第03讲 一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第03讲 一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数关系的应用 知识点一 根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．设是方程的两个根，则的值是 ． 4．若是一元二次方程的两个实数根，则 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【典型例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 2．已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．已知一元二次方程的解为，则的值为 ． 4．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 5．已知m，n是方程的两根，求的值． 【典型例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知是方程的一个根，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．已知a，b是方程的两个根，则的值是（    ） A．14 B． C． D．10 3．已知a和b是方程： 的两个根，则 ． 4．已知方程的两个根分别是，则= ． 5．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【典型例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 1．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知，，且，则的值为（    ）． A． B． C．5 D． 3．已知实数x，y分别满足方程，则的值为 ． 4．已知m，n满足，（m，n是实数，且mn），则的值为 ． 5．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【典型例题五 由两根关系求方程字母系数】 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 2．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 3．设是方程的两个根，且，则 ． 4．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 5．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【典型例题六 根与系数关系的新定义问题】 1．定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 4．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 5．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【典型例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且． 则下列说法正确的有 ． （将正确选项的序号填在横线上） ①若，则； ②； ③若，则； ④若，则． 2．下列说法： ①若一元二次方程+bx+a＝0有一个根是a（a≠0），则代数式a+b的值是； ②若＞6ac，则关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根； ③若b＝a+2c，则关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根； ④已知两实数m，n满足，，且m≠n，则的值为． 其中正确的有 （只需填序号）． 3．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是： （填序号）． 4．已知一元二次方程中，下列说法： ①若，则； ②若方程两根为-1和2，则； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的有 ．（填序号） 【典型例题八 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 3．已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ． 4．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 5．已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【变式训练1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程两根为，，则的值为 ． 3．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【变式训练2 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根为与，若，求k的值． 【变式训练3 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【变式训练4 构造一元二次方程求代数式的值】 1．若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果x、y是两个实数（）且，，则 ． 3．阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【变式训练5 由两根关系求方程字母系数】 1．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 2．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 3．若关于的一元二次方程有实数根，且． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 【变式训练6 根与系数关系的新定义问题】 1．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（    ） A．或4 B．4 C． D．或1 2．定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值． 【变式训练7 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．下列说法关于x的一元二次方程，其中正确的有（    ） （1）当，方程有两个实数根； （2）如果方程的两实数根是，，那么； （3）如果方程的两实数根是，，那么； （4）如果方程的两实数根是，，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤存在实数，使得． 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 3．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练8 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 2．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 5．规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．方程 的两个实数根分别是，，则 的值是 ． 7．已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 8．已知实数m，n分别满足，，且，则的值是 ． 9．已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 10．若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，令这两个实数根为，，且，求的取值范围． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 15．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程根与系数的关系（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数关系的应用 知识点一 根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可． 【详解】根据根与系数的关系得：， 所以 故选：A． 3．设是方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 4．若是一元二次方程的两个实数根，则 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 则． 故答案为：． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 【典型例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 2．已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 3．已知一元二次方程的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两个之和，再将代入原方程，利用整体思想即可解决问题．本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的解为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式展开后，整体代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 5．已知m，n是方程的两根，求的值． 【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，以及一元二方程的解，据此代入数值进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵m，n是方程的两根， ∴， ∴ ∴ 【典型例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知是方程的一个根，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为， ∴， ∴ ； 故选B． 2．已知a，b是方程的两个根，则的值是（    ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系和方程的解的定义，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．根据方程的解的概念和韦达定理得出，，将先后两次代入变形得出原式，再将代入计算可得． 【详解】解：，是方程的两个根， ，即，， 则原式 ， 故选：A 3．已知a和b是方程： 的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，方程的解，先根据方程的解得到，，然后根据根与系数的关系得到、，得到，再把它们代入原式化简，即可得到原式的值． 【详解】∵a和b是方程： 的两个根， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．已知方程的两个根分别是，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 由根与系数的关系可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：方程的两个根分别是， ，， ． 故答案为：． 5．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：． ∵一元二次方程有两个实数根， ∴；． ∴； ∴ （2）解：由根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或． ∵， ∴不合题意，应舍去， ∴． 【典型例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 1．已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 2．已知，，且，则的值为（    ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据等式的性质可将化为，可发现m、n是一元二次方程的解；再根据根与系数的关系可得；然后再运算并整体代入即可解答；发现m、n是一元二次方程的解成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴m、n是一元二次方程的解， ∴， ∴． 故选D． 3．已知实数x，y分别满足方程，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由于x、y都满足方程，则实数x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根，当时，则，当，由根与系数的关系得到，，再由进行求解即可． 【详解】解：∵实数x，y分别满足方程， ∴实数x，y是关于m的一元二次方程的两个实数根， 当时，则， 当时， ∴，， ∴ ； 综上所述，的值为或2， 故答案为：或2． 4．已知m，n满足，（m，n是实数，且mn），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由m，n满足，（m，n是实数，且mn）知m、n是一元二次方程的两个实数根，据此得，，再代入计算即可 【详解】解：∵m，n满足，（m，n是实数，且mn）， ∴m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 5．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及利用根与系数关系求代数式的值，根据代数式的结构特征恒等变形为已知代数式的形式是解决问题的关键． （1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案； （2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案； （3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，先求出的值，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， ， ， ， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【典型例题五 由两根关系求方程字母系数】 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 2．已知一元二次方程的两个实数根为，，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入等式中，求出实数的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．设是方程的两个根，且，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ 解得 故答案为：6 4．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 5．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 【典型例题六 根与系数关系的新定义问题】 1．定义运算：x※y=（x-y）（x-y+1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x※2=0根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据新运算化简得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程的根的情况． 【详解】解：根据题意得， 化简得， ， 方程无实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元二次方程的根与系数的关系． 2．定义运算：，若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键． 3．对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，然后求出m、n的值，即可． 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴ “和谐”方程的一个根为1， ∵一元二次方程满足， ∴“美好”方程的一个根为， ∵一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴一元二次方程的根为1和， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 【典型例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且． 则下列说法正确的有 ． （将正确选项的序号填在横线上） ①若，则； ②； ③若，则； ④若，则． 【答案】①③ 【分析】本题考查绝对值的分类讨论，根与系数的关系，根的判别式等知识点，根据绝对值的性质，根与系数的关系，根的判别式解题即可．（1）根据根与系数的关系即可判断①，（2）分为和两种情况，分别将，表示出来，相加即可判断②，（3）由得出的范围，由二次函数图象的性质可得，，时y的值，即可判断③，（4）利用根与系数的关系将等量关系化为关于b，c的式子，即可判断④； 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴，， 当时， ， ， 当时， ， ， 故②错误； ，，， ， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， ，， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故④错误； 故答案为：①③； 2．下列说法： ①若一元二次方程+bx+a＝0有一个根是a（a≠0），则代数式a+b的值是； ②若＞6ac，则关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根； ③若b＝a+2c，则关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根； ④已知两实数m，n满足，，且m≠n，则的值为． 其中正确的有 （只需填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】①将a代入方程得出a（a＋b＋1）＝0，进而可得a＋b＝−1，说法正确；②根据＞6ac，可得＞4ac，则Δ＝−4ac＞0，进而可得②说法正确；③利用b＝a＋2c，分析得出Δ＝−4ac＝−4ac＝，进而可得③说法正确；④把m，n可看作方程＋3x−9＝0的两个实数根，则根据根与系数的关系计算即可． 【详解】解：①若一元二次方程＋bx＋a＝0有一个根是a（a≠0），则＋ab＋a＝0， 整理得：a（a＋b＋1）＝0， ∵a≠0， ∴a＋b＋1＝0， ∴a＋b＝−1，故此说法正确； ②∵＞6ac， ∴＞4ac，即−4ac＞0， ∴关于x的一元二次方程＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根，故此说法正确； ③若b＝a＋2c，那么Δ＝−4ac＝−4ac＝， ∵a≠0， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程a+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，故此说法正确； ④∵两实数m，n满足，，且m≠n， ∴m，n可看作方程＋3x−9＝0的两个实数根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∴，故此说法正确； 故正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，分式的运算，掌握一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系是解决本题的关键． 3．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】当a、c异号时，Δ＞0，则根据判别式的意义可对①进行判断；当b2＞5ac时，Δ＞0，可判断方程ax2+bx+c=0一定有两异实数根，则可对②进行判断；当b=a+c时，则Δ=≥0，则根据判别式的意义可对③进行判断；若a=1，b=2，c=-3，计算出Δ=16>0，则可对④进行判断． 【详解】解：∵Δ=， ∴当a、c异号时，ac＜0，所以Δ＞0，所以此时方程一定有实数根，所以①正确； 当时，若a、c异号，则Δ=＞0，此时方程=0一定有两异实数根，若ac同号或0，则，此时方程=0一定有两异实根，所以②正确； 若b=a+c时，Δ==≥0，则方程=0一定有两实数根，所以③正确； 若a=1，b=2，c=-3，Δ==16>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若Δ≥0，，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，． 4．已知一元二次方程中，下列说法： ①若，则； ②若方程两根为-1和2，则； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①错误； ②若方程两根为-1和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：，∵，∴，∴方程必有两个不相等的实数根，③正确； ④若，则：，∵，∴，④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典型例题八 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（   ） A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8 【答案】C 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为， 由题意得：， ∵菱形面积为20， ∴，解得：， ∴一元二次方程为， 整理得， 解得， ∴该菱形两对角线长分别为4与10， 故选：C． 3．已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ． 【答案】27 【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：27． 4．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、判断点所在的象限，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知，推出，，判断点所在的象限即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则”是解题的关键． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴实数，异号，即一正一负， 又∵， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 5．已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根； (2)当方程的两个根均为正数时， ①求m的取值范围； ②若分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的边长（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①m的取值范围为；②菱形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用所学知识是关键． （1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况； （2）①根据根与系数关系可得，即可求出m的取值范围；②根据菱形边长和对角线的关系即可求出，再根据根与系数关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵        ∴不论m为何实数，方程总有实数根。 （2）解：①由题意得：   解得：，   ∴m的取值范围为 ②设菱形的边长为a，则 ∵ ∴ ∴ （舍） 所以，菱形的边长为 【变式训练1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先整理为一般形式，再根据根与系数的关系判定即可． 【详解】方程整理为：， ∵是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 2．若关于的一元二次方程两根为，，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：利用根与系数的关系可知，，， ． 故答案为：7． 3．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， 且， ∴； （3）方程化为， ∵， 且， ∴； （4）方程化为，∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 【变式训练2 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 1．一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：，，再代入代数式进行计算即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 2．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，代入求出的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，即，， ∴， 故答案为：． 3．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根为与，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式； （1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据即可求出k的值． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：； （2）解：由题意得：，， ∴，即，解得： 【变式训练3 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 1．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把与分别代入方程得到，，根据根与系数的关系得到，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 故选：C． 2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解． 【详解】解：把代入原方程得：， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故答案为：4049． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：． ∵一元二次方程有两个实数根， ∴；． ∴； ∴ （2）解：由根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或． ∵， ∴不合题意，应舍去， ∴． 【变式训练4 构造一元二次方程求代数式的值】 1．若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 2．如果x、y是两个实数（）且，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系和分式的化简求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 将两边同时除以，然后设，则可得为一元二次方程的两个不相等的实数根；由根与系数的关系可得和的值，然后代入原式计算即可． 【详解】解：， ， ， 设，则， ， ， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 3．阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【变式训练5 由两根关系求方程字母系数】 1．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系分别求出，的值代入求解即可，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】解：，， ， ， 解得， 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程 ，若方程的两个实数根为、，且 ，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．由一元二次方程根与系数的关系可知，，再整体代入中，求出m的值，代入原方程，判断是否有两个实数根即可． 【详解】解：、是的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，原方程为，， 不合题意，应舍去； 当时，原方程为，， 符合题意； 即m的值为． 故答案为：． 3．若关于的一元二次方程有实数根，且． (1)求的取值范围． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）由方程有两个不相等的实数根可得，代入即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由即可得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 化为一般形式为， ∵原方程有实数根，且， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ， ， ， 解得． 【变式训练6 根与系数关系的新定义问题】 1．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（    ） A．或4 B．4 C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的方程，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，．根据方程的两实数根的平方和为12，得△，，，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， 方程的两实数根的平方和为12， ， ， 设两实数根为，，则，， ， 整理得：， 解得：，， ， ， 故选：C 2．定义运算：@．若，是方程的两根，则@@的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据定义运算化简@@，再根据根与系数的关系求出、的值，最后把、的值代入化简后的式子得结论． 【详解】由题意：@@ ，是方程的两根， ， 原式 故答案为： 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根，所以由一元二次方程的解的定义、根与系数的关系可求得m的值． 【详解】解：根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根； ①当时，是关于x的凤凰方程； ②当时， ∵m是方程的一个根， ∴， 解得． 综上所述，m的值是2或． 【变式训练7 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 1．下列说法关于x的一元二次方程，其中正确的有（    ） （1）当，方程有两个实数根； （2）如果方程的两实数根是，，那么； （3）如果方程的两实数根是，，那么； （4）如果方程的两实数根是，，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．的两个根，，满足，，逐项进行判断即可． 【详解】（1）∵， ∴；   ∴正确； （2）∵一元二次方程的两根之和等于，即   ∴不正确； （3）∵；   ∴正确； （4）∵ ， ∴正确， 综上分析可知，共3个说法正确． 故选：C． 2．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； ⑤存在实数，使得． 其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，判别式，求根公式即可求解． 【详解】解：①若，则是的解，则，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则， ∴中，判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根，则， ∴， 当时，等式成立；当时，等式不一定成立；故③错误； ④若是一元二次方程的根，则， ∴根据求根公式得，， ∴，整理得，，故④正确； ⑤存在实数，当时，成立；当，且时，不一定成立，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识，掌握求根公式，根与系数的关系，判别式等知识是解题的关键． 3．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】 当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出，则可对④进行判断． 【详解】解：， 当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确； 若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确； 若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 4．关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①若，那么为一个实数根，根据判别式即可判断；②把和2代入方程，建立两个等式，即可得到；③方程有两个不相等的实根，则，得出，即可判断方程必有两个不相等的实数根；④若，计算根的判别式的值得到，于是根据根的判别式的意义可对其进行判断． 【详解】解：①若，方程有一根为1， 又，则，故正确； ②两根关系可知，，整理得：，故正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，可知， 故方程必有两个不相等的实数根，故正确； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 【变式训练8 一元二次方程根与系数关系的应用】 1．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根和系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形运算，由菱形的面积为得，根据根和系数的关系得，利用勾股定理和完全平方公式的变形运算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为， 则， ∴， ∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的边长， 故选：． 2．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为24，则该菱形的边长为 ． 【答案】5 【分析】设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为24， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 3．已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键． （1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记，是解题的关键．根据题意得到，，再将其代入式子的变形式中计算，即可解题． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 【详解】当3为底边长时，则， ∴， ∵4，4，3能围成三角形， ∴， 解得：； 当3为腰长时，a、b中有一个为3，假定， ∴ ∴ ∴另一个边长为5， ∵5，3，3能围成三角形， ∴， 解得：； ∴m的值为17或16， 故选：D． 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，先根据方程根的定义得出，根据根与系数关系求出，再整体代值计算．解题的关键是掌握一元二次方程（，、、为常数）的根，与系数的关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：B． 4．小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数关系得到，根据两根在数轴上对应的点的距离为4得到，代入后即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：B 5．规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：． ①已知，则，； ②若关于的方程有实数根，则且； ③若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，利用因式分解法解①得到的方程，即可判断①，利用分类讨论即可判断②，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 解得，； 故选项①正确； ②∵ ∴ ∴ 当时，， ∴关于的方程有实数根， 当时，是一元二次方程， ∵关于的方程有实数根， ∴ 解得且； 综上可知，若关于的方程有实数根，则； 故选项②错误； ③∵，， ∴， ∴， 解得或，或， ∵， ∴s和t是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ∴当时，则， 此时， ∴当时，则， 此时， ∴． 故选项③错误， ∴正确的是①， 故选：B 6．方程 的两个实数根分别是，，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为：． 7．已知是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 将代入方程，得， 即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 8．已知实数m，n分别满足，，且，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，解题关键是掌握“若一元二次方程的两个根分别为和，则，”． 首先得到m和n是的两个根，求出，，然后将分式变形代数求解即可． 【详解】解：∵实数m，n分别满足，， ∴m和n是的两个根， ∴， ∴． 故答案为：16． 9．已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可知，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即可． 【详解】根据题意可知， 即， 解得． ∵，是方程的根， ∴，． ∵， 则， 解得． 故答案为：． 10．若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，；，；，．把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：，，2，3，，2020， 由根与系数的关系得：，；，；，， 原式 ． 故答案为：． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，令这两个实数根为，，且，求的取值范围． 【答案】的取值范围是． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的一个解，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由，可知该方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为， ∵， ∴，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】(1)方程是“伴根方程”； (2)或． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； （2）解：， ， 或， ，， 方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 15．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$