第06讲 二次函数的图像和性质（1大知识点+3大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第06讲 二次函数的图像和性质（1大知识点+3大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 知识点01 二次函数有关概念 （1） 定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【典型例题一 列二次函数关系式】 1．（22-23九年级上·天津·阶段练习）在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）国家决定对某药品分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为33元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系为(   ) A．y=66(1-x) B．y=33(1-x) C．y=33(1-x2) D．y=33(1-x)2 3．（2023·上海青浦·二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为 ． 4．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例： ． 5．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【典型例题二 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖南永州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列函数中属于一次函数的是 ，属于反比例函数的是 ，属于二次函数的是 A．y＝x(x＋1)    B．xy＝1   C． y＝2x2－2(x＋1)2   D． 4．（22-23九年级·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④.其中是二次函数的有 ，若把它写成的形式，则 ， ， . 5．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 1．（22-23九年级上·山西·期中）若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 2．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为(      ) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若函数是二次函数，则a的值为 ． 4．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）关于的函数是二次函数，则 ． 5．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是二次函数，求m的值． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知是x的二次函数，求出它的解析式． 【变式训练1 列二次函数关系式】 1．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（22-23九年级上·广东江门·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 4．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式． 6．（22-23九年级下·山东·课后作业）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【变式训练2 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 4．（22-23九年级上·全国·课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ ． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【变式训练3 根据二次函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）当函数是二次函数时，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．0 3．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当为何值时，函数是二次函数． 6．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是二次函数，求m的值． 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 2．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 4．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．    B．    C．    D．    6．（22-23八年级·全国·课后作业）已知，则 7．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 8．（23-24八年级下·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 9．（22-23九年级上·全国·课前预习）像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的 次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的 函数．其中，x是 ，a为 ，叫做 ；b为 ，bx叫做 ；c为 ． 10．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为 ． 11．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）当为何值时，函数是二次函数． 12．（22-23九年级下·全国·课后作业）举出一个生活中有关二次函数的例子． 13．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 15．（22-23九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数的图像和性质（1大知识点+3大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 知识点01 二次函数有关概念 （1） 定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【典型例题一 列二次函数关系式】 1．（22-23九年级上·天津·阶段练习）在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=-x2+4（0＜x＜2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）国家决定对某药品分两次降价,若设平均每次降价的百分比为x,该药品的原价为33元,降价后的价格为y元,则y与x之间的函数关系为(   ) A．y=66(1-x) B．y=33(1-x) C．y=33(1-x2) D．y=33(1-x)2 【答案】D 【分析】设平均每次降价的百分比为x，原价为33元，第一次降价后的价格是33×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价，第二次降价后的价格是33×（1-x）×（1-x）=33（1-x）2，由此即可解答． 【详解】设平均每次降价的百分比为x，降价后的价格为y元， ∴函数解析式是：y=33(1-x)2. 故选D. 【点睛】本题主要考查了列二次函数的解析式，解答本题的关键在于分析降价后的价格，正确得出第二次降价后的单价是原来单价的（1-x）2． 3．（2023·上海青浦·二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解． 【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为， ∴二月份的为 三月份的为 第一季度的总产值为（亿元），则 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例： ． 【答案】一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为 【分析】根据给出的实例得出所列解析式为（a≠0，h为任意实数）即可． 【详解】解：答案不唯一： 例：一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为． 故答案为：一个圆柱的高等于底面半径，那么它的表面积S与半径r之间的关系式为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是特殊二次函数的应用． 5．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）有一个周长为80cm的正方形，从四个角各减去一个正方形，做成一个无盖盒子．设这个盒子的底面面积为y cm，减去的正方形的边长为x cm，求y与x的函数关系式. 【答案】y＝4x2-80x+400. 【分析】首先计算出正方形的边长，再利用正方形的性质表示出无盖盒子的底边边长，进而得出函数关系式． 【详解】解：正方形的边长为80÷4＝20cm， 根据题意可得：y＝(20−2x)2＝4x2-80x+400． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出正方形盒子的底边长是解题关键． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 【典型例题二 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的定义：含有一个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解： A、，是一元一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、，是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，是一元一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、，符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：D． 2．（22-23九年级下·湖南永州·阶段练习）下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是一次函数，故该选项不符合题意； B、分母上有未知数，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、，当时，是一次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解本题的关键． 3．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列函数中属于一次函数的是 ，属于反比例函数的是 ，属于二次函数的是 A．y＝x(x＋1)    B．xy＝1   C． y＝2x2－2(x＋1)2   D． 【答案】 C B A 【详解】根据题意可知y=x（x+1）=x2+x，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1是反比例关系，所以是反比例函数；而y＝2x2－2(x＋1)2= y＝2x2－2(x2+2x+1)=-4x-2，是一次函数；函数是带二次根号的函数. 故答案为C、B、A. 4．（22-23九年级·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④.其中是二次函数的有 ，若把它写成的形式，则 ， ， . 【答案】 ④ 1 0 【分析】根据二次函数的概念：逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数 【详解】①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数； ②，是一次函数，也不满足要求； ③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数； ④是二次函数 所以二次函数只有④ 其中 故答案为 ④          1     0 【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键. 5．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 6．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对．理由见解析 【分析】 本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可． 【详解】解：乙的说法对．理由如下： 对配方可得， 因为无论a取何值，， 所以， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 【典型例题三 根据二次函数的定义求参数】 1．（22-23九年级上·山西·期中）若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值． 【详解】函数是关于的二次函数， 且， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若函数是二次函数，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义：形如（为常数且），可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：或且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）关于的函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】由二次函数的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】∵是二次函数， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据形如函数是二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意：， 解得， ∴时，函数 是二次函数． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 6．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知是x的二次函数，求出它的解析式． 【答案】y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1； 当m=3时，y=6x2+9； 当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1； 综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1． 【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【变式训练1 列二次函数关系式】 1．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 2．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可. 【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决． 3．（22-23九年级上·广东江门·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式． 【答案】． 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，进行计算求解． 【详解】由题意得：， 即：． 【点睛】本题考查解析式法表示变量间的关系，熟练掌握圆的面积公式是关键． 6．（22-23九年级下·山东·课后作业）如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30） 【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式． 【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm， ∴另一边长是（30-x）cm， ∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）. 【点睛】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑． 【变式训练2 二次函数的识别】 1．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（、b、c为常数，）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、函数根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、函数是二次函数，故本选项符合题意； D、函数分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的识别，牢记二次函数的定义（形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数）是解题的关键．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数． 【详解】解：y=2x（x-1） =2x2-2x． 所以二次项系数2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 4．（22-23九年级上·全国·课前预习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 －16 12 【解析】略 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ ． 【答案】和是二次函数 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：是关于的二次函数； 不是二次函数； 是一次函数，不是二次函数； 是关于的二次函数， 故和是二次函数． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式． 6．（2022九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 【变式训练3 根据二次函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）当函数是二次函数时，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义解答即可； 【详解】解：由题意得：，即， 故选：B． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． 根据二次函数的定义列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3．（23-24九年级上·四川广安·期末）若关于的函数的图象是抛物线，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其图象为抛物线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，可得，且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ，解得， 又 ． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 6．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据形如函数是二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意：， 解得， ∴时，函数 是二次函数． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得且，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 且， 解得：， 故选：B． 2．（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解． 【详解】解：依题意，， 故选D． 【点睛】本题考查了列函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．（2023·四川成都·二模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题． 【详解】解：由题意得， 与之间满足的函数关系是二次函数， 故选：D． 【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 5．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当时，当时的函数解析式即可得到答案． 【详解】解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数， 当时，，即此时是一个开口向下的二次函数， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 6．（22-23八年级·全国·课后作业）已知，则 【答案】2． 【分析】求的值，即是求当时，的值，从而进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的值代入函数解析数进行运算求解． 7．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 8．（23-24八年级下·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 9．（22-23九年级上·全国·课前预习）像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的 次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的 函数．其中，x是 ，a为 ，叫做 ；b为 ，bx叫做 ；c为 ． 【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【解析】略 10．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为 ． 【答案】y=-+48 【分析】先求出，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：， ∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48． 故答案是：y=-+48． 【点睛】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积． 11．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 即当为时，函数是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系是解题的关键． 12．（22-23九年级下·全国·课后作业）举出一个生活中有关二次函数的例子． 【答案】见解析 【分析】利用篮球出手后它的高度与运行时间之间的关系． 【详解】解：篮球运动员在篮下投篮，篮球出手后它的高度与运行时间之间是二次函数关系． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的函数称为二次函数，其中是自变量，是函数． 13．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1)； (2)围成面积为的花圃，的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 15．（22-23九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$