精品解析：云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

宁蒗二中2023~2024学年下学期高一第三次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数且，其中为虚数单位，则（ ） A. －4 B. －3 C. －2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据复数相等求出，可得答案. 【详解】， 因为，即， 所以，即， 所以． 故选：A． 2. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相互平行的直线 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中点线面的位置关系直接判断即可.. 【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误； 由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误； 两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确． 故选:D． 3. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】由于，所以是锐角， 由正弦定理得，， 解得，所以. 故选：B 4. 一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球半径，球心距与底面圆半径构成直角三角形求解. 【详解】画图为： 从图像得半径 又因为球心到这个平面的距离为3，即 所以球半径 所以该球的体积为： 故选：A 5. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举出所有可能的情况，查出能集齐2种的情况有6种，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】假设2种玩偶分别为，则买3个盲盒， 出现的玩偶为，，，，，，，共八种， 其中集齐2种的情况有6种， 所以集齐2种的概率为， 故选：A. 6. 在连续六次数学考试中，甲､乙两名同学的考试成绩情况如图，则（ ） A. 甲同学最高分与最低分的差距低于30分 B. 乙同学的成绩一直在上升 C. 乙同学六次考试成绩的平均分高于120分 D. 甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接观察图表的方式，结合极差、平均数、方差的定义，可得答案. 【详解】对于A，由图可知，甲同学的最高分大约为，最低分大约为，其差值大约为，则其差值不能确定是否低于，故A错误； 对于B，由图可知，乙同学在第次的考试成绩是一直下降的，故B错误； 对于C，由图可知，乙同学在次考试中有成绩在分以上，且其中有次在130分以上， 另两次成绩，次约为分，次约为110分，所以乙同学的这六次考试成绩的平均分高于120分，故C正确； 对于D，由于甲同学成绩波动较大，则甲同学六次成绩方差大，故D错误. 故选：C. 7. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的运算，逐一分析即可. 【详解】解：，故A对，因为，故，故B对, 虚数不能比较大小，故C错，设仍为虚数，不能与0比较大小，故D错. 故选：CD. 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D. 【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线， 四边形所在的平面为，四边形所在的平面为， 显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误； 对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线， 则，由 知，从而；B正确 对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确； 对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确． 故选：BCD． 11. 已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（ ） A. 事件与可能相互独立 B. 事件与一定不互斥 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A选项，根据互斥事件定义判断B选项，根据和的概率公式求解即可判断C选项，应用对立事件概率和为1判断D选项. 【详解】由，可知事件与不是相互独立事件，故A不正确； 由，可知事件与一定不互斥，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 12. 在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理，逐项判断计算作答 【详解】对于A，，则有两解，A是； 对于B，，且，则为锐角，只有一解，B不是； 对于C，，则为锐角，只有一解，C不是； 对于D，，则有两解，D是. 故选：AD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为_________. 【答案】150° 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由，得，即， 因为，所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为150°. 故答案为：150° 14. 已知甲､乙两位射手朝同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.6，甲､乙两位射手的射击相互独立，记“目标未被击中”，则__________. 【答案】0.92 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式，即可由对立事件的概率求解. 【详解】由题意知，故， 故答案为：0.92 15. 在中，角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的周长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以的周长为． 故答案为： 16. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 据第七次全国人口普查的数据显示，中国目前正处于轻度老龄化阶段，解决养老难问题也是政府重要的民生工程.某市共有户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人.为了了解老人们的健康状况，该市从老人中随机抽取600人并对他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理､不健康尚能自理､基本健康､健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，制成如图所示的统计图. （1）若采用分层抽样的方法从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？ （2）试估算该市80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比. 【答案】（1）80岁及以上老人应抽取人，80岁以下老人应抽取人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据统计图可列表求出四种健康状况的80岁以下人数和80岁及以上人数，然后利用分层抽样求解即可； （2）利用老年人所占比例以及样本中80岁及以上老人的占比即可求解. 【小问1详解】 整理数据如下表： 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80岁及以上人数 20 45 20 15 80岁以下人数 200 225 50 25 根据分层抽样的知识，从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人， 80岁及以上老人应抽取（人）， 80岁以下老人应抽取（人）； 【小问2详解】 在600人中，80岁及以上老人的占比为， 因为户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人， 所以80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比估值为. 18. 已知向量． （1）若，且，求； （2）若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设出，根据模长与平行关系得到方程组，求出；（2）先求出，根据垂直关系得到方程，求出实数t的值. 【小问1详解】 ， 因为，设，则 解得：或 故或； 【小问2详解】 ， 因为与互相垂直，所以，整理得：， 解得：或. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：. 【答案】（1） 因为在四棱锥中，分别为的中点. 取的中点，连接， 所以，且， 因为四边形是矩形，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面； （2） 平面平面，， 又在矩形中，，且面， 面， 面， 由（1）得， . 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定，构造平行四边形证明线线平行，即可证线面平行； （2）根据面面垂直的性质得线面垂直，再根据线面垂直得线线垂直，结合（1）中结论，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 【答案】（1）75%分位数是，众数是3 （2）3.6 （3） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； 【小问2详解】 由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 【小问3详解】 由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件“恰好一男一女”，则 故所求概率. 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，求AC边上的中线长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小； （2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长． 【小问1详解】 ∵，∴， 由正弦定理得， 由，得， 又由，得，，， 由余弦定理得， 又∵，∴， 由，，，得， ∴，； 【小问2详解】 由（1）得，，，，，，， 所以， 设AC的中点为D，则， 在中，由余弦定理得， 所以AC边上的中线长为． 22. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：在矩形中，所以， 平面平面平面， ， 在中，为中点， ， ，即， 又平面平面， 平面， 又平面平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 平面平面， 又平面， 平面，又平面， 又平面， ，平面平面平面， 平面，由（1）知为中点， 所以到平面距离为， 设到平面的距离为，由， 即，解得， 设直线与平面所成的角为，则 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁蒗二中2023~2024学年下学期高一第三次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数且，其中为虚数单位，则（ ） A. －4 B. －3 C. －2 D. 0 2. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相互平行的直线 3. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在连续六次数学考试中，甲､乙两名同学的考试成绩情况如图，则（ ） A. 甲同学最高分与最低分的差距低于30分 B. 乙同学的成绩一直在上升 C. 乙同学六次考试成绩的平均分高于120分 D. 甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学 7. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等 11. 已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（ ） A. 事件与可能相互独立 B. 事件与一定不互斥 C. D. 12. 在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为_________. 14. 已知甲､乙两位射手朝同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.6，甲､乙两位射手的射击相互独立，记“目标未被击中”，则__________. 15. 在中，角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的周长为__________． 16. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 据第七次全国人口普查的数据显示，中国目前正处于轻度老龄化阶段，解决养老难问题也是政府重要的民生工程.某市共有户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人.为了了解老人们的健康状况，该市从老人中随机抽取600人并对他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理､不健康尚能自理､基本健康､健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，制成如图所示的统计图. （1）若采用分层抽样的方法从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？ （2）试估算该市80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比. 18. 已知向量． （1）若，且，求； （2）若与互相垂直，求实数t的值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面. （1）证明：平面； （2）证明：. 20. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，求AC边上的中线长． 22. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $