精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年八年级第二学期期末质量监测试题 数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 5. 在平面直角坐标系中，点，，．若是等腰直角三角形，且，当时，点的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C 二次函数关系 D. 反比例函数关系 9. 如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 不等式的解集是___________ 11. 如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______． 12. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________． 13. 定义为一次函数特征数，即一次函数的特征数为，若特征数为的一次函数为正比例函数，则的值为______． 14. 点，在一次函数的图象上，则___________．（填“>”，“<”或“=”） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是_______；第个正方形的边长是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算：． 17. 已知，求的值． 18. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据． （1）求条形图中丢失的数据，并补全条形图； （2）所抽取部分学生阅读课外书册数的众数为 　 　册，中位数为 　 　册； （3）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中阅读课外书册数为5册及5册以上的学生人数； （4）若学校又补查了部分同学的阅读课外书的情况，得知这部分同学中阅读课外书最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，则最多补查了 　 　人． 19. 如图，的对角线与相交于点，，，的周长是． （1）求的度数； （2）求长． 20. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？ 21. 某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%． 今年A，B两种型号车的进价和售价如下表： A型车 B型车 进价（元/辆） 800 950 售价（元/辆） 今年售价 1200 （1）求今年A型车每辆售价多少元？ （2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 22. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），直线，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且点C的坐标为，连结AC，与y轴交于点D． （1）求线段AB的长度； （2）求点D坐标； （3）联结BC，求证：． 23. 已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标； （3）如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年八年级第二学期期末质量监测试题 数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断． 【详解】解：A．无意义，故选项错误，不符合题意； B．当2m≥0，即m≥0时，是二次根式，故选项不符合题意； C．∵，∴ 一定是二次根式，故选项符合题意； D．当且时，是二次根式，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案． 【详解】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：，即 则点A表示的数为 故答案为D 【点睛】本题考查勾股定理及两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键． 4. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 5. 在平面直角坐标系中，点，，．若是等腰直角三角形，且，当时，点的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作轴于D，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∵点， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令可判断③；令，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④． 【详解】由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时， ①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车， ③正确； 令，可得，即， 当时，可解得， 当时，可解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达城，； 综上可知当的值为或或或时，两车相距千米， ④正确； 综上可知正确的有①②③④共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像上读取信息，读懂题意，理清甲乙两车的行驶情况，运用数形结合思想解题是关键． 8. 如图，将一个圆柱形平底玻璃杯置于水平桌面，杯中有一定量的水．向杯中投放大小质地完全相同的棋子，在水面的高度到达杯口边缘之前，每枚棋子都浸没水中．从投放第一枚棋子开始记数，杯中的水面高度与投入的棋子个数之间满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式判断即可； 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚棋子可以使水面上升高度为k，投放x枚棋子后水面高度为y，则y=kx+b，符合一次函数解析式， 故选： B． 【点睛】本题考查了函数关系的识别，掌握一次函数的解析式y=kx+b，k、b为常数，k≠0是解题关键． 9. 如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案． 【详解】解：对于直线：， 当时，可有， 当时，可有，解得， ∴， 又∵， ∴， 如下图，取点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为线段的长， 即当共线时，的值最小， 设直线解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】运用移项，合并同类项，系数化为1解不等式求得解集． 【详解】， ， ． 【点睛】本题考查不等式的解法，注意不等号的改变是解题的关键． 11. 如图，已知在中，，．点D为的中点，点E，F分别为上的点，且，连接．若，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，过点E作于点H．利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点H． 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴E，C，F，D四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 12. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴当点P在上时，最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴, ∴， ∴是等边三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键． 13. 定义为一次函数的特征数，即一次函数的特征数为，若特征数为的一次函数为正比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，准确理解新定义的特征数，结合正比例函数性质求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，特征数是特征数为的一次函数表达式为：， 该一次函数为正比例函数， ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义概念问题，读懂题意，理解一次函数特征数并掌握正比例函数性质是解决问题的关键． 14. 点，在一次函数的图象上，则___________．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故答案为：< 【点睛】此题考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是_______；第个正方形的边长是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案． 【详解】解：由题意，，， ， 则第一个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第二个正方形的边长为， 即， ，， ， 则第三个正方形的边长为， 即， ，， 以此类推， 可得，， 第2020个正方形的边长为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，再去括号、合并即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，注意二次根式的加减法实质是合并同类二次根式． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则和二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据． （1）求条形图中丢失的数据，并补全条形图； （2）所抽取的部分学生阅读课外书册数的众数为 　 　册，中位数为 　 　册； （3）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中阅读课外书册数为5册及5册以上的学生人数； （4）若学校又补查了部分同学的阅读课外书的情况，得知这部分同学中阅读课外书最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，则最多补查了 　 　人． 【答案】（1）阅读5册书数的人数有14人，补全条形统计图见解析； （2）5，5 （3）估计该校1200名学生中阅读课外书册数为5册及5册以上的学生人数为960人； （4）3 【解析】 【分析】（1）用阅读6册书的人数除以30%求出总数，就可以计算出阅读5册书的人数，并补全条形图； （2）根据众数和中位数的定义可得答案； （3）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论； （4）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论． 【小问1详解】 解：12÷30%=40， ∴共抽查了40名学生； 阅读5册书数的人数：40-8-12-6=14（人）， 补全条形统计图如图： ； 【小问2详解】 解：∵阅读册数最多的是5册， ∴阅读课外书册数的众数是5， ∵这40个数从小到大排列第20和21个数都是5， ∴阅读课外书册数的中位数是5； 故答案为：5，5； 【小问3详解】 解：1200×=960（人）， ∴估计该校1200名学生中阅读课外书册数为5册及5册以上的学生人数为960； 【小问4详解】 解：设补查了y人， 根据题意得，12+6+y＜8+14， ∴y＜4， ∴最多补查了3人． 故答案为：3． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，的对角线与相交于点，，，的周长是． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质； （1）根据平行四边形对角相等即可得答案； （2）根据平行四边形对角线互相平分可得的长，进而可求出； 【小问1详解】 ∵四边形平行四边形， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？ 【答案】2秒和4秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及勾股定理；设秒后线段恰好平分的面积，分别求出,，得到，再通过勾股定理计算出，计算出，线段恰好平分的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，，，符合题意， 当时，，，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示， ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 21. 某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%． 今年A，B两种型号车的进价和售价如下表： A型车 B型车 进价（元/辆） 800 950 售价（元/辆） 今年售价 1200 （1）求今年A型车每辆售价多少元？ （2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 【答案】（1）型车每辆售价为1000元；（2）型车30辆、型车20辆，获利最多． 【解析】 【分析】（1）设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元，根据数量总价单价结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据总价单价数量结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据销售利润单辆利润购进数量即可得出销售利润关于的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可． 【详解】解：（1）设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：今年型车每辆售价为1000元． （2）设购进型车辆，则购进型车辆， 根据题意得：， 解得：． 销售利润为， ， 当时，销售利润最多． 答：当购进型车30辆、购进型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的最值以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，找出销售利润关于的函数关系式． 22. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），直线，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且点C的坐标为，连结AC，与y轴交于点D． （1）求线段AB的长度； （2）求点D的坐标； （3）联结BC，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求AB的长即可；（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，直线与轴的交点即为D点；（3）根据B、C点的坐标特点，可判断 轴，再分别求出与，即可证明． 【详解】（1）如图： 令，则， ， ， 令，则， ， ， ； 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令，则， ； 证明：， 轴，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平面中点的坐标特点，直角三角形三角函数值的求法是解题的关键． 23. 已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标； （3）如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标． 【答案】（1） （2），或， （3）存在，，， 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可； （2）设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． （3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式， 直线与轴，轴分别交于、两点， ，， 直线经过点，与轴交于点， ， ， 直线的解析式：； 【小问2详解】 由题意可知，， 设点的横坐标为， ， 或． ，或，； 【小问3详解】 设将沿着轴平移个单位长度得到△， ， ，， 设点坐标为， ①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况： 当时，即， 此时，即点在轴上， 且， 点与点重合，即． 当时， ，， ， 解得， 此时，即点在轴上， 且， ． ②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称， 当向左一移动，，，， ， 解得或（舍）， 当向右移动时，，，， ， 解得（舍）或（舍）， ， ． 综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$