2024年暑假高中数学运算能力训练之初高衔接讲义

高中数学运算能力训练之初高衔接拔高版 专题 01: 乘法公式、因式分解、二次根式与绝对值（提升版） 一、填空题(共 12 题, 每题 5 分) 1. 可以因式分解为___. 2. 若 ,则 ___. 3. 已知: ,且 ,当 取不同值时, ___. 4. 已知 是非零整数,且 ,则 5. 如图,化简 ___. 6. 不等式 的解集为___. 7. ___. 8. 若 ,则 ___. 9. ___. 10. 若 ,则 11. 若对于某一范围内的 的任意值, 的值为定值,则这个定值为___. 12. 观察下列各式: 根据上述规律可得: 二. 解答题(共 4 题, 每题 10 分) 13. 因式分解 (1) (2) . 14. 已知 ,求 的值. 15. ,求 的值. 16. 已知实数 满足: . (1)求 中的最小者的最大值; (2) 求 的最小值. 专题 02: 分式运算、分式方程与分式不等式 (提升版) 一、填空题(共 12 题, 每题 5 分) 1. 若 ,则分式 的值为___ 2. 不等式 的解集为___ 3. 设 ,且 4. 若 ,则分式 的值为___ 5. 若关于 的方程 的解为正数,则 的取值范围为___ 6. 若 ,则 7. 方程 的解为___ 8. 若关于 的分式方程 有增根,则 的值为___ 9. 若解关于 的分式方程 会产生增根, 10. 11. 不等式 的解集为___ 12. 对任意的正整数 二. 解答题(共 4 题, 每题 10 分) 13. 解不等式: (1) (2) 14. 解方程: 15. (1) 证明: (其中 是正整数); （2） 证明: 对任意大于 1 的正整数 ,有 . 16. 解不等式: 专题 03: 韦达定理 一、填空题(共 12 题, 每题 5 分) 1. 已知 是 的三边长,那么方程 的根的情况是 2. 已知关于 的方程 有两个实数根 ,若 , 则 的值为___ 3. 如果 都是质数,且 ,那么 的值为___ 4. 已知方程 的一根为负,另一根大于 2,则 的范围是 ___. 5. 和 为一元二次方程 的两个实根,并 和 满足不等式 ,则实数 的值范围是___. 6. 设 是方程 的两实根, 是关于 的方程 的两实根,则 ; 7. 已知 ,则 8. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则代数式 的值为___. 9. 关于 的一元二次方程: 有两个实数根 ,则 10. 若方程 的两根为 ,且 ,则 11. 已知 是一元二次方程 的两根,代数式 12. 已知 是方程 的两个实数根,则代数式 的值为___. 二. 解答题(共 4 题, 每题 10 分) 13. 若 是方程 的两个根,试求下列各式的值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 14. 已知关于 的方程 有两个不等实根. ( I ) 求实数 的取值范围; (II) 设方程的两个实根为 ,且 ,求实数 的值; (III) 请写出一个整数 的值,使得方程有两个正整数的根. (结论不需要证明) 16. 设 为三个不同的实数,使得方程 和 有一个相同的实数根,并且使方程 和 也有一个相同的实数根,试求 的值. 16. 设 是不小于 -1 的实数,使得关于 的方程 有两个不相等的实数根 . (1) 若 ,求 的值. (2) 求 的最大值. 专题 04: 二次函数的图像与性质 (提升版) 一、填空题(共 12 题, 每题 5 分) 1. 已知函数 ,当 时,函数的最大值是 2,则实数 的取值范围是___. 2. 若函数 的图象经过 ,当 时, 随 的增大而减小,则实数 的范围___. 3. 已知抛物线 ,当 时,该抛物线对应的函数值有最大值 -7,则 的值为___ 4. 已知二次函数 ,在 时,有最大值 6,则 ___. 5. 二次函数 ,当 时, 的取值范围为___ 6. 已知二次函数 (其中 是自变量),当 时, 随 的增大而减小,且 时, 的最大值为 9,则 的值为___ 7. 已知二次函数 ( 为常数),在自变量 的值满足 的情况下, 与其对应的函数值 的最小值为 5,则 的值为___ 8. 已知二次函数 ,当 时,函数的最大值与最小值的差为___ 9. 二次函数 的最小值为 2,则 的值为___. 10. 若二次函数 在 时的最大值为 3,那么 的值是___. 11. 若 时,二次函数 的最大值为 31,则 的值为___. 12. 二次函数 的对称轴为 轴,经过 两点,并且当 时, 时, 恒成立,则实数 的取值范围是___ 二. 解答题(共 4 题, 每题 10 分) 13. 如图,抛物线 与 轴交于点 ,交 轴于点 . (1)求该抛物线的函数解析式; (2) 当 时,函数 有最小值 ,求 的值. 14. 已知抛物线 ( 是常数,且 ),过点 . (1) 求 的值,并通过计算说明点 是否也在该抛物线上; （2）若该抛物线与直线 只有一个交点,求 的值; （3）若当 时, 随 的增大而增大,求 的取值范围. 15. 如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于点 ,已知点 , 抛物线的对称轴是直线 ,连接 . (1) 用含 的代数式求 ; (2) 若 ,求抛物线的函数表达式: (3) 在 (2) 的条件下,当 时, 的最小值是 -2,求 的值. 16. 已知抛物线 与 轴的一个交点为 ,且经过点 . (1) 求抛物线与 轴的另一个交点坐标. (2) 当 时,函数的最大值为 ,最小值为 ,若 ,求 的值. 专题 05 : 三个二次的关系 (提升版) 一、填空题 (共 12 题, 每题 5 分) 1. 关于 的不等式 ,解集为 ,则不等式 的解集为 ___. 2. 如果关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为___. 3. 关于 的不等式 的解集是 ,且 ,则 4. 如果关于 的不等式 的解集是 ,那么 等于___. 5. 若不等式 对一切 恒成立,则实数 的取值范围是 6. 设 ,则关于 的不等式 的解集是___. 7. 已知不等式 的解集是 ,则不等式 的解集是___ 8. 设 ,若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有 4 个,则实数 的取值范围是___. 9. 不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围是___. 10. 已知恰有 3 个整数满足不等式 ,求 的取值范围___. 11. 不等式 对于任意的 恒成立,则实数 的取值范围为___. 12. 已知不等式 的解集中恰有五个整数,则实数 的取值范围为 ___. 二、解答题 (共 4 题, 每题 10 分) 13. 解下列不等式: (1) ; (2) . 14. 已知关于 的不等式 . （1）若不等式的解集为 ,求实数 的值; （2）若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 15. 解关于 的不等式 . 16. 已知关于 的不等式 的解集为 . (1)写出 和 满足的关系; (2) 解关于 的不等式 . 详细解析: 专题 1 参考答案: 1. 【分析】运用分组分解法, 结合提公因式法进行因式分解即可. 【详解】 . 故答案为: 2. 【分析】根据绝对值的性质进行求解即可. 【详解】因为 , 所以 且 且 , 即 ,所以 ,故答案为: 3. 或 . 【分析】根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】当 都是正数时, ; 当 中有一个负数时,则 ; 当 中有 2 个负数时,则 ; 当 都是负数时, . 故答案为: 或 . 4. 0 【分析】根据绝对值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由于 ,且 是非零整数,则 一正二负或一负二正, 当 一正二负时,不妨设 ,原式 ; 当 一负二正时,不妨设 ,原式 ,故答案为: 0 5. -4 【分析】由已知可得出 ,利用绝对值的性质化简可得结果. 【详解】由图可知 ,故原式 . 故答案为: -4 . 6. 【分析】利用分类讨论的思想方法 (零点分段法) 去掉绝对值符号, 把绝对值不等式转化成非绝对值不等式求解即可. 【详解】 化为: 不等式 的解集为: 故答案为: 7. 【分析】利用指数的运算性质化简可得结果. 【详解】原式 . 故答案为: . 8. 1 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可. 【详解】因为 所以 ,此时 ,所以 , 故答案为: 1 9. 【分析】根据 与 分类讨论化简即可求解. 【详解】当 时, ; 当 时, . 所以 . 故答案为: 10. 【分析】将已知式子通分, 结合完全平方公式化简, 代入求值可得答案. 【详解】由题意 知, , 故原式 ,故答案为: 11. 3 【分析】根据绝对值的性质, 结合题意进行求解即可. 【详解】 为定值, 的表达式化简后 的系数和为 0 ; 当 时,显然 的值不为定值, 当 时, 由于 的取值范围是: 且 ,即 , 所以 . 故答案为: 3 12. 【分析】分别将 和 -1 与 相乘再化简即可,也可根据规律直接写出答案. 【详解】 . 故答案为: . 13. ; (2) 【分析】(1) 运用拆项法、分组分解法, 结合立方和公式、平方差公式、完全平方差公式进行因式分解即可; （2）运用一元二次方程求根公式法进行因式分解即可. （1） 令 ,则解得 , . 14. 8 【解析】借助三数和的平方公式求值. 【详解】解: , . 【点睛】本题主要考查三数和的平方公式, 属于基础题. 15. 289 【分析】先计算出 ,再将 变形为 后,代入求解即可. 【详解】 , 16. . 【分析】(1) 根据一元二次方程根与系数的性质进行求解即可; （2）根据绝对值的性质, 结合反证法分类讨论进行求解即可. (1) 不妨设 是 中的最小者,即 ,由题设知 , 且 , 于是 是一元二次方程 的两实根, 即 , 所以 ; 又当 时,满足题意. 故 中最小者的最大值 -4 ; （2） 因为 ,所以 为全小于 0 或二正一负. ① 当 为全小于 0,则由 (1) 知, 中的最小者不大于 -4, 这与 矛盾. ②若 为二正一负,设 , 则 , 当 时,满足题设条件且使得不等式等号成立. 故 的最小值为 6 . 专题 2 参考答案: 1. 【分析】由已知条件可得 ,代入 中化简可求得结果. 【详解】因为 , 所以 ,即 , 所以原式 ,故答案为: 2. 或 【详解】解: 由 ,得 , 即 ,解得 或 , 所以原不等式的解集为 或 . 故答案为: 或 . 3. 2 【分析】对 两边同除以 ,化为关于 的一元二次方程,求出 的值,舍去不合题意的解, 求出答案. 【详解】在 两边同除以 ,得: ,解得: 或 舍去; . 故答案为: 2 4. ; 因为 , 所以 ,即 , 所以原式 ,故答案为: 5. 且 , 【分析】化简方程 求其解,由条件列不等式求 的取值范围. 【详解】由 得: ; 所以 , . 方程的解为正数, . 的取值范围为: 且 , 故答案为: 且 . 6. 或 【分析】化简条件确定 的关系,再求目标表达式的值. 【详解】因为 ,所以 , 所以 或 , 当 时, , 当 时, , 7. 【分析】设 ,则原方程可化为 ,解方程求 ,再求 即可. 【详解】设 ,则方程 可化为 , 解方程 可得 或 , 当 时,可得 ,方程 无解, 当 时,可得 ,所以 故答案为: . 8. -3 【分析】去分母化分式方程为整式方程,由增根的定义得到增根为 ,代入整式方程中, 求出 的值. 【详解】 ,去分母,得: . 分式方程有增根, 增根为 , 将 代入整式方程,得: ,得: . 解得: 故答案为: -3 9. -4 或 6 【分析】化简方程,由条件列方程求 即可. 【详解】方程 可化为 , 由已知可得 或 为方程 的解, 所以 或 ,所以 或 ,故答案为: -4 或 6 . 10. 【详解】解: 故答案为: . 11. 或 【详解】由题意 得: , 即 ,即 , 即 ,当 时,解得 ; 当 时,解得 , 故不等式 的解集为 或 ,故答案为: 或 12. 【分析】根据分式的性质变形即可. 【详解】对任意的正整数 , 所以 ,故答案为: . 13. (1) 或 或 . (2) 或 . 【分析】(1) 化简不等式为 ,结合分式不等式的解法,即可求解; （2）结合不等式的穿根法, 即可求解. （1） 解: 由题意,不等式 可化为 , 结合分式不等式的解法,解得 或 或 , 所以不等式的解集为 或 或 . （2） 解: 由方程 ,解得 或 或 , 结合穿根法,可得不等式 的解集为 或 . 14. 【分析】设 ,再将原式转化为关于设 的二次方程,解得 或 ,再分别 讨论 和 两种情况,结合二次方程的方法求解即可. 【详解】设 ,则 原方程可化为: ,解得 或 ( i ) 当 时, ; (ii) 当 时, ,解得 或 . 检验: 把把各根分别代入原方程的分母, 各分母都不为 0 . 所以,原方程的解是 . 15. (1) 证明见解析; (2) 证明见解析 【分析】(1)根据分式的运算性质证明; (2)由(1)的结论对不等式的左侧化简变形, 即可证明. 【详解】(1) 证明: (其中 是正整数) 成立. （2）证明: 又 ,且 是正整数, . 16. 答案见解析 【分析】化简不等式,通过讨论 ,确定不等式的解集. 【详解】原不等式可化为: . ① 当 ,即 时,不等式的解为 或 ; ② 当 ,即 时,不等式的解为 或 ; ; ③ 当 ,即 时,不等式的解为 或 ; ; ④ 当 ,即 时,不等式可化为 且 , 不等式的解为 或 ; ; ⑤ 当 ,即 时,不等式可化为 且 , 不等式的解为 ; 专题 3 参考答案: 1. 有两个相异的负根 【分析】先根据三角形的三边关系结合 与根的个数的关系分析判断方程根的个数, 再结合韦达定理分析判断根的正负. 【详解】由题意可得: 是 的三边长,则 ,则方程有两个相异的实根 又 ,则方程有两个相异的负根; 故答案为: 有两个相异的负根. 2. 4 【解析】将 ,变形为 ,根据方程 有两个实数根 ,得到 ,再代入上式求解. 【详解】因为方程 有两个实数根 , 所以 ,因为 , 所以 ,即 , 解得 或 (舍去) 故答案为: 4 3. 或 2 【分析】分 和 两种情况讨论,当 时,可将 ,可看成方程 的两根, 结合韦达定理即可求得答案. 【详解】解: 当 时,则原式 ; 当 时,则 ,可看成方程 的两根, 所以 ,而 或 ,所以 , 所以 . 综上所述, 或 . 故答案为: 或 2 . 4. 【详解】令 , 原问题等价于函数 的一个零点为负值,一个零点大于 2,据此可得: 求解不等式有: ,据此可知 的范围是 . 5. 【分析】根据根与系数的关系,先求得 的值,然后将其代入不等式,从而解得实数 的取值范围. 【详解】解: 和 是一元二次方程 的两个实数根, 开 , 开 ,解得: ,① ,② ,③ 将②③代入不等式 ,得 , 即 ,解得: ,④ 由 ① ④,得 . 故答案为: . 6. 【分析】利用根与系数关系列方程组,由此求得 的值. 【详解】由于 是方程 的两实根,所以 ①; 由于 是关于 的方程 的两实根,所以 ②. 由①②解得 . 故答案为: (1) ; (2) -3 . 【点睛】本小题主要考查根与系数关系, 考查化归与转化的数学思想方法, 考查运算求解能力, 属于基础题. 7. 【分析】由题意可知 是方程 的两根,直接由韦达定理可得两根之积,从而可得 的值. 【详解】由方程的结构可知 是方程 的两根,由韦达定理可得 故答案为: 8. 【详解】 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根, , 整理得, ,即 , ; 故答案为: 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系, 属于基础题. 9. -4 【分析】利用韦达定理简单代入即可. 【详解】由 有两个实数根 ,可得 , 所以 . 故答案为: -4 . 10. 12 【分析】结合韦达定理, 列出方程求解即可 【详解】由韦达定理得, , 即 ,可解得 故答案为: 12 11. 【分析】利用韦达定理表示出根与系数的关系,然后对式子 进行通分化简,再把根与系数的关系代入代数式运算即可 【详解】由韦达定理,得 , 则原式 . 故答案为: 12. 0 【分析】根据 是方程 的两个实数根,直接由韦达定理表示出根与系数的关系,代入代数式 化简即可. 【详解】 是方程 的两个实数根, , . 故答案为: 0 13. (1) 4018; (2) ; (3) -1972; (4) . 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得 , （1）将 变形为 ,再代入计算即可求得结果; （2）将 变形为 ,再代入计算即可求得结果; （3）将 变形为 ,再代入计算即可求得结果; （4）将 变形为 ,再代入计算即可求得结果. 【详解】 是方程 的两个根, . (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系, 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 14. ( I ) ; ( II ) ; (III) 【解析】(I) 依题意 ,解得即可; (II) 利用韦达定理得到 ,再代入方程, 解得即可; (III) 依题意找出合适的 即可; 【详解】解: (I) 因为方程 有两个不相等实数根,所以 ,即 ,解得 ,即 (II) 因为方程 的两个实根为 ,所以 , ,又 ,所以 ,解得 或 ,又 ,所以 (III) 当 时,方程 ,解得 满足条件; 15. . 【分析】设 ,得 ,同理,由 , 得 ,再根据韦达定理即可求解. 【详解】解: 设 ,两式相减,得 ,解得 , 同理,由 ,得 , 是第一个方程的根, 与 是方程 的两根, 是方程 和 的公共根, 因此两式相减有 , 当 时,这两个方程无实根,故 ,从而 , 于是 ,所以 . 【点睛】本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解, 关键是根据韦达定理解题, 属于中档题. 16. (1) ; (2) 10 . 【分析】(1) 根据判别式可得 ,再利用韦达定理代入即可得答案; （2）将问题转化为关于 的一元二次函数,再利用函数的性质求最值; 【详解】 方程有两个不相等的实数根, 结合题意知: (1) . (2) 当 时,式子取最大值为 10 . 【点睛】本题考查一元二次方程中韦达定理、一元二次函数的性质, 考查函数与方程思想、 转化与化归思想, 考查逻辑推理能力、运算求解能力. 专题 4 参考答案: 1. 【分析】由于函数当 时,函数取最大值 2,从而可知 ,进而可求出实数 的取值范围. 【详解】函数 的图象是开口向下,且以 为对称轴的抛物线, 当且仅当 时,函数取最大值 2, 函数 ,当 时,函数的最大值是 2, ,故答案为: . 2. 【详解】当 时, 时, 随 的增大而减小, 把 代入解析式得, , 两式相减得, , 抛物线的对称轴为直线 , 当 时, 随 的增大而减小,即 , 当 时, 随 的增大而减小,即 ,故答案为: . 【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题, 属于常考题型. 3. 或 -6 【分析】对函数解析式配方,求出其对称轴 ,然后分 和 求出函数的最大值,使其最大值等于 -7,从而可求出 的值. 【详解】抛物线 , , 当 时, 有最大值 ; 当 时, 随 的增大而减小; 为常数,且 , 若 ,当 时, 有最大值 , ,此时, ; 若 ,则当 时, 有最大值, 即 ,解得: (不合题意,舍去), 综上, 的值为 或 -6 . 故答案为: 或-6 4. 【分析】结合二次函数的对称轴、最大值来求得 的值. 【详解】 二次函数 的开口向上,对称轴为 时,当 时取得最大值 6 . 即 . 故答案为: 5. . 【分析】由二次函数的图像和性质直接计算即可. 【详解】二次函数 对称轴为 ,且开口向下, 所以当 时, 在 处取得最大值, , 由二次函数的对称性可得 在 处取得最小值, , 故 的取值范围为 . 故答案为: . 6. 【分析】结合二次函数的单调性和最大值来求得 的值. 【详解】二次函数 的对称轴为 , 由于当 时, 随 的增大而减小,所以 , 所以当 时, , 解得 或 (舍去),所以 的值为 . 故答案为: 7. -1 或 5 【分析】根据对称轴进行分类讨论,结合二次函数的最小值求得 的值. 【详解】二次函数 的对称轴为 , 当 时, ,解得 或 (舍去). 当 时, ,不符合题意, 当 时, ,解得 或 (舍去). 综上所述, 的值为 -1 或 5 . 故答案为: -1 或 5 8. 4 【分析】由一元二次函数的图像和性质计算即可. 【详解】二次函数 的对称轴为 ,开口向下, 当 时, 的最大值在 处取得, , 由二次函数的对称性可得,当 时, 取最小值, , 所以 . 故答案为: 4 . 9. 3 【分析】对函数解析式配方,从而可求出其最小值,然后使最小值等于 2,进而可求出 的值. 【详解】 , 二次函数所对应的抛物线的开口向上,对称轴为 , 当 时, 有最小值为 , . 故答案为: 3 10. 4 或 或 4 【分析】讨论二次函数对称轴与 的位置关系,结合已知最大值求参数 . 【详解】 , 抛物线开口向下,抛物线的对称轴为 , ① 当 ,即 时,当 时,函数最大值为 3, ,解得: (舍去); ② 当 ,即 时,当 时,函数最大值为 3, ,解得: . ③ 当 ,即 时,当 时,函数最大值为 3, ,解得 (舍去) 或 , 综上所述, 或 . 故答案为: 4 或 11. -5 或 1 【分析】对 的取值进行分类讨论,结合二次函数的最大值来求得 的值. 【详解】 二次函数解析式为 , 该二次函数的对称轴是直线 ,开口向上, 当 时,即 时, 在 时取得最大值 31 . . 解得 (舍). 当 时,即 时, 在 时取得最大值 31 . . 解得 (舍), . 综上所述, 的值为 -5 或 1 . 故答案为: -5 或 1 12. 或 或 【分析】由对称轴可求 ,由函数经过 两点可求 ,从而可求二次函数的最大值,故当 时 恒成立,从而可求解. 【详解】解: 因为二次函数 的对称轴为 轴,所以 即 , 因为二次函数的图象经过 两点,所以 ,解得 , 所以二次函数的解析式为 , 当 时, 的最大值为 1, 所以当 时, 即 恒成立, 所以 ,解得 或 或 . 故答案为: 或 或 . 13. (1) 或 【分析】(1) 根据根与系数关系求得 （2）对 进行分类讨论,结合二次函数的最小值求得 . (1) 依题意可知 -1,3 是方程 的两个根, 所以 ,解得 , 所以 . ,对称轴为直线 ,开口向上. 依题意,当 时,函数 的最小值为 , 若 ,则当 时,函数 取得最小值, 即 ,解得 或 (舍去). 若 ,即 ,函数 的最小值 (舍去). 若 ,即 ,则当 时,函数 取得最小值, 即 ,解得 或 (舍去). 综上所述, 的值为 或 . 14. (1) ,在; (2) 或 ; (3) . 【解析】(1) 根据抛物线 ( 是常数,且 ),过点 ,可以得到 的值,然后将 代入抛物线解析式,即可得到 的值,从而可以判断点 是否也在该抛物线上; （2）根据该抛物线与直线 只有一个交点,可知该抛物线顶点的纵坐标是 5,从而可以求得 的值; （3）根据当 时, 随 的增大而增大,对抛物线的开口方向分类讨论,确定对称轴与区间 的端点关系,建立关于可知 的不等式,求解即可得出结论. 【详解】(1) 抛物线 ( 是常数,且 ),过点 , 抛物线 , 当 时, , 即点 在该抛物线上; （2） 抛物线 ,该抛物线与直线 只有一个交点, ,整理得 解得, , 即 的值是 或 ; （3） 当 时, 随 的增大而增大, 抛物线 对称轴方程为 , 当 ,解得 ; 当 时, ,解得 , 即 的取值范围是 或 . 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质解答. 15. (1) ; (2) ; (3) . 【分析】(1)利用 A 点坐标和对称轴得到 之间的关系,再解出 点坐标即可得到 ; （2）由（1）得 ,代入抛物线方程即可; （3）由（2）得抛物线对称轴为 ,讨论 与对称轴的关系即可. 【详解】(1) 由图像可得 , 将点 的坐标代入抛物线表达式得: ①, 因为函数的对称轴为: , 所以 ②,将 ② 代入 ① 得 , 所以抛物线的表达式为: , 当 时, ,即 点坐标为 ; 当 时,即 ,解得 或 -3,所以 点坐标为 , 所以 . （2）由（1）得 ,所以 , 代入 得抛物线的函数表达式为 . （3）由（2）得 的对称轴为 , ① 当 ,即 时,函数在 处取得最小值,即 , 解得 (负值舍去),所以 ; ② 当 ,即 时,函数在 处取得最小值, 而顶点的纵坐标 , 故此时,不存在 的值,使得 的最小值是 -2 ; 综上所述, . 16. (1) 抛物线与 轴的另一个交点坐标为 【分析】(1) 方法一: 由题意可得抛物线经过 和 ,则可得对称轴为直线 , 然后利用对称关系可求出另一个交点坐标,方法二: 将 分别代入 可求出 ,然后令 可求出另一个交点坐标, （2）由题意可得当 时取得最大值 4,即 ,当 或 时取得最小值 ,则可得 ,令 代入函数中可求出 的值. （1） 方法一: 抛物线经过 和 , 抛物线的对称轴为直线 , 的对称点为 , 即抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ; 方法二: 将 分别代入 得 抛物线的表达式为 , 令 得, ,解得 , 抛物线与 轴的另一个交点坐标为 . （2） , 当 时,当 时取得最大值 4,即 ,当 或 时取得最小值 , , 令 得, ,解得 (舍去), , . 专题 5 参考答案: 1. 【分析】根据不等式的解集为 ,可得 -3,1 是方程 的两根,即可求出 的值, 代入所求不等式, 根据一元二次不等式的解法, 即可得答案. 【详解】由题意得, 是方程 的两根,可得 ,解得 , 所以不等式为 ,整理为 ,解得 , 故答案为: . 2. 【分析】由解集得 -1,2 是方程 的两实数根,利用韦达定理得 ,代入不等式 化简后解不等式可得答案. 【详解】关于 的不等式 的解集为 , 是方程 的两实数根,且 , 由韦达定理得 , , 不等式 化为 , 即 ,解得 或 ,故答案为: . 3. 【详解】 关于 的不等式 的解集为 , 所以 ,又 , 可得 , 解得 . 故答案为: . 4. 81 【分析】根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根, 由根与系数的关系求解即可. 【详解】不等式 可化为 ,其解集是 , 那么,由根与系数的关系得 ,解得 ; 所以 . 故答案为: 81 5. 【分析】由一元二次不等式在 上恒成立可得 ,即可求 的范围. 【详解】由题设, ,即 , 所以 . 故答案为: 6. 【分析】根据二次不等式的解法求解即可. 【详解】 时, ,且 , 则关于 的不等式 可化为 , 解得 或 ,所以不等式的解集为 . 故答案为: 7. 【分析】根据一元二次不等式与二次方程之间的关系, 以及根与系数的关系即可求解. 【详解】由不等式 的解集是 ,可知: 是一元二次方程 的实数根,且 ; 由根与系数的关系可得: , 所以不等式 化为 ,即: ; 化为 ; 又 ; 不等式 的解集为: ,故答案为: 8. 【分析】先分类讨论不等式, 根据解集形式确定整数解的个数, 再根据整数解的个数列不等式, 解得结果. 【详解】 ,所以当 时, ,有无数个整数解,舍; 当 时, ,有无数个整数解,舍; 当 时, 因为 ,所以要使解集中的整数解恰有 4 个,则 Q 故答案为: 【点睛】本题考查根据一元二次不等式解集求参数取值范围, 考查数形结合思想方法以及分析求解能力, 属中档题. 9. 【分析】讨论 的取值情况,列出相应的不等式(组),即可求得答案. 【详解】当 时,原不等式为 满足解集为 ; 当 时,根据题意得 ,解得 . 综上, 的取值范围为 . 故答案为: 10. 或 或 【分析】由题可得 ,然后分整数为 或 或 讨论即得. 【详解】 , ,由恰有 3 个整数满足不等式,则 , 则当恰有 满足不等式时, ,解得 ; 当恰有 满足不等式时, ,解得 ; 当恰有 满足不等式时, ,解得 . 的取值范围为 或 或 . 故答案为: 或 或 . 11. 【分析】根据给定条件将命题转化为关于 的一元二次不等式恒成立,再利用关于 的不等式恒成立即可计算作答. 【详解】因为 对于任意的 恒成立, 于是得关于 的一元二次不等式 对于任意的 恒成立, 因此, 对于任意的 恒成立, 故有 ,解得 , 所以实数 的取值范围为 . 故答案为: 12. 【分析】根据一元二次不等式的解法, 结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】 , 当 时,原不等式化为 ,显然 ,不符合题意; 当 时,不等式的解集为 ,其中解集中必有元素 4, 若五个整数是 时,可得 ,此时解集为空集, 若五个整数是 时, ,此时解集为空集, 若五个整数是 时, , 若五个整数是 时, ,此时解集为空集, 若五个整数是 时, ,此时解集为空集; 当 时,不等式的解集为 ,其中解集中必有元素 4, 若五个整数是 时,可得 ,此时解集为空集, 若五个整数是 时, ,此时解集为空集, 若五个整数是 时, , 若五个整数是 时, ,此时解集为空集, 五个整数是 时, ,此时解集为空集, 故答案为: . 【点睛】关键点睛: 运用分类讨论思想是解题的关键. 13. 或 ; (2) 或 【分析】(1) 分解因式得 ,进而解 即可; （2）将不等式转化为 ,再解不等式即可. （1） 解: 原不等式因式分解得 , 因为 ,所以 ,解得 或 , 因此,原不等式的解集为 或 ; （2） 解: 由 ,得 , 即 ,等价于 ,解得 或 , 因此,原不等式的解集为 或 . 14. (1) ; (2) . 【分析】(1) 由题意可得 ,且 和 1 时关于 的方程 的两个实数根, 从而可求出 的值; （2）由题意得 或 ,从而可求出 的取值范围 【详解】(1) 因为关于 的不等式 的解集为 , 所以 ,且 和 1 时关于 的方程 的两个实数根, 则 ,解得 . （2）因为关于 的不等式 恒成立, 所以 或 ,即 或 , 则实数 的取值范围为 . 15. 分类讨论, 答案见解析. 【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解. 【详解】方程 中 , ① 当 即 时,不等式的解集是 , ② 当 ,即 时,不等式的解集是 , ③ 当 即 时, 由 解得: , 时,不等式的解集是 或 , 综上, 时,不等式的解集是 , 时,不等式的解集是 , 时,不等式的解集是 或 , 16. (1) (2) 【分析】(1) 化简 ,结合不等式的解集即可判断 ,得到 即可得到 和 满足的关系. (2) 可用 或 对不等式 进行等价转化,化简计算即可求出不等式的解集. 【详解】(1) 解: 因为 ,所以 , 因为不等式的解集为 ,所以 ,且 ,解得 . （2）由（1）得 则不等式 等价为 , 即 ,即 . 因为 ,所以不等式的解为 . 即所求不等式的解集为 . (说明: 解集也可以用 表示) 学科网（北京）股份有限公司 $$