精品解析：福建省福州市九县（市、区）一中2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

2023-2024学年度第二学期九县（区、市)一中期末联考 高中二年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由集合的运算结果，列出不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为集合，，且，则，且， 所以. 故选：D 2. 已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明可判断ABD；利用不等式的性质推理可判断C. 【详解】取，可得，故A错误； 取，可得，故B错误； 因为，所以，又因为， 由同向不等式的可加性可得，故C正确； 取，可得，故D错误. 故选：C. 3. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，， 所以，得， 因为当时，不一定成立，而当时，一定成立， 所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 4. 某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（ ） A. 100 B. 120 C. 125 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过100分的人数大约为人. 故选：A. 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25. 故选：B 6. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 141 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】利用多项式乘法写出展开式的通项，令的次数为,计算可求常数项． 【详解】展开式的通项公式为： ， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 7. 已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】令，解得或1，取函数对称轴左边零点， 根据题意，函数在R上单调递减，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在上单调递减 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，B不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，A不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递减，C不确定， 由于表示开口向下的抛物线，故函数必有最大值，D正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B. 若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1 C. 若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3 D. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的性质分析判断，对于B，根据决定系数的性质分析判断，对于C，根据残差的定义计算判断，对于D，对两边取对数化简与比较可求出c，k的值. 【详解】对于A，因为相关系数的绝对值越大，数据的相关性越强，而， 所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以A错误， 对于B，因为所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，所以两个变量x和之间是一次函数，所以决定系数的值为1，所以B正确， 对于C，因为样本点的经验回归方程为，所以当时，， 所以残差为，所以C错误， 对于D，由，得，因为，所以， 因为，所以，得，所以D正确. 故选：BD 10. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式，乘法公式以及全概率公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，， 所以，故D错误； 因为，， 因为，故C正确； 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过计算，比较与的关系进行判断，对于B，结合基本不等式分析判断，对于C，举例判断，对于D，对函数求导后，求出其单调区间，进而求出极值判断. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于对称，所以A正确， 对于B， ， 当且仅当，即时取等号，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C错误， 对于D，由，得， 当时，，所以， 当时，， 令，则， 所以在上递减， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以在处取得极小值， 所以的极小值为，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查诱导公式的应用，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是对函数求导后，对其变形，再次构造函数，利用导数判断其单调性，考查计算能力，属于较难题. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数为奇函数，则实数a的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则， ，， 则，解得. 故答案为：0 13. 某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种. 【答案】 ①. 16 ②. 16 【解析】 【分析】根据题意，直接由分步乘法计数原理代入计算，即可求解；若1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解. 【详解】由题意可得，若第一个环节使用a方式的送达方式有种； 快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 故答案为：16；16 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 【答案】215 【解析】 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设， 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下： 甲品牌 乙品牌 其他品牌 市场占有率 （1）从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率； （2）已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为，，，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用对立事件的概率公式计算可得；解法二：分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）记事件，，分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”，记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”，利用全概率公式计算可得. 【小问1详解】 解法1；随机抽取1部手机，是甲品牌的概率， 抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率. 解法2：随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为， 抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率. 【小问2详解】 从该地区所有品牌手机中随机抽取1部， 记事件，，分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”， 记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”， 则，，， ，，， 所以 ， 该手机价位不超过4000元的概率为. 16. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表： 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001) ，其中. 下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程. 参考公式：，其中. 【答案】（1） 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 ，能 （2）【解析】 【分析】（1）根据的计算公式即可求解. （2）利用经验回归方程计算公式即可代入求解. 【小问1详解】 优等品 非优等品 总计 甲车间 40 10 50 乙车间 30 20 50 总计 70 30 100 设：车间与优等品无关. 根据小概率值的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为车间与优等品有关联. 【小问2详解】 依题意得： ， 又因为，， 故， 所以经验回归方程为. 17. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【答案】（1） 当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）； （ii）当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）（i）结合（1）中的结论，即可求解；（ii）结合（1）中的结论可得的极大值为，然后分，与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 函数的定义域为 ， ①当时，恒成立，在上单调递减 ②当时，令，得（舍去） x + 0 - 递增 极大值 递减 的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 （i）由（1）知 （ii）由（1）知的极大值为， ， 当即时，，则无零点； 当即时，，则有1个零点： 当即时，， ，， 令，，，在上单调递减， ，， 有2个零点； 综上所述：当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 18. 甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. （1）当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； （2）当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； （3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 【答案】（1），， （2） （3）195 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用二项分布的期望公式和方差公式求解，X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，从而可求出和； （2）利用独立事件概率公式和古典概率公式求出，，进行比较即可； （3）根据题意表示出，由化简得，解法1：转化为，构造函数，利用函数的单调性求解；解法2：直接解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的， 则 X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，则 ， ， 或； 【小问2详解】 ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为： 又， 则. 【小问3详解】 因为， ， ，即， 即，即， 由题意知，从而， 化简得， 解法1： 又，，令， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， (此处证单调性另解：为对勾函数， ，（当且仅当时取等）. 所以在上单调递减，在上单调递增)， 所以在处取得最小值，从而在时单调递增， 当时，，又，， 当时，符合题意 考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍， 所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 解法2： 化简得， 或， N为整数，或 ，都是整数，则N一定是5的正整数倍， 所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意正确区分二项分布和超几何分布，利用二项分布和超几何分布的概率公式求解，从而得解. 19. 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. 【答案】（1） ，定义域为， 所以，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且； （2）（i）， （ii）证明：对任意的，由（i）知，曲线在,处的切线方程为：， 故令， 令， 所以，， 所以，当时，，单调递增，当,时，，单调递减， 所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立， 另一方面，由（i）知，，且当时，， （若，则，故任意，显然矛盾）， 因为是的零点， 所以， 因为为单调递增函数， 所以，对任意的时，总有， 又因为， 所以，对于任意，均有， 所以，，， 所以， 综上，当，总有． 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得； （ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据，证明即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以，曲线在处的切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 令得， 所以，切线与轴的交点，即， 所以，； （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期九县（区、市)一中期末联考 高中二年数学科试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（ ） A. 100 B. 120 C. 125 D. 150 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 6. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 141 D. 140 7. 已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在上单调递减 D. 有最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B. 若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1 C. 若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3 D. 以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2 10. 已知事件A，B，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 在区间上的极小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数为奇函数，则实数a的值为______. 13. 某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种. 14. 定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下： 甲品牌 乙品牌 其他品牌 市场占有率 （1）从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率； （2）已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为，，，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率. 16. 某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后. （1）从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表： 优等品 非优等品 总计 甲车间 乙车间 总计 依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001) ，其中. 下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程. 参考公式：，其中. 17. 已知函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 18. 甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球. （1）当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，； （2）当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小； （3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：) 19. 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $