专题1.8 集合与常用逻辑用语全章十大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.8 集合与常用逻辑用语全章十大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 集合中元素的个数问题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 3．（2024高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 4．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 题型4 根据集合间的关系求参数 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山东菏泽·期中）设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 题型5 交、并、补集的混合运算 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川南充·期中）设集合，，． (1)，求； (2)若，求实数的取值集合． 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 题型6 集合混合运算中的求参问题 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 3．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型7 集合的新定义问题 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有. 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 4．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组． (1)判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由； (2)若为连续生成数组，求的值，并说明理由； (3)数组是否为连续生成数组？说明理由． 题型8 由充分条件、必要条件求参数 1．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知 (1)当时，求； (2)设，，若是的必要不充分条件,求实数的取值范围. 题型9 充要条件的证明 1．（2023高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 2．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 3．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是． 4．（2024高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 题型10 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（23-24高二上·河北保定·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 4．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 集合与常用逻辑用语全章十大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 集合中元素的个数问题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 【解题思路】首先由题意方程变形为两个数相乘，即，依次讨论n为奇数或偶数，得到满足条件的n,从而得到集合A的元数个数． 【解答过程】由题意可知，即， 当是偶数时，是奇数， 当，此时，解得，满足条件， 以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m， 当是奇数时，是偶数，此时共10个n， 综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m, 所以集合A的元素个数为20个． 故选：B． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【解题思路】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【解答过程】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素， 故选：C. 3．（2024高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【解答过程】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【解题思路】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【解答过程】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【解题思路】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【解答过程】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【解答过程】由题意. 故选：D. 3．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【解题思路】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【解答过程】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况， 的取值范围为. 4．（23-24高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】由题意可知，用列举法写出满足条件的集合即可. 【解答过程】解：因为,，， 所以集合可以是：， ，共4个， 故选：C. 2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据真子集的定义进行求解即可. 【解答过程】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有， 故选：D. 3．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【解答过程】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 题型4 根据集合间的关系求参数 1．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解. 【解答过程】集合， 集合， 因为，所以，解得. 故选：A. 2．（23-24高三上·山东菏泽·期中）设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【解题思路】先解方程得集合A，再根据，最后根据包含关系求实数，即得结果. 【解答过程】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【解答过程】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2. 4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 【解题思路】利用一元二次不等式的解法，化简集合化简集合（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果. 【解答过程】由，可得， 所以 由可得， 集合 （1）因为，所以； （2）因为，所以， 即实数的范围是. 题型5 交、并、补集的混合运算 1．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】确定，，再计算交集得到答案. 【解答过程】，，故， ，故. 故选：B. 2．（2024·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【解答过程】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则 或，选项D错误； 故选：A. 3．（23-24高一上·四川南充·期中）设集合，，． (1)，求； (2)若，求实数的取值集合． 【解题思路】（1）确定得到或，再计算交集得到答案. （2）根据得到，解得答案. 【解答过程】（1）当时，，故或， 又，故； （2），所以需满足，解得，故的取值集合为. 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【解题思路】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【解答过程】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 题型6 集合混合运算中的求参问题 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【解题思路】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围． 【解答过程】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}， 又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数， ∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}， ∴3≤a＜4． 故选：B． 2．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 3．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【解答过程】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 题型7 集合的新定义问题 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【解答过程】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C. 2．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）对非空有限数集定义运算“”：表示集合A中的最小元素.现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题： ①若，则；    ②若，则； ③若，则；    ④对任意有限集合A，B，C，均有. 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题中条件可得①③正确，通过举反例可得②④错误. 【解答过程】对于①，若，则A，B中最小的元素相同，则，故①为真命题； 对于②，取集合，，满足，而，故②为假命题； 对于③，若，则A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故③为真命题； 对于④，取集合，，，可知，，， 则不成立，故④为假命题. 综上，真命题的个数为2个. 故选：B. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【解题思路】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合 ，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【解答过程】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 4．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组． (1)判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由； (2)若为连续生成数组，求的值，并说明理由； (3)数组是否为连续生成数组？说明理由． 【解题思路】（1）根据连续生成数组的定义，结合子集的概念求解； （2）根据题意，得出中元素的可能取值，结合子集的概念求解； （3）根据题意，从而，集合中元素求和可得，进而可得出答案. 【解答过程】（1），， ∵，∴是连续生成数组， ∵不是的子集，∴不是连续生成数组. （2），中元素可能取值为， 若为连续生成数组，即， 则. （3）若为连续生成数组，则， 又中最多有10个元素， 则，从而， ∴ ， 即， ∵，∴为偶数， 而55为奇数，不能成立， ∴数组不是连续生成数组. 题型8 由充分条件、必要条件求参数 1．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 2．（2024·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意是的子集，从而求解. 【解答过程】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【解题思路】（1）根据必要不充分条件的定义，先求出的范围，在确定即可； （2）由题意可转化为是的充分不必要条件，再根据充分不必要条件的定义求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得，不是空集， 因为是的必要不充分条件，所以，解得， 即实数的范围. （2）因为是的必要不充分条件，， 所以是的充分不必要条件，故，解得， 所以实数的范围为. 4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知 (1)当时，求； (2)设，，若是的必要不充分条件,求实数的取值范围. 【解题思路】（1）应用交集的运算即可； （2）先断出，再根据它们之间的包含关系求解，但要注意空集. 【解答过程】（1）由 当时， （2）因为是的必要不充分条件,所以 . ①若时，，则. ②时，则有，要使得，则，解得 . 综上所述，实数的取值范围为 . 题型9 充要条件的证明 1．（2023高一·江苏·专题练习）设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【解题思路】设两个方程公共实数根，代入方程化简得到，求得，代入，得到，证得必要性成立；由，可得，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根，进而得到充分性成立，即可得证. 【解答过程】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 2．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【解题思路】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【解答过程】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 3．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是． 【解题思路】证明两个命题为真：一个是由是的角平分线证明，一个是由证明是的角平分线． 【解答过程】证明：设：是的角平分线，：． 如图，过点作//交的延长线与点， （1）充分性（）：若，则，所以，所以，又△∽△，所以，所以． （2）必要性 （）：反之，若，则∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．   由（1）（2）可得，是的角平分线的充要条件是． 4．（2024高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【解题思路】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【解答过程】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 题型10 全称量词与存在量词中的含参问题 1．（23-24高二上·河北保定·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为，恒成立，故由即可求出的取值范围． 【解答过程】因为命题“，”为假命题， 故其否定：“，”为真命题， 故，解得, 故实数的取值范围是． 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【解答过程】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 3．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解； （2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得． 【解答过程】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，. 实数的取值范围是. (2)由(1)知命题为真命题时，. 命题为真命题时，，解得为真命题时，. ，解得， 即实数的取值范围为. 4．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1），可转化个； （2），可转化成方程有两不等实根； （3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案 【解答过程】（1）若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. （3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合（1）（2）得或 ， 因此，实数m的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$