高一暑假作业(5) 简单几何体的表面积与体积-【步步维赢·必刷题】2024年高一数学暑假作业

高一暑假作业（五）简单儿何体的表面积与体积 知识巩固 精典例析 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 现有一半球形原料，若通过切削将该 侧面积 体积 原料加工成一正方体工件，则所得工件体 圆柱 S侧一 V=Sh=πr2h 积与原料体积之比的最大值为 【解析】设球的半径为R,正方体的 V=35h= 棱长为a. 圆锥S侧= 由题意得当正方体体积最大时，a十 -号v-7 2 12 =R,∴R= 2, V-(5:+Sr+ '.所得工件体积与原料体积之比的最大 圆台S侧=x(n十2)儿 VS上S下)h= 值为 √6 3n2+n2+n2h 6 3π 3大 2 直棱 S侧=Ch V=Sh 柱 【答案】 3π 正棱 S侧= 精典题练 V= 锥 (h'为斜高) 1.一个平面四边形的斜二测画法的直观 正棱 V-(51+Sp 图是一个边长为a的正方形，则原平面 台 S侧=2(C+CM' +S上S下)h 四边形的面积等于 ( 球 S球面 V= B.2√2a2 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 C D. 2.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长， (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别 是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等 其外接球体积为25，三视图如图所 于 示，则其侧视图的面积为 5.在封闭的直三棱柱ABC-AB,C内有一 个体积为V的球，若AB⊥BC,AB=6, BC=8,AA,=3,则V的最大值是() 正视图 侧视图 -25 A.4π π B.2 附视图 C.6π D.32x 3 B.2 6.已知三棱锥OABC的顶点A,B,C都 在半径为2的球面上，O是球心， C.4 D.6 ∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的 3.在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且 面积之和最大时，三棱锥OABC的体积 AB=1,BD=√2，若将△BDC沿BD折 为 起使平面ABD⊥平面BCD,则三棱锥 A一BDC的外接球的表面积为( 停 u2s A.2π B.4π c号 C.16π D.8π 7.(多选)一个圆柱的侧面展开图是边长 4.某几何体的三视图如图所示，且该几何 分别为2和3的矩形，则圆柱的体积可 体的体积是，则正视图中的x的值是 能为 9 A.2x B.6 c D.3 元 2 正视图 侧视图 8.(多选)正三棱锥SABC的外接球半径 为2，底面边长AB=3,则此棱锥的体积 俯视图 可能为 A.2 B. A.9 4 B3 4 3 C. D.3 c. D. 3 4 ·15· 9.已知一几何体的三视图如图所示，则该 (2)求PA. 几何体的体积为 正视图 俯视图 10.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装 盒，若该巧克力球的半径为3，则其包 装盒的体积的最小值为 11.如图，在四棱锥P一 ABCD中，底面为正方 12.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°， 形，PC与底面ABCD ∠ADC=135°，AB=5,CD=2√2，AD=2. 垂直，下图为该四棱锥的主视图和左 求四边形ABCD绕AD旋转一周所成 视图，它们是腰长为6cm的全等的等 几何体的表面积及体积. 腰直角三角形， 主（正）视图 左（侧）视图 (1)根据图中所给的主视图、左视图， 画出相应的俯视图，并求出该俯视图 的面积： ·16·围成的几何体是圆锥：C正确，因 为圆锥的母线长都相等，所以经 解法二△ABC的面积为2AC·BD=号X12X 过圆锥任意两条母线的截面是 12=72(cm2),由平面图形的面积与直观图的面积 等腰三角形：D正确：如图，圆锥 间的关系，可得△ABC水平放置的直观图的面积 侧面的母线长（有可能大于圆锥 底面圆半径r的2倍（即直径） 是2×72=18E(cm3. 故选BCD. 12.解(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点 8.CD如图①所示的载面为△ABC,OA=a,OB=b, O,使∠xOy=45°，∠xOx=90°. OC=c; (2)画下底面.以O为线段中点，在x轴上取线段AB, 使AB=2,在y物上取线段0C使0C=汽，连提BC CA,则△ABC为正三棱台的下底面的直观图， ① ② .AC2=a+c2,AB2=a2+62,BC2=62+c2 ·cos∠CAB=AB2+AC-BC 2AB·AC 2a2 2v0+Bva+元>0， 图① 图② ∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角， (3)画上底面.在之轴上取OO',使OO=2,过点 即△ABC为锐角三角形， O作O'x'∥Ox,Oy∥Oy,建立坐标系x'O'y',在 '·正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形， x'Oy'中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图 不可能是钝角三角形和直角三角形，A,B错误：若 △A'B'C' 是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、 (4)连线成图.连接AA',BBCC',去掉辅助线，将 菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正确： 被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABCA'BC‘即 正方体有六个面，用平面去裁正方体时最多与六个 为要求画的正三棱台的直观图（如图②所示）， 面相交得六边形，如图②为正六边形，D正确.故 高一暑假作业（五）简单几何体的表面积与体积 选CD. 知识巩固 9.解析第一层放16个球，第二层空当中放9个球， 1.2ahl3xrh2CW'号sh4xR2告xR 每个球与底层的4个球相切，第三层再放16个球， 第四层放9个球，第五层放16个球，共计66个球， 2.各面面积之和侧面积与底面积之和 精典题练 且五层球的总高度为1十4X号<4<1十5X号所 1.B根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以 得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S之 以最多能放入66个球。 答案66 间的关系是S=5本题中直观困的面积为，所以 4 10.解析设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中 边OB'与原图形中边OB的长度相等，及S原国一 原平面四边形的面积等于 =2√2a2.故选B 2,②S题，得号OBXh=22×号×0×0B, 则h=4√2.故△AOB的边OB上的高为4√2. 2.D如图，设正三棱锥外接球的 半径为R, 答案4√2 11.解解法一画x‘轴与y'轴，两轴交于O,使 则号R=15R=2 6 ∠x'O'y'=45°，作△ABC的直观图如图所示，则 由三视图可得底面边长为23， AC'=AC=12cm,BD=号BD=6cm,故 底面正三角形的高为X23 △ABC'的高为号BD'-3v反cm,所以SAC =3, =号×12×3V2=18VE(cm2).甲△ABC水年放 底面三角彩外接圆丰径为号× 置的直观图的面积为18√2cm2. 3=2, 由勾股定理得（受）=2+（么-号）广得h=4 B :侧视图面积为SAE=之×3X4=6,故建D, 3.B在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，将 △BDC沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD可得 如图所示的三棱雏A一BDC.将三棱锥A一BDC镶 ·44· 嵌在长方体中，如图，则三梭锥A一BDC的外接球 当顶点S与球心在底面ABC的同 与长方体的外接球相同.AB=1,BD=√2，外接球 侧时，如图(1)，有A+O= 的*径为？V2+(2)+下=1，·三校维 OA2,即(3)2+(h-2)2=22, 可解得h=3. A一BDC的外接球的表面积为4πX12=4π.故 选B. 因两三模维的体积为行×号 3x3g×39 4 图(1) 当顶点S与球心在底面ABC 的异侧时， B 知图(2)，有AH2+OH =0A2, 即(W3)2+(2-h)2=22, 4.C依题意，由三视图还原出原几何体的直观图如 可解得h=1, 图所示，原几何体为四枝维，且其底面积为号×2X 所以三枝维的你积为子×司 1十2)=3，高为，所以共体积V=号×3x=号，所 X8×3×1-3常上所 图(2) 2 以=是故选C 连，三技维的休取为我识故造AB 9.解析由几何体三视图可知该几何体为组合体，左 半部分为圆锥，右半部分为三棱维，所以该几何体 的体积V= ×号×x12×1+号×1×2x1 =+分 1 答案 π1 12T3 5.B由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面 10.解析包装盒的体积最小时，球 相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球 状巧克力与圆锥体状包装盒相 的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进 切.球与圆维的组合体的轴戴面 大，测球可与上下底西相切，光时球的丰径R=受该 如图.设∠OCD=0,:OD=3, 球的依积最大，Vm=青R-经×得-三故选B .CD=3 tan 0 3 82 :∠ACD=2∠O0CD=20, 6.B设球O的半径为R, AD=CD·tan20,V=.9 tan20 ·CD· 因为Sax+SAx=2R2(sin∠A0C+ 3 tan 20= 18π sin∠BOC),所以当∠AOC=∠BOC=90°时， tan20(1-tan20)" 当an0=时 S△c+S△c取得最大值，此时OA⊥OC. Vmin=72x,故包装盒的体积的最小值为72π OB⊥OC,OB∩OA=O, 答案72π 所以OC⊥平面AOB, 11.解(1)该四棱锥的俯视图为（内含对P(G 所以Va-ABc=Ve-0B=号0C·号0A·OB 角线)边长为6cm的正方形，如图，其面 积为36cm2. m∠AOB=后Rn∠A0B-2点故选以 (2)由左视图可求得PD=√PC2十CD 7.AC若圆柱的高为3，则上下底面周长为2，半径为 =√62+62-6√2. 由主视图可知AD=6,且AD⊥PD, 体为（日）X3=:国柱的高为2则上 所以在Rt△APD中， 下底西国周长为3，丰经为品】 PA=√PD2+AD2=√(6√2)2+62=65cm. 12.解由已知得：CE=2,DE=2,CB=5, 体积为)°X2=是故选AC S表面积=S国台俐十S圆台下底十S圈维树=π(2十5)X5 +π×25+π×2×2V2=(60十4V2)π， 8.AB设正三棱锥的高为h,球心在正三棱锥的高所 在的直线上，设H为正三棱锥底面的中心 V=V国台一V盟维= 因为底面边长AB=3, 3…2+…52h257)X4-号×2×2 所以AH=号AD=√32-()= =148元 3元. ·45·