高一暑假作业(8) 空间直线、平面的垂直-【步步维赢·必刷题】2024年高一数学暑假作业

高一暑假作业（八）空间直线、平面的垂直 知识巩固 精典例析 1.直线与平面垂直 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面 (1)判定直线和平面垂直的方法 ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱 ①定义法：如果直线l与平面a内的任 形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂 一直线都垂直，则称直线！与平面α 直于底面ABCD,若G为AD的中点. 垂直 ②利用判定定理：一条直线和一个平面 内的两条 直线都垂直，则该直线 和此平面垂直. (1)求证：BG⊥平面PAD. ③推论：如果在两条平行直线中，有一 条垂直于一个平面，那么另一条直线也 (2)求证：AD⊥PB. 于这个平面. (3)若E为BC边的中点，能否在棱 (2)直线和平面垂直的性质 PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内 ABCD?并证明你的结论 直线， 【解】(1)证明：在菱形ABCD中， ②垂直于同一个平面的两条直线 ∠DAB=60°，G为AD的中点，所以 BG⊥AD. ③垂直于同一条直线的两平面 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩ 平面ABCD=AD, 2.平面与平面垂直 所以BG⊥平面PAD, (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. (2)证明：如图，连接PG,因为△PAD为 ②利用判定定理：一个平面过另一个平 正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥ 面的 ,则这两个平面垂直 AD.由(1)知BG⊥AD, (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面 ·24 又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB. C.如果平面a⊥平面Y,平面B⊥平面Y, 因为PB军平面PGB,所以AD⊥PB. a∩B=l,那么l⊥平面y (3)当F为PC的中点时，满足平面DEF」 D.如果平面a⊥平面B,那么平面a内 所有直线都垂直于平面B 平面ABCD. 2.设m,n是两条不同的直线，a,3是两个 证明：取PC的中点F,连接DE,EF,DF 不同的平面，下列命题中正确的是 在△PBC中，FE∥PB,在菱形ABCD 中，GB∥DE. A.若a⊥B,mCa,nCB,则m⊥n 而FE军平面DEF,DE平面 B.若a∥B,mCa,nCB,则m∥n DEF,EF∩DE=E, C.若m⊥n,mCa,nCB,则a⊥3 D.若m⊥a,m∥n,n∥B,则a⊥B PB年平面PGB,GB平面PGB,PB∩ 3.设a,3是两个不同的平面，l,m是两条 GB=B,所以平面DEF∥平面PGB. 不同的直线，且Ca,mC3,下列命题中 因为BG⊥平面PAD,PG平面PAD,所 正确的是 以BG⊥PG. A.若l⊥B,则a⊥3 又因为PG⊥AD,AD∩BG=G, B.若a∥B,则l⊥m 所以PG⊥平面ABCD, C.若l∥B,则a∥g 又PG平面PGB,所以平面PGB⊥平面 D.若a∥3，则l∥m 4.设a,3为两个不同的平面，直线lCa,则 ABCD, “L⊥”是“a⊥3”成立的 所以平面DEF⊥平面ABCD. A.充分不必要条件 精典题练 B.必要不充分条件 C.充要条件 1.下列命题中错误的是 D.既不充分也不必要条件 A.如果平面a⊥平面3，那么平面a内 5.如图，在三棱锥PABC 一定存在直线平行于平面3 中，不能证明AP⊥BC B.如果平面a不垂直于平面B,那么平 的条件是 A.AP⊥PB,AP⊥PC 面α内一定不存在直线垂直于平面3 B.AP⊥PB,BC⊥PB ·25 C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC C.HF⊥平面AEF D.AP⊥平面PBC D.HG⊥平面AEF 6.如图，在三棱柱ABCA1B,C中，侧棱 8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形， AA1垂直底面A,BC1,底面三角形 侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不 含端点)，记直线PB与直线AC所成角 ABC,是正三角形，E是BC中点，则 为a,直线PB与平面ABC所成角为3， 下列叙述正确的是 二面角P-AC-B的平面角为y,则 A.B<Y,a<Y B.B<aB<Y C.B<a.Y<a A.CC与B,E是异面直线 D.a<B.Y<B B.AC⊥平面ABBA 9.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, C.AE与B,C是异面直线，且AE⊥B,C 底面各边都相等，M是PC上的一动 D.A,C1∥平面ABE 点，当点M满足 时，平面 7.如图甲所示，在正方形ABCD中，E,F MBD⊥平面PCD. 分别是BC,CD的中点，G是EF的中 10.已知1，m是平面a外的两条不同直 点，现在沿AE,AF及EF把这个正方 线.给出下列三个论断： 形折成一个四面体，使B,C,D三点重 ①l⊥m;②m∥a;③l⊥a. 合，重合后的点记为H,如图乙所示，那 以其中的两个论断作为条件，余下的 么，在四面体AEFH中必有 ( 一个论断作为结论，写出一个正确的 命题： 11.如图，在四棱锥 P-ABCD中，PAI 图甲 图乙 平面ABCD,底面 分1 A.AH⊥平面EFH ABCD为菱形，E B.AG⊥平面EFH 为CD的中点. ·26 (1)求证：BD⊥平面PAC. 12.如图，在三棱锥 DABC中，AB=2AC =2,∠BAC=60°，B< AD=√6，CD=3,平 面ADC∥平面ABC. (1)求证：平面BDC⊥平面ADC: (2)若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥ 平面PAE. (3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥ (2)求三棱锥DABC的体积. 平面PAE?说明理由. ·27EFC平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,所 4.A依题意，由l⊥B,lCa可以推出a⊥B:反过来，由 以EF∥AC,所以F为DC的中点，所以EF= a⊥B,lC&不能推出“l⊥B”是“a⊥B成立”的充分不 AC-E. 必要条件.故选A. 5.BA中，因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 答案√2 AP⊥平面PBC,又BCC平面PBC,所以AP⊥BC,故 11.证明因为M.N分别为PD,AD的中点， A正确：C中，因为平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC, 所以MN∥PA, 所以BC⊥平面APC,又APC平面APC,所以 又MN在平面PAB,PAC平面PAB, AP⊥BC,故C正确：D中，由A知D正确：B中条件 所以MN∥平面PAB. 不能判断出AP⊥BC.故选B. 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN, 6.C因为CC1与B1E同在侧面BB1C1C中，故不是 所以∠ACN=60°. 异面直线，故A不正确：设AB的中点为F,连接 又∠BAC=60°，所以CN∥AB. CF,则CF⊥平面ABB1A1,故不可能存在AC⊥平 因为CN中平面PAB,ABC平面PAB, 面ABB1A1,故B不正确：因为AE,B1C1为两个平 所以CN∥平面PAB. 行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线， 又CN∩MV=N,所以平面CMN∥平面PAB. 且B1C1∥BC,AE⊥BC,所以AE⊥B1C1,故C正 (2)解由(1)知，平面CMN∥平面PAB, 确：若A1C∥平面AB1E,又A1C1∥AC,则ACC平 所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面 面AB1E或AC∥平面AB1E,与AC∩平面AB1E PAB的距离. A矛盾，故D不正确.故选C 因为AB=1,∠ABC=90°，∠BAC=60°， 7.A因为AH⊥HE,AH⊥HF,且EF∩HF=F, 所以BC=√3， 所以AH⊥平面EFH,A正确； 所以三棱锥PABM的体积V=VM-PAB=VCPAB 因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以B 不正确， =VnA=号×2×1xw5x2= 因为AG⊥EF,EF⊥AH,AG∩AH=A, 3 所以EF⊥平面HAG, 12.证明(1)因为D1,D分别为A1C1,AC的中点，四 因为EFC平面AEF, 边形ACC1A1为平行四边形， 所以平面HAG⊥平面AEF, 所以CD1LDA,所以四边形ADCD1为平行四 所以过H作平面AEF的垂线，一定在平面 边形，所以AD1∥CD,又AD1亡平面BDC1, HAG内， CDC平面BDC,所以AD1∥平面BDC. 所以C不正确； (2)连接D1D, D 因为HG不垂直于AG, 因为BB∥平面ACCA1, 所以HG⊥平面AEF不正确， BB1C平面BB1D1D, 所以D不正确.故选A 平面ACCA1∩平面 8.B由线面角最小知B<a,由题意知二面解VBCA BB DD=DD. 的平面角大小也为Y,由二面角最大知Y>.故选B. 所以BB1∥D1D, 9.解析，△PAS≌△PAD, 又因为D1,D分别为 ∴.PB=BD,∴.△PDC≌△PBC,当BMLPC时，有 A1C,AC的中点， DMLPC,此时PC⊥平面MBD,∴.平面MBD⊥平 所以BB1=DD1· 面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC). 故四边形BDD1B1为平行四边形， 答案BM⊥PC(或DM⊥PC) 所以BD∥B1D1,又BDE平面AB1D1, 10.解析已知1，m是平面a外的两条不同直线，由① B1D1C平面AB1D1,所以BD∥平而AB1D1 1⊥m与②m∥a,不能推出③l⊥a,因为1可以与a 高一暑假作业（八）空间直线、平面的垂直 平行，也可以相交不垂直：由①l⊥m与③l⊥a能推 知识巩固 出②m∥a:由②m∥a与③l⊥a可以推出①l⊥. 1.(1)相交垂直(2)任意平行平行 故正确的命题是②③→①或①③→②. 2.(1)垂线(2)交线 答案若m∥a,l⊥a则1⊥m(或若I⊥m,l⊥a,则 精典题练 m∥a,答案不唯一) 1.D对于D,若平面a⊥平面3，则平面a内的直线可 11.(1)证明因为PA⊥平面ABCD, 能不垂直于平面B,即对平面B的关系还可以是斜 BDC平面ABCD, 交，平行或在平面B内，其他选项均是正确的.故 所以PA⊥BD 选D. 因为底面ABCD为菱形， 2.DA中，m与n可垂直、可异面、可平行，故A错 所以BD⊥AC. 误：B中，m与n可平行、可异面，故B错误：C中，若 又PA∩AC=A, a∥B,仍然满足n⊥n,mCa,nCB,故C错误，故 所以BD⊥平面PAC. 选D. (2)证明因为PA⊥平面ABCD,AEC平面ABCD. 3.A对于A,由两平面垂直的判定定理知，A正确： 所以PA⊥AE. 对于B,直线，相交、平行、异面都可能，故不正 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD 确：对于C,要求α内两条相交直线都平行于B,才能 的中点， 推出a∥B故不正确：对于D,l,m平行和异面都有 所以AE⊥CD,又因为AB∥CD. 可能，故不正确.故选A 所以AB⊥AE. ·48 又AB∩PA=A,所以AE⊥平面PAB.因为AEC 平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE 6.D由题意知1十+…十x10=10元，2=[( (3)解棱PB上存在点 -)2+(x2-)2+…十(.x10-7)2], F,使得CF∥平面PAE. 理由如下：取PB的中点 则所求平均数了=0[(1+100)十(x2+10)+… F,PA的中点G,连接CF, FG.EG, +(0+10)]=0107+10×10)=元+10. 则FG∥AB, D 而所求方差P= a+10-2+6+100-列2+ 且FG=名AB 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中，点，所以 …+6+10-列门=b-72+(-2+ CE/AB,且CE=AB …十(x10-x)2]=s2.故选D. 7.D由题意知依次选取的编号为08,02,14,07， 所以FG∥CE,且FG=CE. 01,…(第2个02需别除)，所以选出来的第5个个 所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG. 体的编号为01，故选D. 因为CF士平面PAE,EGC平面PAE, 8.B按照系统抽样的规则，将840名职工分成42组， 所以CF∥平面PAE. 每组抽取1人，其中编号481在第25组，编号720 12.解(1)证明在△ABC中，由余弦定理可得，BC 在第36组，其中共有12组.因而编号落入区间 =√/AB2+AC2-2AB·AC·cOs∠BAC [481,720]的人数为12.故选B. 9.解析由题意知，青年职工人数：中年职工人教： V+1-2x2x1×号=原， 老年职工人数=350：250：150=7：5：3.由样本 中青年职工为7人得样本容量为15. ∴.BC+AC2=AB,∴.BCLAC 答案15 ∴.平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC 10.解析把所给的数据按照从小到大的顺序排列 =AC,∴.BC⊥平面ADC, 可得： 又BCC平面BDC,.平面BDC⊥平面ADC. 12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35, (2)由余弦定理可得cOs∠ACD= 3 因为有12个数据，所以12×70%=8.4，不是整数， 所以数据的70%分位数为第9个数28 i∠AcD-9 答案28 11.解(1)各组的组中值分别为165,195,225,255， saD=2·AC.CD·sn∠ACD=5, 1 285,315,345,375,由此可算得这种日光灯的平均 使用寿命约为165×1%+195×11%+225×18% 1 则VDAc=VBADC=3·BC·SAXD= 15 +255×20%+285×25%+315×16%+345×7% 6 +375×2%=267.9≈268（天）. 高一暑假作业（九）随机抽样 知识巩固 (21d0×[1×165-268)2+1×1095-268)2+ 1.(1)逐个不放回地相等(2)抽签法随机数法 18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285 2.(1)编号(2)分段间隔k分段(3)简单随机抽 -268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2 样(4)十k1十2k3.(1)互不交叉一定的比例 ×(375-268)2]=2128.60, (2)差异明显的几个部分 故标准差为√2128.60≈46， 精典题练 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准 1.A①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明 差约为46天，故在222天到314天之间统一更换 显的差异，用分层随机抽样比较恰当：②中，总体包 较合适 含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当。 2.D3.D 12解(1)甲的错题数量的平均数为行×(2+3十0十 4.C根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取 的样本中产品数量比相等，样本中D类产品的数 3+0+0)=青，方差为日×[(2-音)°+(3 4 量为110×2+3十2+4-40. )+(0-)+(3-)+(0-)+(o 5.C已知该校有行政人员、救学人员和教辅人员共 200人，其中教学人员与教辅人员的比为10：1，行 )门1. 政人员有24人，设教辅人员有k人，则有10k十k十 24=200,解得k=16,说明教学人员与教辅人员分 乙的错题数量的平均数为行×(2+1+1十2+2+1) 别有160人，16人，要采取分层随机抽样的方法抽 3 取容量为50的样本，则各层抽取的比例为，0=】 2 2004 因此行政人员中应抽取的人敦为24×号=6（人）， 方差为日×[(2-)×3+(1-是)×3] =0.25】 故选C. (2)甲的平均水平高些，乙的发挥比较稳定，甲应该 ·49·