第07讲 二次函数y=ax²与y=a（x-h）²+k的图像和性质（1大知识点+4大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第07讲 二次函数y=ax²与y=a（x-h）²+k的图像和性质（1大知识点+4大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 y=ax²+k的图象和性质 题型二 y=ax²的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识点01 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【典型例题一 y=ax²+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．在对称轴的右侧，随的增大而增大 C．顶点坐标为 D．当，有最大值是2 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 3．（23-24九年级上·北京朝阳·阶段练习）的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 5．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 【典型例题二 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大 B．二次函数中，当 时，有最大值0 C．二次函数中，当时，随的增大而增大 D．不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点 3．（22-23九年级上·广东惠州·期中）抛物线开口向下，则的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为 ．    5．（22-23八年级·全国·假期作业）通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 6．（22-23九年级上·河南信阳·阶段练习）根据下列条件分别求a的取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝有最大值； (3)抛物线与的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线． 【典型例题三 y=a（x-h）²的图象和性质】 1．（22-23九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广西河池·期中）二次函数的的大致图像是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）对于函数，下列说法正确的是 ． ①开口向下；②对称轴是直线；③最大值为0；④与轴不相交． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？ 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【典型例题四 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 1．（2023·江苏淮安·二模）若抛物线过点，，则的值不可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，y有最大值是 D． 时，y随x的增大而减小 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）将抛物线顶点坐标为 ． 4．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）若点在二次函数的图象上，则的大小关系为： （填“＞”，“=”或“＜”） 5．（23-24九年级上·广东中山·期中）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 6．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴． (2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． (3)设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 【变式训练1 y=ax²+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【变式训练2 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ． 4．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）二次函数的图象对称轴右侧上有两点，，若，则 ．（填“”“”或“”） 5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点坐标． (2)点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标 【变式训练3 y=a（x-h）²的图象和性质】 1．（23-24九年级上·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 2．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知点，在抛物线，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级上·辽宁朝阳·阶段练习）抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）已知，当时，函数值y随x的增大而 ． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 6．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数y＝﹣（x+2）2﹣2 （1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　． （2）当x　 　时，y随x的增大而减小； （3）怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 【变式训练4 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C． D．不能确定 3．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 4．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）函数的顶点坐标是 ． 5．（22-23九年级上·广西河池·期末）求二次函数的最值． 6．（22-23九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数 (1)将二次函数化为一般式； (2)当时，求y的值． 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）当时，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 6．（22-23九年级上·福建厦门·开学考试）抛物线的最大值是 ． 7．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）设 是抛物线上的三点，则用“”表示的大小关系是 ． 8．（2023·江苏镇江·一模）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 9．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图像如图所示，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 10．（22-23九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 13．（2023九年级下·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 14．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 15．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次函数y=ax²与y=a（x-h）²+k的图像和性质（1大知识点+4大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 y=ax²+k的图象和性质 题型二 y=ax²的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识点01 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【典型例题一 y=ax²+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．在对称轴的右侧，随的增大而增大 C．顶点坐标为 D．当，有最大值是2 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为轴，且抛物线的开口向下， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 抛物线的顶点坐标为，故 C选项错误，不符合题意； ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向下， ∴当，有最大值是2，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据顶点坐标，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为：， ∴顶点坐标在y轴的负半轴， 由图可知，坐标原点只可能是点M． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京朝阳·阶段练习）的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 y轴 【分析】直接根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是 故答案为：y轴，． 【点睛】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 4．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线关于轴对称，得出顶点横坐标为，求解，得出的值，得抛物线解析式为，根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于轴对称的图象解析式为，整理即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称，即对称轴为轴， ∴顶点在轴上，即顶点横坐标为， ∴， ∴， ∴此时抛物线解析式为， 关于轴对称的图象解析式为，即． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质计算求解是解题的关键． 5．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，画出抛物线的图象． 【答案】图见详解 【分析】根据函数表达式画出函数图象即可；本题主要考查画二次函数图象，正确画出二次函数图象是解题的关键． 【详解】，则的顶点坐标为， 画抛物线的图象如图所示： 【典型例题二 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的增减性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查函数的性质．掌握相关结论即可． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大 B．二次函数中，当 时，有最大值0 C．二次函数中，当时，随的增大而增大 D．不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大，故该选项不正确，符合题意； B. 二次函数中，当 时，有最大值0，故该选项正确，不符合题意； C. 二次函数中，当时，随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意； D. 不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数（）的性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 3．（22-23九年级上·广东惠州·期中）抛物线开口向下，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得到，求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 解得：， m的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数，当时，开口向下，当时，开口向上，是解题的关键． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①；②；③；④．比较的大小，用“”连接为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向和大小解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向和大小可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象，掌握抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小是解题的关键． 5．（22-23八年级·全国·假期作业）通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【答案】见解析 【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象． 【详解】解：列表得： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线． 【点睛】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键． 6．（22-23九年级上·河南信阳·阶段练习）根据下列条件分别求a的取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝有最大值； (3)抛物线与的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 ； (4) ． 【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得 ． （2）由题意得 ， 解得 ． （3）由题意得 或 ， 解得 或 ； （4）函数土象开口向上 ． 【点睛】本题考查了二次函数图象得性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解． 【典型例题三 y=a（x-h）²的图象和性质】 1．（22-23九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广西河池·期中）二次函数的的大致图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式，，可得图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得． 【详解】解：∵，， ∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故选：D． 【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标在x轴上，顶点坐标为． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）对于函数，下列说法正确的是 ． ①开口向下；②对称轴是直线；③最大值为0；④与轴不相交． 【答案】①②③ 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：①∵，∴抛物线的开口向下，故①正确； ②抛物线的对称轴是直线，故②正确； ③的最大值为0，故③正确； ④把代入得，∴与轴的交点为，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 5．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线，当时，函数有最大值，则当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】当时，随的增大而减小 【分析】根据抛物线当时，函数有最大值，可得，，进而，即可求解． 【详解】解：∵当时，函数有最大值， ∴，， ∴当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 【典型例题四 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 1．（2023·江苏淮安·二模）若抛物线过点，，则的值不可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．把点和点坐标分别代入解析式得到方程组，消去得到可解得，然后利用得到的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断． 【详解】解：把、分别代入得， ②①得， 解得， 所以， 所以的值不可以是4． 故选：D 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当时，y有最大值是 D． 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，对称轴为，时：开口向上，在时有最小值是，在上 y随x的增大而减小， 上y随x的增大而增大逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 函数的对称轴是：， ∵， ∴函数的图像开口向上，当时，有最小值，时， y随x的增大而减小， 所以时， y随x的增大而减小， 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）将抛物线顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质，根据的顶点为，即可解题． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）若点在二次函数的图象上，则的大小关系为： （填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上， 故答案为：>． 5．（23-24九年级上·广东中山·期中）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为 6．（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴． (2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． (3)设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线 (2)函数y有最小值，最小值为 (3) 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和最值，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． （1）根据函数表达式即可解决问题． （2）由抛物线开口向上，结合函数表达式解决问题． （3）令即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线； （2）解：∵，且顶点坐标为 ∴函数y有最小值，最小值为； （3）解：在中，令，则， ∴． 【变式训练1 y=ax²+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数自变量与函数值的计算，掌握二次函数自变量与函数值的对应关系是解题的关键． 根据题意，把点坐标代入二次函数计算，即可求解． 【详解】解：A、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； B、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； C、当时，故在二次函数图象上，符合题意； D、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过两点，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据性质即可作答． 【详解】关于轴的对称点为． 中二次项系数 当时，值随值的增大而增大 和的横坐标 故选：C． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【详解】图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得、的坐标是解题的关键．由抛物线的解析式求得的坐标，然后利用抛物线的对称性求得的坐标，即可求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 过点作轴，交抛物线于另一点， 由抛物线的对称性可知，当时，， ， ， 的面积． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 【变式训练2 y=ax²的图象和性质】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答． 【详解】根据二次函数和的图象，可得两图象都关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以①③④正确． 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 3．（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【详解】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 4．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）二次函数的图象对称轴右侧上有两点，，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据，得到y随x增大而减小直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴ 当时，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点坐标． (2)点是抛物线上一点，且当时，的最大值为3，求的面积． 【答案】(1)，点为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求抛物线的表达式以及与面积有关的综合问题. （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，以及当当时，即可求出C点的坐标． （2）根据时，的最大值为3，可确定m的值，进而可求出答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得：， ； 当时，， ∴点为． （2）由题意得，二次函数经过点 由（1）得，，，； ， 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若抛物线上存在一点D，使得．求出点D的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)对称轴为：直线；顶点坐标为： (3)点D的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、将一般式写成顶点式等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）将一般式写成顶点式即可求解； （3）根据可求出点的纵坐标，即可求解 ． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为： （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线；顶点坐标为： （3）解：∵， ∴ 由（2）得：抛物线的顶点坐标为， ∴ 令， 解得：， ∴点D的坐标为或 【变式训练3 y=a（x-h）²的图象和性质】 1．（23-24九年级上·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：对于， ∵，故抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 该函数有最小值，最小值是0，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知点，在抛物线，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据二次函数的性质可以判断出与的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵，是抛物线上的两点，且离对称轴较近， ∴， 故选：A． 3．（23-24六年级上·辽宁朝阳·阶段练习）抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）已知，当时，函数值y随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 6．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知函数y＝﹣（x+2）2﹣2 （1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　． （2）当x　 　时，y随x的增大而减小； （3）怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 【答案】（1）向下，直线x＝﹣2，（﹣2，﹣2）；（2）＞2；（3）把抛物线y＝﹣x2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 【分析】（1）根据二次函数的性质求解； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据平移的平移规律求解． 【详解】（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）； （2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小； （3）把抛物线y＝﹣x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣2． 故答案为向下，直线x＝﹣2，（﹣2，﹣2）；＞2； 【点睛】此题考查二次函数的性质、函数解析式的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案. 【变式训练4 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 1．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的的顶点坐标为，即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：A 2．（2023·江苏连云港·模拟预测）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练二次函数的顶点式是解决问题的关键． 由得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，因此当时，取得最小值1． 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知函数，当x 时，y随x的增大而增大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由解析式得对称轴为直线，再由即可求解；理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时， y随x的增大而增大； 故答案：． 4．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，正确理解二次函数的顶点式是解题的关键．二次函数的顶点式为，其中顶点为．根据二次函数的顶点式，即得答案． 【详解】函数的顶点坐标是． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广西河池·期末）求二次函数的最值． 【答案】有最小值，为 【分析】先将二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解： ， ∵二次项系数，二次函数的图像开口向上， ∴二次函数有最小值，当时，． ∴二次函数有最小值，为． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广西梧州·期中）已知二次函数 (1)将二次函数化为一般式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）把代入函数解析式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当时，． 【点睛】本题考查的是把抛物线化为一般式，计算函数的函数值，熟练的把二次函数化为一般式是解本题的关键． 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，则其图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】解：A、当时，，故二次函数图象经过点，符合题意； B、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； C、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； D、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题关键．由二次函数顶点式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，进而即可选择． 【详解】解：∵该二次函数解析式为， ∴，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴该二次函数图象的开口向上；当时，随的增大而减小． 故选项A、C、D错误，B正确． 故选B． 4．（22-23九年级上·吉林长春·期末）当时，二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据得到顶点是，结合图像即可得到坐标原点； 【详解】解：∵， ∴二次函数顶点是， 由图像可得，顶点在上， ∴点是标原点， 故选C； 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握的顶点是． 6．（22-23九年级上·福建厦门·开学考试）抛物线的最大值是 ． 【答案】8 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 7．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）设 是抛物线上的三点，则用“”表示的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，据此求出A、B、C到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2023·江苏镇江·一模）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 【答案】/ 【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得到，再证明为等腰直角三角形得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值． 【详解】解：设直线与轴交于点，如图，则， ， ， 过点且平行于轴， 为等腰三角形， ∵轴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 9．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图像如图所示，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，系数越大，开口越小． 【详解】∵二次函数的开口最大，二次函数的开口最小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 10．（22-23九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象如图所示，若，是该图象上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性质求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 又点，关于直线对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的对称性是解答的关键． 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于另一点，求的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得、的坐标是解题的关键．由抛物线的解析式求得的坐标，然后利用抛物线的对称性求得的坐标，即可求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， 过点作轴，交抛物线于另一点， 由抛物线的对称性可知，当时，， ， ， 的面积． 13．（2023九年级下·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 15．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见解析 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可； （2）由表中的点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由抛物线可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$