暑假结业测试卷 (考试范围：第21-22章)（提高卷)-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

暑假结业测试卷（提高卷） 考试范围:人教版第21-22章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山西运城·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 4．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 6．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图．抛物线经过点，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 7．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（23-24九年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，二次函数的函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中 下列结论： ①； ②； ③； ④当 时，；⑤， 其中正确的有 ．  (填写正确的序号) 9．（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（2024九年级·全国·竞赛）由于技术水平的不断提高，某些石材加工设备的生产成本不断降低，下表是甲、乙两种设备分别在2012年和2014年每套的生产成本情况． 年份 甲种设备的生产成本（元/台） 乙种设备的生产成本（元/台） 2012年 50000 60000 2014年 28125 33750 现有下列结论： ①从2012年到2014年，甲种设备的生产成本年平均下降率为； ②从2012年到2014年，乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大； ③按甲种设备生产成本的年平均下降率估计，2013年甲种设备平均每台的生产成本为元； ④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 12．（2024·湖北孝感·模拟预测）关于的一元二次方程没有实数根，写出一个符合条件的整数的值为 ． 13．（2024·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为 ． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，是一元二次方程的两个根，，求的取值范围 ． 15．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构10月份为800名老人提供服务，12月份为1352名老人提供服务，设11、12月份服务老人人数的增长率为x，根据题意，可列方程为： ． 16．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是 ．（填序号） 17．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    18．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在点正上方的处发出一球，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 20．（22-23九年级上·江苏常州·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 21．（22-23八年级上·上海·课后作业）把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数． （1）；                （2）； （3）；        （4）．（是已知数） 22．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知如图所示，直线经过点和，它与抛物线在第一象限内交于点，且的面积为4． (1)求直线的表达式； (2)求的值． 23．（2024·河北保定·二模）珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． (1)求抛物线C的表达式． (2)珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，求的长． 24．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 25．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 26．（2024·内蒙古赤峰·二模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式． 数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式，同学们以小组为单位展开了讨论． 第一小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为，如图1，画出函数 的图象，抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段，当或时，二次函数的图象位于轴上方，此时，所以，即，所以此不等式的解集为或． 第二小组受第一小组的启发，画出函数的图象和直线，如图2所示，它们相交于和两点，当或时，二次函数的图象位于直线的上方，此时，即，所以不等式的解集为或． 相信聪明的你一定能完成以下任务： (1)两个小组的方法主要运用的数学思想是 (从下面的选项中选择一个即可) A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．由特殊到一般思想 (2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式，请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假结业测试卷（提高卷） 考试范围:人教版第21-22章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，据此判定即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】A．不是一元二次方程的一般形式，故A错误，不符合题意； B．不是一元二次方程的一般形式，故B错误，不符合题意； C．是一元二次方程的一般形式，故C正确，符合题意； D．不是一元二次方程的一般形式，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23九年级上·山西运城·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出答案即可． 【详解】解：依题意，得， ． 故选：B． 4．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 确定出抛物线的顶点坐标，再确定出平移前的顶点坐标，根据平移不改变图象的大小与形状即可确定平移后的函数表达式． 【详解】 抛物线的顶点坐标为 图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的顶点坐标为，由于平移不改变图形的形状与大小，则平移前的抛物线表达式为； 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住顶点的平移，问题便迎刃而解． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数的最小值是3，则a的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接利用抛物线的开口向上，把抛物线化为顶点式，再求解即可. 【详解】解：． 由题意，得，解得． 故选D． 6．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图．抛物线经过点，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及函数性质，是基础题型，熟记二次函数的各种性质是解题的关键． 由条件抛物线经过点，对称轴为直线，可求出抛物线和x轴的另一个交点，结合函数的图象即可求出当时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴时，x的取值范围是或， 故选：C． 7．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线特征与系数的关系，熟练掌握a符号与开口方向的关系，b符号与对称轴和a符号的关系，c符号与抛物线与y轴交点位置的关系，抛物线与x轴交点个数与根判别式符号的关系，是解决此类问题的关键．①根据抛物线开口向下确定，根据对称轴确定，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴确定，得到；②根据时，抛物线上的对应点在x轴上方，确定；③根据对称轴，确定；④根据抛物线与x轴有两个交点，确定． 【详解】解：∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 根据图象知道当时，， ∴②正确； 由①知道， ∴， 故③错误； 根据图象知道，抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴ 故④错误． 故选A． 8．（23-24九年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，二次函数的函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中 下列结论： ①； ②； ③； ④当 时，；⑤， 其中正确的有 ．  (填写正确的序号) 【答案】 ①②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系．熟练掌握二次函数的图象开口方向，对称轴，顶点，与x轴，y轴的交点坐标，自变量取特殊值时的函数植，是解决问题的关键． 根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，判断①；根据开口方向，对称轴，判断②；根据当时的函数值，判断③；根据当时的函数值，判断④；根据当与时的函数值，判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴， 故①正确； ∵对称轴在0～1之间， ∴， 又， ∴， ∴， 故②正确； 当时，， 故③错误； 当时，， ∴， 故④正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 9．（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 10．（2024九年级·全国·竞赛）由于技术水平的不断提高，某些石材加工设备的生产成本不断降低，下表是甲、乙两种设备分别在2012年和2014年每套的生产成本情况． 年份 甲种设备的生产成本（元/台） 乙种设备的生产成本（元/台） 2012年 50000 60000 2014年 28125 33750 现有下列结论： ①从2012年到2014年，甲种设备的生产成本年平均下降率为； ②从2012年到2014年，乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大； ③按甲种设备生产成本的年平均下降率估计，2013年甲种设备平均每台的生产成本为元； ④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据增长率模型可逐项分析各选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：①设甲种设备的生产成本年平均下降率为x，根据题意得： 解得，（舍去） 所以，甲种设备的生产成本年平均下降率为，①正确； ②设乙种设备的生产成本年平均下降率为y，根据题意得： 解得，（舍去） 所以，乙种设备的生产成本年平均下降率为， 即甲、乙两种设备的生产成本年平均下降率相同，②错误； ③2013年甲种设备平均每台的生产成本为，③错误； ④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元，④是正确的． 综上，正确的结论是①④， 故选：A． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 12．（2024·湖北孝感·模拟预测）关于的一元二次方程没有实数根，写出一个符合条件的整数的值为 ． 【答案】（答案不唯一）     【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：， 所以当取时，方程没有实数根． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（2024·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查二次函数的性质，写出二次函数的顶点坐标是解题的关键．先写出抛物线的顶点坐标，再根据已知条件列出关于的方程式即可求得答案． 【详解】解：， ， 抛物线的顶点在轴， ， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，是一元二次方程的两个根，，求的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，不等式组的应用，先解方程，再建立不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 当，则， 当，则； ∴的取值范围为或； 故答案为：或 15．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构10月份为800名老人提供服务，12月份为1352名老人提供服务，设11、12月份服务老人人数的增长率为x，根据题意，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由10月份老人数量和12月份老人数量即可得出关于x的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，可列方程为： 故答案为：． 16．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质．根据抛物线的开口方向得，由顶点坐标可得，，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当时，取得最大值为，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 函数的图象的顶点为， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故①错误； 由上述可知，， ，故②正确； 抛物线开口向下， 当时，取得最大值为， 无论取何值都有， ，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，， ，故④正确； 函数的图象的顶点为， ， 整理得：， ， ， ，故⑤正确． 综上，正确的结论有②④⑤，共3个． 故答案为：②④⑤． 17．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    【答案】或18 【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米， ①当在上时， 有厘米，厘米，厘米， ， ，即， 整理得，解得（不合题意，舍去），． ②当在上时， 则厘米，厘米， ， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或18． 故答案为：或18． 18．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在点正上方的处发出一球，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可得，即可求解． 【详解】解：乙原地起跳可接球的最大高度为米， 若乙因接球高度不够而失球，当时，羽毛球飞行的高度， 当时，， 解得：或舍去， 网离点的水平距离为米， ， ， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解： 移项，得：， 配方，得：， 开方，得：， 解得：，． （2）解： 移项，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 20．（22-23九年级上·江苏常州·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】（1）；（2）当时，两个根 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=4（k+1）2-4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可； （2）直接得出k的值，进而解方程得出答案． 【详解】解:（1）根据题意得k2≠0且△=4（k+1）2-4k2=8k+4≥0， 解得：k≥-且k≠0； （2）∵k≥-且k≠0，k为符合条件的最小整数， ∴k=1， 故x2-4x+1=0， 则x2-4x+4=-1+4， 故（x-2）2=3， 则x-2=± ， 解得：x1=2+，x2=2-． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根． 21．（22-23八年级上·上海·课后作业）把下列一元二次方程化为一般式，并写出方程中的各项与各项的系数． （1）；                （2）； （3）；        （4）．（是已知数） 【答案】答案见解析 【分析】（1）先移项，再找出各项与各项的系数即可； （2）先去括号、再合并同类项，再找出各项与各项的系数即可； （3）先去括号、移项，再合并同类项，再找出各项与各项的系数即可； （4）已经是一般形式，找出各项与各项的系数即可． 【详解】（1），，二次项为：，一次项为：，常数项为：0，二次项系数为：，一次项系数为，常数项为：0； （2），，二次项为：，一次项为：－10x，常数项为：－2，二次项系数为：25，一次项系数为：－10，常数项为：－2； （3），，二次项为：，一次项为：－6m，常数项为：－5，二次项系数为：7，一次项系数为：－6，常数项为：－5； （4），二次项为：，一次项为：－ax，常数项为：b，二次项系数为：3，一次项系数为：－a，常数项为：b． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括号、移项，合并同类项的法则是解题的关键． 22．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知如图所示，直线经过点和，它与抛物线在第一象限内交于点，且的面积为4． (1)求直线的表达式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等． （1）利用待定系数法即可求得直线的解析式， （2）根据面积求得点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将、分别代入得， 解得， 故直线的表达式为； （2）的面积为4， ， ， 再把代入，得， 所以． 把代入到中得：． 故的值为． 23．（2024·河北保定·二模）珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． (1)求抛物线C的表达式． (2)珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象与x轴的交点问题，正确求出抛物线的表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）先根据函数图象平移规则“上加下减”求得抛物线的表达式，再令求得点B的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线C：与x轴正半轴交于点， ∴，则， ∴抛物线C的表达式为； （2）解：由题意，抛物线C向下平移5个单位长度得到抛物线的表达式为， 令，则，解得，（舍去）， ∴点B坐标为， ∴． 24．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 25．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【答案】(1)2cm (2)不能，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解； （2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． （2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 理由如下： 设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为， 根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ， 折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为， ， 不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 26．（2024·内蒙古赤峰·二模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式． 数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式，同学们以小组为单位展开了讨论． 第一小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为，如图1，画出函数 的图象，抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段，当或时，二次函数的图象位于轴上方，此时，所以，即，所以此不等式的解集为或． 第二小组受第一小组的启发，画出函数的图象和直线，如图2所示，它们相交于和两点，当或时，二次函数的图象位于直线的上方，此时，即，所以不等式的解集为或． 相信聪明的你一定能完成以下任务： (1)两个小组的方法主要运用的数学思想是 (从下面的选项中选择一个即可) A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．由特殊到一般思想 (2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式，请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程． 【答案】(1)A (2)详见解析， 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，正确利用数形结合是解题的关键． （1）根据题中信息直接判断是运用的数学思想是数形结合思想； （2）按照题中给出两种方法选择其一即可解决． 【详解】（1）解：两个小组的方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：A； （2）①选择第一小组的方法：将不等式进一步变形为， 画出函数的图象，如图， 观察图象可知：抛物线与轴相交于和两点，这两个点将轴分为三段， 当时，二次函数的图象位于轴上方， 此时，即， ∴不等式的解集为； ②选择第二小组的方法：画出函数的图象和直线， 观察图象可知，函数的图象和直线相交于和两点， 当时，二次函数的图象位于直线的上方， 此时，即， ∴不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $$