第09讲 二次函数与一元二次方程（1大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第09讲 二次函数与一元二次方程（1大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 图象法解一元二次不等式 题型六 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型七 根据交点确定不等式的解集 题型八 抛物线与x轴的交点问题 题型九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型十 求x轴与抛物线的截线长 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为，则线段的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数图象如图所示，则方程的解是（    ）    A． B． C．或 D．或 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若二次函数的图象与x轴的一个交点是，则与x轴的另一个交点坐标是 ． 5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若抛物线与轴分别交于A、B两点，求线段的长． 6．（23-24九年级上·重庆合川·期末）抛物线与x轴的一个交点为． (1)求k的值； (2)求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·北京石景山·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江丽水·期末）抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 4．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）二次函数与y轴的交点坐标是 ． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C、求的面积． 6．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)将化为顶点式． (2)若A为抛物线顶点，B为抛物线与y轴交点，求的面积． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）当x= 时，二次函数的值为零． 4．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，的取值范围是，则的值为 ． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数（m为常数）的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知抛物线． (1)若是该抛物线上一点，求的值； (2)点，都在该抛物线上，若，试比较，的大小，并说明理由． 【典型例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（    ） x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 A． B． C． D． 2．（2023九年级下·江苏·专题练习）某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）： x y 根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是 ． 5．（2023·江苏南京·二模）从不同角度谈谈你对等式x（x+4）＝5的理解． 6．（22-23九年级上·北京丰台·期末）在二次函数的学习中，教材有如下内容： 小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程的近似解，做法如下： 请你选择小聪或小明的做法，求出方程的近似解(精确到0.1). 【典型例题五 图象法解一元二次不等式】 1．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为（  ） A．x＜-1 B．x＜3 C．-1＜x＜3 D．x >3 2．（22-23九年级上·广西玉林·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期中）已知直线与抛物线，若，则的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围 ． 5．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 0 1 2 …… y …… 5 0 …… (1)求该二次函数的表达式： (2)根据二次函数图像，直接写出不等式的x的取值范围． 6．（22-23九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． （1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）根据图象回答：当0≤ x <3时，y的取值范围是______________． 【典型例题六 利用不等式求自变量或函数值的范围】 1．（2023九年级·江苏·专题练习）已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A． 或 B． C． D． 2．（22-23九年级上·天津河西·期末）二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 3．（2023·吉林长春·一模）已知二次函数，过，，假设，则，的大小关系是 ． 4．（22-23九年级上·广东韶关·期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数 （1）若，则的取值范围为__ _（直接写出结果）； （2）若，则的取值范围为_ （直接写出结果）； （3）若两点都在该函数的图象上，试比较与的大小． 6．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围． 【典型例题七 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）在二次函数中，若函数值小于0，则结合函数图象判断x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　）    A．或 B． C． D． 3．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，，则使成立的x的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．    5．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点 ． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，的取值范围是 【典型例题八 抛物线与x轴的交点问题】 1．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的一个交点的横坐标为3，则另一个交点的横坐标为（   ） A． B． C． D．1 2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，，，是方程的两个根，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·二模）拋物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次函数中，函数y与x的部分对应值如下表，则一元二次方程的解是 ． 0 0 5．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知抛物线与x轴只有一个公共点，求c的值． 6．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【典型例题九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）若点、在二次函数的图象上，则方程的一个解x的范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）函数的图象如图，关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．有两个异号的实数根 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数的图象过点，则方程的解为 ． 4．（23-24九年级上·广西崇左·期中）二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)点B的坐标为 ； (2)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ； (3)方程的两个根为 ． 6．（22-23九年级上·广西·阶段练习）根据二次函数的图象，回答下列问题： (1)方程的解是________． (2)当取什么值时，？ (3)当取什么值时，？ 【典型例题十 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 3．（22-23九年级上·全国·期末）已知抛物线与轴交于、两点，设抛物线顶点为，若，则的值为 ． 4．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为 ． 5．（22-23九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 6．（22-23九年级上·青海西宁·期中）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(－1，0) （1）求抛物线的解析式． （2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积． 【变式训练1 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（22-23九年级上·江西·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·北京·期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是 ． 4．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 6．（22-23九年级上·北京大兴·期中）已知二次函数． （1）二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），求、两点的坐标； （2）在网格中，画出该函数的图象． 【变式训练2 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海静安·期中）下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 5．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）已知抛物线与轴的两个交点为（在的左侧），与轴交于点. （1）直接写出点，，的坐标； （2）求的面积. 6．（22-23九年级下·广东中山·阶段练习）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【变式训练3 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 2．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当 时，函数值等于5． 4．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的值． 6．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【变式训练4 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·贵州贵阳·阶段练习）根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3.1 3.2 3.3 3.4 0.36 4．（22-23九年级上·河北承德·期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 ； 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围． 第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间． 第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0 第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围： 取x=，因为当x=对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 （1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3 （2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得． 【变式训练5 图象法解一元二次不等式】 1．（22-23九年级上·吉林·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（      ） A． B． C． D．或 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的函数图像如图所示，写出时的取值范围 ．    4．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．    5．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数． (1)画出这个函数的图象； (2)利用函数图象直接写出当y＜0时，x的取值范围． 6．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，利用函数y＝x2﹣4x＋3的图象，直接回答： （1）方程x2﹣4x＋3＝0的解是　 　； （2）当x满足　 　时，y随x的增大而增大； （3）当x满足　 　时，函数值大于0； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　 　． 【变式训练6 利用不等式求自变量或函数值的范围】 1．（2023·福建福州·模拟预测）点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知二次函数的图像如图，则当时，自变量x的取值范围是 ． 4．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，二次函数y＝x2－2x－2的图象，根据其中提供的信息，使得y≥1成立的x的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·北京门头沟·期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． 6．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：    (1)直接写出关于的不等式的解集； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式训练7 根据交点确定不等式的解集】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）二次函数，若，则自变量的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知二次函数与一次函数，当时，x的取值范围为 ． 4．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为 ． 5．（23-24九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数且）的顶点坐标是，且经过点． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)当时，的取值范围是_________． 6．（22-23九年级上·广东广州·期中）已知二次函数． … … … … (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)观察图象，直接写出使函数值成立的的取值范围． 【变式训练8 抛物线与x轴的交点问题】 1．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 3．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 4．（2024·宁夏中卫·一模）若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数， (1)若二次函数图象与轴有且只有一个公共点，求的值； (2)无论取何值，函数图象恒过定点，求点的坐标． 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）已知二次函数，请结合函数图像回答下列问题： (1)其图象与x轴的交点坐标为 ； (2)当x满足 时，； (3)当时，函数y的取值范围是 ． 【变式训练9 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图为二次函数的图象，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个不相等实数根 3．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： x 0 500 2000 y 1 1 则关于x的方程的解是 ． 4．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 5．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)该二次函数图象的对称轴为直线______； (2)______，_______； (3)根据表中信息分析，方程的解为______． 【变式训练10 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 2．（2023·山东菏泽·一模）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）. A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）直线被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的解析式为 ． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 5．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线． (1)求出它的顶点坐标和对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 1．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）二次函数与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（   ） A．4 B． C．3 D． 3．（22-23九年级下·广东佛山·开学考试）探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（  ） x -1 0 1 2 3 4 ax2+bx+c -7 -5 -1 5 13 23 A．-1<x<0 B．0<x<1 C．1<x<2 D．-1<x<5 4．（22-23九年级上·河南许昌·期末）已知，抛物线的图象如图所示，根据图象回答，当时，x的取值范围是（    ）    A． B．或 C． D． 5．（2024·四川凉山·二模）如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 故选：A． 6．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期末）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 7．（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ． 9．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 10．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数的部分对应值列表如下： x …… 0 1 3 5 …… y …… 7 7 则一元二次方程的解为 ． 11．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数． (1)直接写出当为何值时，随的增大而增大； (2)直接写出当为何值时，． 12．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、坐标； (2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）阅读以下材料： 例：解不等式 解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图象： 两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1） ∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时， 根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：． 14．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）在二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … （1）当x＝5时，对应的函数值y＝　 　； （2）当x＝　 　时，y有最小值？最小值是　 　； （3）求二次函数的解析式； （4）若A（m，y1）、B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，则当m　 　时，y1＞y2；当m　 　时，y1＝y2；当m　 　时，y1＜y2． 15．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根： ； （2）写出不等式的解集： ； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 ； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二次函数与一元二次方程（1大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 图象法解一元二次不等式 题型六 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型七 根据交点确定不等式的解集 题型八 抛物线与x轴的交点问题 题型九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型十 求x轴与抛物线的截线长 知识点01 二次函数与一元二次方程 二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知抛物线与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为，则线段的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得：， 令，则有：即 解得，，， ∴点B的坐标是， ∴线段的长为， 故选C． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数图象如图所示，则方程的解是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数图象得到二次函数对称轴和与x轴的一个交点坐标即可求解； 【详解】解：根据图象可知二次函数的对称轴为，二次函数与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴另一个交点为 ∴程的解是或. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键. 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用时求出的值是解题关键． 直接利用抛物线与轴交点求法：令，得到一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得：，， 故抛物线与轴的交点坐标分别为：，． 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若二次函数的图象与x轴的一个交点是，则与x轴的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，将代入原函数解得，当时，，解得，，进而可求解，熟练掌握二次函数与轴的交点坐标的特点是解题的关键． 【详解】解：将代入原函数得：， 解得：， ， 当时，， 解得：，， 则与x轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若抛物线与轴分别交于A、B两点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，二次函数与一元二方程的关系，令，解一元二次方程，求出二次函数与x轴交点的横坐标，即可求线段的长． 【详解】解：令，则， ，， 的长为：． 6．（23-24九年级上·重庆合川·期末）抛物线与x轴的一个交点为． (1)求k的值； (2)求该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及二次函数与一元二次方程的关系等知识． （1）将点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值； （2）确定出抛物线的解析式，令抛物线中，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标． 【详解】（1）把代入可得， ， ∴； ∴抛物线的解析式为； （2）∵， 解得，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·北京石景山·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用时，求出的值进而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象与轴相交，则， 故，则图象与轴的交点坐标是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出是解题关键． 2．（22-23九年级上·浙江丽水·期末）抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求图象与轴的交点坐标，令，求即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：A． 【点睛】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图象的特点． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据坐标轴上点的特征，y轴上点的横坐标为0，即可得到答案，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时， 此时， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）二次函数与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与y轴交点坐标的求法，解答关键是代入解析式求出y即可．令代入，求y即可． 【详解】解：当时，， ∴二次函数与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C、求的面积． 【答案】 【分析】求得三点的坐标，即可求解． 【详解】当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 6．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)将化为顶点式． (2)若A为抛物线顶点，B为抛物线与y轴交点，求的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用配方法将一般式化为顶点式； （2）根据抛物线解析式求出点A点B的坐标，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：； （2）解： A为抛物线顶点，， ， ， 令，得， ， ， ， 即的面积为1． 【点睛】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，求二次函数顶点坐标，与坐标轴的交点等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把x的值代入，计算函数值，比较，等于给定的函数值即可． 【详解】当时， ∴选项A不符合题意； 当时， ∴选项B符合题意； 当时， ∴选项C不符合题意； 当时， ∴选项D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了图象与点的关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系． 3．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）当x= 时，二次函数的值为零． 【答案】或2 【分析】令y=0，求方程的解． 【详解】解：令y=0，，，，． 故答案是：或． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是令因变量为零，去解方程，方程不能解错． 4．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，的取值范围是，则的值为 ． 【答案】-3或-2 【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，结合y的取值范围即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，代入y=0求出x的值，结合当m≤x≤m+3时y的取值范围是0≤y≤4，即可得出m的值，验证后即可得出结论． 【详解】解：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， 当y=0时，有-x2-2x+3=0， 解得：x1=-3，x2=1， 由题意的取值范围是， ∴m=-3或m+3=1，则能使得的取值范围是， ∴m=-3或-2． 故答案为-3或-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出m的值是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数（m为常数）的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)的图象与x轴有两个交点，理由见解析 【分析】（1）把代即可求得的值； （2）首先求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：的图象与x轴有两个交点，理由如下， 依题意，， ∵ ∴的图象与x轴有两个交点． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出的值是解题关键． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知抛物线． (1)若是该抛物线上一点，求的值； (2)点，都在该抛物线上，若，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)0或1 (2)，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入解析式求解即可； （2）由抛物线解析式和图象，可得抛物线对称轴及开口方向及增减性，进而求解． 【详解】（1）解：把代入得，解得，， 的值为0或1． （2）解：该抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，而， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，掌握二次函数的增减性． 【典型例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（    ） x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号即可估算的解． 【详解】解：由表格可得， 当时，，则， 当时，，则， ∴关于x的一元二次方程的一个解得取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 2．（2023九年级下·江苏·专题练习）某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）： x y 根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察表格可知，～之间，随的值逐渐增大，的值在～之间由负到正，故可判断时，对应的x的值在～之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的x的值在∼之间． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系，关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 … y … 3 … 则方程的正数解的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据表格中的自变量与函数值求出对称轴，可得答案． 【详解】解：或时，， 的对称轴为：， 当时，，时，，得； 根据对称性可得：当时，，时，，得； 则方程的正数解的取值范围 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间． 4．（22-23九年级上·北京·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标， 即，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题． 5．（2023·江苏南京·二模）从不同角度谈谈你对等式x（x+4）＝5的理解． 【答案】详见解析 【分析】看作一元二次方程或看作分式方程转化得到的一元二次方程；也看作二次函数y＝x2+4x与直线y＝5的交点或一次函数与反比例函数的交点；还可看作边长为x和 x+4，面积为5的矩形等等． 【详解】解：①方程：一元二次方程x2+4x﹣5＝0，两根分别为x1＝1，x2＝﹣5； 或 分式方程x+4﹣＝0，两根分别为x1＝1，x2＝﹣5； ②函数：二次函数y＝x2+4x与直线y＝5的交点， 或 一次函数y＝x+4与反比例函数y＝的交点； ③图形：边长为x和 x+4，面积为5的矩形． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了函数与方程的关系． 6．（22-23九年级上·北京丰台·期末）在二次函数的学习中，教材有如下内容： 小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程的近似解，做法如下： 请你选择小聪或小明的做法，求出方程的近似解(精确到0.1). 【答案】（1）详见解析， ，，．（2）详见解析， ，，． 【分析】分别按照小聪和小明的作法列表，描点，连线画出图象然后找近似值即可. 【详解】解法：选择小聪的作法， 列表并作出函数的图象： … -1 0 1 2 … … … 根据函数图象，得近似解为 ，，．   解法2：选择小明的作法， 列表并作出函数和的图象： … -1 0 1 2 3 … … … … -2 -1 1 2 … … … 根据函数图象，得近似解为 ，，. 【点睛】本题主要考查根据函数图象求方程的近似解，能够画出函数图象是解题的关键. 【典型例题五 图象法解一元二次不等式】 1．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为（  ） A．x＜-1 B．x＜3 C．-1＜x＜3 D．x >3 【答案】C 【分析】根据图像直接可以看出，函数值小于0时，对应的抛物线部分在x轴的下方，所以可以得出x的取值范围． 【详解】如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象中，可以看出，函数值小于0时，x的取值范围为： -1＜x＜3 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的解集，解题的关键是学会从图像中的出y的值小于0时，看出x的取值范围． 2．（22-23九年级上·广西玉林·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集． 【详解】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标． 3．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期中）已知直线与抛物线，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】联立两个解析式求出交点坐标，然后根据函数图像求的取值范围即可． 【详解】解：联立， 解得：或， ∴两函数交点坐标为， 如图： ∵， ∴的取值范围为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据一次函数与二次函数交点求不等式解析，熟练掌握相关函数图像的性质是解本题的关键． 4．（22-23九年级上·北京石景山·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围 ． 【答案】或 【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵两函数图象的交点坐标为，， ∴使成立的x的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解决本题的关键是利用数形结合的思想求解． 5．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 0 1 2 …… y …… 5 0 …… (1)求该二次函数的表达式： (2)根据二次函数图像，直接写出不等式的x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将表格中的三组数据代入，利用待定系数法求解即可； （2）画出函数图像，根据抛物线在x轴上方部分对应的x值回答即可． 【详解】（1）解：由图表可知抛物线过点，，， 代入解析式得：，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）由图表可知：抛物线与x轴交于，，开口向上， ∴当或时，抛物线图像在x轴上方，即， ∴不等式的x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与不等式的关系，解题的关键是找到抛物线与x轴的交点，将不等式转化为图像问题． 6．（22-23九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． （1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）根据图象回答：当0≤ x <3时，y的取值范围是______________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1） x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 画图 （2）0≤x＜3时，y的取值范围是-1≤y≤3． 故答案为：-1≤y≤3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键． 【典型例题六 利用不等式求自变量或函数值的范围】 1．（2023九年级·江苏·专题练习）已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的根为 不等式可化为， 解得或， 关于的一元二次不等式的解集为或． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化． 2．（22-23九年级上·天津河西·期末）二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，结合图象即可求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点， 由图象得，，解得， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 3．（2023·吉林长春·一模）已知二次函数，过，，假设，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数的对称轴和开口方向，然后根据可知到的距离大于到的距离，从而可以判断，的大小关系． 【详解】解：二次函数， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．（22-23九年级上·广东韶关·期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ． 【答案】﹣1≤x≤3 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3， 故答案是：﹣1≤x≤3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数 （1）若，则的取值范围为__ _（直接写出结果）； （2）若，则的取值范围为_ （直接写出结果）； （3）若两点都在该函数的图象上，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）或；（3）时，时，时 【分析】（1）根据题意得出二次函数的对称轴，再利用已知的x的取值范围计算即可； （2）分别令和，计算即可； （3）分别表示出和，分三种情况代入计算即可判断出大小关系； 【详解】解：（1）∵，， ∴二次函数的对称轴， ∴最小值：当时，， 最大值：当时，； 故：． （2）∵，， 令，得或4； 令，得或5； ∴或． 两点都在该函数图象上， ， ， ， 令， 即， 此时， 令， 即， 此时， 令， 即， 此时， 综上时，时，时． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确分析计算是解题的关键． 6．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可； （2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得 解得 则抛物线的解析式为： （2）由抛物线的解析式，令 即 解得 ，，且抛物线开口向上， y＞0时自变量x的取值范围为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量的范围，数形结合是解题的关键． 【典型例题七 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）在二次函数中，若函数值小于0，则结合函数图象判断x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，正确根据二次函数解析式求出二次函数图象与x轴的交点坐标，进而利用函数图象求出答案是解题的关键． 【详解】解：在中，当时，则，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当函数值小于0， x的取值范围是， 故选B．    2．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　）    A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象，找出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．数形结合思想的应用是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点， ∴当时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，，则使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，根据抛物线与直线的交点坐标，结合图像即可解答，利用数形结合的思想是解题关键． 【详解】解：二次函数与一次函数图像相交于点，， 时一次函数在二次函数的上方， 使成立的x的取值范围是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．    【答案】/ 【分析】抛物线与直线相交及抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线与直线相交， 当时，抛物线在直线下方， ∴的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系． （1）把A点和B点坐标代入利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）∵抛物线与x轴交于点 ∴当或时，， ∴不等式的解集为或． 6．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点 ． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，的取值范围是 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象的交点求表达式的解集； （1）设抛物线解析式为，将点代入，即可求解； （2）先解方程，得出，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入， 得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）当时， 解得： 又∵抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围是或 【典型例题八 抛物线与x轴的交点问题】 1．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的一个交点的横坐标为3，则另一个交点的横坐标为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称轴公式也是对应点的中点公式．利用二次函数对称轴的公式可得：，即可求出与x轴的另一个交点的横坐标为． 【详解】解：由题意，得： 抛物线的对称轴：， 抛物线与轴的一个交点的横坐标为3， 则与x轴的另一个交点的横坐标为． 故选：C． 2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，，，是方程的两个根，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质及与方程的关系．根据二次函数与一元二次方程的关系，方程化为，即二次函数与的交点横坐标分别为，，数形结合即可解答． 【详解】解：， 可化为， ，是方程的两个根， 二次函数与的交点横坐标分别为，，如图： 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ． 故选：D． 3．（2023·山东青岛·二模）拋物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，用根的判别式解题即可．根据拋物线与x轴有交点，则，且，再求解即可． 【详解】拋物线与x轴有交点， 且， 解得：且． 故答案为：且． 4．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知关于x的二次函数中，函数y与x的部分对应值如下表，则一元二次方程的解是 ． 0 0 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线经过点，可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过求解． 【详解】解：由抛物线经过点，可得抛物线抛物线对称轴为直线， 抛物线经过， 抛物线经过， 一元二次方程的根是，． 故答案为：， 5．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知抛物线与x轴只有一个公共点，求c的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数中，，二次函数图像与x轴有两个交点；，二次函数图像与x轴有一个交点；，二次函数图像与x轴没有交点，是解本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 6．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程．先求得抛物线的对称轴，根据抛物线与轴的一个交点为求得另一个交点为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的解为，． 【典型例题九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）若点、在二次函数的图象上，则方程的一个解x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象求一元二次方程的近似解，由坐标可得，由近似解的判定方法即可求解；理解近似解的求法“图象上两点，，且，当时，则对应方程的一个解为：．”是解题的关键． 【详解】解：点、在二次函数的图象上， 当时， ， 当时， ， ， 方程的一个解x的范围是． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）函数的图象如图，关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．有两个异号的实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可知二次函数与直线没有交点，则关于x的一元二次方程的根的情况是没有实数根，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的最大值为4， ∴二次函数与直线没有交点， ∴关于x的一元二次方程的根的情况是没有实数根， 故选C． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数的图象过点，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，然后根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 方程的解为，． 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·广西崇左·期中）二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的根关系，掌握二次函数与一元二次方程的解关系是解题的关键． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解， 由图可知与轴的交点为，， 方程的根为或． 故答案为：或． 5．（22-23九年级·全国·假期作业）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)点B的坐标为 ； (2)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为 ； (3)方程的两个根为 ． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由图可得：、到直线的距离相等，根据的坐标，即可求出点坐标； （2）利用图象得出函数对称轴进而得出随的增大而减小的自变量的取值范围； （3）根据方程，即图象与轴交点，进而得出方程的两个根； 【详解】（1）由图可得：、到直线的距离相等， 点坐标为： 故答案为：； （2）随的增大而减小的自变量的取值范围是：； 故答案为：； （3）方程的两个根是：，； 故答案为：，； 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点以及方程根与不等式等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 6．（22-23九年级上·广西·阶段练习）根据二次函数的图象，回答下列问题： (1)方程的解是________． (2)当取什么值时，？ (3)当取什么值时，？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据抛物线与交点的横坐标为一元二次方程的解，进行作答即可； （2）根据图象，找到抛物线在轴上方时的的取值范围即可； （3）根据图象，找到抛物线在轴下方时的的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图象可知：抛物线与轴的交点坐标为：， ∴方程的解是：； 故答案为：； （2）解：由图象可知： 当或时，抛物线在轴上方， ∴当或时，； （3）解：由图象可知： 当时，抛物线在轴下方， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与轴交点的横坐标是一元二次方程的解，以及利用数形结合的思想，解决不等式的解集问题，是解题的关键． 【典型例题十 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·安徽铜陵·阶段练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·全国·期末）已知抛物线与轴交于、两点，设抛物线顶点为，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】解答此题可分以下几步:①设A、B点坐标分别为、,求出用、表示的AB长度的表达式; ②求出抛物线顶点纵坐标表达式,其绝对值即为△APB的高; ③根据∠PAB=30°通过三角函数建立起AB的长度与△APB的高的关系式; ④将看做一个整体,解方程即可得到正确答案. 【详解】解:如图, 作PD⊥x轴于设A、B点坐标分别为、， AB==＝=； 抛物线顶点坐标为(，) 则DP的长为， 由抛物线是轴对称图形可知,△APB为等腰三角形, ∠PAD=30°, DP=tan30° AD=tan30° AB, 即＝ ， 两边平方得：＝， 去分母得：， 移项得：，， 解得：＝0或＝0， 由于抛物线y=a+bx+c与x轴交于A,B两点,故△>0 即: ＝， 故答案：． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与两点间的距离的关系、抛物线顶点坐标及等腰三角形的性质和三角函数的相关知识,综合性较强. 4．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为 ． 【答案】4 【分析】首先根据图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后令，求出两个x的值，即可求解． 【详解】抛物线向下平移个单位后的解析式为, 令， 解得， ∴的长为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移及与二次函数与一元二次方程，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 5．（22-23九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线，若抛物线与轴的两个交点为A，，求线段的长． 【答案】 【分析】令，即，通过解方程求得该方程的两个解，即抛物线与x轴的两个交点横坐标，然后利用两点间的距离公式作答． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴， 所以线段AB的长为． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 6．（22-23九年级上·青海西宁·期中）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(－1，0) （1）求抛物线的解析式． （2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入解析式中，求出b，c的值，从而得到抛物线解析式； （2）令x=0，得到y，从而可得点C坐标，再根据点A和点B坐标，利用三角形面积公式求出结果． 【详解】解：（1）将A(3，0)、B(－1，0)代入， 则， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3； （2）令x=0， 则y=3， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴△ABC的面积==6． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练1 求抛物线与x轴的交点坐标】 1．（22-23九年级上·江西·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求抛物线与x轴的交点，也就是令y=0解方程，解即为交点横坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以抛物线与轴的交点坐标是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，数形结合思想，转化思想，把交点问题转化成方程的解的问题是解题的关键． 2．（22-23九年级上·北京·期末）在求解方程时，先在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意观察的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可. 【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：，， 所以方程的近似解是，. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解进行分析. 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键． 代入求出两个交点后，即可得到两点间的距离． 【详解】解：、把代入得： 解得：或， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， 根据抛物线的对称性，可得出点A、B关于直线对称，由点B的坐标得出点A的坐标． 【详解】解：∵B点的坐标是，抛物线的对称轴是， ∴点B到直线的距离为2 ∴点A到直线的距离也为2， ∴A点的坐标是． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】， 【分析】令，即可得到方程，解方程可得抛物线与x轴交点． 【详解】解：令，得，解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标是和． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数的性质正确计算是解题的关键． 6．（22-23九年级上·北京大兴·期中）已知二次函数． （1）二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），求、两点的坐标； （2）在网格中，画出该函数的图象． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】（1）把代入函数解析式，解一元二次方程即可； （2）用描点法画函数图象即可． 【详解】解：（1）把，代入得， ， 解方程得，，． ∵点在点左侧， ，． （2）函数图象如图所示： 【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点问题和画函数图象，解题关键是明确与x轴交点纵坐标为0，会画函数图象． 【变式训练2 求抛物线与y轴的交点坐标】 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题，求得时的y值即可求解． 【详解】解：当时，，则抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：A． 2．（22-23九年级上·上海静安·期中）下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，即可求出各二次函数图象与y轴的交点，即可求解． 【详解】解：A：令，，交点在x轴上方，不符合题意； B：令，，交点在x轴下方，符合题意； C：令，，交点在x轴上方，不符合题意； D：令，，交点在坐标原点，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．注意计算的准确性． 3．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令求解即可． 【详解】解：当时， ． ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出y的值． 根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 5．（22-23九年级上·湖北十堰·期末）已知抛物线与轴的两个交点为（在的左侧），与轴交于点. （1）直接写出点，，的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）；（2）24 【分析】（1）在抛物线的解析式中，当x=0时，可求出点C的坐标；当y=0时，能求出A、B点的坐标； （2）利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． 【详解】解：（1）∵令x=0得y=-8， ∴C（0，-8）， ∵令y=0得： x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2， ∴A（-2，0）、B（4，0）； （2）∵A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）， ∴AB=4-（-2）=6，OC=8， ∴． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点坐标的求法、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 6．（22-23九年级下·广东中山·阶段练习）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； （2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【分析】（1）根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴． （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为（0，3）． 【详解】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 ∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是（1，4） 当x＝1时，y有最大值是4； （2）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3 当x＝0时，y＝3 ∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式． 【变式训练3 已知二次函数的函数值求自变量的值】 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 2．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 3．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当 时，函数值等于5． 【答案】 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数自变量的值．解题的关键，是将二次函数的函数值代入解析式，解一元二次方程求出自变量的值． 4．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)或． 【分析】（）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （）把函数值代入解析式，解方程即可求得． 【详解】（1）将，代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）当时，则， 解得或． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式． 6．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 【变式训练4 图象法确定一元二次方程的近似根】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当时，的取值范围为：，即可． 【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 3．（22-23九年级上·贵州贵阳·阶段练习）根据下表中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3.1 3.2 3.3 3.4 0.36 【答案】 3.3 3.4 【分析】由表格数据可知当时，的函数值小于0，当时，的函数值大于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由题意知：当时，， 当时，， 则当时，的函数值有机会为0， 由此可知一元二次方程的一个解的取值范围是， 故答案为：3.3，3.4． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似值，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河北承德·期末）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是 ； 【答案】1.2 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 【答案】 【分析】首先画出二次函数的图象，然后利用图象求解即可． 【详解】解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 作出二次函数的图象（如图）．    由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根． 当时，； 当时，． 因此，是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 综上，方程的实数根为（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围． 第一步：画出函数y=x2﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间． 第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0 第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围： 取x=，因为当x=对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 （1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3 （2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得． 【答案】（1）答案见解析；（2）2.625＜x2＜2.75． 【分析】（1）确定当x=2或 x=3时y的正负由此即可验证； （2）取第三步2和3的平均数x=2.5，计算y的值可得2.5＜x2＜3，再进一步取2.5和3的平均数x=2.75，计算y的值可得2.5＜x2＜2.75，再一次取平均数直到即可. 【详解】解：（1）因为当x=2时，y=﹣2＜0，当x=3时，y=1＞0， 所以可确定方程x2﹣2x﹣2=0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3； （2）取x==2.5，因为当x=2.5时，y＜0． 又因为当x=3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3， 取x==2.75，因为当x=2.75时，y＞0． 又因为当x=2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75， 因为2.75﹣2.5=． 取x==2.625，因为当x=2.625时，y＜0． 又因为当x=2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75， 因为2.75﹣2.625=0.125=＜， 所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围 【点睛】本题考查了利用取平均数的方法确定一元二次方程的近似值，正确理解题目中所给的方法并会灵活运用是解题的关键. 【变式训练5 图象法解一元二次不等式】 1．（22-23九年级上·吉林·阶段练习）抛物线的部分图像如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由图像可知：函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，则另外一个交点坐标为，即可求解． 【详解】由图像可知：函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 则另外一个交点坐标为， 当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的对称性，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（      ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象即可得出答案． 【详解】解：由图可得，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为，， 观察图象可知，当时，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用图象法解不等式，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的函数图像如图所示，写出时的取值范围 ．    【答案】/ 【分析】的解集是指抛物线图象在x轴下方时所对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【详解】结合图象可知，时的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质等知识，注重数形结合，是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线交于，， 不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键在于数形结合思想的运用． 5．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数． (1)画出这个函数的图象； (2)利用函数图象直接写出当y＜0时，x的取值范围． 【答案】(1)画函数图象见解析 (2)当y＜0时，x＜－1或x＞3 【分析】（1）用描点法画出函数图像即可，先列表，再描点，最后用平滑得曲线连接各点； （2）找到函数图像在x轴下方的部分，写出该部分x的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表： x ．．．．．． －1 0 1 2 3 ．．．．．． y ．．．．．． 0 3 4 3 0 ．．．．．． （2）由图可知，当y＜0时，x＜－1或x＞3 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握用描点法画函数图像，能根据函数图像解不等式是解题的关键． 6．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，利用函数y＝x2﹣4x＋3的图象，直接回答： （1）方程x2﹣4x＋3＝0的解是　 　； （2）当x满足　 　时，y随x的增大而增大； （3）当x满足　 　时，函数值大于0； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　 　． 【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x＞2；（3）x＜1或x＞3；（4）﹣1≤y＜8． 【分析】（1）根据函数图象，可以得到方程x2﹣4x+3＝0的解； （2）根据函数图象，可以写出当x为何值时y随x的增大而增大； （3）根据函数图象可以写出，当x为何值时，函数值大于0； （4）根据函数图象和二次函数的性质，可以得到当0＜x＜5时，y的取值范围． 【详解】解：（1）由图象可得， 当y＝0时，x＝1或x＝3， 故方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3， 故答案为：x1＝1，x2＝3； （2）抛物线的对称轴为直线， 由图象可得，当x＞2时，y随x的增大而增大， 故答案为：x＞2； （3）由图象可得，在1的左侧或3的右侧时，函数值大于0； 即x＜1或x＞3时，函数值大于0， 故答案为：x＜1或x＞3； （4）由图象可得，当x＝2时，该函数取得最小值﹣1， 当0＜x＜5时，x＝2取得最小值﹣1，x＝5时y的值为8，x＝0时y的值为3， 即当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣1≤y＜8， 故答案为：﹣1≤y＜8． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式训练6 利用不等式求自变量或函数值的范围】 1．（2023·福建福州·模拟预测）点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 2．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知二次函数的图像如图，则当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据图象可得当时，图象位于 轴上方，即可解答． 【详解】解：结合图象：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的问题，利用数形结合思想得到正确的信息是解题的关键． 4．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，二次函数y＝x2－2x－2的图象，根据其中提供的信息，使得y≥1成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由题意直接利用函数图象得出当y=1时，x=-1或3，进而依据函数图形进行分析即可得出答案． 【详解】解：如图所示：当y=1时，x=-1或3， 故使y≥1成立的x的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像抛物线与x轴的交点问题，熟练并正确利用数形结合分析是解题的关键． 5．（23-24九年级上·北京门头沟·期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出即可； （2）利用描点法画二次函数图象，根据时的值，再结合函数图象得出时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入，得， 故抛物线解析式为，即； （2）由（1）知，抛物线顶点为，对称轴为直线，过原点， 根据抛物线的对称性，抛物线过 抛物线的图象如图所示：    当时，， 解得：，， 结合函数图象，当时，或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质． 6．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：    (1)直接写出关于的不等式的解集； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数与不等式，一次函数与不等式组，解题的关键是： （1）找到的图象在下方时对应的x的范围即可； （2）根据图象找到当两函数图象都在x轴上方，且图象在上方时，x的范围即可． 【详解】（1）解：如图，的图象与y轴交于， ∴当时，的图象在下方， 即不等式的解集为； （2）由图可知：当两函数图象都在x轴上方，且图象在上方时， x的范围是：， ∴当时，． 【变式训练7 根据交点确定不等式的解集】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）二次函数，若，则自变量的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把代入函数解析式进行求解，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵该二次函数的开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围是或； 故选A． 2．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象确定不等式的解集，根据函数图象求得直线在抛物线上方部分且都在轴上方的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得当时，的取值范围是， 故选：C． 3．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知二次函数与一次函数，当时，x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，数形结合思想，根据交点的横坐标，结合图象，解答即可． 【详解】根据题意，得，解得， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解答本题的关键．根据图象关于x的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点， 根据图象可得关于x的不等式的解集是：． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数且）的顶点坐标是，且经过点． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)当时，的取值范围是_________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质． （1）根据题意设抛物线顶点式的解析式是，再把点代入求出a 值，进而得解． （2）根据二次函数图像和性质解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线顶点式的解析式是， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线顶点式的解析式是， ∴，， （2）当时，即， 解得：，， ∵，且，抛物线开口向下， ∴． 故当时，的取值范围是． 故答案为：. 6．（22-23九年级上·广东广州·期中）已知二次函数． … … … … (1)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (2)观察图象，直接写出使函数值成立的的取值范围． 【答案】(1)图象见解析 (2)的取值范围是 【分析】本题考查了画二次函数图象，根据二次函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． （1）根据五点法画出二次函数图象即可求解； （2）根据函数图象与x轴的交点，即可求解． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 描点并连线 所画二次函数的图象如图所示： （2）解：由（1）知，抛物线过点，， 根据函数图像可得时，则的取值范围是． 【变式训练8 抛物线与x轴的交点问题】 1．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（　　） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据抛物线与x轴没有交点，知无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， 无解， ， 解得， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则一元二次方程的根的说法正确的是（    ） A．有两个负根 B．有两个正根 C．有一正一负的两根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据函数图象可知一次函数与二次函数图象的两个交点的横坐标都大于0，则对应方程的解为两个正根，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，且这两点均在第一象限， ∴方程有两个正根， ∴一元二次方程有两个正根， 故选：B． 3．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值． 【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·宁夏中卫·一模）若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，由二次函数的图象与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：二次函数的图象与x轴有公共点， ∴方程有实数根， ， 解得：； 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数， (1)若二次函数图象与轴有且只有一个公共点，求的值； (2)无论取何值，函数图象恒过定点，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）令，即，转化为一元二次方程有两个相等的实数根求解即可； （）把二次函数化简，再把含的项分解因式，令含的项为零即可求解； 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）当，即， ∵图象与轴有且只有一个公共点， ∴解：， 解得：； （2）由， 当，即时，函数图象恒过定点， 此时， ∴定点的坐标为． 6．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）已知二次函数，请结合函数图像回答下列问题： (1)其图象与x轴的交点坐标为 ； (2)当x满足 时，； (3)当时，函数y的取值范围是 ． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键． （1）令求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点； （2）根据二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点即可求得； （3）先把该二次函数的解析式化为顶点式，求出函数图象的开口方向和顶点坐标，即可求得函数的最小值，再求得时的函数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或， ∴它与x轴的交点坐标为和； （2）解：∵抛物线开口向上，与x轴的交点坐标为和； ∴当时，； （3）解：∵ ∴顶点坐标为， ∴时，有最小值， 当时， 当时，， ∴当时，y的范围是． 故答案为：． 【变式训练9 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，利用了数形结合的数学思想，根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定一元二次方程的解即可． 【详解】解：观察函数的图象知：二次函数的图象与x轴交于， ∴关于x的方程的解为：． 故选：A． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图为二次函数的图象，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个不相等实数根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．将 的根情况转化为抛物线与直线的交点问题． 【详解】解：由图象可得函数最小值为， ， 有两个不相等实数根． 故选：D． 3．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： x 0 500 2000 y 1 1 则关于x的方程的解是 ． 【答案】500 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及函数与方程的关系，先得出，整理，得，即当时所对应的的值，即可作答． 【详解】解：由题意可知，当时， 则二次函数 关于x的方程的解是，即当时所对应的的值 根据图表信息，得 故答案为：500． 4．（2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解． 【详解】解：令得，， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为． 方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有3个不同的交点． 如图所示， 当时，两个图象有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 5．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由即可列不等式得到答案； （2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为； （2）二次函数图象的对称轴为直线， 抛物线与轴两个交点关于直线对称， 由图可知抛物线与轴一个交点为， 另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性． 6．（23-24九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)该二次函数图象的对称轴为直线______； (2)______，_______； (3)根据表中信息分析，方程的解为______． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据表格得到二次函数上对称的两点求解即可； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）根据表格得到当时，；当时，，进而求解即可． 【详解】（1）∵当时，时，y的值都是0， ∴对称轴为； （2）∵二次函数图象的对称轴为直线， 由表格可得， 点和点关于对称轴对称， ∴， 点和点关于对称轴对称， ∴； （3）根据表格可得， 当时，；当时，， ∴方程的解为和． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键． 【变式训练10 求x轴与抛物线的截线长】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 2．（2023·山东菏泽·一模）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（　　）. A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】点C的坐标可以令x＝0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y＝0，得到的两个x值即为与x轴的交点A、B的横坐标，且AB的长也有两点横坐标求得；分别求出AC、BC的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0,对函数的增减性进行判断． 【详解】A．根据题意可知：当x=0时，y=1， ∴点C的坐标为（0，1）， 故选项正确，不合题意； B．当y=0时，x= -1或x=1， ∴AB=2， 故选项正确, 不合题意； C．∵OA=1，OB=1，OC=1， ∴AC==，BC= =， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故选项正确，不合题意； D．由y= -x2+1可知：a= -1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0， ∴当x＞0时，y随x增大而减小， 故选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质、勾股定理、函数图像与坐标轴的交点、判定函数的增减性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）直线被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】直线和抛物线联立方程求解，根据截得的线段长为4，即两根之差的绝对值为4，求解即可． 【详解】解：当时， ， 整理得： ， 解得：或， 由题意可知： ， 即， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了函数与方程，以及距离与坐标的关系；掌握联立方程组求交点坐标是解题的关键． 4．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性． 5．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线． (1)求出它的顶点坐标和对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 【答案】(1)，对称轴为x=1 (2) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）令，解方程得交点坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解： ∴顶点坐标为；对称轴为x=1； （2）解：令，即， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可； （2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度． 【详解】（1）由题意：==， 不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：， 此时抛物线得解析式为：， 令，解得，，故， ． 【点睛】本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键． 1．（22-23九年级下·吉林长春·开学考试）二次函数与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：二次函数， 当时，解得： 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，掌握求解方法是解答的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数解， ∴可以理解为和有交点， 由图可得，， ∴， ∴的最大值为． 故选C． 3．（22-23九年级下·广东佛山·开学考试）探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（  ） x -1 0 1 2 3 4 ax2+bx+c -7 -5 -1 5 13 23 A．-1<x<0 B．0<x<1 C．1<x<2 D．-1<x<5 【答案】C 【分析】根据表格确定当ax2+bx+c=0的值大于-1小于5，由此得到x的取值范围． 【详解】解：设y=ax2+bx+c， 由表格可知，当y=-1时，x=1； 当y=5时，x=2， 而-1<0<5， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解的取值范围是1<x<2， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用函数值的范围判断自变量的取值范围，正确理解表格数值的对应关系是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河南许昌·期末）已知，抛物线的图象如图所示，根据图象回答，当时，x的取值范围是（    ）    A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由图象可得：当时，或，可得当时，即图象在直线的下方，从而可得x的取值范围是． 【详解】解：由图象可得：当时，或， ∴当时，x的取值范围是； 故选A 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 5．（2024·四川凉山·二模）如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，根据函数图象得出的取值范围． 【详解】解：观察函数图象可得：或时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 6．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期末）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7．（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ． 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．根据函数图象求出与轴的交点坐标，再由图象得出答案． 【详解】解：由可得，，， 观察函数图象可知，当或时，函数值． 故答案为：或． 9．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出时的的值，然后结合图象求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时，． 不等式的解为 满足不等式的的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 10．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数的部分对应值列表如下： x …… 0 1 3 5 …… y …… 7 7 则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，进而得到当时，，由此可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∵， ∴或， ∴或， ∴方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确求出二次函数的对称轴是解题的关键． 11．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数． (1)直接写出当为何值时，随的增大而增大； (2)直接写出当为何值时，． 【答案】(1)当时，随的增大而增大 (2)当或时， 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的两个交点是解答本题的关键． （1）根据二次函数中的对称轴及开口方向即可判断随的增大而增大时的的值．对称轴方程，其左侧随的增大而增大，当时，随的增大而增大． （2）根据抛物线开口方向和抛物线与轴的两个交点，可以判断时的值．令，解出方程的两个根即为抛物线与轴的两个交点，根据抛物线开口方向，得到当或时，． 【详解】（1）解：二次函数的图像开口方向向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 对称轴方程， 当时，随的增大而增大． （2）令， 解一元二次方程得， ， 又抛物线开口向下， 当或时，． 12．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、坐标； (2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为 (2) 【分析】（1）令，解一元二次方程，得出的坐标，令，得出点的坐标； （2）根据的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， 点坐标为，点坐标为， 令，， 点坐标为； （2）由图象可得，时，抛物线在直线上方， 的解集为． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）阅读以下材料： 例：解不等式 解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图象： 两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1） ∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时， 根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：． 【答案】画图见解析；x＜0或x＞1 【分析】首先设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图象，即可得出x2＞时解集． 【详解】解：设y1=x2，，在同一直角坐标系中画出它们的图象， 两个图象的交点为（1，1）， ∴由图可知，当x＜0或x＞1时，x2＞．    【点睛】此题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，正确画出图象结合图象得出解集是解题关键． 14．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）在二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … （1）当x＝5时，对应的函数值y＝　 　； （2）当x＝　 　时，y有最小值？最小值是　 　； （3）求二次函数的解析式； （4）若A（m，y1）、B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，则当m　 　时，y1＞y2；当m　 　时，y1＝y2；当m　 　时，y1＜y2． 【答案】（1）；（2）2，1；（3）；（4）＜，，＞ 【分析】（1）由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，进而可求对称轴，然后可求解； （2）由（1）及二次函数的性质可直接求解； （3）根据题意可设二次函数的解析式为，然后代一个点的坐标求解即可； （4）根据题意当m=m+1时，则y1＝y2，然后求出m的值，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等， ∴对称轴是直线x＝＝2； ∵x＝5时y＝10， 故答案为10； （2）抛物线在顶点处取得最小值，故x＝2时，最小值为1， 故答案为2；1； （3）抛物线的顶点坐标为（2，1）， 则抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+1， 将（0，5）代入上式并解得：a＝1， 故抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5； （4）当y1＝y2时， 即（m+1）2﹣4（m+1）+5＝m2﹣4m+5，解得：m＝， 当m＜时，y1＞y2；当m＝时，y1＝y2；当m＞时，y1＜y2． 故答案为：＜，，＞． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 15．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根： ； （2）写出不等式的解集： ； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 ； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围： ． 【答案】（1）1和3；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据图象可知和3是方程的两根； （2）找出函数值小于0时的取值范围即可； （3）首先找出对称轴，然后根据图象写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （4）若方程有两个不相等的实数根，则必须大于的最小值，据此求出的取值范围． 【详解】解：（1）由图象可知，图象与轴交于和点， 则方程的两个根为和． 故答案为：1和3； （2）由图象可知当，不等式． 故答案为：； （3）由图象可知，的图象的对称轴为直线，开口向上， 即当时，随的增大而减小． 故答案为：； （4）由图象可知，二次函数有两个不相等的实数根， 则必须大于的最小值，其最小值为， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点． 学科网（北京）股份有限公司 $$