专题01 有理数（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（    ） A．3 B． C． D． 【融会贯通】 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C，若，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行个单位长度到达点，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 3．已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ． 类型二、数轴上字母大小关系 【解惑】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若，则下列结论中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　）    A． B． C． D． 2．如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，比较大小： ．（用“>”“<”或“=”号连接） 3．已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①b+a+（-c）>0：②（-a）-b+c>0；③bc-a>0；④|a-b|-|c-b|+|a-d|=0，其中正确的是 .（请填写序号） 类型三、绝对值化简 【解惑】如图所示，则等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，数轴上点表示的数为，化简的结果为（    ） A． B． C． D．4 2．若，则 ． 3．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    类型四、幻方幻圆问题 【解惑】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（　　）    A．7 B．5 C．4 D．1 【融会贯通】 1．如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是（　　） A． B．1 C．或3 D． 2．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．    类型五、有理数的分类 【解惑】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，， (1)负数集合：｛      …｝； (2)分数集合：｛      …｝； (3)整数巢合：｛      …｝． 【融会贯通】 1．把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） 自然数：{                      }； 整数：{                      }； 分数：{                      }； 非负有理数：{                      }． 2．把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 3．把下面的有理数填在相应的大括号里： ，，，，，，， 正数集合{          …}； 负数集合{          …}； 整数集合{          …}； 非负数集合{          …}． 类型六、日历问题 【解惑】在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 【融会贯通】 1．观察某月日历，回答下列问题：    (1)观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论． (2)小敏外出了5天，这5天的日期之和是65，小敏是几号外出的？ 2．生活与数学 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)山姆同学在某月的日历上圈出个数，如图1，正方形的方框内的四个数的和是48，求这四个数． (2)小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，如图2，斜框内的四个数的和是46，则它们分别是________． (3)刘莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，如图3，它们的和是55，则中间的数是________． (4)某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是________． 3．如图是年月的日历，用一个方框在日历中任意框出4个代表日期的数 (1) _____； (2)设． ①若，求a的值； ②S的值能否为？请说明理由． a b c d 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 类型七、摆放规律问题 【解惑】按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 【融会贯通】 1．九年级某班在学习了教材页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程： 将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有_______个，图2中共有_______个，图3中共有_______个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为_______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由． 2．如图所示的图形是由相同大小的正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成的，我们发现： 第1个图中有4个圆； 第2个图中有6个圆；按此规律变化下去…    (1)第3个图中有______个圆； (2)第4个图中比第3个图中多______个圆； (3)第n个图中一共有______个圆．（用含n的式子表示） 3．小明想探究自然数的立方和（其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后、想到一个方法、把这个代数问题转化为几何题、具体如下：对应图①中边长为1的小正方形个数；对应图②中边长为1的小正方形的个数；对应图③中边长为1的小正方形个数．小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到． (1)①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形； ②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______； (2)根据小明的发现，请直接写出______（用含的式子表式）； (3)请根据第（2）问的规律求的值． 类型八、数轴折叠对称问题 【解惑】操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 【融会贯通】 1．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 2．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 3．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【一览众山小】 1．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 2．设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（    ） A． B． C． D． 3．已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 5．比较大小： ． 6．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 7．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________  ：_________； (2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________； (3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题： 点与数_________表示的点重合； 若数轴上两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上两点之间的距离 【解惑】在原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：原点左侧距离原点3个单位长度的点表示的数是． 故选C． 【融会贯通】 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C，若，则a的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先用含的式子表示出点，根据列出方程，求解即可． 本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含的式子表示出点是解决本题的关键． 【详解】解：由题意知：点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为． 因为， 所以， 解得或4 ， ． 故选：C． 2．一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行个单位长度到达点，若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】 本题考查的是数轴，正确判断出点和点在原点的左侧是解题的关键．由题意可知，一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行个单位长度到达点，点表示的数为，可以判断点在原点的左侧，且点与点的距离是个单位长度，即可以求出点表示的数． 【详解】 解：一只电子蚂蚁沿数轴从点向右爬行个单位长度到达点，点表示的数为， 可以判断点在原点的左侧，且点与点的距离是个单位长度， 点表示的数为：， 故答案为： 3．已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴，有理数用数轴上的点表示，掌握有理数与数轴上点的关系是关键．根据题意计算、长度，再计算长度，即可得出答案． 【详解】解：点表示的数分别是1，3， ， ， ， 点表示的数是9． 故答案为：9 类型二、数轴上字母大小关系 【解惑】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若，则下列结论中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵，, ∴A. ,错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意；      C. ，错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选D． 【融会贯通】 1．已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵，且 ∴，，，， 故A，B，D都是错误的，C是正确的， 故选C． 2．如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，比较大小： ．（用“>”“<”或“=”号连接） 【答案】> 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，把、表示在数轴上，利用数形结合是解决本题比较简单的方法． 根据相反数的意义，把、先表示在数轴上，然后再利用数轴比较它们的大小即可． 【详解】解：根据相反数的意义，把、表示在数轴上，如图， 所以． 故答案为：>． 3．已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①b+a+（-c）>0：②（-a）-b+c>0；③bc-a>0；④|a-b|-|c-b|+|a-d|=0，其中正确的是 .（请填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】根据数轴先求出a、b和c的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：由图可得，b＜0，0＜a＜c，且|c|＞|b|， ∴b+a+（-c）＜0，故①错误； -a-b+c＞0，故②正确； bc-a＜0，故③错误； |a-b|-|c-b|+|a-c|=a-b-c+b-a+c=0，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识． 类型三、绝对值化简 【解惑】如图所示，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴、化简绝对值，根据数轴得到，进而得到，，再化简绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴得， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，数轴上点表示的数为，化简的结果为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值； 根据数轴得出，可得，然后利用绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：B． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 类型四、幻方幻圆问题 【解惑】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（　　）    A．7 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，先求得得出右上角为，进而求得处对应的数字． 【详解】解：如图所示，    依题意， ∴ ∴ 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是（　　） A． B．1 C．或3 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法，根据题意利用有理数的加法法则进行计算即可．掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 所以内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， 所以， 所以， 故或2， 所以或3． 故选：． 2．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的加法，根据,且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，得出，，，，进而分情况得出a的值，然后计算即可. 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或. 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．    【答案】9 【分析】由题意可知，图（2）中幻方的每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和为，即进而得出、的值，即可求出a的值． 【详解】解：由题意可知，幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等， 即图（2）中幻方的每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和为， 则， ， ， 即a的值是9， 故答案为：9．    【点睛】本题考查了有理数加减法的应用，正确理解幻方—九宫格的要求是解题关键． 类型五、有理数的分类 【解惑】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，， (1)负数集合：｛      …｝； (2)分数集合：｛      …｝； (3)整数巢合：｛      …｝． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，0，2006， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． （1）根据负数包括负整数和负分数解答即可； （2）根据分数包括正分数和负分数解答即可； （3）根据整数包括正整数，零和负整数解答即可． 【详解】（1）负数集合：｛，，，…｝． 故答案为：，，； （2）分数集合：｛，，，，…｝． 故答案为：，，，； （3）整数集合：｛，0，2006，，…｝． 故答案为：，0，2006，． 【融会贯通】 1．把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） 自然数：{                      }； 整数：{                      }； 分数：{                      }； 非负有理数：{                      }． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握正数，负数，正数，分数的概念，是解题的关键．根据有理数的分类，即可得到答案． 【详解】自然数：{②④⑤}； 整数：{②④⑤⑦}； 分数：{①③⑥⑧⑨}； 非负有理数：{①②③④⑤⑨}． 2．把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【答案】，，，；，，；，，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】整数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}； 负分数集合：{，，，…}； 故答案为：，，，；，，；，，． 3．把下面的有理数填在相应的大括号里： ，，，，，，， 正数集合{          …}； 负数集合{          …}； 整数集合{          …}； 非负数集合{          …}． 【答案】见解析 【分析】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，可得答案． 【详解】解：正数集合{，，…}； 负数集合{，，，…}； 整数集合{，，，…}； 非负数集合{，，，…}． 类型六、日历问题 【解惑】在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 【答案】(1)这个数的左上角那天是3月21日； (2)不能圈出和为84的个数． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法的实际应用，整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解题要点是要了解日历上相邻数之间的关系． （1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为，再根据题意建立方程求解即可； （2）假设能用方框圈出的个数字之和能否为84，求得表格中的，再分析17所处的位置，据此进行解答即可． 【详解】（1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为， 由题意得，， 解得， 这个数的左上角那天是3月21日； （2）如果能用方框圈出和为84的个数， 列方程，， 解得， 因为17处于最后一列， 所以不能圈出和为84的个数． 【融会贯通】 1．观察某月日历，回答下列问题：    (1)观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论． (2)小敏外出了5天，这5天的日期之和是65，小敏是几号外出的？ 【答案】(1)①横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍；②竖着看，下一个数字比上一个数字大7（答案不唯一） (2)11号 【分析】（1）根据横向看表格相邻两个数字差1，竖向看表格相邻两个数字差7，回答问题； （2）设小敏号外出，根据相邻两个数字差1，5天的日期之和是65，列一元一次方程，解答即可． 【详解】（1）①横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍； ②竖着看，下一个数字比上一个数字大7； （2）设小敏是x号外出的 根据题意得： 去括号并合并同类项： 解得：． 答：小敏是11号外出的． 【点睛】本题主要考查了表格数字问题．解题的关键是熟练掌握月历表数字规律，列一元一次方程解答． 2．生活与数学 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)山姆同学在某月的日历上圈出个数，如图1，正方形的方框内的四个数的和是48，求这四个数． (2)小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，如图2，斜框内的四个数的和是46，则它们分别是________． (3)刘莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，如图3，它们的和是55，则中间的数是________． (4)某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是________． 【答案】(1)，，， (2)，，， (3) (4) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用和基本的计算能力和找规律的能力，解答时可联系生活实际去解． （1）设第一排第一个数是x，则第一排第二个数是，第二排第一个数是，第二排第二个数是，列方程解方程即可得到答案； （2）设第一排第一个数是x，则第一排第二个数是，第二排第一个数是，第二排第二个数是，列方程解方程即可得到答案； （3）设中间的数为x，则，解方程即可得到答案； （4）设最后一个星期日是，；解方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一个数是x，其他的数为，，， 则， 解得， 答：这四个数是：，，，． （2）设第一个数是x，其他的数为，，， 则， 解得， ∴，，， 故答案为，，，； （3）设中间的数是x， 则， 解得， 故答案为； （4）设最后一个星期日是， 则， 解得， 故答案为：． 3．如图是年月的日历，用一个方框在日历中任意框出4个代表日期的数 (1) _____； (2)设． ①若，求a的值； ②S的值能否为？请说明理由． a b c d 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【答案】(1)0 (2)①a的值是；②S的值不能为，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，有理数加减运算，一元一次方程的应用．根据题意正确的列代数式，列等式是解题的关键． （1）由题意知，，然后代入求解即可； （2）①由题意知，则，计算求解即可；②令，解得，，然后进行判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 故答案为：0； （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，； ②解：令， 解得，， 由日历图可以发现当时，不能象题目那样框出4个代表日期的数， ∴S的值不能为． 类型七、摆放规律问题 【解惑】按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）观察图形即可求解； （）根据（）中的规律即可求解； （）把代入（）中的结果计算即可求解； 本题考查了图形的变化规律类问题，代数式求值，通过图形，找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图形可得，图有个三角形，图有个三角形，图有个三角形， 故答案为：，，； （2）解：∵时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， ∴第个图形中有个三角形； （3）解：当时，， ∴第个图形中有个三角形． 【融会贯通】 1．九年级某班在学习了教材页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程： 将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题： 问题提出 （1）在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有_______个，图2中共有_______个，图3中共有_______个； 操作发现 （2）按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为_______个； 数学思考 （3）按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）4，9，；（2）；（3）存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为个的情况，且最后这个图形中标准小等边三角形的个数为个 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）根据图形求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意推导一般性规律，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，图1中共有4个，图2中共有9个，图3中共有个； 故答案为：4，9，； （2）解：由题意知，第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为个，   故答案为：； （3）解：∵图1中共有 个， 图2中共有个， 图3中共有个； 图4中共有个； …… ∴图中共有个， 依题意得，， ∵， ∴， ∴存在，最后这个图形中标准小等边三角形的个数为个． 2．如图所示的图形是由相同大小的正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成的，我们发现： 第1个图中有4个圆； 第2个图中有6个圆；按此规律变化下去…    (1)第3个图中有______个圆； (2)第4个图中比第3个图中多______个圆； (3)第n个图中一共有______个圆．（用含n的式子表示） 【答案】(1)8 (2)2 (3) 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键． （1）直接计数即可得到答案； （2）由前面几个图形归纳可得后一个图形比前一个图形的圆的个数多2个可得答案； （3）由（1）（2）的观察，再总结规律即可． 【详解】（1）解：第3个图中有8个圆， 故答案为：8； （2）由后一个比前一个多2个圆，可得第4个图中比第3个图中多2个圆； 故答案为：2； （3）∵第1个图有（个） 第2个图有（个） 第3个图有（个） ∴第n个图中一共有个圆， 故答案为：． 3．小明想探究自然数的立方和（其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后、想到一个方法、把这个代数问题转化为几何题、具体如下：对应图①中边长为1的小正方形个数；对应图②中边长为1的小正方形的个数；对应图③中边长为1的小正方形个数．小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到． (1)①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形； ②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______； (2)根据小明的发现，请直接写出______（用含的式子表式）； (3)请根据第（2）问的规律求的值． 【答案】(1)①见解析，②10 (2) (3) 【分析】此题考查了图形的变化类规律，根据题意发现规律是解题的关键． （1）①根据题意可画出边长为10的正方形再减去边长为6的正方形，即可得到图形；②根据得到图形求出边长即可； （2）根据前四个图的变化规律即可得到答案； （3）利用（2）中的规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：①依据题意，可画出边长为10的正方形再减去边长为6的正方形，即为对应的小正方形个数的摆放图形， ②∵． ∴把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为10， 故答案为：10 （2）根据图①得到，， 根据图②得到，， 根据图③得到，， 根据图④得到，， …… 综上可知，． 故答案为： （3） 类型八、数轴折叠对称问题 【解惑】操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 【答案】(1) (2)B点表示的数是或1； (3)M点表示的数是，N点表示的数是． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或1； （3）解：M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是，N点表示的数是． 【融会贯通】 1．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题： (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为 ． A．  C． B．  D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 ，B点表示 ． ③若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为 （用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；② (2)①2019；②，1010；③． 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，，则点表示，点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题； 【详解】（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为， 故选：D． ②一机器人从数轴原点处开始，第1次向左跳一个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． （2）①对称中心是1， 表示的点与表示2019的点重合， 故答案为：2019； ②对称中心是1，， 则点表示，点表示1010， 故答案为：，1010； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，，折叠中间点表示的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，利用数形结合的思想来找到规律，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或；存在，． 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 假设存在． ∵在右侧，在右侧， ∴，， ∴， 当即时， ，为定值， 故存在常数使的值为定值． 【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程． 3．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【答案】（1）3；（2）；（3），4.5；（4）①2；②13 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，,点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3 （2）因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：0 （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （4）①根据题意，, 点P对应的数为， ， 解得：， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为， ， 解得：， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 【一览众山小】 1．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．设是绝对值最小的数，是最大的负整数，是最小的正整数，则三数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数中的相关概念，掌握绝对值，负整数，正整数的概念是解题的关键． 【详解】解：绝对值最小的数是，即， 最大的负整数为，即， 最小的正整数为，即， 故选：A ． 3．已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【答案】5或11 【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解． 【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， C表示的数为：；， 当点在的左侧，， 表示的数为， C表示的数为：， 故答案：5或11． 5．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，先分别求出两个数，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，； ②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 7．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：_________  ：_________； (2)观察数轴，与原点距离为的点表示的数是_________； (3)若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得点与表示的点重合，回答以下问题： 点与数_________表示的点重合； 若数轴上两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示的数是_________，点表示的数是_________． 【答案】(1)，； (2)； (3)；，． 【分析】（）根据数轴的特点读数，即可得到答案； （）根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案； （）根据数轴的性质计算，即可得到答案； 根据数轴和绝对值的性质，结合题意，即可得到答案． 【详解】（1）由数轴可知，点表示数，点表示数, 故答案为：，； （2）根据数轴可知：与原点距离为的点表示， 故答案为：； （3）∵点表示的数为， ∴与数表示的距离为， 要点与表示的点重合， 则以点对折， ∴点以数表示的点对折与数表示的点重合， 故答案为：； ∵数轴上、两点之间的距离为， ∴点在折叠处点的左边，距离折叠处的点距离为：， ∴点表示是数为：，点表示的数为：， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离及正确理解绝对值的概念． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$