 。 ………………………………………………………………………….7 分 （2）证明：设边 BC 上的中线记为��，根据余弦定理得���� = �2+�2−�2 2�� ，……………………9 分 所以��2 = � 2 2 + �2 − 2 ⋅ � 2 ⋅ � ⋅ ��� � …………………………………………………….11 分 = � 2 4 + �2 − �� ⋅ � 2+�2−�2 2�� = 1 4 2 �2 + �2 − �2 ， ………………………………………………….14 分 所以�� = 1 2 2 �2 + �2 − �2， ……………………………………………………………15 分 17. （1）由题意可知： 10� + 10� = 0.310 0.045 + 0.020 + � = 0.7，解得 � = 0.005 � = 0.025 ，………………….2 分 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为 50 × 0.05 + 60 × 0.25 + 70 × 0.45 + 80 × 0.2 + 90 × 0.05 = 69.5，…………4 分 因为 0.05 + 0.25 = 0.30 < 0.66,0.05 + 0.25 + 0.45 = 0.75 > 0.66,， 设第 66 百分位数为�，则� ∈ [65,75 ，则 0.30 + � − 65 × 0.045 = 0.66， 解得� = 73，故第 66 百分位数为 73．…………………………………………………………….8 分 【高一数学 参考答案 】第 3 页 共 4 页 （2）设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为� 1, � 2, �12, �22， 且两组频率之比为0.25 0.20 = 5 4 ， ………………………………………………………………………….9 分 则第二组和第四组所有同学成绩的平均数� = 5×62+4×80 9 = 70，……………………………….11 分 第二组和第四组所有同学成绩的方差 �2 = 5 9 �12 + � 1 − � 2 + 4 9 �22 + � 2 − � 2 = 5 9 40 + (62 − 70)2 + 4 9 70 + (80 − 70)2 = 400 3 ．…………………………………………………14 分 故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是400 3 ． ………………………………………………15 分 18．（1）设“甲答对每题的概率”为事件�,“乙答对每题的概率”为事件�，…………………………….2 分 由已知� � = 1 2 ，� � = �， 则乙连续 2 次答错的概率� = 1 − � 2， ……………………………………………………………4 分 由题意得(1 − �)2 = 1 16 ，解得� = 3 4 或5 4 （舍去），…………………………………………………………6分 乙答对题的概率为3 4 . …………………………………………………………………………………7分 （2）事件甲、乙两人各回答 2次，两人共答对 3次，可表示为事件甲答对一次 、乙 2 次全部答对，与事 件乙只答对一次、甲 2 次全部答对的和事件． ………………………………9 分 甲答对一次 、乙 2 次全部答对的概率为 2 × 1 2 × 1 − 1 2 × 3 4 2 = 9 32 ，………… ………….12 分 乙只答对一次、甲 2 次全部答对的概率为 2 × 3 4 × 1 4 × 1 2 2 = 3 32 ， ……… ………15 分 故两人共答对 3 次的概率为 9 3 3 32 32 8   ． ………………………………………………16 分 所以甲、乙两人各回答 2次，两人共答对 3次的概率为3 8 . …………………………………17 分 19（1）取 BD的中点H，连接PH、CH ，因为四边形 ABCD是矩形， 所以 2 21 1 51 2 2 2 2 PH HC HA HB BD       ， 所以四面体 PBCD外接球的半径 5 2 R PH  ， ……………………………….2 分 所以四面体 PBCD外接球的体积 3 34π 4π 5 5 5 π 3 3 2 6 V R           ；……………………………….4 分 【高一数学 参考答案 】第 4 页 共 4 页 （2）因为CO BD ，OQ BD ，OC OQ O ， ,OC OQ 平面OCQ， 所以 BD 平面OCQ， …………………………………………………………………………………….7 分 又因为 BD 平面 PBD，所以平面 PBD 平面OCQ； …………………………………………….9 分 （3）因为CO BD ，所以Rt RtBCD BOC ∽ ，所以 BC CO BD CD  即 1 2 2 5 55 BC CDCO BD      ， 在Rt COD 中 2 5 5 CO  ， 1CD  ，所以 2 2 5 5 OD CD CO   ， ……………………………….11 分 过点 P作 PE BD 交BD于点 E，连接 EG， 易知 2 5 5 PE OC  ，且 //PE OQ， PE 平面OCQ，OQ平面OCQ， 所以 //PE 平面OCQ，…………………………………………………………………………………….13 分 假设 //PG 平面OCQ， 又 PG PE P ， ,PG PE 平面 PGE， 所以平面 //PGE 平面OCQ， 因为平面 PGE 平面 BCD EG ，平面BCD平面OCQ OC ， 所以 //EG OC，……………………………………………………………15 分 又点G为棱 BC的中点，所以点E为线段BO的中点， 事实上 5 5 BE OD  ，而 4 5 5 BO DB OD   ， 所以 1 2 BE BO ，即点 E不是线段 BO的中点，………………………………………………….16 分 故假设不成立，所以在将 ABD△ 沿 BD翻折过程中，直线 PG不能平行于面OCQ .… ………….17 分