复数 专项训练——2025届高三数学一轮复习

2025高考备考专题复习高中数学精选专项训练：复数 1．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·浙江·三模）已知复数z满足，其中i是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D．5 3．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 4．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 5．（2024·青海海西·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 6．（2024·西藏林芝·模拟预测）复数的模为（    ） A． B． C．3 D． 7．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数，表示z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知是虚数单位，则复数（    ） A． B．1 C． D． 10．（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 11．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 12．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数 . 13．（2024·上海闵行·三模）复数（为虚数单位），则 . 14．（2024·浙江绍兴·三模）若复数满足：，则复数的虚部为 ． 15．（2024·重庆·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则 ． 16．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 17．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 . 18．（2024·河南·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为，，Z的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若，，过F的直线交C于，两点，且平分，求直线的方程. 19．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围． 20．（2024·浙江温州·模拟预测）复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题： (1)试证明欧拉公式． (2)利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解． ①；②； (3)求出角度的倍角公式(用表示，)． 21．（2024·湖南邵阳·三模）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数，的模和辐角主值（用表示）； (2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？ (3)求和： 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解． 【详解】设，则， 则，即，所以，， 解得，，故，对应的点在第四象限． 故选：D． 2．D 【分析】先根据条件求出复数，从而可求出结果 【详解】设，a，，则 则，．∴，， 所以， 故选：D． 3．D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 4．C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 5．A 【分析】利用复数的四则运算即可得解. 【详解】. 故选：A． 6．D 【分析】先利用复数乘法法则化简复数，然后利用复数模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 7．C 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解即得. 【详解】，因此， 所以. 故选：C 8．B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为，所以复数的虚部为. 故选：B 9．B 【分析】运用完全平方和公式展开，再4次方即可求出. 【详解】因为，所以. 故选：B. 10．C 【分析】由已知结合复数的几何意义及椭圆定义即可求解. 【详解】设，因为，所以，则其几何意义为任意点到点与到的距离和为6，根据椭圆的定义可知，复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆； 故选：C 11．B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 12． 【分析】由复数除法法则直接计算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 13． 【分析】先对化简，然后可求出其共轭复数 【详解】， 所以共轭复数是. 故答案为： 14．1 【分析】设复数，再利用复数的运算法则，就可以解得虚部. 【详解】设，，由得： ，即，则， 代入得：，解得， 故答案为：. 15． 【分析】利用复数运算求得，根据共轭复数以及复数乘法运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故答案为： 16．2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 17． 【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件进行变形，得到，由此可以证明. 之后再使用向量的坐标运算将表示为关于的表达式，利用即可证明，最后给出一个的例子即可说明的最大值是. 【详解】由，，，，知，，，，从而，，. 由于，，故条件即为，展开得到，再化简得，所以，故我们有，从而. 由于，，，，故，从而. 经验证，当，时，条件满足. 此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点的距离之比恒为常数的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于的阿波罗尼斯圆. 使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论. 18．(1) (2) 【分析】（1）设复数，根据题意建立等式求解即可； （2）设直线，根据题意直线与曲线联立方程求解即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 整理得，即C的方程为. （2）由题意知，直线的斜率不为0，设，，， 联立得，， 所以，；① 由平分知，即， 又，则， 整理得， 代入①式得，所以. 所以直线的方程为. 【点睛】第（2）解题关键根据题意平分得，建立等式求解. 19．(1)； (2). 【分析】（1）根据是的对称轴，结合对称轴处取得最值，计算即可； （2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于的三角函数关系，求函数值域即可. 【详解】（1）∵，即当时函数取到最值， 又， 其中， ∴，代入得， 即，解得，∴ ； （2）由（1）可得：， 由复数的几何意义知：， ∴， 当，，即，时，有最大值6； 当，，即，时，有最小值2； ∴. 20．(1)证明见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据泰勒展开式，结合虚数的运算法则即可证明； （2）利用欧拉公式，同角三角函数关系及对数运算即可求解； （3）根据二项式定理及同角三角函数的平方关系即可求解． 【详解】（1）证明：令， 则 因为 所以，即 （2）①因为，， 所以； ②由得，， 所以，， 由得，当时，， 所以，两边同时取对数得，， 解得， （3） 令实部相等， 即得． 【点睛】关键点睛：第三问中，应用及二项式定理，结合复数相等即可证明． 21．(1)，； (2)506； (3)1017. 【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得. （2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即得. （3）令，利用等比数列及错位相减法求出，再利用复数相等即可得解. 【详解】（1）由复数，， ， 得； 而，则，， 又，，所以. （2）由， 因此，则， 则，解得，而，， 即，于是，显然符合条件的有506个， 所以这样的有506个. （3）令，而，则， 令， 则， 两边同乘，得， 两式相减得 ，因此， ， 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：求出的关键是，令，利用错位相减法求出的和. 答案第1页，共2页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$