精品解析：福建省福州市九县（市、区）一中2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

2023-2024学年度第二学期九县（区、市)一中期末联考 高中二年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由集合的运算结果，列出不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为集合，，且，则，且， 所以. 故选：D 2. 已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明可判断ABD；利用不等式的性质推理可判断C. 【详解】取，可得，故A错误； 取，可得，故B错误； 因为，所以，又因为， 由同向不等式的可加性可得，故C正确； 取，可得，故D错误. 故选：C. 3. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，， 所以，得， 因为当时，不一定成立，而当时，一定成立， 所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 4. 某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（ ） A. 100 B. 120 C. 125 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过100分的人数大约为人. 故选：A. 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25. 故选：B 6. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 141 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘法写出展开式的通项，令的次数为,计算可求常数项． 【详解】展开式的通项公式为： ， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 7. 已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】令，解得或1，取函数对称轴左边零点， 根据题意，函数在R上单调递减，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在上单调递减 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，B不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，A不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递减，C不确定， 由于表示开口向下的抛物线，故函数必有最大值，D正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B. 若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1 C. 若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3 D. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的性质分析判断，对于B，根据决定系数的性质分析判断，对于C，根据残差的定义计算判断，对于D，对两边取对数化简与比较可求出c，k的值. 【详解】对于A，因为相关系数的绝对值越大，数据的相关性越强，而， 所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以A错误， 对于B，因为所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，所以两个变量x和之间是一次函数，所以决定系数的值为1，所以B正确， 对于C，因为样本点的经验回归方程为，所以当时，， 所以残差为，所以C错误， 对于D，由，得，因为，所以， 因为，所以，得，所以D正确. 故选：BD 10. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式，乘法公式以及全概率公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，， 所以，故D错误； 因为，， 因为，故C正确； 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过计算，比较与的关系进行判断，对于B，结合基本不等式分析判断，对于C，举例判断，对于D，对函数求导后，求出其单调区间，进而求出极值判断. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于对称，所以A正确， 对于B， ， 当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C错误， 对于D，由，得， 当时，，所以， 当时，， 令，则， 所以在上递减， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以在处取得极小值， 所以的极小值为，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查诱导公式的应用，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是对函数求导后，对其变形，再次构造函数，利用导数判断其单调性，考查计算能力，属于较难题. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数为奇函数，则实数a的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则， ，， 则，解得. 故答案为：0 13. 某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种. 【答案】 ①. 16 ②. 16 【解析】 【分析】根据题意，直接由分步乘法计数原理代入计算，即可求解；若1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解. 【详解】由题意可得，若第一个环节使用a方式的送达方式有种； 快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 故答案为：16；16 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 【答案】215 【解析】 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下： 甲品牌 乙品牌 其他品牌 市场占有率 （1）从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率； （2）已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为，，，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用对立事件的概率公式计算可得；解法二：分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）记事件，，分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”，记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”，利用全概率公式计算可得. 【小问1详解】 解法1；随机抽取1部手机，是甲品牌的概率， 抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率. 解法2：随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为， 抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率. 【小问2详解】 从该地区所有品牌手机中随机抽取1部， 记事件，，分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”， 记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”， 则，，， ，，， 所以 ， 该手机价位不超过4000元的概率为. 16. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表： 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001) ，其中. 下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程. 参考公式：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，能 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的计算公式即可求解. （2）利用经验回归方程计算公式即可代入求解. 【小问1详解】 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 设：车间与优等品无关. 根据小概率值的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为车间与优等品有关联. 【小问2详解】 依题意得： ， 又因为，， 故， 所以经验回归方程为. 17. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）（i）结合（1）中的结论，即可求解；（ii）结合（1）中的结论可得的极大值为，然后分，与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 函数的定义域为 ， ①当时，恒成立，在上单调递减 ②当时，令，得（舍去） x + 0 - 递增 极大值 递减 的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）知 （ii）由（1）知的极大值为， ， 当即时，，则无零点； 当即时，，则有1个零点： 当即时，， ，， 令，，，在上单调递减， ，， 有2个零点； 综上所述：当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 18. 甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. （1）当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； （2）当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； （3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 【答案】（1），， （2） （3）195 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用二项分布的期望公式和方差公式求解，X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，从而可求出和； （2）利用独立事件概率公式和古典概率公式求出，，进行比较即可； （3）根据题意表示出，由化简得，解法1：转化为，构造函数，利用函数的单调性求解；解法2：直接解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的， 则 X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，则 ， ， 或； 【小问2详解】 ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为： 又， 则. 【小问3详解】 因为， ， ，即， 即，即， 由题意知，从而， 化简得， 解法1： 又，，令， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， (此处证单调性另解：为对勾函数， ，（当且仅当时取等）. 所以在上单调递减，在上单调递增)， 所以在处取得最小值，从而在时单调递增， 当时，，又，， 当时，符合题意 考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍， 所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 解法2： 化简得， 或， N为整数，或 ，都是整数，则N一定是5的正整数倍， 所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意正确区分二项分布和超几何分布，利用二项分布和超几何分布的概率公式求解，从而得解. 19. 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. 【答案】（1） ，定义域为， 所以，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且； （2）（i）， （ii）证明：对任意的，由（i）知，曲线在,处的切线方程为：， 故令， 令， 所以，， 所以，当时，，单调递增，当,时，，单调递减， 所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立， 另一方面，由（i）知，，且当时，， （若，则，故任意，显然矛盾）， 因为是的零点， 所以， 因为为单调递增函数， 所以，对任意的时，总有， 又因为， 所以，对于任意，均有， 所以，，， 所以， 综上，当，总有． 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得； （ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据，证明即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以，曲线在处的切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 令得， 所以，切线与轴的交点，即， 所以，； （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期九县（区、市)一中期末联考 高中二年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（ ） A. 100 B. 120 C. 125 D. 150 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 6. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 141 D. 140 7. 已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在上单调递减 D. 有最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B. 若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1 C. 若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3 D. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2 10. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数为奇函数，则实数a的值为______. 13. 某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种. 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下： 甲品牌 乙品牌 其他品牌 市场占有率 （1）从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率； （2）已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为，，，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率. 16. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表： 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001) ，其中. 下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程. 参考公式：，其中. 17. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 18. 甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. （1）当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； （2）当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； （3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 19. 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $