专题1.8 空间向量与立体几何全章九大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.8 空间向量与立体几何全章九大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 空间向量的线性运算 1．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆喀什·阶段练习）如图所示，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)； 4．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型2 空间向量数量积的计算 1．（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 2．（23-24高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 3．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 4．（23-24高二上·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 题型3 用空间基底表示向量 1．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，设，，，，，分别是棱，，的中点，试用，，表示以下各向量： (1) (2) (3)． 4．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． (1)用、、表示向量，并求的长； (2)求证：平面． 题型4 由空间向量基本定理求参数 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 3．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)； (2)． 4．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)若，求的值. 题型5 空间向量运算的坐标表示 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25高一上·全国·假期作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 题型6 空间向量数量积运算的坐标表示 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知向量，则（    ） A． B． C．4 D．10 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．不确定 3．（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 题型7 根据空间向量的坐标运算求参数 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）分别求满足下列条件的向量： (1)； (2). 4．（2023高二上·全国·专题练习）已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标: （1）(-)； （2）(-). 题型8 利用空间向量证明线、面间的平行关系 1．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 4．（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 题型9 利用空间向量证明线、面间的垂直关系 1．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高二下·河南新乡·期末）在长方体中，底面为正方形，平面，E为的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面平面 3．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 空间向量与立体几何全章九大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 空间向量的线性运算 1．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 3．（23-24高二上·新疆喀什·阶段练习）如图所示，在正方体中，化简向量表达式：    (1)； (2)； 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得. 【详解】（1）. （2）. 4．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    题型2 空间向量数量积的计算 1．（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【分析】根据空间数量积的运算性质求解． 【详解】． 故选：D． 2．（23-24高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【详解】 . 故选：C. 3．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 【分析】（1）根据题意得,再由空间向量的线性运算即可求解; （2）先由空间向量的线性运算求得,再根据空间向量的数量积公式求解即可. 【详解】（1）因为点在棱的延长线上,且, 所以, 则. （2）由题意得, 则, 所以. 4．（23-24高二上·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得： ． （2）解：由向量的数量积的运算法则，可得： ． 题型3 用空间基底表示向量 1．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解. 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】， ， . 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，设，，，，，分别是棱，，的中点，试用，，表示以下各向量： (1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用空间向量的加减运算求解即可. 【详解】（1）是的中点， ； （2）是的中点， ； （3）是的中点， ． 又， ． 4．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． (1)用、、表示向量，并求的长； (2)求证：平面． 【分析】（1）在三角形,三角形,正方形等闭合路径中进行向量转化，将向量用、、表示，再平方将向量实数化求出向量的模即的长. （2）先用基向量法求，可证得，结合正方形中,可证得平面. 【详解】（1）因为是的中点，底面是正方形， 所以 ， 又，，， 且，， 所以 ， 所以，即的长为． （2）因为 ， 所以，即. 又在正方体中，， 且，平面 所以平面. 题型4 由空间向量基本定理求参数 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，设P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是平行四边形对角线AC和BD的交点，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值． (1)； (2)． 【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出． （2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出． 【详解】（1）解： ． ． （2）解： ， ． 又 ， ． 从而有． ，． 4．（23-24高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. (1)求证：，，，四点共面； (2)若，求的值. 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）证明： ， ∴，，，四点共面. （2） ， ∴，，， ∴. 题型5 空间向量运算的坐标表示 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为所以所以． 故选：D. 3．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 4．（24-25高一上·全国·假期作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标； （2）利用向量的坐标运算加法和减法即可. 【详解】（1）由已知， 则，，； （2）， . 题型6 空间向量数量积运算的坐标表示 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知向量，则（    ） A． B． C．4 D．10 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】因为向量， 所以， 故选：D. 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．不确定 【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可 【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点， 所以，， ， 故选：A.    3．（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由，可得，. ，故； （2），，可得，，故. 4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【详解】（1）; （2）, 则； （3），则. 题型7 根据空间向量的坐标运算求参数 1．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【分析】根据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知向量，，， 故， 故选：D. 2．（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】设，然后由即可求解. 【详解】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 3．（23-24高二·全国·课后作业）分别求满足下列条件的向量： (1)； (2). 【分析】（1）利用向量的坐标运算即可求解. （2）利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因为，所以，所以. 4．（2023高二上·全国·专题练习）已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标: （1）(-)； （2）(-). 【分析】先根据空间向量定义用坐标表示出，再根据运算法则依次求解即可 【详解】由题可知，O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3) 所以， （1）得，即点坐标为 （2），设点坐标为，则有，根据对应关系有，解得，即点坐标为. 题型8 利用空间向量证明线、面间的平行关系 1．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案． 【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（    ）    A． B． C． D． 【分析】 先求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可. 【详解】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，    则， 可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由∥平面，可得，解得. 故选：C. 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 4．（23-24高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型9 利用空间向量证明线、面间的垂直关系 1．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，   ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C. 2．（23-24高二下·河南新乡·期末）在长方体中，底面为正方形，平面，E为的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面平面 【分析】由条件，结合线面垂直的定义判断A，连接，设，证明，由线面垂直定义证明，由此判断B，由线面平行判定定理证明平面，判断C，建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，判断两向量是否存在，判断D. 【详解】因为平面，平面，所以，A正确； 连接，设，则为的中点， 因为平面，平面，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 所以，B正确； 因为， 又平面，平面，所以//平面，C正确； 由已知两两垂直，以为原点，为的正方向，建立空间直角坐标系，设， 因为底面为正方形，所以， 由长方体性质可得四边形为矩形，又， 所以四边形为正方形，故， 所以， 所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 因为， 所以向量不垂直，所以平面，平面不垂直，D错误； 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直； （2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直. 【详解】（1）因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， ，，. 所以，， 所以，所以， 所以 （2）由（1）知，，，. 设是平面的法向量，则，， 所以，得， 取，得，，则. 因为，所以，即与共线. 所以平面. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，结合空间向量的坐标运算可得轴，进而得到平面，进而求证； （2）设，结合空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】（1）证明：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.    设. . ， 轴，又轴和平面垂直， 平面， 又平面， 平面平面. （2）由，结合（1）可知，. 设，则，故点的坐标为， ， 由， 即，解得. 故当为的三等分点（靠近点）时，有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$