高一暑假作业(6) 空间点、直线、平面之间的位置关系-【步步维赢·必刷题】2024年高一数学暑假作业

高一暑假作业（六） 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识巩固 2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形 1.平面的基本性质 符号语言 公共点 语言 图形 文字语言 符号语言 相交 如果一条直 ana=A个 线上的 直 A∈I 公 在一个 线 B∈I 理 4B 平面内，那么 →lCa 与 平行 a∥a 个 A∈a 这条直线在 平 B∈a 此平面内. 面 在平 aCa 个 面内 A,B,C三点 过不在同 不共线→有 平 公 平行 a∥3 且只有一个 个 理 4 面 ,有且 平面a,使 只有一个平 与 A∈a,B∈a, 面 平 C∈a. 相交 aNB-l 个 面 如果两个不 精典例析 重合的平面 若P∈a且 公 有一个公共 若异面直线m,n所成的角是60°，则 P∈B 理 点，那么它们 以下三个命题： B a p 则a∩B=a, 且P∈a. ①存在直线l,满足l与m,n的夹角 条过该点的 都是60°； 公共直线 ②存在平面a,满足mC&,n与a所成 角为60°； ·17 ③存在平面a,3,满足mCa,nCB,a 与B所成锐二面角为60. 其中正确命题的个数为 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A.PA=PB>PC 【解析】异面直线m,n所成的角是 B.PA=PB<PC 60°，在①中，由异面直线m,n所成的角是 C.PA=PB=PC 60°，在m上任取一点A,过A作直线n'∥n, D.PA≠PB≠PC 在空间中过点A能作出直线(，使得（与 3.已知m,n是两条不同的直线，a,3是两 n,n'的夹角均为60°，.存在直线l,满足l 个不同的平面，若m⊥a,n⊥3，且3⊥a, 与m,n的夹角都是60°，故①正确；在 则下列结论一定正确的是 ②中，在n上取一点B,过B作直线m∥m, A.m⊥n B.m∥n 则以m,m'确定的平面a,满足mC&,n与 C.m与n相交 D.m与n异面 &所成的角是60°，故②正确；在③中，在n 4.如图，在三棱锥ABCD中，点E,H分别 上取一点C,过C作直线m∥m',m,m'确 定一个平面a,∴过n能作出一个平面B, 是AB,AD的中点，点F,G分别是BC,CD 满足mCa,nCB,a与B所成锐二面角为 上的点需品则 60°，故③正确. 【答案】D 精典题练 1.若直线l与平面a相交，则 A.平面α内存在直线与l异面 A.直线EF与GH互相平行 B.平面α内存在唯一一条直线与l平行 B.直线EF与GH是异面直线 C.平面α内存在唯一一条直线与l垂直 D.平面α内的直线与l都相交 C.直线EF与GH的交点可能在直线 2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中 AC上，也可能不在直线AC上 ∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂 D.直线EF与GH的交点一定在直线 直于△ABC所在平面，那么( AC上 ·18· 5.设l,m,n表示三条不同的直线，a,B,y C.若a∩B=n,m∥n,则m∥a且m∥g 表示三个不同的平面，给出下列四个 D.若m⊥a,m⊥B,则a∥3 命题： 9.如图，在三棱锥ABCD ①若l⊥a,m⊥a,则l∥m: 中，E,F,G,H分别是 ②若mC3,n是l在平面3内的射影， 棱AB,BC.CD,DA的 ⊥m,则n⊥m; 中点，则当AC,BD满 ③若mCa,n∥m,则n∥a: 足条件 时，四 ④若Y⊥a,y⊥B,则a∥B. 边形EFGH为菱形；当AC,BD满足条 其中真命题为 件时，四边形EFGH是正方形 A.①② B.①②③ 10.如图，在正方体 C.②③④ D.①③④ ABCD-A B C D 6.如图是正四面体的平面展开图，G,H, 中，E是棱DD1的 M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点. 中点，则异面直线 在这个正四面体中：①DE与MN平 AE与BD1所成角 行；②BD与MN为异面直线；③GH与 的余弦值为 MN成60°角；④DE与MN垂直.以上 11.如图，在三棱锥 四个命题中，正确命题的个数是() P-ABC中，PA⊥ 底面ABC,D是PC 的中点.已知∠BAC =受，AB=2,AC=23,PA=2求： A.1个 B.2个 (1)三棱锥P-ABC的体积； C.3个 D.4个 7.(多选)已知平面a⊥平面3，a∩B=l,点 A∈a,AEl,直线AB∥l,直线AC⊥l, 直线m∥a,m∥B,则下列四种位置关系 中，成立的是 ( A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥B D.AC⊥B 8.(多选)已知m,n是不重合的直线，aB 是不重合的平面，则下列命题错误的是 A.若mCa,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m∥B,则a∥3 ·19· (2)异面直线BC与AD所成角的余 (2)设l∩A1B1=P,求PB的长； 弦值. (3)求点D,到l的距离. 12.在棱长是a的正方体ABCD- A1BCD1中，M,N分别是AA1 DC的中点，过D,M,N三点的平面 与正方体的下底面相交于直线. (1)画出交线： ·20·高一暑假作业(六)空间点、直线、 A(B.C) 平面之间的位置关系 知识巩固 1.两点 一位置上的三点 有且只有一 2.1 0 无 数 0 无数 1.A 当直线/与平面a相交时,这条直线与该平面内 任意一条不过交点的直线均为异面直线,故A正 7.ABC 确;该平面内不存在与直线/平行的直线,故B错 .m//g,m//B.a③-l.n/. 误;该平面内有无数条直线与直线/垂直,故C错 .AB/1..AB/m.故A一定正确。 .ACl,m/.'ACm.故B一定正确. 误;该平面a内的直线与/可能异面,故D错误,故 选A. ·Aa,AB/1,/Ca..'Ba. 2.C .M为AB的中点,△ACB为直角三角形, '.AB,ICAB/B故C也正确. *.BM-AM-CM,又PM 乎面ABC. .AC /,当点C在平面a内时,ACB成立, 当点C不在平面a内时,AC|③不成立, '.Rt△PMBRt△PMARt△PMC,故PA=PB 故D不一定成立,故选ABC. 一PC.故选C. 3.A 若3a,ma,则直线m与平面3的位置关系有 8.ABC 若mCa,n/a,则m与n可能平行或异面,故 A错误;若m/a,m/B,则a与B可能相交或平行, 两种:nC③或m/B. 故B错误;若aOB-n,m/n,则m还可能在平面 当n二B时,又n3,所以mn;当n/B时,又 或8内,故C错误;若na,m B,根据垂直于同一 n ③.所以mn.故选A. 直线的两个平面平行,则a/B,故D正确,故 4.D 如图,连接EH,FG,在 选ABC. △ABD中,E,H分别是AB. 9.解析 易知EH/BD/FG,且E-BD=FG, AD的中点,.EH/BD且 EH-BD. 同理EF/AC/HG,且EF=AC=HG,显然四 在△BCD中CC' CF CG3 边形EFGH为平行四边形,要使平行四边形EFGH为 菱形需满足EF一EH,即AC一BD;要使平行四边形 3.BD. ..FG/BD且FG= EFGH为正方形需满足EF一EH且EF EH,即 C AC-BD且AC IBD. '.EH/FG.且EH FG. 答案 AC=BD,AC-BD且AC1BD 10.解析 .四边形EFGH为梯形. 如图,连接BD,取 .直线EF与GH相交于一点,设交点为M BD的中点为F,连接EF, 又.EEF二面ABC,MEEF. AF,则EF/BD.所以 '.ME面ABC,同理,ME面ACD AEF(或AEF的补角) 又.面ABCO面ACD-AC. 是异面直线AE与BD;所 '.MEAC...真线EF与GH的交点一定在直线 成角,设正方体ABCD一 AC上.故选D. A.BCD 梭长为2,则 5.A 由直线与平面垂直的性质定理可得,垂直于同 AE=/5,AF=②,EF= 一个平面的两条直线相互平行,所以①为真命题;易 3,由余弦定理得cos AEF-AE2+F2-AF2 2AE·EF 得②为真命题:根据直线与平面平行的判定定理,平 面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与 15 ,所以异面直线AE与BD,所成角的余弦值 5 此平面平行,③中缺少条件na,所以得到的结论 可能为n/a,也可能为nCa,所以③为假命题;若 为1 av,③1v,则得到的结论可能为③/a,也可能为3,a 相交,所以④为假命题,故选A. 15 答案 6.C 将正四面体的平面展开图复原为正四面体 A(B,C)DEF,如图.对于①,.M,N分别为EF, AE的中点..',MN//AF,而DE与AF异面,故DE 故三校锥P一ABC的体积为 与MN不平行,故①错误.对于②,BD与MN为异面 V-·$△AC·PA-23×2-43. 直线,正确(假设BD与MN共面,则A,D,E,F四点共 3· 面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD (2)如图,取PB的中 与MN异面).对于③,依题意,GH//AD,MN/AF. 点E. DAF=60{*},故GH与MN成60{角,故③正确,对 连接DE,AE. 于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A:在GF 则DE/BG. 上..'DE平面AGF,..DE AF,而AF//MN. 所以ADE(或其补角)是 ..DE与MN垂直,故④正确,综上所述,正确命题 异面直线BC与AD所成 有3个.故选C. 的角。 .46· 在△ADE中,DE-2,AE-/2,AD-2. 得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,故 DE2+AD{}-AE 22222 A正确;B是两个平面平行的一种判定定理,B正 则 cosADE一 2DE·AD 2X2X2 确;C中,如果平面a内有一条直线垂直于平面B,则 3 平面a垂直于平面B(这是面面垂直的判定定理),故 C正确;D是错误的,事实上,直线/不平行平面a, 可能有/C。则“内有无数条直线与/乎行,故选D 6.C 因为截面PQMN是正方形,所以MN/PQ,则 12.解 (1)如图,延长DM交 MN/乎面ABC, D:A:的延长线于点Q,则点 由线面平行的性质知MN/AC,则AC/截面 Q是平面DMN 与平面 PQMN. A.BCD:的一个公共点,连 同理可得MQ/BD,又MN1QM 接QN,则直线QN就是两平 则AC]BD,故AB正确. 面的交线/. 又因为BD/MQ,所以异面直线PM与BD所成的 (2).M是AA;的中点: 角等于PM与QM所成的角,即为45^{},故D正确。 MA/DD. 故选C. .A是QD的中点. 7.D 在正方体ABCDA;BCD:中, 又.'AP/DN. 因为O为底面ABCD的中心,P是DD;的中点 .AP-DN. 所以PO/BD. 当点Q为CC的中点时. .N是DC.的中点: 连接PQ,则PQ/AB. 所以四边形ABQP是乎行四边形, 所以AP/BQ. *.PB-AB-AP- ). 因为APOPO-P,BQOBD =B. AP,POC平面PAO,BQ,BDO平面D.BQ (3)过点D.作D.H PN于点H,则D.H的长就 所以乎面D:BQ/乎面PAO.故选D. 是点D:到/的距离. 8.A A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的 中点,则QD/AB. 因为QDO平面MNQ=Q,所以QD与平面MNQ QD·DN 217 相交,所以直线AB与平面MNQ相交. .DH- QV B项,作如图②所示的辅助线,则AB//CD.CD/MQ 所以AB/MQ. 又AB平面MNQ,MQ二平面MNQ,所以AB/平 即点D:到!的距离是217 面MNQ. ## 高一暑假作业(七)空间直线、平面的平行 知识巩固 1.afa= aCa,ba,a/ba/a a/a,aC $=ba/b2.O= ,{$ ab-Pa/{a)-a 精典题练 图① 图② 1.A 若n,nCa,a/③,则m/B且n/③;反之若m n二a,m/③且n//③,则a与③相交或平行,即“a/③” 是“m/B且n/B”的充分不必要条件,故选A. 2.C 对于A,由面面平行的性质定理可知为真命题, 故A正确;对于B,由面面垂直的性质定理可知为真 命题,故B正确;对于C.若(a,a1B则,//B或 {1 图③ 图④ /CB,故C错误;对于D,由线面平行的性质定理可 知为真命题,故D正确,故选C. C项,作如图③所示的辅助线,则AB//CD.CD/MQ 3.D 选项A中,bCa或b/a,A错误; 所以AB/MQ 选项B中,b与8可能斜交,或b/③,bC8.B错误. 又AB平面MNQ,MQC平面MNQ,所以AB/平 选项C中,a/c,a与c异面,或a与c相交,C错误 面MNQ.D项,作如图④所示的辅助线,则AB/ 选项D中,利用面面平行的判定定理,D正确,故 CD.CD//NQ,所以AB/NQ.又AB平面MNQ 选D. NQC平面MNQ,所以AB/平面MNQ.故选A. 9.解析 4.D ①若m/n,mCa,nCB,则a/③或a,③相交; 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 ②若mCa,nC③,a/③,/1n,则/n或//n或l. n/③,m二v时,n和n在同一平面内,且没有公共 n异面;③正确;④若a③.m/a,n//B.则m n或 点,所以平行,③正确。 答案①或③ n/n或m,n异面.故选D. 5.D A中,如果假定直线与另一个平面不相交,则有 10.解析 在正方体ABCDA;BC.D;中,AB一2,所 两种情形:在平面内或与平面平行,不管哪种情形都 以AC-2/2.又E为AD中点,EF/平面AB.C. ·47.