专题07 圆（真题6个考点+模拟10个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题07 圆（真题6个考点+模拟10个考点） 一．垂径定理（共1小题） 1．（2023•上海）如图，在中，弦的长为8，点在延长线上，且，． （1）求的半径； （2）求的正切值． 二．垂径定理的应用（共1小题） 2．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为 　　（结果保留 三．直线与圆的位置关系（共2小题） 3．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　　． 4．（2020•上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 　　． 四．圆与圆的位置关系（共3小题） 5．（2024•上海）在中，，，，点在内，分别以为圆心画圆，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是　　 A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 6．（2021•上海）如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是　　 A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 7．（2023•上海）在中，，，，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是 　　． 五．正多边形和圆（共2小题） 8．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 　　． 9．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　　． 六．圆的综合题（共5小题） 10．（2021•上海）如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点． （1）证明：； （2）连接、、，若，证明：四边形为矩形． 11．（2020•上海）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点． （1）求证：； （2）当是等腰三角形时，求的大小； （3）当，时，求边的长． 12．（2022•上海）如图，在中，是线段中点，联结交于点，联结． （1）如果． ⅰ．求证：为菱形； ⅱ．若，，求线段的长； （2）分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值． 13．（2024•上海）在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，联结，求证：； （2）已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点在边上，联结、、，与交于．如果，，且，求边的长． 14．（2023•上海）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点是边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点． （1）如果，求证：四边形为平行四边形； （2）如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长； （3）连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 一．垂径定理（共2小题） 1．（2024•上海模拟）如图，是的弦，是弦上一点，且，连接并延长交于，若，，则圆心到弦的距离为　　 A． B． C． D． 2．（2024•静安区三模）已知、为半径为1的上两点，在线段上，，若，，则关于的数量关系式为 　　． 二．垂径定理的应用（共3小题） 3．（2024•闵行区三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧的长为 　　．（结果保留 4．（2024•浦东新区三模）《九章算术》其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？尺寸）答：圆材直径 　　寸． 5．（2024•宝山区二模）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 　　名观众． 三．圆周角定理（共3小题） 6．（2024•奉贤区三模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为 　　． 7．（2024•虹口区二模）如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点的对称点），那么的长为 　　． 8．（2024•松江区二模）如图，已知中，，，．点在边上，以为圆心，为半径的弧经过点． （1）求的半径长； （2）是 上一点，，交于点，联结．求 的正切值． 四．点与圆的位置关系（共2小题） 9．（2024•嘉定区二模）在中，，，以点为圆心，半径为6的圆记作圆，那么下列说法正确的是　　 A．点在圆外，点在圆上 B．点在圆上，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点、都在圆外 10．（2024•闵行区三模）若点到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 　　． 五．直线与圆的位置关系（共6小题） 11．（2024•崇明区二模）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 12．（2024•虹口区二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 13．（2024•宝山区二模）如图，中，，，，如果以点为圆心，半径为的与线段有两个交点，那么的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 14．（2024•杨浦区三模）如图，在中，，，，如果以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，那么的取值范围是 　　． 15．（2024•长宁区三模）在矩形中，，，点在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 　　． 16．（2024•青浦区三模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，交过点且与平行的直线于点，连结． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的大小； （3）若，，求的长． 六．圆与圆的位置关系（共7小题） 17．（2024•奉贤区三模）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程的两个根，那么这两个圆的位置关系是　　 A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 18．（2024•闵行区二模）在中，，，，以点，点，点为圆心的，，的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是　　 A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 19．（2024•普陀区校级三模）如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 20．（2024•徐汇区三模）如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是　 　． 21．（2024•金山区二模）如图，在中，，，，以点为圆心作半径为1的圆，是上的一个点，以为圆心，为半径作圆，如果圆和圆有公共点，那么的取值范围是 　　． 22．（2024•虹口区二模）如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为 　　． 23．（2024•徐汇区三模）已知：的直径，与相交于点、，的直径与相交于点，设的半径为，的长为． （1）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当点在直径上时，如果的长为3，求公共弦的长； （3）设与相交于，试问能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由． 七．相切两圆的性质（共2小题） 24．（2024•松江区二模）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 25．（2024•静安区三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于如图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以、、为圆心，为半径作、、．为的中心． （1）若为上任意一点，则的最小值为 　　，最大值为 　　． （2）转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求、两点间的距离． 八．相交两圆的性质（共3小题） 26．（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的与交于点、，，那么圆心距的长是 　　． 27．（2024•杨浦区二模）已知矩形中，，以为半径的圆和以为半径的圆相交于点、，如果点到直线的距离不超过3，设的长度为，则的取值范围是 　　． 28．（2024•松江区二模）如图，已知是 与 的公共弦， 与交于点， 的延长线与交于点，联结并延长，交 于点． （1）联结、，如果．求证：； （2）如果，求证：． 九．正多边形和圆（共10小题） 29．（2024•虹口区三模）如果正多边形的边数是，它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 　　． 30．（2024•普陀区校级三模）如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 　　 （用向量表示） 31．（2024•普陀区校级三模）在半径长为1米，圆心角为的扇形铁皮上剪裁出一个正方形铁皮，那么这个正方形铁皮的边长的取值范围是 　　米． 32．（2024•闵行区三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 　　 33．（2024•黄浦区二模）如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且，已知正方形的边长为，正六边形的边长为，那么点到边的距离为 　　 （用、的代数式表示） 34．（2024•杨浦区二模）如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是 　　厘米． 35．（2024•上海模拟）如图，已知点是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于 　　． 36．（2024•青浦区三模）如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是 　　． 37．（2024•青浦区二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角是 　　度． 38．（2024•崇明区二模）已知正六边形的半径为，那么这个正六边形的边心距为　　． 一十．圆的综合题（共22小题） 39．（2024•上海模拟）数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图，这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活动，，，且．使用时，将，钉牢在平板上，使，间的距离等于木棍的长，绕点转动点，则点在上运动，点在直线上运动，．图2是该玩具转动过程中的一幅示意图． （1）判断点，，在同一条直线上吗？请说明理由， （2）当点，，在同一条直线上时． ①求证：． ②若，，，求的长． 40．（2024•浦东新区模拟）如图，在中，，，，点在上，过点，，所作的弧为优弧，交于点，作交于点，与，分别交于点，，连接． （1）求证：点是的中点． （2）当，，中的两段相等时，求的长． （3）记的面积为，的面积为，若，求所在圆的半径． 41．（2024•崇明区二模）如图，已知中，，，，点是射线上一动点（不与、重合），过点作，交射线于点，点为中点，联结并延长，交射线于点． （1）如图1，当点在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． （2）当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点为圆心、为半径的与以为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 42．（2024•闵行区二模）如图，是的半径，弦垂直于弦，点是弦的中点，过点作的平行线，交于点和点．（1）如图1，当时． ①求的度数； ②联结，求证：； （2）如图2，联结，当时，，，求关于的函数关系式并直接写出定义域． 43．（2024•浦东新区二模）已知：和相交于、两点，线段的延长线交于点，、的延长线分别交于点、． （1）联结、，、分别与连心线相交于点、点，如图1，求证：； （2）如果． ①如图2，当点与重合，的半径为4时，求的半径； ②联结、，与连心线相交于点，如图3，当，且的半径为2时，求的长． 44．（2024•浦东新区三模）在中，，，，点是边上动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点，交于点，联结、． （1）如图1，当时，求的半径长； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）若以为圆心的与有公共点、，当恰好也过点时，求的长． 45．（2024•宝山区二模）已知是半圆的直径，是半圆上不与、重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点，是点关于直线的对称点． （1）如图，点恰好落在点处． ①用尺规作图在图中作出点（保留作图痕迹），联结、、，求证：四边形是菱形； ②联结，与、分别交于点、，求的值； （2）如果，，求折痕的长． 46．（2024•虹口区二模）在梯形中，，点在射线上，点在射线上，联结、相交于点，． （1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：； （2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为． ①当时，求和的长； ②当点为弧的中点时，求的长． 47．（2024•宝山区校级模拟）如图，已知在中，，，，是射线上的一个动点，以为圆心，为半径的与射线的另一个交点为，直线交直线于点． （1）当时，求的长； （2）如果点在边的上，当与以点为圆心，为半径的内切时，求的半径； （3）设线段的中点为，射线与相交于点，点在运动过程中，当时，求的长． 48．（2024•金山区二模）如图，已知：等腰梯形中，，，以为圆心，为半径的圆与相交于点，与相交于点，联结、、，设、分别与相交于点、，其中是的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图1，如果，求的值； （3）如图2，如果，求的余弦值． 49．（2024•徐汇区二模）如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且． （1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系； ②分别联结、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论； （2）联结分别交、于点、． ①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值； ②当时，求圆心角的正切值． 50．（2024•静安区校级模拟）已知：如图，是圆的内接三角形，，、的中点分别为、，与、、分别交于点、、． （1）求证：； （2）当是等边三角形时，求的值； （3）如果圆心到弦、的距离分别为7和15，求线段的长． 51．（2024•杨浦区二模）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，联结． （1）如图1，当的延长线经过点时，求的值； （2）如图2，作，垂足为点，联结． ①试判断与的大小关系，并证明你的结论； ②当是等腰三角形，且，求的值． 52．（2024•长宁区二模）已知在中，，，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作，交边于点（点不与点、重合）． （1）当时，判断点与的位置关系，并说明理由； （2）过点作，交延长线于点．以点为圆心，为半径作，延长，交于点． ①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长； ②联结、，如果与的一条边平行，求的半径长． 53．（2024•青浦区二模）在中，，以为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点、，直线与射线相交于点． （1）如图，当点在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； （2）如图，当点在的延长线上时，点、分别为、的中点，联结，如果，求的长． 54．（2024•静安区二模）如图1，中，已知，，为锐角，． （1）求的值； （2）如图2，点在边上，点是边的中点，经过点，与外切，且的直径不大于，设的半径为，的半径为，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）在第（2）小题条件下，联结，如果是等腰三角形，求的长． 55．（2024•闵行区二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次联结、、、、、． （1）根据正多边形的定义，我们只需要证明 　　，　　． （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次联结、、、、，那么五边形是正五边形 （2）已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，． 56．（2024•奉贤区二模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． （1）如果，，求边的长； （2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； （3）联结并延长，交于点，如果，求的值． 57．（2024•杨浦区二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线外有一点，圆经过点且与直线相切，则称圆是点与直线的点切圆． 阅读以上材料，解决问题； 已知直线外有一点，，，，圆是点与直线的点切圆． （1）如果圆心在线段上，那么圆的半径长是 　　（直接写出答案）． （2）如图2，以为坐标原点、为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点在第一象限，设圆心的坐标是． ①求关于的函数解析式； ②点是①中所求函数图象上的一点，联结并延长交此函数图象于另一点．如果，求点的坐标． 58．（2024•黄浦区三模）如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．联结并延长，交圆于点． （1）当点是线段中点时，求的值； （2）当时， ①如果，求的长； ②联结交于点，联结，如果为等腰三角形，求的长． 59．（2024•虹口区三模）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，． （1）求的值 （2）如图2，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，交圆于点，过点作于点．设，． ①求关于的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆于点，求当为何值时的值最大时，并求出最大值． 60．（2024•长宁区三模）已知是的一条弦，点在上，联结并延长，交弦于点，且． （1）如图1，如果平分，求证：； （2）如图2，如果，求的值； （3）延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆（真题6个考点+模拟10个考点） 一．垂径定理（共1小题） 1．（2023•上海）如图，在中，弦的长为8，点在延长线上，且，． （1）求的半径； （2）求的正切值． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据垂径定理可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知可得，再利用平行线分线段成比例可得，从而求出的长，进而求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， ， ， 在中，， ， 的半径为5； （2）过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 的正切值为． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二．垂径定理的应用（共1小题） 2．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为 　　（结果保留 【分析】根据垂径定理，勾股定理求出，再根据圆面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，过点作于， ，过圆心，是弦， ， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提． 三．直线与圆的位置关系（共2小题） 3．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　　． 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：如图，圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， 圆心就是三角形的内心， 当过点时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、， ， ， ，，， ， 由， ， 设，则， ， 解得， 即， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键． 4．（2020•上海）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 　　． 【分析】根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于，连接，如图2，设与边相切于，连接，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在矩形中，，，， ， 如图1，设与边相切于，连接， 则， ， ， ， ， ， 如图2，设与边相切于，连接， 则， ， ， ， ， ， ， 如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 四．圆与圆的位置关系（共3小题） 5．（2024•上海）在中，，，，点在内，分别以为圆心画圆，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是　　 A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【分析】根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案． 【解答】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、2为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，涉及勾股定理，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 6．（2021•上海）如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是　　 A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论． 【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，，由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 7．（2023•上海）在中，，，，点在边上，点在延长线上，且，如果过点，过点，若与有公共点，那么半径的取值范围是 　　． 【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点列不等式，用二次函数与一元二次方程，一元二次不等式的关系解答． 【解答】解：连接，如图： 过点，且， 的半径为7， 过点，它的半径为，且， ， ，， ，， 在边上，点在延长线上， ， 与有公共点， ， ， 由①得：， 解方程得： 或， 画出函数 的大致图象如下： 由函数图象可知，当时，，即不等式①的解集为， 同理可得：不等式②的解集为或， 不等式组的解集为， 又， 半径的取值范围是． 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键． 五．正多边形和圆（共2小题） 8．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 　18　． 【分析】根据正边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【解答】解：． 故这个正多边形的边数为18． 故答案为：18． 【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 9．（2021•上海）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　　． 【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论． 【解答】解：如图，， ， ， ， 即， ， 中间正六边形的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出． 六．圆的综合题（共5小题） 10．（2021•上海）如图，在圆中，弦等于弦，且相交于点，其中、为、中点． （1）证明：； （2）连接、、，若，证明：四边形为矩形． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，，可得结论． （2）连接，设交于，想办法证明，可得结论． 【解答】（1）证明：连接，，，，． ，，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）证明：连接，设交于． ，，， ，， ， ， ，， 垂直平分线段， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 11．（2020•上海）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点． （1）求证：； （2）当是等腰三角形时，求的大小； （3）当，时，求边的长． 【分析】（1）连接．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． （2）分三种情形：①若，则．②若，则．③若，则与重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． （3）如图3中，作交的延长线于．则，推出，设，，根据，构建方程求出即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接． ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2中，延长交于． ①若，则， ， ， ， ， ， ． ②若，则， ， ， ， ． ③若，则与重合，这种情形不存在． 综上所述，的值为或． （3）如图3中，作交的延长线于． 则， ，设，， ， ， ， ， ． 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12．（2022•上海）如图，在中，是线段中点，联结交于点，联结． （1）如果． ⅰ．求证：为菱形； ⅱ．若，，求线段的长； （2）分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值． 【分析】（1）．证明：如图，连接交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证出，由菱形的判定可得出结论； ．由重心的性质得出，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案； （2）方法一：由相交两圆的性质得出，由（1）②知点是的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案． 方法二：设，则，，证出，延长交的延长线于点，则，由勾股定理可得出答案． 【解答】（1）．证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为菱形； ．解：， 是的中线， 为的中点， 是的中线， 点是的重心， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得（负值舍去）， ， ； （2）解：方法一：如图， 与相交于，， ， 由（1）②知点是的重心， 又在直线上， 是的中线， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 方法二：设，则，， ，， 垂直平分，， ， 延长交的延长线于点，则， ，由勾股定理得，， 由可得， ， ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 13．（2024•上海）在梯形中，，点在边上，且． （1）如图1所示，点在边上，且，联结，求证：； （2）已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点在边上，联结、、，与交于．如果，，且，求边的长． 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）利用三角形外接圆得性质得出，再根据平分得出，然后得出相似，求出半径的长度； （3）最后一问难度较大，首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【解答】（1）证明：延长和交于点， ， ， ， ，， ， ． （2）①记点为外接圆圆心，过点作于点，连接，，． 点为外接圆的圆心， ， ， ， ， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， 外接圆半径为． ②延长，交于点，过点作，垂足为点． ， ， ， 由①知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 在中，由勾股定理可得： ， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 第三问方法二： ， ， ，， ，即， ， ，， 为中点， ， ， ， ， 也为中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，解得， ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，同时也考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 14．（2023•上海）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点是边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点． （1）如果，求证：四边形为平行四边形； （2）如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长； （3）连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【分析】（1）由，，即得，，根据是的中点，，知是的中位线，故，即可得证； （2）设，，有，由（1）可得，故，得出，进而证明，，由，有，解方程即可答案； （3）是以为腰的等腰三角形，①当时，②当时，证明，得出，设，，根据，得出，即得，，连接交于点，证明，在与 中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图： ， ， ， ， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ，即， 四边形是平行四边形； （2）解：如图： 由，，点边中点，设，，则， 由（1）可得， ， ， ， ， ，即， 在 中，， ， ， 解得： 或 （舍去）， ； （3）解：①当时，点与点重合，不符合题意，舍去； ②当 时，延长交于点，如图所示， 点是的中点，， ， 设， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 设交于点， ， ， ， ，，， 在 与 中， ，， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 的值为． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 一．垂径定理（共2小题） 1．（2024•上海模拟）如图，是的弦，是弦上一点，且，连接并延长交于，若，，则圆心到弦的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】延长交圆于，利用相交弦定理即可求得的长，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长 【解答】解：延长交圆于． 设，则． 厘米，厘米， ，． ， 解得：， ． ． 在直角中， 故选：． 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理、相交弦定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2．（2024•静安区三模）已知、为半径为1的上两点，在线段上，，若，，则关于的数量关系式为 　　． 【分析】过点作于点，连接，如图，根据垂径定理得到，则，利用勾股定理得到，，所以，然后用表示即可． 【解答】解：过点作于点，连接，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 二．垂径定理的应用（共3小题） 3．（2024•闵行区三模）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧的长为 　　．（结果保留 【分析】求出，再利用弧长公式求解． 【解答】解：，是的切线， ，， ， ， ， ， 弧的长． 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式． 4．（2024•浦东新区三模）《九章算术》其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？尺寸）答：圆材直径 　26　寸． 【分析】过圆心作于点，延长交圆于点，则寸，，连接，设圆的半径为，利用勾股定理在中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【解答】解：过圆心作于点，延长交圆于点，连接，如图， ， ，， 则寸，寸． 设圆的半径为寸，则寸． 在中，由勾股定理得： ， 解得：． 圆形木材的直径是（寸． 故答案为：26． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2024•宝山区二模）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 　150　名观众． 【分析】设半圆的圆心为，过点作于点，交于点，连接．利用垂径定理，勾股定理求出半径，再求出矩形的面积，可得结论． 【解答】解：设半圆的圆心为，过点作于点，交于点，连接． 设米， ， （米， 在中，， ， ， ，， 矩形的面积（平方米）， 每平方米最多可以坐3名观众， 观演区可容纳150名观众． 故答案为：150． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三．圆周角定理（共3小题） 6．（2024•奉贤区三模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点，我们称：点为正方形的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接、、、，并延长交于点．下列结论中：①；②；③；④；其中正确的结论的序号为 　①②③④　． 【分析】①连接交于，，，过点作于，过点作于，于，证明和全等，得，，则，再证明和全等得，由此可对结论①进行判断； ②根据，得，再根据得，然后根据，及四边形内角和定于可求出的度数，进而可对结论②进行判断； ③设，则，，进而得，根据得，进而由勾股定理即三角形面积公式得，，，则，，，，则，而，据此可对结论③进行判断； ④在中，根据三角函数定义得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①连接交于，，，过点作于，过点作于，于，如图1所示： 四边形为正方形， ，， 依题意得：，，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ， 又， ， ， 即， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， 即， 故结论②正确； ③设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 又， ， ，，， 四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故结论③正确； ④在中，， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】此题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形等，理解圆的有关概念，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 7．（2024•虹口区二模）如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点的对称点），那么的长为 　　． 【分析】根据翻折的性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，由翻折的性质可知，，，，， ， ， 是正三角形，， ， 设，则，， 在中，，，由勾股定理得， ， 即， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 【点评】本题考查翻折的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握翻折的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 8．（2024•松江区二模）如图，已知中，，，．点在边上，以为圆心，为半径的弧经过点． （1）求的半径长； （2）是 上一点，，交于点，联结．求 的正切值． 【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【解答】（1）解：如图，连接，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即的半径长为5； （2）解：， ， ， 的正切值为． 【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键． 四．点与圆的位置关系（共2小题） 9．（2024•嘉定区二模）在中，，，以点为圆心，半径为6的圆记作圆，那么下列说法正确的是　　 A．点在圆外，点在圆上 B．点在圆上，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点、都在圆外 【分析】先根据余弦求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：如图，过点作于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 以点为圆心，半径为6的圆记作圆时，点在圆外，点在圆内， 故选：． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据余弦求出的长是解答此题的关键． 10．（2024•闵行区三模）若点到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 　5或3．　． 【分析】点应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案． 【解答】解：当点在圆内时，最大距离为8，最小距离为2，因而半径是5； 当点在圆外时，最大距离为8，最小距离为2，则直径是6，因而半径是3． 故答案为：5或3． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 五．直线与圆的位置关系（共6小题） 11．（2024•崇明区二模）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 【分析】作于，根据勾股定理计算出，再利用面积法计算出，然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点． 【解答】解：作于，如图， ，，， ， ， ， 以为圆心、为半径作的圆与斜边有公共点时，的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：直线和相交；直线和相切；直线和相离． 12．（2024•虹口区二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】如图，作交的延长线于．求出的值即可判断． 【解答】解：如图，作交的延长线于． ， ， ， 直线与相交， 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（2024•宝山区二模）如图，中，，，，如果以点为圆心，半径为的与线段有两个交点，那么的半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 【解答】解：，， ， 设，， ， ， ，， 过点作于点， ， 与线段有两个交点， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 14．（2024•杨浦区三模）如图，在中，，，，如果以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，那么的取值范围是 　　． 【分析】如图，连接，交于，延长交于．在中，解直角三角形求出，在中，根据勾股定理求出，根据圆与圆的位置关系即可得的答案． 【解答】解：如图，连接，交于，延长交于， 是的直径， ， 在中，，，， ， 在中，，， ， ，， 当时，以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直线与圆的位置关系，综合运用这些知识是解决问题的关键． 15．（2024•长宁区三模）在矩形中，，，点在对角线上，的半径为4，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 　　． 【分析】当圆与相切时，由，推出，求出，当圆与相切时，由，推出，求出，即可得到线段长的取值范围． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， 如图①，当圆与相切时，切点是， 连接， ， ， ， ， ， ， ， 如图②， 当圆与相切于时， 同理证明：， ， ， ， ， 线段长的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是当圆分别与和相切时，由相似三角形的性质求出的长． 16．（2024•青浦区三模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，交过点且与平行的直线于点，连结． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的大小； （3）若，，求的长． 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，据此可得与的位置关系； （2）根据等腰三角形性质得，则，再根据得，然后根据平行线性质及圆周角定理可得和的度数； （3）设，则，，根据得，再根据，得，进而得，，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，则，由此解出，则，设为，连接，则，然后再由勾股定理构造方程求出即可． 【解答】解：（1）与相切，理由如下： 为等腰的外接圆，，延长交于点， ，， ， ， 为的半径， 是的切线， 即与相切； （2），，， ， ， ， ， ， ， ； （3）设，则，， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 设为，连接，如图所示： 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故的长为． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 六．圆与圆的位置关系（共7小题） 17．（2024•奉贤区三模）已知两圆的圆心距是3，它们的半径分别是方程的两个根，那么这两个圆的位置关系是　　 A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【分析】由两圆的半径分别是方程的两根，利用因式分解法即可求得两圆的半径，又由两圆的圆心距为3，即可求得这两个圆的位置关系． 【解答】解：， ， 解得：，， 两圆的半径分别是2，5， ， 这两个圆的位置关系是：内切． 故选：． 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题难度不大，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系得出两圆位置关系． 18．（2024•闵行区二模）在中，，，，以点，点，点为圆心的，，的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是　　 A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 【分析】根据点圆的位置关系的判定方法，圆与圆的位置关系的判定方法以及切线的判定方法逐项进行判断即可． 【解答】解：．的圆心到点的距离，而的半径是5，因此点在上，所以选项不符合题意； ．的半径，而的半径为10，两个圆心之间的距离，所以与内切，因此选项不符合题意； ．的半径，而的半径为8，两个圆心之间的距离，有，即，所以与相交，即与有两个公共点，因此选项不符合题意； ．的圆心到的距离为，所以直线与相交，因此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，掌握点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的关键． 19．（2024•普陀区校级三模）如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据所给圆的半径，对与和是外切还是内切，进行分类即可解决问题． 【解答】解：当与和一个外切一个内切时，如图所示， ． 当与和都外切时，如图所示， ． 当与和都内切时，如图所示， ． 综上所述，符合题意的最多有6个． 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，能根据题意画出示意图是解题的关键． 20．（2024•徐汇区三模）如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是　1.5或4.5　． 【分析】根据两圆内切时圆心距两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可． 【解答】解：设半径是，根据题意，分两种情况： ①如图1，，， ， ， 解得； ②如图2，，， ， ， 解得． 故答案为1.5或4.5． 【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为；外离；外切；相交；内切；内含． 21．（2024•金山区二模）如图，在中，，，，以点为圆心作半径为1的圆，是上的一个点，以为圆心，为半径作圆，如果圆和圆有公共点，那么的取值范围是 　　． 【分析】分两种情况进行解答，即当当与外切，与外切，分别画出相应的图形，根据直角三角形的边角关系，锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求出外切、内切情况下的值即可． 【解答】解：当与外切时，如图1，连接，过点作，垂足为， 在中，，，， ， 由于， 设，则， ，， 在中，，，，由勾股定理得， ， 即， 解得； 当与内切时，如图2， 设，则，，， 在中，，，，由勾股定理得， ， 即， 解得； 当圆和圆有公共点，的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直角三角形的边角关系，掌握圆与圆的位置关系，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 22．（2024•虹口区二模）如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为 　　． 【分析】过作垂线交于，根据三角函数的定义求出和，从而求出，然后设，用表示出和，用勾股定理求出即可． 【解答】解：过作于，连接，如图： ， ， ，， ，， ， 设， 和外切， ，， 在中，， 即：， 解得： 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆与圆之间的位置关系，根据三角函数的定义以及勾股定理来求解是本题解题的关键． 23．（2024•徐汇区三模）已知：的直径，与相交于点、，的直径与相交于点，设的半径为，的长为． （1）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当点在直径上时，如果的长为3，求公共弦的长； （3）设与相交于，试问能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由． 【分析】（1）欲求关于的函数解析式，连接，证明即可； （2）求公共弦的长，作，垂足为．通过圆的知识得出，转化为求的长；分为两种情况：点在线段上时；点在线段上时，求出的长； （3）为等腰三角形，分为两种情况：点在线段上时；点在线段上时，根据角的关系先求出角的度数，从而求出的长度． 【解答】解：（1）连接， 的直径， ． ， ． ． ． ， ． 关于的函数解析式为，定义域为． （2）作，垂足为， 是的弦， ． 设两圆的公共弦与相交于，则垂直平分， ． 当点在线段上时，， ． ． ． 当点在线段上时，． ． ． ． （3）能为等腰三角形，的长度为或． 【点评】本题难度较大，数形结合，考查了两圆的位置关系、相似三角形的性质和函数结合，做题时一定要分析各种情况，不要遗漏． 七．相切两圆的性质（共2小题） 24．（2024•松江区二模）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可． 【解答】解：连接， 四边形为矩形， ， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 25．（2024•静安区三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于如图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以、、为圆心，为半径作、、．为的中心． （1）若为上任意一点，则的最小值为 　　，最大值为 　　． （2）转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求、两点间的距离． 【分析】（1）过点作交于点，交于点，解，求得，进而根据点的位置，求得最值； （2）根据题意画出图形，根据两圆的位置关系可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 等边的边长为，为的中心， ，， ， 又，， 当点在点时，取得最小值，最小值为， 当点在或点时，取得最大值，最大值为， 故答案为：；； （2）如图所示， 由（1）可得，则， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形，圆与圆的位置关系，综合运用是解题的关键． 八．相交两圆的性质（共3小题） 26．（2024•奉贤区二模）已知两个半径都为4的与交于点、，，那么圆心距的长是 　　． 【分析】根据两圆相交于，，可以得到垂直平分，然后根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：设和交于点，连接，，如图： 与交于点、， ，， 又， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，根据勾股定理求解即可，题目较为简单． 27．（2024•杨浦区二模）已知矩形中，，以为半径的圆和以为半径的圆相交于点、，如果点到直线的距离不超过3，设的长度为，则的取值范围是 　　． 【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于，交于，再分别求解的值，从而得到答案． 【解答】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于， 已知矩形，，， 四边形为矩形，，， ，， ， ，为圆心， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，， 解得：， 如图，当在的右侧时，连接，，，过作于，交于， 已知矩形，，， ，，四边形为矩形， ， 同理可得： ，， ， ， ， 在中，， ， 综上所述：点到直线的距离不超过3，则； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等，确定临界点是解答本题的关键． 28．（2024•松江区二模）如图，已知是 与 的公共弦， 与交于点， 的延长线与交于点，联结并延长，交 于点． （1）联结、，如果．求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）连接，，，，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于，过作于，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【解答】证明：（1）连接，，，，如图： ， 为直角三角形，， 由圆周角定理可知，，， 是 与 的公共弦， 垂直平分， ，， ， ； （2）过作于，过作于，如图： ， ， ， 由垂径定理可知，，， ， ． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． 九．正多边形和圆（共10小题） 29．（2024•虹口区三模）如果正多边形的边数是，它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 　　． 【分析】根据一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【解答】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形和圆，函数自变量的取值范围，掌握正多边形的定义和性质是解题的关键． 30．（2024•普陀区校级三模）如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为 　　（用向量表示） 【分析】根据正六边形的性质得出，，再根据已知条件确定，利用变形解答即可． 【解答】解：是正六边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 31．（2024•普陀区校级三模）在半径长为1米，圆心角为的扇形铁皮上剪裁出一个正方形铁皮，那么这个正方形铁皮的边长的取值范围是 　　米． 【分析】根据题意可知当正方形铁皮的对角线等于扇形的半径时，此时正方形面积最大，再根据正方形的性质解答即可． 【解答】解：如图所示，当正方形铁皮的对角线等于扇形的半径时，此时正方形面积最大， 四边形是正方形，米， 米， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据题意画出图形是解答本题的关键． 32．（2024•闵行区三模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 　，　 【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为，连接． 点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形， ，， ， ， ， ，， ，， 故答案为：，． 【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2024•黄浦区二模）如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且，已知正方形的边长为，正六边形的边长为，那么点到边的距离为 　　（用、的代数式表示） 【分析】根据正六边形、正方形的性质，由于它们的中心重合，由对称性可得点到边的距离是正方形边长的一半与正六边形边长的差即可． 【解答】解：如图，连接，则过点，延长交于点， 六边形是正六边形， ， ， 是正三角形， ， 由于，正六边形，正方形的中心重合，由对称性可知， ，， ， 即点到边的距离为， 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键． 34．（2024•杨浦区二模）如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是 　　厘米． 【分析】根据正方形和正八边形的性质以及勾股定理列方程求解即可》 【解答】解：如图，设厘米，则厘米， 由勾股定理得， ， 即， 解得，或（舍去）， 即正八边形的边长为厘米， 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正方形，正八边形的性质以及勾股定理是正确解答的关键． 35．（2024•上海模拟）如图，已知点是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于 　4　． 【分析】连接，先利用正六边形的性质和等腰三角形的性质可求出，进而可判断出；再利用平行线的性质：两平行线之间的距离处处相等可得，即可计算出的面积；最后再次利用该平行线的性质可得计算即可得答案． 【解答】解：如图，连接， 正六边形的每个内角的度数为：， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ，即， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查正多边形的性质和平行线的性质，掌握等高不等底的两个三角形面积之比等于底之比是解题关键． 36．（2024•青浦区三模）如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是 　　． 【分析】如图，连接、，过作于．解直角三角形求出即可． 【解答】解：如图，连接、，过作于． ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键． 37．（2024•青浦区二模）如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角是 　30　度． 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出正多边形一个内角的度数，进而确定正多边形的边数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【解答】解：在中，，， ， 即正多边形的一个内角为， 与相邻的外角为， 这个正多边形的边数为， 即这个正多边形为正十二边形， 正十二边形的中心角为． 故答案为：30． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正多边形的性质是正确解答的关键． 38．（2024•崇明区二模）已知正六边形的半径为，那么这个正六边形的边心距为　　． 【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决． 【解答】解：如图，连接、；过点作于点． 在中， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 一十．圆的综合题（共22小题） 39．（2024•上海模拟）数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图，这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活动，，，且．使用时，将，钉牢在平板上，使，间的距离等于木棍的长，绕点转动点，则点在上运动，点在直线上运动，．图2是该玩具转动过程中的一幅示意图． （1）判断点，，在同一条直线上吗？请说明理由， （2）当点，，在同一条直线上时． ①求证：． ②若，，，求的长． 【分析】（1）连接，与的交点为，根据菱形的判定与性质及补角的概念可得答案； （2）①由菱形的性质、圆周角定理及平行线的判定与性质可得，然后由等腰三角形的性质及平行线的判定可得结论； ②延长与交于点，根据菱形的性质及平行四边形的判定与性质可得，然后由解直角三角形及勾股定理可得答案． 【解答】（1）解：点，，在同一条直线上，理由如下： ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 点，，在同一条直线上； （2）设与交于点，连接， ①证明：四边形是菱形， ，， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②解：延长与交于点， 设，， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得，（舍去），， ． 【点评】此题考查的是圆周角定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形的、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 40．（2024•浦东新区模拟）如图，在中，，，，点在上，过点，，所作的弧为优弧，交于点，作交于点，与，分别交于点，，连接． （1）求证：点是的中点． （2）当，，中的两段相等时，求的长． （3）记的面积为，的面积为，若，求所在圆的半径． 【分析】（1）根据圆的平行弦的性质得出，从而，进一步得出结论； （2）当时，，从而，由得，进一步得出结果；当时，，连接，根据，得出，进而推出，从而，从而得出这种情形不存在；当时，可推出，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，可推出，设，，，，根据得出，求得，进而得出结果； （3）连接，作于，可求得的值，设，则，，，可推出梯形是等腰梯形，从而，，进而表示出和，进而表示出，，根据得出，求得的值，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， （2）当时， ， ， 由得， ， ， ， 当时，如图1， ， 连接， ， 是的直径， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， 这种情形不存在， 当时， ， 由得， ， ， ， 以为圆心，为半径画弧，交于，连接， ， ， ， ， ， 设，，，， ， ， ， ， 综上所述：或； （3）解：如图3， 连接，作于， ， ， 设，则，， 由（1）知， ， ， ， ， ， 梯形是等腰梯形， ，， ，， ， ， ，， ， ，（舍去）， ，， ， ， 圆的半径为：． 【点评】本题考查了圆的有关性质，等腰梯形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论． 41．（2024•崇明区二模）如图，已知中，，，，点是射线上一动点（不与、重合），过点作，交射线于点，点为中点，联结并延长，交射线于点． （1）如图1，当点在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． （2）当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点为圆心、为半径的与以为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）①过点作，交于，可求得的正切值，可依次求得、、、的长，点为中点，可求出、、，即可求得的长； ②利用三角形的相似，求得，利用，解直角三角形可得，再通过解直角三角形求出，即可求出的长； （2）首先求出两圆的半径，通过利用是以为腰的等腰三角形，解直角三角形求出和，然后半径之和与两圆心距离比较，即可求解． 【解答】解：（1）①过点作，交于，如图所示， ，，， ，， 解得， ， ， ， ，． ， 在中，，， ， 点为中点， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ； ②当与相似时，过点作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 点为中点， ， ，，， 在中，， ， ，即， 解得：， ， 在， ； ， ； （2）当是以为腰的等腰三角形时， ①若点在线段上， ， 只有一种情况：， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 与外离； ②当点在延长线上时，如图，过点作于， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， 若， ， ，， ， ， 解得：， ，， ，， ， 与相交； 若， ， ， ， ， 由，得， 解得， ，， ，即， 与外切； 综上所述，与外离或相交或外切． 【点评】本题考查了圆的综合知识，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线的性质，圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的正弦，余弦，正切的计算，以及相似三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，圆的位置关系判定是解决问题的关键． 42．（2024•闵行区二模）如图，是的半径，弦垂直于弦，点是弦的中点，过点作的平行线，交于点和点．（1）如图1，当时． ①求的度数； ②联结，求证：； （2）如图2，联结，当时，，，求关于的函数关系式并直接写出定义域． 【分析】（1）①依据题意，连接，，先证明，从而可得，，三点共线，再结合，，可得平分，又，进而可以得解； ②依据题意，连接，由，，可得，又，故，从而可得在 中，，最后可以判断得解； （2）依据题意，过点作与点，过点作与点．设半径为，则，由，故，再结合，，进而证得，故，从而，又，进而可得，再由，可得，最后由，可得，则有，进而可以得解． 【解答】（1）①解：连接，， ，． ，． ，且，， ． ，，三点共线． ，， 平分． ， ． ②证明：连接， ，， ． ， ． 在 中，， ． （2）解：过点作与点，过点作与点．设半径为，则， ， ． ，， ，． 又， ． ． ． ， ． ． ， ， ，， ． ． ． ， ， 则有． ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题时要能熟练掌握并能灵活运用圆的相关性质解题是关键． 43．（2024•浦东新区二模）已知：和相交于、两点，线段的延长线交于点，、的延长线分别交于点、． （1）联结、，、分别与连心线相交于点、点，如图1，求证：； （2）如果． ①如图2，当点与重合，的半径为4时，求的半径； ②联结、，与连心线相交于点，如图3，当，且的半径为2时，求的长． 【分析】（1）先证明，可得，再证明，可得； （2）①连接，，，，证明，，三点共线，，再利用勾股定理求解即可； ②过作于点，过作于点，由得出，设，，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平行线分线段成比例即可解答． 【解答】（1）证明：由题意知，， ． ， ， ， 同理可得， ， ； （2）①如图，连接连接，，，， 为的直径， ， ．．三点共线， ，， ． ， ， ，， ，， ， ． ，， ； ②如图，过作于点，过作于点， ， ， 由垂径定理知，， 设，， ， ， ， ，， 垂直平分，， ， ， ， ， 【点评】本题考查的是两圆的位置关系，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成本来，作出合适的辅助线是解本题的关键． 44．（2024•浦东新区三模）在中，，，，点是边上动点，以为圆心，为半径的与边的另一交点为，过点作的垂线，交于点，交于点，联结、． （1）如图1，当时，求的半径长； （2）设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）若以为圆心的与有公共点、，当恰好也过点时，求的长． 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，利用相似求出、，再根据勾股定理求出半径； （2）作于，利用相似表示出和，再根据勾股定理求出即可；当点在点处时，根据勾股定理求出半径即可讨论出的取值范围； （3）若以为圆心的与有公共点、，当恰好也过点时，，把代关系式，求出即可解答． 【解答】解：（1）如图1，连接， 设半径为， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 的半径长为； （2）如图2，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 当点在点处时， 如图3，连接， 在中， ，即， ， ， ； （3）当经过点、点时，， 把代入，得或， 的长为或． 【点评】本题考查了圆的综合应用，三角形的相似的应用及勾股定理的应用是本题的解题关键． 45．（2024•宝山区二模）已知是半圆的直径，是半圆上不与、重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点，是点关于直线的对称点． （1）如图，点恰好落在点处． ①用尺规作图在图中作出点（保留作图痕迹），联结、、，求证：四边形是菱形； ②联结，与、分别交于点、，求的值； （2）如果，，求折痕的长． 【分析】（1）①设与的交点为，通过推导出、互相垂直平分，证明四边形是菱形； ②先求出菱形的内角为，再推导出，即可推导出，可得； （2）当点在点左侧时，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，设，则，，，先求出，即可分别求出，，，，得到，则，，再求；当点在点右侧时，同理可求． 【解答】（1）证明：①如图1，设与的交点为， 由折叠可， 、点关于对称， ， 是圆的半径， ， 、互相垂直平分， 四边形是菱形； ②解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，当点在点左侧时，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点， 由对称可知，， ，， ， ， ， 设，则， 、点关于对称， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图3，当点在点右侧时，同理可求； 综上所述：的长为或． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握折叠的性质，垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键． 46．（2024•虹口区二模）在梯形中，，点在射线上，点在射线上，联结、相交于点，． （1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：； （2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为． ①当时，求和的长； ②当点为弧的中点时，求的长． 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可得证； （2）①过作于，连接，根据锐角三角函数的定义，求出，的长，从而求得和的长，根据勾股定理求出的长，从而得到的三角函数值，进而求得的长，然后根据，推出和相似，从而求出的长即可； ②过点作于，根据垂径定理以及勾股定理求出的三角函数值，然后用表示出的长，即可求出的长度． 【解答】（1）证明：，， ，，， 又，， ， ， ； （2）解：过作于，连接，如图： ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， 为直径， ， ，， ，， ， ； ②过点作于，如图： 是弧的中点， ， ， ， 设，， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合运用三角函数的定义、勾股定理以及平行线的性质是本题解题的关键． 47．（2024•宝山区校级模拟）如图，已知在中，，，，是射线上的一个动点，以为圆心，为半径的与射线的另一个交点为，直线交直线于点． （1）当时，求的长； （2）如果点在边的上，当与以点为圆心，为半径的内切时，求的半径； （3）设线段的中点为，射线与相交于点，点在运动过程中，当时，求的长． 【分析】（1）作，垂足为，根据已知条件得到，根据平行线分线段成比例定理得到，得到，于是得到结论； （2）当与内切时，点在内，于是得到点在的延长线上点作，垂足为，设，则，，，，根据，得到，根据， 列方程得到结论； （3）根据余角的性质得到等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，根据三角形的中位线的性质得到即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，作，垂足为， 过圆心， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， （2）当与内切时，点在内， 点在的延长线上 点作，垂足为，设，则，，，， ， ， ， 与内切， ， ， ， ，， 当与内切时，的半径为． （3），， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 当点在边的上时，，， 当点在边的延长线上时，，， 综上所述，当时，的长为或． 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解题是答题关键，题目的综合性很强，牵扯到的知识点较多，对学生的综合解题能力要求很高． 48．（2024•金山区二模）如图，已知：等腰梯形中，，，以为圆心，为半径的圆与相交于点，与相交于点，联结、、，设、分别与相交于点、，其中是的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图1，如果，求的值； （3）如图2，如果，求的余弦值． 【分析】（1）根据圆的性质以及等腰梯形的性质，可以得出，在根据梯形中，即可证明； （2）由垂径定理可以得出，在根据平行线分线段成比例可以得出和的关系，设，根据勾股定理以及平行线分线段成比例表示出和的长即可求解； （3）过作垂线，交于，连接，根据平行线分线段成比例可以得出和的比，设，，用和表示出和，根据勾股定理求出即为的余弦值． 【解答】（1）证明：， ， 等腰梯形中，，， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ； （3）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 作，垂足为点，联结， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，合理运用平行线分线段成比例是本题解题的关键． 49．（2024•徐汇区二模）如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且． （1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系； ②分别联结、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论； （2）联结分别交、于点、． ①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值； ②当时，求圆心角的正切值． 【分析】（1）①根据弧长与圆心角之间的关系求解即可； ②在弧上取点，使得，然后根据圆心角、弧长、弦长之间的关系以及三角形的三边关系证明即可； （2）①利用相似三角形的判定与性质，先证明，即可得出的值； ②过点在下方作，截取，利用全等三角形的判定与性质，以及勾股定理可以求出的长，过作垂线，根据三角函数的定义求解即可． 【解答】解：（1）①设， ， ，，， ； ②． 证明：在上取点，连接，使得，连接，，如图： ， 在中，， ，， ， ， ． （2）①的值不变，． ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； ②过点在下方作，截取，连接，，如图： ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 又， 或4， 过作于， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 或． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆心角与弦和弧的关系以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． 50．（2024•静安区校级模拟）已知：如图，是圆的内接三角形，，、的中点分别为、，与、、分别交于点、、． （1）求证：； （2）当是等边三角形时，求的值； （3）如果圆心到弦、的距离分别为7和15，求线段的长． 【分析】（1）利用等弦对等弧的性质，弧的中点的性质和垂径定理解答即可； （2）连接交于点，连接交于点，利用等边三角形的性质，弧的度数的性质求得，利用直角三角形的边角关系定理解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当圆心在的内部时，连接交于点，连接交于点，延长交于点，利用全等三角形的判定与性质得到，；设的半径为，则，，利用勾股定理求得半径，设，则，再利用勾股定理解答即可得出结论；②当圆心在的外部时，连接交于点，连接交于点，交于点，类比①的方法解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ． 弧、的中点分别为、， ，， ， 为圆的半径， ； （2）解：连接交于点，连接交于点，如图， 是等边三角形， ， ， 弧、的中点分别为、， ，，，， ， ． ， ， ． ，，， ， ， ； （3）解：①当圆心在的内部时，连接交于点，连接交于点，延长交于点，如图， ，， 平分， ． 则，， 由（2）知：，， 在和中， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ，． 设的半径为， 则，， ． 连接， ，， ， （不合题意，舍去）或． ，， 设，则， ， ， ． ； ②当圆心在的外部时，连接交于点，连接交于点，交于点，如图， ，， 平分， ． 则，， 由（2）知：，， 在和中， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ，． 设的半径为， 则，， ． 连接， ，， ， （不合题意，舍去）或． ，， 设，则， ， ， ． ． 综上，线段的长为15或． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 51．（2024•杨浦区二模）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，联结． （1）如图1，当的延长线经过点时，求的值； （2）如图2，作，垂足为点，联结． ①试判断与的大小关系，并证明你的结论； ②当是等腰三角形，且，求的值． 【分析】（1）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可； （2）①延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到，则结论可得； ②利用分类讨论的方法分三种情况解答：Ⅰ．当时，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；Ⅱ．当时，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；Ⅲ．当时，则，连接，利用矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）当的延长线经过点时， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （2）①与的大小关系为：．理由： 延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ， ． 为直径，， ． 为的中位线， ． 为直径，， ． ，， ． ， ． ， ， ． ， ， ． ， ； ②，， ， 设，则， ． Ⅰ．当时， 由（2）①知：， ，， ， ． ， ； Ⅱ．当时， 过点作于点，如图， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ； Ⅲ．当时，则， 连接，如图， ，，， 四边形为矩形， ． 在和中， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ． ． 综上，当是等腰三角形，且，的值为1或或． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 52．（2024•长宁区二模）已知在中，，，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作，交边于点（点不与点、重合）． （1）当时，判断点与的位置关系，并说明理由； （2）过点作，交延长线于点．以点为圆心，为半径作，延长，交于点． ①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长； ②联结、，如果与的一条边平行，求的半径长． 【分析】（1）借助垂径定理，利用表示出和，通过比较和的大小确定点与圆的位置关系； （2）①需要紧扣，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆和圆是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含的代数式表示出、，从而求解； ②当时，过点作，证明出，在△中，，得到，解得，则；当，延长交延长线于点，由，得到，解得或5（舍去），则． 【解答】解：（1）点在内；理由如下： 过点作，垂足为点， 过圆心，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点在内； （2）过点作，垂足为，如图2， ，， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， 在中，，， 设，，则， ， ①两圆的交点记为、，连接，，如图3， 与相交，是公共弦， 垂直平分，即， 经过的中点， 垂直平分， ，即，， 在中，， ， ， ， 解得， ； ②由于点在直线上， 不可能与平行，则当时，过点作，如图4， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△ 中，， ， ， ； 当，延长交延长线于点，如图5， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得或5（舍去）， ， 综上：或． 【点评】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，并灵活运用勾股定理是解答本题的关键． 53．（2024•青浦区二模）在中，，以为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点、，直线与射线相交于点． （1）如图，当点在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； （2）如图，当点在的延长线上时，点、分别为、的中点，联结，如果，求的长． 【分析】（1）①利用等腰三角形角的关系推导出，，进而得到，进一步解答即可解； ②首先推导出，证得，得到，求得，过点作于点，，求得； （2）设交于点，设，得到，证得，得到，求得；证得，得到，得到，利用，得到，，利用，得到，进一步求得，即． 【解答】解：（1）①，， ，， 又， ， ； ②，， ， ， 又，， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）； 过点作于点，如图1， 则， ； （2）设交于点，设， 是的中点， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又是的中点， ， ，即 解得：或（不合题意，舍去）， ． 【点评】此题是圆的综合题，考查了圆的有关性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、函数关系式等知识，熟练掌握圆的有关性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键． 54．（2024•静安区二模）如图1，中，已知，，为锐角，． （1）求的值； （2）如图2，点在边上，点是边的中点，经过点，与外切，且的直径不大于，设的半径为，的半径为，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）在第（2）小题条件下，联结，如果是等腰三角形，求的长． 【分析】（1）过作于，利用的余弦值求出的长，再根据勾股定理依次求出和的长，即可求得； （2）过作垂线交于，根据勾股定理求出的长，在根据三角函数的定义及勾股定理求出的长，根据两圆外切的性质，用，表示出的长，最后根据勾股定理求出和的关系即可，然后根据的直径不大于求出定义域即可； （3）根据腰的不同分类讨论，解方程求解的值即可． 【解答】解：（1）过作于，如图： ， ， ，， ， ； （2）连接，，过作于，如图： 是中点， ， ， ， ， ， ， ， 与外切，经过点， ， 当在上时，，当在上时，， 在中，， 即， 整理得：， ，， ； 的直径不大于， ， ， ， ； （3）是等腰三角形， 当时，， 即， 解得：或6（不在定义域内，舍去）， 当时，， 解得：， 当时， ， 解得无实数根， 综上所述，的长为3或． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握三角函数的定义、一二元次方程的求解以及勾股定理的应用是本题解题的关键． 55．（2024•闵行区二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动． 活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法． ①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次联结、、、、、． （1）根据正多边形的定义，我们只需要证明 　　，　　． （请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形． 活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法． ①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次联结、、、、，那么五边形是正五边形 （2）已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形． （参考数据：，，，，． 【分析】（1）根据正多边形的定义可知需要证明，，就可证明六边形是正六边形； （2）连接，，，，，求出，，，可得，，即可知，由为直径，可得，故，证明，得到，同理可得，即可证明，从而，，五边形是正五边形． 【解答】解：（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形； 故答案为：，； （2）连接，，，，，如图： 根据题意，可得，， 点为半径的中点， ， ， 以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点， ， ， ， 以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截得交点， ， 为直径， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， ，， ，， 五边形是正五边形． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，正多边形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂题意，掌握正多边形的定义． 56．（2024•奉贤区二模）如图，已知半圆的直径为，点在半径上，为的中点，点在上，以、为邻边作矩形，边交于点． （1）如果，，求边的长； （2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的度数； （3）联结并延长，交于点，如果，求的值． 【分析】（1）连接，，过作于，利用三角函数的定义表示出和，然后根据勾股定理求出，进而求出即可； （2）分两种情况讨论，过作于，设，，，利用（1）的方法，用表示出，然后再根据勾股定理求解的值，最后根据的值求出的度数即可； （3）过作的垂线交于，交于，作的垂线，交于，交于，利用直角三角形斜边上中线的性质，得出和的关系，然后根据三角形相似求出的值，最后根据勾股定理求出的值，从而作比求解． 【解答】解：（1）连接，，过作于，如图： ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 解得：或0（舍去）， ，， 在中，； （2）连接，，如图： 是的中点， ， ， ， 为直径， ， ， ①当时， ， ， ， ②当时， ， ，不符合题意； 综上所述，； （3）过作的垂线交于，交于，作的垂线，交于，交于，如图： 令， ， 为的垂直平分线， 四边形为矩形， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 是和的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，合理运用三角函数值的定义，利用勾股定理构造一元二次方程是本题解题的关键． 57．（2024•杨浦区二模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线外有一点，圆经过点且与直线相切，则称圆是点与直线的点切圆． 阅读以上材料，解决问题； 已知直线外有一点，，，，圆是点与直线的点切圆． （1）如果圆心在线段上，那么圆的半径长是 　　（直接写出答案）． （2）如图2，以为坐标原点、为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点在第一象限，设圆心的坐标是． ①求关于的函数解析式； ②点是①中所求函数图象上的一点，联结并延长交此函数图象于另一点．如果，求点的坐标． 【分析】（1）作轴于点，则，可证得，从而，从而，从而求得； （2）①根据圆心到的距离等于点到轴的距离得出，化简得出结果； ②设点，，从而得出①，接，作轴，作，交于，可证得，从而，即，从而得出，，代入解析式得出②，由①②得出，，进而得出结果． 【解答】解：如图1， 作轴于点， 则， 轴， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①由题意得， 圆心到的距离等于点到轴的距离， ， ； ②如图2， 设点，， ①， 连接，作轴，作，交于， ， ， ， ， ，， ②， 由①②得， ，， 或． 【点评】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 58．（2024•黄浦区三模）如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．联结并延长，交圆于点． （1）当点是线段中点时，求的值； （2）当时， ①如果，求的长； ②联结交于点，联结，如果为等腰三角形，求的长． 【分析】（1）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得，，利用勾股定理可求出，即可求解； （2）①延长交圆于点，连接、，可证，得到，据此即可求解； ②分三种情况讨论：，和，进行解答即可求解． 【解答】解：（1）是的垂直平分线， ，， 点是线段中点时， ， ， ， 在中，， 在中，， ． （2）①如图，延长交圆于点，连接、，则，即， ， ， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ； ②如图，分三种情况讨论： 当时，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ，， ，， ， 即， ， 即， ； 当时，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， 由（1）知， ， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ， ； 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，不合题意，故此种情况不存在； 综上，的长为或． 【点评】本题考查了圆的综合应用，主要考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 59．（2024•虹口区三模）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，． （1）求的值 （2）如图2，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，交圆于点，过点作于点．设，． ①求关于的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆于点，求当为何值时的值最大时，并求出最大值． 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求、的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明，可得，即可求解； ②如图，连接、，证明，可得，得到，然后用含的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【解答】解：（1）如图1，连接， 切半圆于点， ， ，， ，， ， ， ，， ， ，， 的面积为； （2）为半圆的直径，，设，， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作于点，如图2， ，，， ， ， 为线段上一点， ， 关于的函数表达式为； ②连接、，如图3， 圆周角、所对的弧是， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为：， 当为时的值最大，最大值为． 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 60．（2024•长宁区三模）已知是的一条弦，点在上，联结并延长，交弦于点，且． （1）如图1，如果平分，求证：； （2）如图2，如果，求的值； （3）延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）如图2中，作于，于，设．首先证明，解直角三角形求出，（用表示）即可解决问题． （3）因为，推出，分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：如图2中，作于，于，设． ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ． （3）解：如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍弃）， ． 如图中，当时，同法可证是等腰直角三角形， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$