21.3 传播问题与一元二次方程（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第一课时 传播问题与一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点） 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点） 3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题. 若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有 个人患了流感，第二轮过后共有 个人患了流感． 6 36 传染病，一传十, 十传百… … 情景导入 列方程解决实际问题的基本步骤： 审 题 找相等关系 解 方 程 列方程 检 验 作 答 读懂题目明确各已知量未知量之间的关系 根据题意找出表示相等关系的等式 求出未知数的值 根据相等关系列出方程 检验方程的解是否符合题意和实际情况 问什么答什么,怎么问就怎么答 引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 第1轮传染后患病人数_______人; 举例分析法： 1.如果每轮每人传染2人. 第2轮传染后患病人数_______人. 第2轮 第1轮 如果每轮每人传染3人呢？ 3 9 传播问题与一元二次方程 新知探究 分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下： 第2轮 ••• 小明 1 2 x 第1轮 小明 注意：不要忽视小明的二次传染 第1轮传染后患病人数_______人; 第2轮传染后患病人数______________人. 列表可得 [1+x+(1+x)x] (1+x) 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 x1= , x2= . 解方程,得 答:平均一个人传染了________个人. 10 -12 (不合题意,舍去) 10 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. (1+x)2=121 注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 想一想 如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人. 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+x)1 (1+x)2 分析 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331人. (1+x)3 想一想 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x=x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x= 第三轮 第n轮 思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？ (1+x)2 (1+x)n (1+x)3 经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感. (1+x)2 (1+x)2∙x (1+x)2+(1+x)2∙x= 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量× （1+传播速度）=传播前的量× （1+传播速度）2 1.通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？ 2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 概念归纳 你若和班级所有同学都握手，你需握手多少次？ 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，求有多少人参加这次聚会． 设有x个人参加这次聚会， 思考： 1.则每个人与 人握手; 2.全班共握手 次（用含有x的式子表示）; 3.依题意，可列方程为:_______________________. ( x - 1 ) 若原有a个传染源，每轮每个传染x人，传染n轮后的总人数为a(1＋x)n. 例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91 即 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 典例剖析 15 请你分析一下引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次， 每名患者每轮都传染. 例2：我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序且是国家法律明令禁止的．你了解传销吗？某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？ 答：每个人计划发展下线7人． 解：设每个人计划发展下线x人． 依题意可列方程 2＋2x＋2x2＝114， 解得x＝7或－8(负根不合题意，舍去)． 典例剖析 例3：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9. 4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 典例剖析 1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； 第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台. 解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 依题意 60+60x+60x (1+x) =2400 60 (1+x)2 =2400 练一练 例4.两个数的和是14，积是33，求这两个数． 答：这两个数分别为3，11． 解：设其中一个数为x，则另一个数为14－x. 依题意可列方程 x(14－x)＝33， 解得x1＝3，x2＝11， 两个未知量怎么办 典例剖析 建立一元二次方程模型 实际问题 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 设未知数 分析数量关系 概念归纳 1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出 的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=182×2 B 练一练 2.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(　　) 　A．4个　　　　B．5个　　　　C．6个　　　　D．7个 3．一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是(　 　) A．6 B．7 C．8 D．9 4．九(1)班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照照片780张，则九(1)班有 人． B B 40 练一练 5.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 6.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73 D B 练一练 7.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？ A.10 B.9 C.8 D.7 D 8.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______. 10 练一练 9.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 化简，得 x2-x-12=0 解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去） 答：初三有4个班. 练一练 10. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次 比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共 有多少个队参加了比赛？ 解：设共有x个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去). 答：共有10个队参加了比赛. 练一练 11. 有一人利用手机发送短信，获得信息的人也按他的发送人数发送了该条短信息，经过两轮短信发送，共有90人的手机上获得同一信息，则每轮平均一个人向多少人发送短信？ 解：设每轮平均一个人向x人发送短信. 由题意，得x+x2=90. 解得：x1=9，x2=-10(舍去). 答：每轮平均一个人向9个人发送短信. 练一练 12.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296,则这个两位数是多少？ 解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28. 答：这个两位数是82或28. 练一练 x(x－1)＝90 　 C 分层练习-基础 100c＋10b＋a 25或36 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 5．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 C x(x－1)＝2550 　 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 列一元二次方程解应题 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量× （1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量× （1+传播速度）=传播前的量× （1+传播速度）2 数字问题 握手问题 送照片问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数. 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2. 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2. 步骤 类型 课堂小结 审清题意 设未知数 列方程 解方程 验根作答 知识点一：循环问题 单循环比赛，每两队比赛一场，不能算两场，因此要除以2. 1．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 . 2．(绵阳中考)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(　　) A．9人　　　　 B．10人　　　　 C．11人　　　　 D．12人 知识点二：数字问题 设一个三位数的个位数字为a，其十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为 . 3．一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是 . 4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若小分支、支干和主干的总数是73，则每个支干长出的小分支的个数为(　　) A．6　　　 B．7　　　 C．8　　　 D．9 6．某校九年级毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念，全班共送了2550张相片．如果全班有x名同学，根据题意列方程为 . (2)6(1＋x)3＝6×203＝48000(只)． 7．一天某养鸡场发现有6只鸡感染某种病毒，两天后，感染病毒的鸡达到了2400只． (1)每天平均每只感染病毒的鸡可传染多少只鸡？ (2)如果不加以预防，按照这样的速度，经过三天后有多少只鸡被感染？ 解：(1)设每天平均每只感染病毒的鸡可传染x只鸡，列方程，得6(1＋x)2＝2400，解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)；　 8．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 解：设原来两位数的个位数字是x，则十位数字是(x2－2)，依题意，得[10(x2－2)＋x]－(10x＋x2－2)＝36，解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)所以原来的两位数为73. (2)60·x3＝24000×20＝480000(个). 9.某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，则60x2＝24000，x＝±20.∵x＞0，∴x＝20； 10．(常德中考)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话． 请问：2017年六一，甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？ 解：(1)设平均每年收到红包的增长率是x，根据题意，得400(1＋x)2＝484，解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%.答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%； (2)设2017年甜甜在六一收到红包x元，则她的妹妹收到红包(2x＋34)元，根据题意，得x＋2x＋34＝484，解得x＝150，则2x＋34＝334.答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元． 传播问题． 【例1】某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【思路分析】若设一台电脑每轮感染给x台电脑，则第一轮有(1＋x)台被感染，第二轮有(1＋x)2台被感染，第三轮有(1＋x)3台被感染． 【规范解答】设一台电脑每轮感染给x台电脑，由题意得：(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(不合题意，舍去)，故每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．∵(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700，∴若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台． $$