第08讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质（4大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第08讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质（4大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型二 画y=ax²+bx+c的图象 题型三 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型四 二次函数图象与各项系数符号 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 根据二次函数的图象判断式子符号 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 题型九 y=ax²+bx+c的最值 题型十 利用二次函数对称性求最短路径 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 题型十二 二次函数图象的平移 题型十三 二次函数综合 知识点01 二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：（a、b、c是常数，）； 顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）； 交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点02 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点03 二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. （2）、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） （3）c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点04 二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【典型例题一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数，求顶点坐标．小明的计算过程如下： 解： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ 请你认真检查一下，小明是从第（    ）步开始出现错误的． A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 4．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知函数，此抛物线的顶点坐标为 ． 5．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）求抛物线的顶点和对称轴． 6．（22-23九年级·江西南昌·阶段练习）（1）解方程：(x+3)2=2x+6．       （2）将二次函数化为 y=a(x-h)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． 【典型例题二 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级·湖北黄石·阶段练习）对于二次函数为，当自变量x<0时，函数图像在 （   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象如图，那么y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3 3．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）已知二次函数的图象顶点在x轴上，则 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 ﹣1 0 m 8 … 当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中中画出二次函数的图象．    6．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数的图象； x 0 1 2 3 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 【典型例题三 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（2024·山东德州·二模）若点是抛物线上的三点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，二次函数的图象经过原点，且顶点坐标为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．函数的最小值为 D．当时， 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点 ． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）请选择一组a、b、c的值，使二次函数的图像同时满足下列条件：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期中）已知抛物线． (1)求此抛物线的对称轴； (2)当时，直接写出y的取值范围． 6．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【典型例题四 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知，二次函数的图象如图所示，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（22-23九年级上·山西大同·期末）如果二次函数的图象开口向下，那么的值可能是 （只需写一个）． 4．（22-23九年级上·北京海淀·期末）二次函数的图象如图所示，则 0（填“”，“”或“”）． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 6．（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知抛物线（m为常数）与y轴的交点为C点． (1)若抛物线经过原点，求m的值； (2)若点和点在抛物线上，求C点的坐标； (3)当，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式． 【典型例题五一 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若函数的图像不经过第四象限，那么函数的图像可能出现在（    ） A．三、四象限 B．一、二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二象限 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，则一次函数y＝acx+b的图象不经过第 象限． 4．（22-23九年级上·广东惠州·期中）二次函数y＝a（x﹣m）2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第 象限． 5．（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，过点作轴的垂线，直线与直线交于点. （1）求点的坐标； （2）如果抛物线与线段有唯一公共点， ①求抛物线的对称轴， ②求的取值范围. 6．（22-23九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，且点在轴上，点在轴的正半轴上.    （1）直接写出点的坐标； （2）若，求直线的解析式； （3）若，求的取值范围. 【典型例题六 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南临沧·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 3．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 … … 6 0 6 … 下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图像上，则；④方程有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是 .（把所有正确结论的序号都填上） 5．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 6．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【典型例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）二次函数的图象上有两点和，则此拋物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北沧州·阶段练习）平面直角坐标系上有两个二次函数的图形，其顶点皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于四点，各点位置如图所示，若，，，则的长为（   ）    A．7 B．8 C． D．9 3．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象经过点，，则其对称轴为直线 ． 4．（22-23九年级上·北京丰台·期末）已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ． 5．（22-23九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，函数的最大值为5， (1)求这个二次函数的对称轴； (2)求这个二次函数的解析式． 6．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 0 ﹣3 ﹣4 m 0 …… (1)这个二次函数的对称轴是直线______，m的值为______； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)若点A（t，y1）、B（t+1，y2）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y1与y2的大小，并说明理由． 【典型例题八 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·四川泸州·一模）已知二次函数的自变量与函数值之间满足下列数量关系： 2 4 5 0.35 0.35 3 那么的值为（　　） A．18 B．15 C．9 D．3 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时， ． 4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，抛物线和与x轴的另一个交点为 ．    5．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 6．（2023·河南商丘·一模）如图，已知二次函数的图像经过点．    (1)求a的值和二次函数图像的顶点坐标． (2)已知点在该二次函数图像上． ①当时，求n的值； ②当时，该二次函数有最大值，请结合函数图像求出m的值． 【典型例题九 y=ax²+bx+c的最值】 1．（23-24九年级上·北京石景山·期中）求二次函数的最小值（    ） A．0 B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．3或 C．或 D．或3 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）点在二次函数的图象上，则的最大值是 ． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足，则飞机着陆至停下来滑行的时间是 ． 5．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线过点和 (1)求该抛物线的解析式； (2)直接写出该抛物线的顶点坐标______． 6．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）把的图象向上平移个单位，向左平移个单位    (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 【典型例题十 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·四川自贡·阶段练习）二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（   ） A．0 B． C． D． 2．（2023·江西南昌·二模）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为(   ) A．10 B．8 C．7.5 D．5 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    4．（22-23九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数y=x2+bx的图象过点A(4，0)，设点C(1，-3)，在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA-PC|的值最大，则点P的坐标为 。 5．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小． 6．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 【典型例题十一 待定系数法求二次函数解析式】 1．（22-23九年级上·广东广州·期中）若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，二次函数的图象过点，当时，函数值的取值范围是 ． 5．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 6．（2024·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积 【典型例题十二 二次函数图象的平移】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）将抛物线向上平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ． 4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 向上平移1个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是 5．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，若将它的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，求平移后所得图象的对称轴和顶点坐标． 6．（2023·浙江湖州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值． 【典型例题十三 二次函数综合】 1．（22-23九年级上·河南驻马店·期中）定义：若两个函数图像与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如与y=(x+1)(x−2)的图像与x轴的共同交点为(2，0)，那么这两个函数就是“共根函数”．若与为“共根函数”，则m的值为(    ) A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 2．（22-23九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（2023·山东青岛·模拟预测）一次函数与二次函数交于两点和B，则B点坐标是 ． 4．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点A在抛物线y＝﹣4x2+c上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点D，分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于B、C两点．当四边形ABCD为正方形时，抛物线的顶点到线段AD的距离比AD长2，则c的值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． 【变式训练1 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 2．（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：    接力中，自己负责的出现错误的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丙 3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的对称轴是直线 ． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）通过配方，确定抛物线的顶点坐标，并直接写出y随x的增大而怎样变化． 【变式训练2 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）如图，函数的图象大致是下图的 A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 4．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）请写出一个同时满足下列条件的抛物线的表达式 ． ①升口向下；②当时，随的增大而增大 5．（22-23九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数图象的顶点为P（－1，3），且与y轴交于点A（0，2），求该函数的解析式并画出该函数的图象． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知：二次函数 （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图． 【变式训练3 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若抛物线经过点，则b的值是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）点，为抛物线上两点，且，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·一模）二次函数的对称轴为直线 ． 4．（2023·贵州贵阳·二模）二次函数的图象经过点，则的值是 ． 5．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 6．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【变式训练4 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，且满足，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 3．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）二次函数的图象的开口方向为 ． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式 . 5．（22-23九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）抛物线经过点． (1)求的值； (2)求把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线的解析式． 【变式训练5一次函数、二次函数图象综合判断 】 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·模拟预测）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征： ． 4．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号； （2）若y1＜0，指出x的取值范围； （3）若y1＞y2，指出x的取值范围． 【变式训练6 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（2023·上海虹口·一模）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法： ①abc＜0； ②a+b＝0； ③4a+2b+c＜0； ④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2， 其中说法正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，且，，则一定有 ． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 5．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 6．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知：函数． （1）当时， ①求随增大而增大时，的取值范围； ②当时，求的取值范围； ③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值． （2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【变式训练7 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（    ） A． B．3 C．0 D．9 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的部分对应值列表如表： x … 0 3 5 … y … 7 ﹣8 7 … 则抛物线的对称轴为 ． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 6．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【变式训练8 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）设是抛物线上的三点，则、、的大小关系为 （用＜号连接）． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则代数式的值等于 ． 5．（23-24九年级上·广东珠海·期中）抛物线过点与，且抛物线最小值是，通过计算，判断点是否在此函数图象上？ 6．（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【变式训练9 y=ax²+bx+c的最值】 1．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　） A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3 2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式，下列说法正确的有（   ） ①无论取何值，的值总是正数；②的值可正可负也可以是0；③当时，取得最大值，最大值为；④当时，取得最小值，最小值为． A．② B．①③ C．②④ D．①④ 3．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）二次函数的最小值是 ． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知a、b、m满足，，则的最大值为 ． 5．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该拋物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 【变式训练10 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 3．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 5．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【变式训练11 待定系数法求二次函数解析式】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若，则下列结论成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（    ）    A．30 B．36 C．48 D．56 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一个二次函数图象的形状、开口与抛物线都相同，且它的顶点坐标是，则这个二次函数的函数表达式为 ． 4．（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 5．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，二次函数的图像交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式训练12 二次函数图象的平移】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移1个单位再向下平移2个单位后，得到的解析式为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（    ） A．，3 B．， C．2， D．2，3 3．（2024·广东惠州·二模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为 ． 4．（2024·上海长宁·三模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 5．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为． （1）求抛物线的解析式 （2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值． 【变式训练13 二次函数综合】 1．（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（22-23九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为 ． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）由抛物线向下平移个单位得到的图象过点，求的值． 6．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 1．（22-23九年级上·天津南开·期末）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（    ） A．2 B．6 C．﹣2 D．0 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南·期末）二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为(    ) A．-2 B．-1 C．0 D．3 5．（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 7．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 4 0 4 … 则当时，的取值范围是 ． 8．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是二次函数和一次函数的图象，则不等式的解集是 ． 9．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    10．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．则 ， ．    11．（22-23九年级上·山西运城·期末）将抛物线化成的形式，并直接写出它的对称轴． 12．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知二次函数中，x与y的部分对应值如下表所示： x … －4 －3 －1 0 … y … m 0 0 －3 … (1)表中的m＝______； (2)求此二次函数的最大值． 13．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线经过点和点，且这个抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． 14．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，C．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程． 15．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）已知抛物线经过点和点，且． (1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； (2)若，求抛物线解析式，并指出此时抛物线的开口方向； (3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质（4大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型二 画y=ax²+bx+c的图象 题型三 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型四 二次函数图象与各项系数符号 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 根据二次函数的图象判断式子符号 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型八 根据二次函数的对称性求函数值 题型九 y=ax²+bx+c的最值 题型十 利用二次函数对称性求最短路径 题型十一 待定系数法求二次函数解析式 题型十二 二次函数图象的平移 题型十三 二次函数综合 知识点01 二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：（a、b、c是常数，）； 顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）； 交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点02 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 知识点03 二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. （2）、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） （3）c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 知识点04 二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【典型例题一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式，顶点为即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握和理解顶点式中的，是解题的关键． 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数，求顶点坐标．小明的计算过程如下： 解： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是……④ 请你认真检查一下，小明是从第（    ）步开始出现错误的． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据配方法将二次函数解析式化为顶点式可得第③步出现错误． 【详解】解：解： ……① ……② ……③ ∴顶点坐标是， 故从第③步开始出现错误， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法将原式变形进而得出答案，正确配方是解此题的关键． 【详解】解：， 将二次函数的解析式化成的形式为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知函数，此抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意，将函数解析式转化为顶点式，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 二次函数， ， 此抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）求抛物线的顶点和对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴是． 【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，可求顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴是． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，是基础题，熟练掌握配方法是以及二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级·江西南昌·阶段练习）（1）解方程：(x+3)2=2x+6．       （2）将二次函数化为 y=a(x-h)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． 【答案】（1），；（2）二次函数．顶点坐标为，对称轴为． 【分析】（1）先变形得到，然后利用因式分解法解方程． （2）先按要求将原抛物线的解析式配方成顶点式，再回答问题． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，． （2）二次函数为， 二次函数． 顶点坐标为，对称轴为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法和二次函数用配方法把一般式改为顶点式，从而确定对称轴和顶点坐标．解题关键会熟练使用配方法. 【典型例题二 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级·湖北黄石·阶段练习）对于二次函数为，当自变量x<0时，函数图像在 （   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】判断出函数图象开口向上，与y轴交于（0，－2）即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数中的二次项系数a＞0， ∴函数图象开口向上， 当x＝0时，，即函数图象与y轴交于（0，－2）， ∴当自变量x<0时，函数图像在第二、三象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 2．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象如图，那么y＜0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3 【答案】C 【分析】本题需要求的是，当y<0时x的取值范围.由于题目已给出了函数的图像，只需要看图即可得出答案，y<0，即抛物线在x轴下方的部分，此时读出x轴上x的取值范围即为所求. 【详解】解：从图象看，y＜0时，即抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是：﹣1＜x＜3； 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次函数的图像性质，学会看图识别函数的性质是解题的关键. 3．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）已知二次函数的图象顶点在x轴上，则 【答案】2 【详解】分析：二次函数在x轴上，则： ，即可求出k的值． 解：∵二次函数在x轴上， ∴ 整理得，-k2+4k-4=0 解得k=2； 故答案是2． 4．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 ﹣1 0 m 8 … 当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ． 【答案】﹣1≤y＜3． 【分析】有二次函数图像的对称性得出顶点坐标，根据顶点两边的数字规律得出其开口向上，从而进一步得出答案 【详解】由表可知，函数的顶点坐标是：（2，﹣1），开口向上， 当0＜x＜3时，则y的取值范围为：﹣1≤y＜3． 故答案是：﹣1≤y＜3． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的对称性，熟练掌握其图像的规律是关键 5．（22-23九年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中中画出二次函数的图象．    【答案】见解析 【分析】将x和对应的y值列表，再在平面直角坐标系中描点，最后连线即可画出图形． 【详解】解：函数的x和对应的y值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 7 1 1 7 … 描点、连线画出抛物线如图：    【点睛】本题考查了利用描点法画二次函数的图象，根据二次函数的解析式求出图象上的点是解题关键． 6．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数的图象； x 0 1 2 3 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 【答案】见解析 【分析】先填表，然后描点，最后连线即可． 【详解】解：由题意知， x 0 1 2 3 4 1 0 1 4 9 16 作图如下： 【点睛】本题考查了作二次函数图象．解题的关键在于正确的填表． 【典型例题三 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（2024·山东德州·二模）若点是抛物线上的三点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点是抛物线上的三点， ∴离对称轴的距离最远，离对称轴最近， ∴， 故选：D． 2．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，二次函数的图象经过原点，且顶点坐标为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．函数的最小值为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质一一判断即可求解． 【详解】解：A．∵二次函数的图象经过原点，∴，∴，正确，故该选项不符合题意； B．∵由函数图象可知，函数与x轴有两个不相等的实数根，∴，正确，故该选项不符合题意； C． 根据函数图象开口向上，顶点坐标为，∴函数的最小值为，正确，故该选项不符合题意； D．当时，由函数图象可知函数随x的增大而减小，∴，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知点、、、，若一条抛物线经过其中三个点，则不在该抛物线上的点是点 ． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征即可判断． 【详解】解：点、、的纵坐标相同，故三点中有一点不在同一条抛物线， 、的横坐标相同，故两点中有一点不在同一条抛物线， 所以，不在该抛物线上的点是点B． 故答案为：B． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）请选择一组a、b、c的值，使二次函数的图像同时满足下列条件：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可．熟练运用性质进行计算是解此题的关键． 【详解】∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴这样的二次函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期中）已知抛物线． (1)求此抛物线的对称轴； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)对称轴直线 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的相关性质． （1）根据二次函数对称轴公式直解求解即可． （2）由题可知抛物线开口向下，顶点坐标为：，再算出当时，y的值，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴直线 （2）∵， ∴抛物线开口向下， 当时，， ∴函数顶点坐标为：， 当时，， 当时，， 故当时， y的取值范围为：． 6．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【详解】（1）①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 【典型例题四 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知，二次函数的图象如图所示，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．首先根据二次函数的图象及性质判断a及b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：∵从图象可知：，， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系及一元二次方程根与系数的关系，根据图象得到，，结合判别式求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∴， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（22-23九年级上·山西大同·期末）如果二次函数的图象开口向下，那么的值可能是 （只需写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象考口方向，得到，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 的值可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象开口方向和值得关系：时，图象开口向上；时，图象开口向下． 4．（22-23九年级上·北京海淀·期末）二次函数的图象如图所示，则 0（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向，判断的符号，根据对称轴的位置，判断的符号，进而得到的符号． 【详解】解：由图象，可知：抛物线的开口向上：， 对称轴在的右侧：，即：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)对称轴为：； (2)． 【分析】（1）本题考查二次函数的图象与性质，将代入得到，根据抛物线的对称轴为，即可解题． （2）本题考查二次函数的图象与性质，将、代入抛物线得到，，利用作差法，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：把代入得：，整理得，　 抛物线的对称轴为． （2）解：把、代入抛物线得： ，， ， ． 6．（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知抛物线（m为常数）与y轴的交点为C点． (1)若抛物线经过原点，求m的值； (2)若点和点在抛物线上，求C点的坐标； (3)当，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式． 【答案】(1)m=0 (2)C点坐标为（0，16） (3)或 【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y=x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值； （2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标； （3）分三种情况：①当2m＞-m时，即m＞0，②当2m＜-m＜2m+3时，即-1＜m＜0，③当2m+3＜-m时，即m＜-1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论． 【详解】（1）解∶当抛物线经过点（0，0）时，有， 解之得m=0； （2）解∶和点在抛物线上， ∴对称轴为，∴即，， ，∴C点坐标为（0，16）； （3）解∶ 抛物线的开口向上，对称轴为x=-m的抛物线， ①若，即m>0时，在自变量x的值满足的情况下， 与其对应的函数值y随x增大而增大， ∴当x=2m时，为最小值， ， 或（舍） 二次函数的解析式为． ②若即， 当时，代入，得y最小值为， （舍）或（舍） ③若，即，在自变量x的值满足的情况下， 与其对应的函数值y随x增大而减小， ∴当时，代入二次函数的解析式为中， 得y最小值为， ， （舍）或， ∴二次函数的解析式为． 综上所述，二次函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 【典型例题五一 一次函数、二次函数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若函数的图像不经过第四象限，那么函数的图像可能出现在（    ） A．三、四象限 B．一、二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像、二次函数图像的性质，掌握一次函数、二次函数的性质是解题关键． 由函数的图像不经过第四象限，可知；再根据二次函数的性质确定函数所在的象限． 【详解】∵函数的图像不经过第四象限，可知， ∴函数的图像如图所示． 故选D． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数图像共存问题，将一次函数和二次函数联立求解得交点和，结合图像即可判断；直接联立求得交点，结合图像判断是解题的关键． 【详解】解：由 联立求解得或， ∴两图像的交点为和，由图像可知，D符合要求； 故选择：D． 3．（22-23九年级上·河南周口·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，则一次函数y＝acx+b的图象不经过第 象限． 【答案】一 【分析】据一次函数的性质，即可得到一次函数y＝acx+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴， ∴a＞0，c＜0， ∴b＜0， ∴ac＜0， ∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线图象确定a、b、c的正负情况． 4．（22-23九年级上·广东惠州·期中）二次函数y＝a（x﹣m）2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第 象限． 【答案】二/2 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限， ∴m＞0，n＜0，即m＞0，n＜0， 则一次函数y＝mx+n经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键． 5．（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，过点作轴的垂线，直线与直线交于点. （1）求点的坐标； （2）如果抛物线与线段有唯一公共点， ①求抛物线的对称轴， ②求的取值范围. 【答案】（1）(3,3);（2）①见解析；②见解析. 【分析】（1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标； （2）①将抛物线化成顶点式，即可得抛物线的对称轴，顶点的坐标； ②分类讨论当n＞3时；当n=3时；当0＜n＜3时，抛物线y=nx2-4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围． 【详解】解：（1）∵直线与轴交于点. ∴点关于轴的对称点为，为直线. ∵直线与直线交于点， ∴点的坐标为； （2）①∵抛物线， ∴. ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线. ②∵点，点， 当时，抛物线最小值为，与线段无公共点； 当时，抛物线顶点为，在线段上. 此时抛物线与线段有一个公共点; 当时，抛物线最小值为，与直线有两个交点. 如果抛物线经过点，则，解得. 由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点. 点不在线段上，此时抛物线与线段有一个公共点. 如果抛物线经过点，则，解得. 由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点. 点在线段上，此时抛物线与线段有两个公共点. 综上所述，当或时，抛物线与线段有一个公共点. 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，且点在轴上，点在轴的正半轴上.    （1）直接写出点的坐标； （2）若，求直线的解析式； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） ；（2）；（3）a<−1或a>3 【分析】（1）抛物线C：y=ax2-2ax+3与y轴交于点A，令x=0，即可求得A的坐标； （2）令y=0，解方程即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式； （3）当a=3时，抛物线C过点B（1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C过点B（3，0），此时k=-1．结合图象即可求得． 【详解】(1)∵抛物线C:y=ax2−2ax+3与y轴交于点A， ∴点A的坐标为(0,3). (2)当a=−1时,抛物线C为y=−x2+2x+3. ∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上， ∴点B的坐标为(3,0). ∵直线l:y=kx+b过A，B两点， ∴.解得. ∴直线l的解析式为y=−x+3. (3)如图， 当a>0时， 当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3. 结合函数图象可得a>3. 当a<0时， 当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1. 结合函数图象可得a<−1. 综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3. 【点睛】本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式. 【典型例题六 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，，则，，无法判断与的大小关系，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 无法判断与的大小关系， ∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 故选：C． 2．（23-24九年级上·云南临沧·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（）    A． B． C． D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，解答即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴． ∴，故A正确，A选项符合题意； 由图像可知对称轴，， ∴，故B错误，B选项不符合题意； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C错误，C选项不符合题意； 由图象可知，时，只有一个解，， ∴有两个相等的实数根，故D错误，D选项不符合题意； 故选∶A． 3．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线在y轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 … … 6 0 6 … 下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图像上，则；④方程有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是 .（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图像与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】将，，代入得， ，解得：， ∴二次函数解析式为：， ∴，故①正确； 对称轴为直线，即当时，函数的值最小，故②错误； 将点，点代入二次函数的解析式得： ， ， ∴，故③正确； 方程，即， ∴， ∴， ∴有两个不相等的实数根.其中，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，理解和掌握二次函数的图像与系数的关系是正确判断的关键． 5．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将，代入函数解析式求解； （2）由抛物线解析式及可得． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 故的值为，的值为； （2）解：由（1）得 点是该函数图象上两点， ， ， ， 点是图象上两点， ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析． 6．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【答案】a＜0，b＞0，c=2，a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0等，答案不唯一 【分析】利用抛物线图象的开口方向，与y轴交点坐标，对称轴位置进行判定a、b、c的信息． 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0； ∵抛物线与y轴的交点为（0，2），故c=2； ∵抛物线对称轴x=＞0， 故a、b异号，b＞0； ∵抛物线经过点（-1,0）和（2,0）, ∴有a-b+c=0①， 4a+2b+c=0②， ②-①得3a+3b=0， 即a+b=0； 又∵抛物线经过（0，2）， 故c=2， ∴a+b+c=0+2=2； a＜0，b＞0，c=2, a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，利用数形结合思想是解决问题的关键． 【典型例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）二次函数的图象上有两点和，则此拋物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线上两点的纵坐标相同可得，点和关于抛物线的对称轴对称，再利用这两点的横坐标之和的一半求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点和，且两点的纵坐标相等， ∴点和关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征． 2．（23-24九年级上·河北沧州·阶段练习）平面直角坐标系上有两个二次函数的图形，其顶点皆在轴上，且有一水平线与两图形相交于四点，各点位置如图所示，若，，，则的长为（   ）    A．7 B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】设点的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为，求出点P的横坐标为：，点Q的横坐标为：，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴设点的横坐标为m，则点B的横坐标为，点C的横坐标为，点D的横坐标为， ∵点分别为两条抛物线的顶点，四点的纵坐标相同， ∴点P的横坐标为：， 点Q的横坐标为：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，求出点P、Q的横坐标． 3．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象经过点，，则其对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性可判断点A和点B是一组对称点，由此可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：∵和在抛物线上， ∴A、B是抛物线上的一组对称点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查利用抛物线的对称点求抛物线的对称轴，抛物线的对称轴一定过对称点连线的中点是解题的关键． 4．（22-23九年级上·北京丰台·期末）已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据当与的函数值相等，根据对称性可得对称轴为直线，进而即可求解． 【详解】解：观察表格数据可得当与的函数值相等，都为， 则抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 5．（22-23九年级上·广东东莞·期中）已知二次函数的图象与x轴交于，函数的最大值为5， (1)求这个二次函数的对称轴； (2)求这个二次函数的解析式． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【分析】（1）根据二次函数与x轴交于，即可求得对称轴， （2）根据题意设，将顶点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于， ∴这个二次函数的对称轴为直线； （2）解：对称轴为直线，函数的最大值为， ∴顶点坐标为， ∵二次函数与x轴交于， 设，将代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， 即． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，求得对称轴是解题的关键． 6．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表： x …… ﹣1 0 1 2 3 …… y …… 0 ﹣3 ﹣4 m 0 …… (1)这个二次函数的对称轴是直线______，m的值为______； (2)求出这个二次函数的解析式； (3)若点A（t，y1）、B（t+1，y2）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y1与y2的大小，并说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据表中、的对应值可知，当与时的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程，再由二次函数对称性可得的值； （2）利用待定系数法求得即可； （3）根据二次函数的增减性可得结论． 【详解】（1）解：由表中、的对应值可知，当与时的值相等， 对称轴是直线， 由二次函数的对称性可知，当与时的值相等， ； 故答案为：；； （2）解：当时，， 设， 代入，， ， ， 抛物线的解析式为：； （3）解：，理由如下： 抛物线的解析式为：，开口向上，对称轴为直线， ， ， 此时，抛物线随的增大而减小， ． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 【典型例题八 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各点到对称轴的距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值越大计算判断即可． 【详解】∵点，，为二次函数的图像上的三点， ∴对称轴为直线， ∴点到对称轴直线的距离， 点到对称轴直线的距离， 点到对称轴直线的距离， ∴， ∵二次函数开口向上， ∴函数值随距离的增大而增大， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数增减性是解题的关键． 2．（2023·四川泸州·一模）已知二次函数的自变量与函数值之间满足下列数量关系： 2 4 5 0.35 0.35 3 那么的值为（　　） A．18 B．15 C．9 D．3 【答案】A 【分析】根据和时的y值相等，两点关于对称轴对称可得对称轴，再根据二次函数的对称性可求出时，，从而可得，然后代入求值即可得． 【详解】由表可知，和时的y值相等，即两点关于对称轴对称， 则该二次函数的对称轴是， 由二次函数的对称性得：时的y值与时的y值相等，即为， 将代入二次函数的解析式得：， 则， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性与对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时， ． 【答案】3 【分析】根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时和当时的函数值相同， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，熟知抛物线关于对称轴对称的两点的函数值相同是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，抛物线和与x轴的另一个交点为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线关于对称轴对称，对称轴为直线， ∴关于对称的点为； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键． 5．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． 6．（2023·河南商丘·一模）如图，已知二次函数的图像经过点．    (1)求a的值和二次函数图像的顶点坐标． (2)已知点在该二次函数图像上． ①当时，求n的值； ②当时，该二次函数有最大值，请结合函数图像求出m的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)①；②或 【分析】（1）把点代入，解得a的值并配方，得，即得二次函数图像的顶点坐标； （2）①把代入即可；②结合函数图像，即可得到当时，该二次函数有最大值时的m的值． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为， 配方，得， ∴顶点坐标为； （2）解：①将代入，得. ∴当时，. ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示：    根据函数图像，若满足当时，该二次函数有最大值，则或， ∴或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像性质以及应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练二次函数图像性质以及应用知识内容． 【典型例题九 y=ax²+bx+c的最值】 1．（23-24九年级上·北京石景山·期中）求二次函数的最小值（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，由此即可得到答案． 【详解】解：， ，抛物线开口向上， 当时，的值最小为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．3或 C．或 D．或3 【答案】A 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，时，的最小值为， ∴，解得：； 当，即时，时，的最小值为， ∴，解得：（舍去）； 当，即时，的最小值为， ∴，解得：或（舍去）； 综上所述，的值为或． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）点在二次函数的图象上，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，配方的应用是解题关键．代入点，化简并配方，根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：把代入二次函数中得， ， ∴ ， ∴当时，最大值为5． 故答案为：5． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足，则飞机着陆至停下来滑行的时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题； 利用配方法求出时，飞机着陆后滑行的距离最大，再由飞机着陆后滑行的距离最大时就是滑行的时间得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，飞机着陆后滑行的距离最大， ∴飞机着陆至停下来滑行的时间是， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线过点和 (1)求该抛物线的解析式； (2)直接写出该抛物线的顶点坐标______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）运用配方法把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 6．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）把的图象向上平移个单位，向左平移个单位    (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为，对称轴为 (2)见解析 (3)当时，函数存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出平移后的抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线解析式列表，并作函数图象即可； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：平移后的抛物线对应的函数解析式为，其顶点坐标为，对称轴为． （2）解：列表： ··· ··· ··· ··· 描点连线：    （3）解：如图所示：当时，函数存在最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象和性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减；并用规律求函数解析式是解题的关键． 【典型例题十 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·四川自贡·阶段练习）二次函数y=-（x-1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值2n，则m+n的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数． 最大值为2n分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出． 【详解】二次函数y=-（x-1）2+5的大致图象如下： ． ①当m＜0≤x≤n＜1时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5， 解得：m=-2，m=2(舍去)． 当x=n时，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5， 解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）； ②当m＜0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5， 解得：m=-2． 当x=1时，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5， 解得：n=2.5， 或x=n时，y取最小值，x=1时，y取最大值， 2m=-（n-1）2+5，n=2.5， ∴m=， ∵m＜0， ∴此种情形不合题意， 所以m+n=-2+2.5=0.5． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键． 2．（2023·江西南昌·二模）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为(   ) A．10 B．8 C．7.5 D．5 【答案】A 【分析】写出周长的解析式，用配方法表示顶点式，即可得出周长的最大值. 【详解】解：设P(x，x2﹣x﹣4)， 四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2(x2﹣x﹣4)+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2(x﹣1)2+10， 当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10. 故选A． 【点睛】考核知识点：二次函数的最值运用.用配方法表示出顶点式，得出周长的最大值是解题的关键. 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 4．（22-23九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数y=x2+bx的图象过点A(4，0)，设点C(1，-3)，在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA-PC|的值最大，则点P的坐标为 。 【答案】（2，-6） 【分析】先把A（4，0）代入y=x2+bx，求出b的值，得到二次函数解析式，再根据抛物线的对称性求出二次函数y=x2-2x与x轴的另一交点是O（0，0），由A、O关于对称轴对称，则可知PA=PO，则当P、O、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线OC解析式，则可求得P点坐标． 【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象过点A（4，0）， ∴0=×42+4b，解得b=-2， ∴y=x2-2x， ∴对称轴为x==2， ∵二次函数y=x2-2x与x轴交于点A（4，0）， ∴它与x轴的另一交点是O（0，0）， ∵P在对称轴上， ∴PA=PO， ∴|PA-PC|=|PO-PC|≤OC，即当P、O、C三点在一条线上时|PA-PC|的值最大， 设直线OC解析式为y=kx， ∴k=-3， ∴直线OC解析式为y=-3x， 令x=2，可得y=-3×2=-6， ∴存在满足条件的点P，其坐标为（2，-6）． 故答案为（2，-6）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质等知识．求出二次函数y=x2-2x与x轴的另一交点是O（0，0），得出P、O、C三点共线时|PA-PC|的值最大是解题的关键． 5．（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，） 【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解； （2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解． 【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4； （2）抛物线的对称轴为：x＝﹣， 点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求， 点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：，解得：， 故直线BC的表达式为：y＝x+4， 当x＝﹣时，y＝， 则点Q（﹣，）． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短 6．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 【答案】P(1，－2)． 【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可． 【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的． 如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3， ∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1， ∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°， ∴DB＝DP＝2， ∴P(1，－2)． 【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键． 【典型例题十一 待定系数法求二次函数解析式】 1．（22-23九年级上·广东广州·期中）若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】把（-2，-4）代入函数y=ax2中，即可求a． 【详解】解：把（-2，-4）代入函数y=ax2，得 4a=-4， 解得a=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】依题知，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B；可得B点坐标，又OB=OA，可得A点坐标，然后将A的坐标代入函数解析式即可； 【详解】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B， ∴ B（0，c）， ∴ OB＝c， ∵ OA＝OB， ∴ OA＝c， ∴ A（c，0）， ∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去）， 故选：D 【点睛】本题考查二次函数待定系数法，重点在理解和熟练求解过程的转化． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， 把，代入，得：； 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，二次函数的图象过点，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象性质，正确掌握二次函数的图象性质是解题的关键．先求解二次函数的解析式，由对称轴在里，故分别算出，，所对应的函数值，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得； ∴， 那么对称轴， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，则函数值y的取值范围是， 故答案为： ． 5．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案． 【详解】解：∵当时，函数有最大值是2， ∴二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 6．（2024·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A和点D坐标，再根据解析求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴二次函数的解析式为：； （2）解：将配方得顶点式 ∴顶点， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴． 【典型例题十二 二次函数图象的平移】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图形的平移，涉及函数图像的平移法则：左加右减、上加下减等知识，根据题中要求，按照函数图像平移法则求解即可得到答案，熟记函数图像平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是， 故选：C． 2．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据平移的规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的抛物线解析式为． 故选：B 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）将抛物线向上平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行求解． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为：； 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 向上平移1个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．根据解析式平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，再向左平移1个单位， 得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，若将它的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，求平移后所得图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】把函数解析式化为顶点式，再按要求可得平移后的函数解析式，最后即可写出对称轴与顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴将它的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的解析式为：，即， ∴平移后所得图象的对称轴为：直线，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，一般把函数解析式写成顶点式，按照“左移加右移减，上移加下移减”的规律进行． 6．（2023·浙江湖州·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解； （2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为： （2）抛物线向下平移n个单位后得：， 把点代入得： 解得： 即n的值为1． 【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键． 【典型例题十三 二次函数综合】 1．（22-23九年级上·河南驻马店·期中）定义：若两个函数图像与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如与y=(x+1)(x−2)的图像与x轴的共同交点为(2，0)，那么这两个函数就是“共根函数”．若与为“共根函数”，则m的值为(    ) A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3 【答案】B 【分析】先求出与x轴的交点坐标，分别代入函数中，求出m的值即可． 【详解】解：令=0，则x=0或x=2， ∴函数与x轴的交点为(0，0)，(2，0)， 当两个函数同时过点(0，0)时，有0=0−0+m−1，解得m=1， 当两个函数同时过点(2，0)时，有0=4−6+m−1，解得m=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题属于新定义类问题，解题关键是理解给出的定义，并对结果进行分类讨论． 2．（22-23九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数对称轴公式和二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线的解析式，并将解析式化为顶点式求出点M的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝−3，点N（−1，1）是抛物线上的一点， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴PN∥y轴，且PN＝1， ∴△PMN的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数顶点坐标的求法，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．（2023·山东青岛·模拟预测）一次函数与二次函数交于两点和B，则B点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先把点代入两个解析式，求出的值，再联立解析式求出B点坐标即可． 【详解】解：把点代入两个解析式，得：， ∴， ∴两个函数解析式为：， 联立，得：或； ∴B点坐标是； 故答案为：． 4．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点A在抛物线y＝﹣4x2+c上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点D，分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于B、C两点．当四边形ABCD为正方形时，抛物线的顶点到线段AD的距离比AD长2，则c的值为 ． 【答案】6 【分析】设，根据抛物线的顶点到线段AD的距离比AD长2，求得的值，根据四边形ABCD为正方形，即可求得的值． 【详解】设，则， ， ， 或（舍去）， ， 四边形ABCD为正方形， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，设参数解决问题是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）抛物线与x轴交与，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，待定系数法确定函数解析式，三角形面积， （1）直接利用待定系数法代入求解即可； （2）结合图形求三角形面积即可； 熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交与，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）如图所示： 由（1）得， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)点A，B的坐标分别为 (2)3 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）利用求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或 即交点A，B的坐标分别为； （2）连接 直线与y轴交于点，即， ． 【变式训练1 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求出函数顶点坐标即可判断出定点所在位置． 【详解】解：抛物线的顶点为，在y轴上， 故选D． 2．（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：    接力中，自己负责的出现错误的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丙 【答案】A 【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤． 【详解】解：老师—甲： ，故甲错误； 甲－乙：，故乙错误； 乙－丙：，故丙正确； 丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确． A：正确；B：错误；C：错误；D：错误． 故选：A 【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减． 3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， ， 二次函数的对称轴为：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）通过配方，确定抛物线的顶点坐标，并直接写出y随x的增大而怎样变化． 【答案】，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】将抛物线的解析式配成顶点式即可求解． 【详解】解： ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线的对称轴为直线，且 故：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【点睛】本题考查将抛物线的一般式化成顶点式．注意每一步变形的准确性． 【变式训练2 画y=ax²+bx+c的图象】 1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）如图，函数的图象大致是下图的 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：y=2x（3-x）=-2x2+6x ∵a=-2＜0， ∴开口向下， ∵b=6＞0， ∴对称轴在y轴的右侧， ∵c=0， ∴经过原点， ∴B选项符合， 故选B． 考点: 二次函数的图象. 2．（22-23九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）请写出一个同时满足下列条件的抛物线的表达式 ． ①升口向下；②当时，随的增大而增大 【答案】 【分析】开口向下，则a＜0，在对称轴的左侧，随的增大而增大，据此解答即可． 【详解】∵开口向下，则a＜0，在对称轴的左侧，随的增大而增大， 又当时，随的增大而增大 ∴对称轴 故抛物线的表达式可以为：（答案不唯一） 故答案为： 【点睛】本题考查的是求抛物线的表达式，解答本题的关键是要由所给定的条件，确定a的正负及对称轴的位置，取一个比较简单的a值，即可得抛物线的解析式． 5．（22-23九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数图象的顶点为P（－1，3），且与y轴交于点A（0，2），求该函数的解析式并画出该函数的图象． 【答案】；图象见解析 【分析】根据顶点 设出二次函数的顶点式 ，将点代入得到的值，即可得到答案，最后画出函数图象即可． 【详解】解：抛物线的顶点为 设出二次函数的顶点式， 将点代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 图象如图所示． 【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式以及函数的图象，掌握求二次函数解析式得方法是解题的关键． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知：二次函数 （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图． 【答案】（1） (－2，－1)；（2）见解析 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可． 【详解】（1）化为顶点式为 则该函数图象的顶点坐标为； （2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格 当和时， 当和时， 当时， 列出表格如下： 由此画出该函数的草图如下： 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键． 【变式训练3 y=ax²+bx+c的图象与性质】 1．（23-24九年级上·广西柳州·期中）若抛物线经过点，则b的值是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把代入后解方程求出b的值. 【详解】解：把代入得， 解得 故选：C 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）点，为抛物线上两点，且，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，先求出抛物线的对称轴，再求出关于对称轴对称的点坐标，结合函数图像即可求解． 【详解】解：抛物线， ∴对称抽为：， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， 当， 可得出， 故线：D． 3．（2024·安徽芜湖·一模）二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 4．（2023·贵州贵阳·二模）二次函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】 本题考查了求整式的值，点在函数图象上的意义；将代入函数关系式，即可求解；理解点在函数图象上的意义是解题的关键． 【详解】解：图象经过点， ， 即． 故答案：． 5．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，，， (2)77 (3)或 【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断； （2）把代入解析式进行计算即可得解； （3）当代入解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数化为一般形式， 其中，，； （2）解：当时，； （3）解：当时，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义． 6．（22-23九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数． (1)下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … (2)根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【答案】(1)0，-1，0 (2)见解析 【分析】（1）将x=1，2，3代入求解． （2）通过描点，连线，作图． 【详解】（1）分别将x=1，2，3代入得y=0，-1，0， 故答案为：0；-1；0． （2）如图， 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【变式训练4 二次函数图象与各项系数符号】 1．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知点，在二次函数的图象上，且满足，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性．根据二次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小，且， ∵， ∴． 故选：A 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，根据二次函数的图象确定c的取值范围即可得． 【详解】解：根据二次函数图象可得：抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴只有A符合题意， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）二次函数的图象的开口方向为 ． 【答案】向上 【分析】根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：在中， ， 二次函数的图象的开口方向向上， 故答案为：向上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数中，时图象开口向上，时，图象与y轴的交点为，因此只要满足，即可． 【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得： 图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式，只要满足，即可， 因此二次函数解析式可以为：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 5．（22-23九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）抛物线经过点． (1)求的值； (2)求把此抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），直接将点的坐标代入可得答案； 对于（2），根据抛物线的平移特征可得关系式，再整理即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）由（1），得． 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，求二次函数的系数等，理解抛物线上的点与关系式的关系是解题的关键． 【变式训练5一次函数、二次函数图象综合判断 】 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：已知与， ∴过，过， ∴A、C选项不符合题意； 当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意； 当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故B错误； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故C错误； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D错误； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．熟记相关结论是解题关键． 3．（2023·河南驻马店·模拟预测）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征： ． 【答案】都过等 【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案． 【详解】∵函数与的图像都经过点（0，-1）， 故答案为：（0，-1）． 【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键． 4．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号； （2）若y1＜0，指出x的取值范围； （3）若y1＞y2，指出x的取值范围． 【答案】（1）b＜0，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0；（2）1＜x＜4；（3）x＜1或x＞5． 【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号； （2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集； （3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系． 【详解】解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0， ∴b＜0， ∵二次函数与坐标轴的交点个数为2， ∴b2﹣4ac＞0， ∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知， ∴a﹣b+c＞0； （2）结合图象可知， 当1＜x＜4 时，y1＜0； （3）结合图象可知， 当x＜1或x＞5时，y1＞y2． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握． 【变式训练6 根据二次函数的图象判断式子符号】 1．（2023·上海虹口·一模）如果抛物线开口向下，那么的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．” 2．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法： ①abc＜0； ②a+b＝0； ③4a+2b+c＜0； ④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2， 其中说法正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 【答案】D 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号； ②根据对称轴求出b＝﹣a； ③把x＝2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系； ④根据﹣3＜﹣2＜，结合抛物线的性质即可判断y1和y2的大小． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x＝， ∴﹣＝， ∴b＝﹣a＞0， ∴abc＜0． 故①正确；      ②∵由①中知b＝﹣a， ∴a+b＝0， 故②正确； ③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c， ∵抛物线经过点（2，0）， ∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0． 故③错误； ④∵抛物线开口向下，对称轴为x＝， ∴在对称轴的左边y随x的增大而增大， ∵﹣3＜﹣2＜， ∴y1＞y2． 故④错误； 综上所述，正确的结论是①②． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，且，，则一定有 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，根据题意抛物线开口向上，顶点在轴的下方是解题的关键． 根据题意可知抛物线与轴有两个交点，即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，， ∴抛物线的顶点在轴的下方， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的不等式的解集为；； ④（t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断、、的值即可判断①；然后根据对称轴为得到，然后代入当时即可判断②；利用数形结合即可判断③；由时抛物线有最小值，即可得到，然后得到结论判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴位于y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴，即， ∵当时，， ∴，故②正确； 借助图象可得关于x的不等式的解集为或，故③错误； ∵当时，二次函数有最小值， ∴， ∴，故④正确； 正确的是②④， 故答案为：②④． 5．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 6．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知：函数． （1）当时， ①求随增大而增大时，的取值范围； ②当时，求的取值范围； ③当时，设的最大值与最小值之差为，当时，求的值． （2）若，连结.当此函数的图象与线段只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①或；②；③或；（2）或或． 【分析】（1）①利用函数图像，直接作答即可； ②观察函数图像直接作答即可； ③分、、、四种情况分类讨论即可； （2）利用两个函数的对称轴都是直线，分类讨论所处的位置，即可得出答案． 【详解】（1）①或. 当时，函数变为 ， 函数图像如图所示： 函数的对称轴是直线， 所以通过观察图像可以得到当随增大而增大时，的取值范围是：或； ②； 通过观察图像可以得到：当时，； ③当，即时， ， 当时，由图象可知 当时， 由， 得， 当时， 舍去. 综上所述:或； 或或， ∵ ∴的对称轴为直线：， 的对称轴为直线：， ①由（1）可知：当时，函数与AB有两个交点，一个为（0,2），一个为（），满足条件； ②当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意； ③当时，函数变为：，此时只有一个交点，不合题意； ④当时，此时的顶点坐标为， ∵， ∴与AB无交点； 对于函数一直小于0，因此与AB无交点； ⑤当时， 对于函数来说，当时，有最小值此时，因此函数与AB最多有一个交点， 对于函数，当时，有最大值，为，与AB无交点； ⑥当时， 对于函数来说，，因此与AB必有一个交点， 只须保证：与AB有一个交点即可， 当时，当时，有最大值为，根据对称性可知：此时与AB有两个交点， ∴当时，有三个交点，不合题意； 当时， 函数变为：，此时与AB共有两个交点； 当时：与AB有一个交点， ∴此时函数与AB有两个交点； ⑦当时， 对于函数：，与AB无交点， 当函数过时， 得：，解得：， ∵， ∴，此时与AB有两个交点， ∴当时，与AB有两个交点； 综上所述：当或或时，与AB只有两个交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，利用了数形结合思想，分类讨论思想，牢记图像与性质以及对称轴不确定性的分类讨论思想的利用是解决本题的关键． 【变式训练7 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数交点式与对称轴．通过二次函数交点式可知函数与轴交点,因为交点关于对称轴对称,再利用中点公式求出中点,继而得到答案． 【详解】解:∵, ∴令,即, ∴与轴两个交点横坐标分别是, ∴对称轴为． 故选:B． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】C 【分析】由对称轴是直线，且经过点，可知抛物线与轴的另一个交点是，代入抛物线即可． 【详解】解：因为抛物线对称轴是且经过点， 所以抛物线与轴的另一个交点是， 将代入抛物线解析式中，得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出抛物线与轴的另一个交点，难度不大． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查的是已知抛物线上的两点求解抛物线的对称轴，可得本题抛物线的对称轴为直线． 【详解】解：∵一条抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴是直线； 故答案为： 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的部分对应值列表如表： x … 0 3 5 … y … 7 ﹣8 7 … 则抛物线的对称轴为 ． 【答案】 【分析】由表格可得抛物线经过即可得到抛物线的对称轴，此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：由表格可得抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【答案】a＜0，b＞0，c=2，a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0等，答案不唯一 【分析】利用抛物线图象的开口方向，与y轴交点坐标，对称轴位置进行判定a、b、c的信息． 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0； ∵抛物线与y轴的交点为（0，2），故c=2； ∵抛物线对称轴x=＞0， 故a、b异号，b＞0； ∵抛物线经过点（-1,0）和（2,0）, ∴有a-b+c=0①， 4a+2b+c=0②， ②-①得3a+3b=0， 即a+b=0； 又∵抛物线经过（0，2）， 故c=2， ∴a+b+c=0+2=2； a＜0，b＞0，c=2, a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，利用数形结合思想是解决问题的关键． 6．（2023·江苏南京·一模）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求的值； (2)点是该函数图象上两点，若求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将，代入函数解析式求解； （2）由抛物线解析式及可得． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 故的值为，的值为； （2）解：由（1）得 点是该函数图象上两点， ， ， ， 点是图象上两点， ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握待定系数法求函数解析． 【变式训练8 根据二次函数的对称性求函数值】 1．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数均过点、、，则，，三者之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将x的值代入确定各个对应的值，然后比较即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查比较二次函数值的大小及求函数值，理解题意，求出相应函数值是解题关键． 2．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知二次函数的x、y部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 则当时，y的值为（   ） A．5 B．3 C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，时的函数值与时的函数值相同． 【详解】解：由图表可知，时的函数值与时的函数值相同． 所以当时，的值为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）设是抛物线上的三点，则、、的大小关系为 （用＜号连接）． 【答案】 【分析】把点的坐标分别代入可求得、、的值，比较大小可求得答案． 【详解】∵是抛物线上的三点， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】先找到二次函数的对称轴，将的值看成是时的函数值，再根据对称性找到对应函数值即可． 【详解】观察表格信息可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，，此时函数值与时对应的函数值相等， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是根据表格判断出二次函数的对称轴． 5．（23-24九年级上·广东珠海·期中）抛物线过点与，且抛物线最小值是，通过计算，判断点是否在此函数图象上？ 【答案】点不在此函数图象上 【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，从而得到抛物线的解析式为，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过点与，且抛物线最小值是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点不在此函数图象上． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 6．（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 【变式训练9 y=ax²+bx+c的最值】 1．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数，当，下列说法正确的是（　　） A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上， ∴在的取值范围内，当时取得最大值11，当时，取得最小值2， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式，下列说法正确的有（   ） ①无论取何值，的值总是正数；②的值可正可负也可以是0；③当时，取得最大值，最大值为；④当时，取得最小值，最小值为． A．② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数最大（小值的求法．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 【详解】 解：①、函数，所以无论取何值，的值总是正数，正确； ②、的值可正可负也可以是0，错误； ③、函数有最小值，当时，最小值为，取得最大值，错误； ④、函数可化为，当时，取得最小值，最小值为，正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）二次函数的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的最值问题，将一般式转化为顶点式，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，函数取得最小值为； 故答案为：0． 4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知a、b、m满足，，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】 本题考查了二次函数的性质，配方法求最值．两个等式联立成方程组，②①得，利用配方法求最大值即可． 【详解】 解：， ②①得：， ， 当时，有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 5．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该拋物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 将已知点代入抛物线求得关于a和b的关系式，结合对称轴的表达式即可求得对称轴； 假设抛物线对称轴为直线，可求得抛物线上点关于对称轴的对称点为，结合题意可得．进一步得到在对称轴的左侧随增大而减小．将点对称轴为且，此时三点均在对称轴左侧，且，即可求得函数值的大小． 【详解】（1）解：抛物线过， 即， 则抛物线对称轴为直线； （2） 理由如下： 设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使． ，即． 抛物线开口向上， 在对称轴的左侧随增大而减小． 又关于对称轴的对称点为且， 点都在对称轴左侧，且， ． 6．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 m 12 … (1)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该图象的一条性质； (2)的值为______； (3)求这个二次函数的解析式. 【答案】(1)见解析，性质：对称轴为直线（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，求二次函数解析式，画二次函数图象，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （2）根据抛物线的对称性可知当时和当时的函数值相同，则和时函数值相等解题即可； （3）根据顶点坐标，利用待定系数法求解即可； 【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示： 性质为：对称轴为直线； （2）解：∵对称轴为， ∴当和时函数值相等，根据表格可得， 故答案为：； （3）设函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴． 【变式训练10 利用二次函数对称性求最短路径】 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 3．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 5．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 【变式训练11 待定系数法求二次函数解析式】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若，则下列结论成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．先求出A、B的坐标，然后把A的坐标代入函数解析式即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（    ）    A．30 B．36 C．48 D．56 【答案】B 【分析】设抛物线的表达式为，把代入求出的值，再把代入即可求出的值． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一个二次函数图象的形状、开口与抛物线都相同，且它的顶点坐标是，则这个二次函数的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出值是关键．设抛物线的解析式为，由条件可以得出，就可以求出结论． 【详解】解：由题意设抛物线的解析式为， ∵该抛物线的形状、开口与抛物线都相同， ， ， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．根据抛物线的对称性求得与x轴另一个交点坐标，然后利用待定系数法即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点坐标为，对称轴为， ∴与x轴另一个交点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴其解析式为， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）能否沿y轴方向适当地平移抛物线，使得到的新的抛物线经过点？若能，请求出平移后新的抛物线对应的函数表达式，并说明平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】能；，沿y轴方向向下平移个单位 【分析】本题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数解析式；抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有，将代入即可求解；掌握平移规律和解法是解题的关键． 【详解】解：能；理由如下： 设抛物线沿y轴方向适当地平移个单位，则有 ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 即m沿y轴方向向下平移个单位； 故平移后新的抛物线对应的函数表达式为，沿y轴方向向下平移个单位． 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，二次函数的图像交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，二次函数与x轴交点坐标，求三角形面积； （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先由求出，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵二次函数的图像经过点 ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式是； （2）∵二次函数的图像与轴交于A，B两点， ∴， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点的坐标为，． ∴的面积． 【变式训练12 二次函数图象的平移】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移1个单位再向下平移2个单位后，得到的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【详解】解：由题意得，平移后解析式为， 故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（    ） A．，3 B．， C．2， D．2，3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到二次函数， 故选：D． 3．（2024·广东惠州·二模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 4．（2024·上海长宁·三模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是， 故答案为：． 5．（2023九年级·陕西·专题练习）如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标． 【答案】P(1，－2)． 【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可． 【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的． 如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小． 由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3， ∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1， ∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°， ∴DB＝DP＝2， ∴P(1，－2)． 【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键． 6．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为． （1）求抛物线的解析式 （2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案； （2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度， 如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为： 点，连接 交对称轴于 ，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】.解：（1）抛物线与直线交于轴上一点， 令 则 点 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）将直线与二次函数联立得方程组： 解得：或， ， 如图，要使的周长最小，则最小， 设二次函数与轴的另一交点为， 抛物线的对称轴为： 点， 连接 交对称轴于 ， 此时，最小， 此时：， 的周长最小值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练13 二次函数综合】 1．（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点为，当最大时，的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线 该抛物线的顶点为 当最大时，的面积最大， 当时，最大为，即为时的面积最大 故选：A． 2．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 3．（22-23九年级上·江西赣州·阶段练习）二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为 ． 【答案】3 【详解】∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3）， ∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3）， ∴该三角形的面积为． 故答案是3. 4．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，可求出顶点坐标，当点运动到抛物线的顶点处时，的最小，正方形的周长最下，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线， ∴顶点坐标为； ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线上运动， ∴当点运动到抛物线的顶点处时，的最小， ∴当时，，则有最小值， ∴的最小值是，正方形周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与线段最小值的综合，掌握二次函数顶点坐标的计算方法，线段最小值的计算是解题的关键． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）由抛物线向下平移个单位得到的图象过点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移、待定系数法求二次函数解析式；先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点，所以把点代入新的抛物线解析式就可求的值，熟练掌握二次函数的平移法则：上加下减，左加右减是解此题的关键． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得到 平移后的图象过点， ， 解得． 6．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解题意，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）将配成顶点式为，可知抛物线的顶点坐标为，再根据“相关抛物线”定义即可求解； （2）由（1）可知，由此得抛物线的表达式为，联立抛物线和抛物线，求得抛物线和抛物线与x轴的交点为和，再根据当直线经过点时，当直线与抛物线有一个交点时，求得临界值，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线与抛物线为“相关抛物线”， ∴抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ，， ∴， （2）由（1）可知， ∵抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的表达式为， 联立抛物线和抛物线得：，解得：， ∴抛物线和抛物线与x轴的交点为和， 若直线 与图形M的边界有4个公共点，则直线需在如图所示的两条虚线之间． 当直线经过点时， ，解得：， 当直线与抛物线有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 方程化简为 ， 则， ， 综上，当直线 与图形 M 的边界有 4个公共点时，a的取值范围为 ． 1．（22-23九年级上·天津南开·期末）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x＋4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（    ） A．2 B．6 C．﹣2 D．0 【答案】D 【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到关于 的方程，解方程从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数 ∴该函数的顶点坐标为 ∵二次函数图象的顶点在坐标轴上， ∴或， 当时， 当时， 或 或 综上：或或 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标特点是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练运用a的正负性及对称轴的正负性对图像进行判定是解本题关键．通过，可排除选项A和选项B；再讨论和时，对称轴与y轴的位置关系，进而确定正确的选项． 【详解】解：二次函数的对称轴， ，， ， 选项A和选项B中图像的对称轴都是y轴，即，故不符合题意； 当时，，抛物线开口向上，且对称轴在y轴右侧， 选项C中抛物线开口向上，且对称轴在y轴右侧，故符合题意； 当时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴左侧， 选项D中抛物线开口向下，但对称轴在y轴右侧，故不符合题意； 故答案选：C． 3．（23-24九年级上·河南·期末）二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图像的综合，根据抛物线的图像，确定a，b，c的符号，再确定， 的符号，计算选择即可． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，且， 故， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， 根据图像，看出时，其函数值大于0， 故 ∴， ∴， 一次函数图像分布在第一，第三，第四象限， 故选D． 4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为(    ) A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】A 【分析】根据抛物线与抛物线的对称轴相同，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4， ∴抛物线与x轴的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线 抛物线的对称轴也是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ∴方程的另一个根为 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称轴方程是：． 5．（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤是解题的关键．将化为顶点式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 4 0 4 … 则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由表格可得，抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点为和，开口向上，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点为和，开口向上， ∴时，的取值范围是． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是二次函数和一次函数的图象，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图像直接得出不等式的解集即可． 【详解】解：根据图像可知的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据一次函数与二次函数图像的交点坐标求不等式的解集，解题的关键是数形结合思想的应用． 9．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【答案】4 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． 10．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．则 ， ．    【答案】 1 【分析】通过待定系数法求出抛物线的解析式即可． 【详解】解：将，代入， 得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数解析式，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式． 11．（22-23九年级上·山西运城·期末）将抛物线化成的形式，并直接写出它的对称轴． 【答案】，对称轴是直线 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，运用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 【详解】解： ， 抛物线的对称轴为直线． 12．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知二次函数中，x与y的部分对应值如下表所示： x … －4 －3 －1 0 … y … m 0 0 －3 … (1)表中的m＝______； (2)求此二次函数的最大值． 【答案】(1)-3 (2)1 【分析】（1）根据抛物线关于对称轴对称的点坐标特征，先求出对称轴，则（-4，m）和（0，-3）是对称点，得m=-3； （2）先根据待定系数法求出抛物线的解析式，再将x=-2，代入解析式求出最大值． 【详解】（1）解：∵（-3,0）和（-1,0）关于对称轴对称， ∴对称轴 ∴（-4，m）和（0，-3）是对称点 ∴m=-3 故答案为：m=-3 （2）解：将x=-3，y=0；x=-1，y=0；x=0，y=-3代入得： 解得 ∴ 对称轴 ∵a=-1<0 ∴当x=-2时， 【点睛】本题考查了二次函数的对称点的特征，及函数的最值，熟记二次函数的性质是解题的关键． 13．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线经过点和点，且这个抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设抛物线对称轴与x轴交于D，先求出点C的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把和点B代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线对称轴与x轴交于D， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数解析式，正确利用割补法表示出所求的面积是解题的关键． 14．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，C．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程． 【答案】(1)，最大值为4，a的值为8 (2)5 【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4， 把代入中得： ， 解得：或， ∵点在C的对称轴右侧， ∴； （2）∵， ∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到， 平移距离为， ∴移动的最短路程为5． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． 15．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）已知抛物线经过点和点，且． (1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； (2)若，求抛物线解析式，并指出此时抛物线的开口方向； (3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． 【答案】(1)y的最小值为，此时 (2)，开口向上 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法求二次函数解析式： （1）抛物线开口向上，则在对称轴出取得最小值，再根据对称性求出t的值即可； （2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到答案； （3）先把点A坐标代入解析式得到，再由抛物线对称轴为直线，得到，进而得到，由抛物线开口向下，得到，则符合题意的t的值可以为． 【详解】（1）解：∵抛物线开口向上，且对称轴经过， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵抛物线对称轴为直线，且经过原点和 ∴； （2）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为，且抛物线开口向上； （3）解：把代入中得， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴符合题意的t的值可以为． 学科网（北京）股份有限公司 $$