专题03 函数的概念与一次函数(真题6个考点+模拟11个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（上海专用）

专题03 函数的概念与一次函数(真题6个考点+模拟11个考点） 一．函数自变量的取值范围（共1小题） 1．（2024•上海）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，解得的取值范围即可． 【解答】解：由题意得， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 二．函数值（共3小题） 2．（2022•上海）已知，则（1）　3　． 【分析】把代入函数关系式即可求得． 【解答】解：因为， 所以（1）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了函数的关系式，解题的关键是对函数关系式进行正确的理解． 3．（2021•上海）已知，那么　　． 【分析】将代入函数表达式，化简即可． 【解答】解：由题意将代入函数表达式， 则有：． 故答案为：． 【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式． 4．（2020•上海）已知，那么（3）的值是　1　． 【分析】根据，可以求得（3）的值，本题得以解决． 【解答】解：， （3）， 故答案为：1． 【点评】本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答． 三．一次函数的性质（共1小题） 5．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：　（答案不唯一）　． 【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可． 【解答】解：直线过第一象限且函数值随着的增大而减小， ，， 符合条件的函数关系式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象过第一、二、四象限，随自变量的值增大而减小是解答此题的关键． 四．正比例函数的性质（共1小题） 6．（2020•上海）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小” 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可． 【解答】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小． 五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 7．（2024•上海）若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　减小　（选填“增大”或“减小” 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，由，利用正比例函数的性质，可得出的值随的增大而减小． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：． ， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 8．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 　　． 【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解． 【解答】解：函数经过二、四象限， ． 若函数经过，则，即， 故函数经过二、四象限，且函数不经过时，且， 函数解析式为， 故答案为． 【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 六．一次函数的应用（共4小题） 9．（2024•上海）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 　4500　万元． 【分析】设，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，可得，令得． 【解答】解：设， 当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元， ， 解得， ， 当时，， 故答案为：4500． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式． 10．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 　　元． 【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解． 【解答】解：设卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式为， ， 解得：， ， 时，， 现以8元卖出，挣得， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量与售价之间的函数关系式是解题关键． 11．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　350　米． 【分析】当时，设，将、代入求得，求出时的值，从而得出答案． 【解答】解：当时，设， 将、代入，得： ， 解得：， ； 当时，， （米 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 12．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：； （3）当，可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，（元， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）由题意知，， 整理得， 关于的函数解析式为； （3）当时，， ， 优惠后油的单价比原价便宜1.00元． 【点评】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析 式． 一．函数自变量的取值范围（共3小题） 1．（2024•长宁区二模）函数的定义域为 　　． 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 2．（2024•虹口区二模）函数的定义域是 　　． 【分析】根据二次根式的性质和分母不能等于0解答即可． 【解答】解：函数的定义域是， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题考查函数自变量的取值范围，关键是根据二次根式的性质和分母不能等于0解答． 3．（2024•奉贤区二模）函数的定义域是　　． 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得的范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0． 二．函数值（共3小题） 4．（2024•杨浦区三模）已知，那么（4）　4　． 【分析】将代入并计算即可． 【解答】解：（4）． 故答案为：4． 【点评】本题考查函数、算术平方根，理解题意并掌握函数值的计算方法是本题的关键． 5．（2024•崇明区二模）已知，那么　　． 【分析】把代入函数解析式计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数值，属于基础题． 6．（2024•金山区二模）已知，　　． 【分析】把直接代入函数，即可求出函数值． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数值，熟练掌握函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 三．函数的图象（共1小题） 7．（2024•徐汇区三模）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故与的关系为先快后慢． 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，每一段随的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选：． 【点评】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 四．一次函数的性质（共3小题） 8．（2024•静安区二模）一次函数中，如果，，那么该函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【解答】解：当一次函数中，，该函数的图象一定不经过第三象限， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 9．（2024•徐汇区二模）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么直线经过　　 A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【分析】先根据题意判断出，的符号，进而可得出结论． 【解答】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 经过一、三、四象限． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 10．（2024•浦东新区二模）直线经过的象限是　　 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限． 【分析】】根据一次函数图象与系数的关系，由，的符号直接判断直线所经过的象限． 【解答】解：由于，， 故函数过一、二、四象限． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数解析式：，、的符号决定函数所经过的象限． 五．正比例函数的性质（共1小题） 11．（2024•长宁区三模）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小” 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可． 【解答】解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且的值随的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且的值随的值增大而减小． 六．一次函数图象与系数的关系（共2小题） 12．（2024•静安区三模）已知直线不经过第四象限，则的取值范围是 　　． 【分析】根据直线不经过第四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：直线不经过第四象限， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限是解题的关键． 13．（2024•徐汇区三模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的取值范围为 　且　． 【分析】由题意可知一次函数的图象交轴的负半轴，由于，即可求得，解不等式组求出的取值范围即可． 【解答】解：一次函数的图象一定经过第二、三象限， 一次函数的图象交轴的负半轴，且， 令， ， 解得， ， 解得． 故答案为：且． 【点评】本题考查的是一次函数的图象上与系数的关系，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 七．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 14．（2024•普陀区二模）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是　　 A． B． C． D． 【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，进而可得出正比例函数解析式为，再分别代入各选项中点的横坐标，求出值，将其与纵坐标比较后即可得出结论． 【解答】解：正比例函数是常数，的图象经过点， ， 解得：， 正比例函数解析式为． ．当时，，， 点在这个正比例函数图象上，选项符合题意； ．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项不符合题意； ．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项不符合题意； ．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 15．（2024•普陀区校级三模）已知一次函数的图象经过点和点，如果，那么的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象经过点和点，可以得到与的函数解析式，再令，求出的取值范围，即可解答本题． 【解答】解：一次函数的图象经过点和点， ， 解得， 即， 当时，则， 解得， 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 16．（2024•普陀区二模）已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 　　． 【分析】代入，求出的值即可． 【解答】解：将代入得：， 解得：， 点的横坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 八．一次函数图象与几何变换（共1小题） 17．（2024•黄浦区二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与轴、轴所围成的三角形面积是 　1　． 【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案． 【解答】解：直线向上平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 九．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 18．（2024•杨浦区四模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是　　． 【分析】一次函数的图象在轴上方时，，再根据图象写出解集即可． 【解答】解：当不等式时，一次函数的图象在轴上方，因此． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 一十．两条直线相交或平行问题（共1小题） 19．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交轴负半轴于点，直线与轴正半轴交于点，那么点的坐标是 　　． 【分析】根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标． 【解答】解：， ， 轴轴， ， ， ， ， ， 点，点， ，， ， ， 点在轴的负半轴， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 一十一．一次函数的应用（共14小题） 20．（2024•虹口区二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 　　（不写定义域）． 【分析】求出蜡烛每分钟燃烧的长度，再根据“蜡烛的长蜡烛原长蜡烛每分钟燃烧的长度燃烧时间”解答即可． 【解答】解：蜡烛每分钟燃烧的长度为（厘米）， ， 关于的函数解析式为． 【点评】本题考查一次函数的应用，弄清各量之间的关系是本题的关键． 21．（2024•杨浦区四模）某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为140千米小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米小时的省道和200千米限速120千米小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少 　24.6　升． 【分析】取代入线段的表达式可得点的纵坐标，根据线段的图象可得速度越大，耗油量越小．那么取代入的解析式可得在省道上的最低百千米的耗油量；由线段的图象可得时速为100千米时，百千米的耗油量最小，所以这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油量在省道上的最低耗油量在高速上的最低耗油量，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：（1）当时，． 点的坐标为． 当时，． 由图象可得，当时，每行驶100千米的耗油量最少，为9升． （升． 【点评】本题考查一次函数的应用．判断出省道和高速上的百千米最低耗油量是解决本题的关键． 22．（2024•静安区二模）某区连续几年的（国民生产总值）情况，如表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 （百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的，可以尝试选择直线、直线等函数模型来进行分析． （1）根据点、的坐标，可得直线的表达式为．请根据点、坐标，求出直线的表达式； （2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜． 例如：分析直线，即上的点，可知（1），（2），（3），（4），求得偏离方差． 请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：　0.0125　； 问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：　　； 根据此函数模型，预估该区第五年的约为 　　百亿元． 【分析】（1）设直线的表达式为，代入即可作答； （2）分析直线，即，分别求出（1），（1），（1），（1），进而求出偏离方差；根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入，作答即可． 【解答】解：（1）设直线的表达式为， 根据题意， 解得， 直线的表达式为； （2）分析直线，即， （1）， （2）， （3）， （4）， 偏离方差， ， 直线更合适， 当时，（5）， 故答案为：0.0125，，14.8． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确运用． 23．（2024•南岗区三模）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　350　米． 【分析】当时，设，将、代入求得，求出时的值，从而得出答案． 【解答】解：当时，设， 将、代入，得： ， 解得：， ； 当时，， （米 当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故答案为：350． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 24．（2024•宝山区校级模拟）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 　12或　分． 【分析】小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【解答】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是分． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是12或分． 故答案为：12或． 【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出段解析式是解答本题的关键． 25．（2024•松江区二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 　12.5　厘米． 【分析】利用待定系数法求出与之间的函数关系式，并标明的取值范围，将代入求出对应的值即可． 【解答】解：设与之间的函数关系式为、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 当时，， 挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出与之间的函数关系式是本题的关键． 26．（2024•青浦区二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． （1）求与的函数解析式（不需要写定义域）； 型号 载客量（人辆） 租金（元辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 （2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【分析】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；可得； （2）根据租车总费用不超过10200元，师生共有275人可得，又为整数，故可取4，5，6，一共有3种租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质可得租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元． 【解答】解：（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆； ； （2）租车总费用不超过10200元，师生共有275人， ， 解得， 为整数， 可取4，5，6， 一共有3种租车方案； （3）在中，随的增大而增大，又可取4，5，6， 当时，取最小值，最小值为（元， 租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元． 【点评】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 27．（2024•黄浦区二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． （1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ （2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔元的消费与实际总支付元间存在着依赖关系，当时，写出关于的函数关系式； （3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 【分析】（1）根据题意列式，即可算得答案； （2）当时，可使用4张代金券，故； （3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 【解答】解：（1）（元， 在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元； （2）当时，可使用4张代金券， ； 关于的函数关系式为； （3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下： 当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元； 同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算； 如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 28．（2024•杨浦区二模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象． 根据图象提供的信息回答下列问题： （1）图中的　3　，　　； （2）求提速后关于的函数解析式（不用写出定义域）； （3）她们能否在中午之前到达目的地？请说明理由． 【分析】（1）根据图象求出的值，根据“离目的地的路程家与目的地之间的距离行驶的路程”可计算的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：3，320． （2）设提速后关于的函数解析式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， 提速后关于的函数解析式为． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 6.2小时时12分， 她们于分到达目的地． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 29．（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【解答】解：（1）设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． 30．（2024•杨浦区四模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数（人与开餐时间（分钟）的关系如图所示， （1）求的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【分析】（1）分钟新增人，由图象可得，据此可得答案； （2）运用待定系数法求直线的解析式，再把代入计算即可； （3）根据题意列不等式求解． 【解答】解：（1）根据“等候购餐的人数开餐时排队人数前分钟新增排队人数购餐后离开的人数”，得， 解得， 的值是4． （2）当时，设排队等候购餐的人数与开餐时间的关系为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ． 当时，， 开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人； （3）设同时开放个窗口，则，解得， 所以至少需同时开放6个售票窗口． 【点评】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数函数模型，应用一次函数的性质解决问题． 31．（2024•黄浦区三模）在一条笔直的公路上有、两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图象．请根据图像回答下列问题： （1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； （2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【分析】（1）根据“速度路程时间”求出小明的速度，根据“小明离地的距离、两地之间的距离小明离地的距离”作答即可； （2）求出小刚离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式，并写为分段函数的形式，根据“二人相遇时，二人离地距离相等”列方程求出相遇时间；按照的取值范围分别求出两人途中相遇后相距3千米时对应的时间，两者之差即为所求． 【解答】解：（1）小明的速度为（千米小时），则， 小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为． （2）小刚骑电动车从地去地和从地返回地过程中速度不变，均为（千米小时）， 则小刚从地去地过程中离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； 小刚从地返回地过程中离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； 小刚离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为． 当二人相遇时，二人离地距离相等，得，解得； 当时，当两人间的距离为3千米时，得，解得； 当时，当两人间的距离为3千米时，得，； 由图象可知，两人途中相遇后当时，两人间的距离超过3千米， （小时）， 无法用无线对讲机保持联系的总时间是小时． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系是解题的关键． 32．（2024•徐汇区三模）20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题： 商品类型 甲 乙 丙 每个集装箱装载量（吨 8 6 5 每吨价值（万元） 12 15 20 （1）如果甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，求与之间的关系式； （2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数． 【分析】（1）由于甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，而共有20个集装箱，则丙种商品装个集装箱，由表中数据得到每个集装箱可装甲8吨或乙6吨或5吨，然后根据总吨数可列关系式，整理可得与之间的关系式； （2）把代入与之间的关系式可得到，则，根据表中数据可得到装甲、乙、丙的每个集装箱装载商品总价值分别为96、90、100万元，然后把20个集装箱装载商品总价值从小到大排列，可得第10、11个数分别是96、100万元，再根据中位数的定义即可得到这组数据的中位数． 【解答】解：（1）丙种商品装个集装箱， ， 的整数）； （2）当时，，， 甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是5、5、10，则相应的每个集装箱装载商品总价值分别为96、90、100万元， 个集装箱装载商品总价值从小到大排列后第10、11个数分别是96、100万元， 每个集装箱装载商品总价值的中位数是（万元）． 【点评】本题考查了一次函数的应用：先利用实际问题中数量关系确定一次函数关系式，然后根据一次函数的性质解决实际问题；也考查了从表格中获取信息的能力以及中位数的定义． 33．（2024•长宁区二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款元，求关于的函数解析式 （不必写出函数定义域）； （2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值； （3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式； （2）根据题意可知，然后按活动价列出等式，解方程即可； （3）分当和两种情况列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得：， 关于的函数解析式为； （2）若，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等， ， ， 解得； （3）当时，， 解得， ； 当时，， 解得， ， 综上所述，的取值范围为或． 【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与一次函数(真题6个考点+模拟11个考点） 一．函数自变量的取值范围（共1小题） 1．（2024•上海）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 二．函数值（共3小题） 2．（2022•上海）已知，则（1）　　． 3．（2021•上海）已知，那么　　． 4．（2020•上海）已知，那么（3）的值是　　． 三．一次函数的性质（共1小题） 5．（2022•上海）已知直线过第一象限且函数值随着的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：　　． 四．正比例函数的性质（共1小题） 6．（2020•上海）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　　．（填“增大”或“减小” 五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 7．（2024•上海）若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　　（选填“增大”或“减小” 8．（2021•上海）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 　　． 六．一次函数的应用（共4小题） 9．（2024•上海）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 　　万元． 10．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元千克，现以8元卖出，挣得 　　元． 11．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　　米． 12．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为元升，原价为元升，求关于的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 一．函数自变量的取值范围（共3小题） 1．（2024•长宁区二模）函数的定义域为 　　． 2．（2024•虹口区二模）函数的定义域是 　　． 3．（2024•奉贤区二模）函数的定义域是　 　． 二．函数值（共3小题） 4．（2024•杨浦区三模）已知，那么（4）　　． 5．（2024•崇明区二模）已知，那么　　． 6．（2024•金山区二模）已知，　　． 三．函数的图象（共1小题） 7．（2024•徐汇区三模）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图象能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是　　 A． B． C． D． 四．一次函数的性质（共3小题） 8．（2024•静安区二模）一次函数中，如果，，那么该函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2024•徐汇区二模）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么直线经过　　 A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 10．（2024•浦东新区二模）直线经过的象限是　　 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限． 五．正比例函数的性质（共1小题） 11．（2024•长宁区三模）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　　．（填“增大”或“减小” 六．一次函数图象与系数的关系（共2小题） 12．（2024•静安区三模）已知直线不经过第四象限，则的取值范围是 　　． 13．（2024•徐汇区三模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的取值范围为 　　． 七．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 14．（2024•普陀区二模）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是　　 A． B． C． D． 15．（2024•普陀区校级三模）已知一次函数的图象经过点和点，如果，那么的取值范围为　　 A． B． C． D． 16．（2024•普陀区二模）已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 　　． 八．一次函数图象与几何变换（共1小题） 17．（2024•黄浦区二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与轴、轴所围成的三角形面积是 　　． 九．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 18．（2024•杨浦区四模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是　　． 一十．两条直线相交或平行问题（共1小题） 19．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交轴负半轴于点，直线与轴正半轴交于点，那么点的坐标是 　　． 一十一．一次函数的应用（共14小题） 20．（2024•虹口区二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 　　（不写定义域）． 21．（2024•杨浦区四模）某款轿车每行驶100千米的耗油量升与其行驶速度千米小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段的表达式为，点的坐标为，即行驶速度为140千米小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米小时的省道和200千米限速120千米小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少 　　升． 22．（2024•静安区二模）某区连续几年的（国民生产总值）情况，如表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 （百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的，可以尝试选择直线、直线等函数模型来进行分析． （1）根据点、的坐标，可得直线的表达式为．请根据点、坐标，求出直线的表达式； （2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜． 例如：分析直线，即上的点，可知（1），（2），（3），（4），求得偏离方差． 请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：　　； 问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：　　； 根据此函数模型，预估该区第五年的约为 　　百亿元． 23．（2024•南岗区三模）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　　米． 24．（2024•宝山区校级模拟）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 　　分． 25．（2024•松江区二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 　　厘米． 26．（2024•青浦区二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． （1）求与的函数解析式（不需要写定义域）； 型号 载客量（人辆） 租金（元辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 （2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 27．（2024•黄浦区二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． （1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ （2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔元的消费与实际总支付元间存在着依赖关系，当时，写出关于的函数关系式； （3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 28．（2024•杨浦区二模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上点出发，以80千米小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象． 根据图象提供的信息回答下列问题： （1）图中的　　，　　； （2）求提速后关于的函数解析式（不用写出定义域）； （3）她们能否在中午之前到达目的地？请说明理由． 29．（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 30．（2024•杨浦区四模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数（人与开餐时间（分钟）的关系如图所示， （1）求的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 31．（2024•黄浦区三模）在一条笔直的公路上有、两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图象．请根据图像回答下列问题： （1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； （2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 32．（2024•徐汇区三模）20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题： 商品类型 甲 乙 丙 每个集装箱装载量（吨 8 6 5 每吨价值（万元） 12 15 20 （1）如果甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，求与之间的关系式； （2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数． 33．（2024•长宁区二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款元，求关于的函数解析式 （不必写出函数定义域）； （2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值； （3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$