精品解析：广东省广州市荔湾区2023～2024学年七年级下学期期末数学试题

广东省广州市荔湾区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数，是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，化最简二次根式，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：为有理数，故A不符合题意； 为有理数，故B不符合题意； ，为无理数，故C符合题意； 0为有理数，故D不符合题意． 故选C． 2. 下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意； D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键． 3. 2022年10月16日是第42个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是（ ） A. 此次调查是抽样调查 B. 样本容量是100 C. 全校只有14名学生没有做到“光盘” D. 全校约有86％的学生做到“光盘” 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、此次调查是抽样调查，故A不合题意； B、样本容量是100，故B不合题意； C、样本中有14名学生没有做到“光盘”，故C符合题意； D、全校约有86%的学生做到“光盘”，故D不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同位角、内错角、同旁内角的定义根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可． 【详解】解：A．与是的同位角，因此选项A不符合题意； B．与是内错角，因此选项B不符合题意； C．与是同旁内角，因此选项C不符合题意； D．与不是同旁内角，因此选项D符合题意； 故选：D． 5. 若是关于、的方程的一个解，则的值是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，再解关于m的方程即可． 【详解】解： 是关于、的方程的一个解， 解得： 故选A 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本题的关键． 6. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、不等式两边同时，不等号的方向不变，，该选项不符合题意； B、不等式两边同时除以，不等号的方向改变，成立，该选项符合题意； C、不等式两边同时乘以，不等号的方向不变，，该选项不符合题意； D、不等式两边乘的数字不一样，无法判断，该选项不符合题意． 故选：B． 7. 点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是掌握在第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．根据在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特点可得出，求解即可解答． 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：， ∴，即． 故选：C． 8. 如图，现有两束平行光从距离水面相同的高度斜射向水面发生折射，由于两束光的偏折程度一样，故射入水中的两束光仍为平行光．已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题关键．根据题意可得出，，，，再结合平行线的性质可求出，，进而即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴，，，， ∴，， ∴． 故选D． 9. 在平面直角坐标系中，点，，，轴，则当线段的长度取最小值时，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，根据题意确定点C的横坐标，并理解垂线段最短是解题关键．根据轴，可确定，画出图形，再根据垂线段最短即可确定点的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴． 如图， 当时，的长度取最小值， ∴，即． 故选A． 10. 已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 的相反数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数为， 故答案为：． 12. 为了绘制频数分布直方图，要先对数据进行分组．若这组数据的最大值为144，最小值为50，取组距为10，则分成的组数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查数据分组的方法，熟练掌握数据分组方法是解答本题的关键．求得最大值与最小值的差，除以组距就是组数． 【详解】解：最大值与最小值的差是， 则可以分成的组数为组． 故答案为：10． 13. 如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用三角形ABC的面积，求出其BC边上的高AE=3，再利用平行线间距离处处相等，得到C到AD的距离为3． 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E， ∵△ABC的面积为9，BC=6， ∴BC•AE=9， ∴AE=3， 过C作CF⊥AD于F， ∵AD∥BC， ∴CF=AE=3， ∴点C到AD的距离是3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行间距离处处相等是解决本题的关键． 14. 若把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点坐标的平移，坐标轴上的点的坐标特点．掌握平面直角坐标系内点坐标的平移规律和坐标轴上的点的坐标特点是解题关键．根据平移的性质可得出平移后的点坐标为，再根据y轴上的点的横坐标为0，即得出，求解即可． 【详解】解：把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点的坐标为，即． ∵平移后得到的点在轴上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴， ∴a的取值范围是． ∴整数a的最小值是10． 故答案为：10． 16. 观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】解：根据题意，如图： 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始， ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，立方根，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先利用乘法分配率去括号，并根据二次根式的乘法运算法则计算，计算立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，直线，相交于点，过点作，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义，掌握垂线的定义是解题关键．根据垂线的定义可得出，从而可求出，进而可求出． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组： （1）方程组中两方程相加，求出，把代入，求得，从而求出方程组的解； （2）①代入②，求出，代入①得，，故可得方程组的解 【小问1详解】 解：， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， 所以，方程组的解为； 【小问2详解】 解： 把①代入②，得：， 解得，， 把代入①得， 解得，， 所以，方程组的解为 20. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示它的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解题关键．分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后在数轴表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以原不等式组的解集为， 在数轴上表示如图， 21. 已知点，，，其中点的位置如图所示． （1）在图中建立平面直角坐标系，并画出三角形； （2）平移三角形，使点，的对应点，均落在坐标轴上，求此时点的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，或 【解析】 【分析】本题主要考查平移变换下的作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先根据点A的坐标确定平面直角坐标系，再描出点B，点C，顺次连接即可得； （2）根据平移方式确定点，的坐标，再确定点的坐标，顺次连接即可 【小问1详解】 解：如图，平面直角坐标系和即为所作； 【小问2详解】 解：如图，即为所作； 点的坐标为或 22. 为了科普卫生防疫知识，某校组织了一次在线知识竞赛．小荔同学随机抽取了一部分学生，其中男女生人数相等．现对他们的答题成绩按照“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）小荔同学共调查了______名学生，扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1500名学生，请你估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）120， （2）见解析 （3）375名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图相关联，根据扇形统计图和条形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）利用男同学中“合格”等级的人数除以其所占百分比即得出男生总人数，从而可求出小荔同学调查的总人数；先求出扇形统计图中“不合格”等级所占百分比，再乘即可； （2）分别求出男生“优秀”等级的人数，女生“合格”等级的人数，从而可补全统计图； （3）求出小荔同学调查的人中“优秀”等级的学生占总人数的百分比，再乘总人数即可． 【小问1详解】 解：小荔同学调查的男同学为名学生， ∴小荔同学共调查了名学生． 扇形统计图中“不合格”等级所占百分比为， ∴扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：男生“优秀”等级的人数为名， 女生“合格”等级的人数为名， ∴补全统计图如图． 【小问3详解】 解：小荔同学调查的人中“优秀”等级的学生占总人数的百分比为， ∴估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数为名． 23. 如图，直线，点，分别在，上，连接，平分交于点，动点在线段上（不与点，点重合），连接． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据角平分线的定义可知，再结合平行线的性质证明即可； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义可求出，结合平行线的性质可求出，即，最后根据三角形外角性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． 24. 如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元． （1）求每吨产品的销售款是多少元； （2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨； （3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料． 【答案】（1）每吨产品的销售款是8000元 （2）这批原料比产品多100吨 （3）至少需要再购进5吨的原料 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设每吨产品的销售款是m元，根据题意可列出关于m的等式，解之即可； （2）设这批原料x吨，产品y吨，根据题意可列出关于x，y的等式，解之即可； （3）设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．根据原料总重量是产品总重量的2倍，可求出，再根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解之即可． 【小问1详解】 解：设每吨产品的销售款是m元， 根据题意有：， 解得：， 答：每吨产品的销售款是8000元； 【小问2详解】 解：设这批原料x吨，产品y吨， 根据题意有：， 解得：． 吨， 答：这批原料比产品多100吨； 【小问3详解】 解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨． ∵原料总重量是产品总重量的2倍， ∴， ∴． ∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元， ∴ 解得：， 答：至少需要再购进5吨的原料． 25. 已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． （1）若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； （2）将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①且，② 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得，，从而，当时，，，，根据线段平移得到线段，从而，，，连接，，进而，表示出的面积，列出方程即可求解； （2）①延长交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，线段向右平移个单位得到线段，则，，分两种情况，根据图形的关系得出平移后的面积，三角形的面积小于4列出不等式，即可得出结论； （3）先得出当平移后得点C的对应点N在线段上时，平移距离最小，当平移后得点B的对应点M在线段上时，平移距离最大，根据平移求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， 且， ∴，， ∴． 当时，，， 则，，， ∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段， ∴，，， 如图，连接，， ∴， 过点作轴于点G， ∵，，， ∴，，，，， ∵ ， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）有， ∴，，， 如图，延长交x轴于H， ∵，， ∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C， 又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位， ∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H， ∴， ∵，，， 且线段向右平移个单位得到线段， 则，， 当点N在点G左边时，作图， ， ∵三角形的面积小于4， ∴ ， 解得：， 当点N在点G右边时， ， ∵三角形的面积小于4， ∴ ， ∴ ， 综上所述：n的取值范围是且； ②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小， ∵，， ∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N， ∴， 又∵， ∴线段向右平移4个单位，即； 如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大， ∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M， ∴， 又∵， ∴线段向右平移6个单位，即； 综上所述，线段与线段有公共点，则． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，解不等式，找出分界点是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市荔湾区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数，是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 0 2. 下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年10月16日是第42个世界粮食日，某校学生会开展了“光盘行动，从我做起”的活动，对随机抽取的100名学生的在校午餐剩余量进行调查，结果有86名学生做到“光盘”，那么下列说法不合理的是（ ） A. 此次调查是抽样调查 B. 样本容量是100 C. 全校只有14名学生没有做到“光盘” D. 全校约有86％的学生做到“光盘” 4. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是内错角 C. 与是同旁内角 D. 与是同旁内角 5. 若是关于、的方程的一个解，则的值是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 6. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，现有两束平行光从距离水面相同的高度斜射向水面发生折射，由于两束光的偏折程度一样，故射入水中的两束光仍为平行光．已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点，，，轴，则当线段的长度取最小值时，点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 的相反数为________． 12. 为了绘制频数分布直方图，要先对数据进行分组．若这组数据的最大值为144，最小值为50，取组距为10，则分成的组数为______． 13. 如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是______． 14. 若把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点在轴上，则点的坐标为______． 15. 若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是______． 16. 观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，直线，相交于点，过点作，，若，求的度数． 19. 解方程组： （1） （2） 20. 解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 21. 已知点，，，其中点的位置如图所示． （1）在图中建立平面直角坐标系，并画出三角形； （2）平移三角形，使点，的对应点，均落在坐标轴上，求此时点的对应点的坐标． 22. 为了科普卫生防疫知识，某校组织了一次在线知识竞赛．小荔同学随机抽取了一部分学生，其中男女生人数相等．现对他们的答题成绩按照“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）小荔同学共调查了______名学生，扇形统计图中“不合格”等级对应的圆心角度数为______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1500名学生，请你估计这次知识竞赛为“优秀”等级的学生人数． 23. 如图，直线，点，分别在，上，连接，平分交于点，动点在线段上（不与点，点重合），连接． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 24. 如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元． （1）求每吨产品的销售款是多少元； （2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨； （3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料． 25. 已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． （1）若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； （2）将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $