专题01 有理数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值“1”与”-1“的化简 【解惑】若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 2．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 3．代数式 的最小值是 ． 类型二、绝对值的最值 【解惑】数轴上表示x和2的两点之间的距离是|x﹣2|，则|x+3|+|x﹣2|的最小值是（    ） A．-3 B．2 C．1 D．5 【融会贯通】 1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 3．若，求代数式 ． 类型三、绝对值方程 【解惑】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【融会贯通】 1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： (1)直接写出式子的最小值是　　　　； (2)当为何值时，代数式的最小值是2； (3)式子的最小值是　　 　． 2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 3．【方法引入】 数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数通过减法运算得到． 如图，点A，B间的距离为：； 点B，C间的距离为：； 点A，C间的距离为：． 【方法应用】 数轴上点P，Q代表的数分别为和4，求点P，Q间的距离； 数轴上点M，N代表的数分别为和，求点M，N间的距离； 【方法拓展】 数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，求另一个点表示的数． 类型四、循环小数化为分数 【解惑】我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离．类似的， 的几何意义就是：数轴上数a和数b对应的两点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．如图数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．    (1)点M、N之间的距离可以表示为_______，通过计算可以得到线段的长度是_______； (2)根据几何意义，表示_______（填“P、M”或“P、N”）两点之间的距离；如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值为_______； (3)若点P到点M的距离，求出x的值； (4)当点P到点M、点N的距离之和是20时，直接写出x的值． 【融会贯通】 1．阅读材料并回答问题： 的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题： (1)若，则的值是______； (2)利用上述方法解下列方程：①；② 2．小明对循环小数转化成分数该过程进行了探究，以下是他以和 （1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 请仿照小明的推导过程，分别把和（写出具体推导过程）． 3．阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数，又如、的循环节分别为“3”“456”，它们可分别写作，像这样的循环小数称为混循环小数．把纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：，根据材料回答问题： (1)是________循环小数(填“纯”或“混”)； (2)将化为分数是________； (3)将化为分数，写出过程． 类型五、裂项求和 【解惑】阅读理解题：无限循环小数与分数． 如果一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.666…的循环节是“6，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数；又如，0.1333…的循环节是“3”，它可以写作，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数． 请将下列分数化成小数：______；______； (2)无限循环小数化成分数，有两种方法： 方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数． 例如：． 请将纯循环小数化为分数：______； 如果小数是混循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯循环小数，然后再化为分数． 例如：． 请将混循环小数化为分数：______． 方法二：应用一元一次方程来解． 例如：将纯循环小数化成分数． 设，则， ， ． 所以． (3)试一试，请你用方法二将化成分数（要求写出过程）． 【融会贯通】 1．小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解： ［小明提出问题］利用一元一次方程将化成分数． ［小明解答］解：设，方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即，可解得，即. （请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） (1)请你仿照上述方法把循环小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程； (2)请你仿照小明的方法把小数化成分数：______． 2．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 3．观察下列等式，并解下列各题． ，，， 讲以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出：__________； (2)直接写出下列各式得计算结果：__________． (3)探究并利用以上规律计算：． 类型六、数列求和 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 请回答下列问题： （1）按以下规律列出第个等式：______________________________； （2）用含的代数式表示第个等式：______________________________（为正整数） （3）求的值． （4）计算：． 2．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 3．求数列的和： 观察题目，我们发现式子里面后一项都是前一项的2倍． 假设原式总和为   ① 接下来我们来看一下是多少， ①：     ② 然后②-①： 所以 (1)根据上面所学，请计算：． (2)由此，请推导出这类数列求和的规律：． (3)由你推导出的规律，请直接写出= ． 类型七、数轴动点求t 【解惑】阅读探究：，，，… (1)根据上述规律，小亮发现，求出___________． (2)小聪继续又发现： ，求出___________． (3)若，请运用小聪的方法求和的值 【融会贯通】 1．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】 （1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝ 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____； 同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________； 如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________； ……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________． 于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________． 【理论推导】 （2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，① 将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，② 由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1． 即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1 根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程． 【规律应用】 （3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”） 2．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 3．已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 类型八、数轴新定义 【解惑】数轴上有A、B、C个点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，移动时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示P对应的数字为　　　　． (2)当P运动到B时，Q从A出发以每秒3个单位的速度向C运动，Q到达C后，立即以同样的速度返回，运动到终点A时停止．在Q开始运动后： ①请用含t的代数式表示：Q的移动时间为　　　　，Q未到达C前Q到C的距离　　　　，Q到达C后Q到C的距离　　　　． ②P、Q两点之间的距离能否为3个单位？如果能，请求出此时t的值；如果不能，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 2．对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点，使得点到点的距离是点到点距离的倍（为有理数），则称点为点的倍关联点． (1)当时． ①点表示的数为2，点表示的数为点3，点P位于原点O和点之间，求点表示的数？ ②点表示的数为2，点表示的数为点3，则点表示的数为_______． (2)点表示的数为t，点表示的数为，点位于点，之间（可以与，重合），直接写出的取值范围． 3．数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 【一览众山小】 1．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 2．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 4．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 5．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 6．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 7．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 8．（1）一个数a，当a>0时，= ；当a<0时，= ； （2）两个数a、b，当ab<0时，= ； （3）三个数a、b、c，当abc<0，a+b+c>0，且，求的值 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值“1”与”-1“的化简 【解惑】若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题，在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号，解题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式 ， ， 故选：． 【融会贯通】 1．已知有理数a，b，c满足，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据推出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 2．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 3．代数式 的最小值是 ． 【答案】2021 【分析】根据数轴上两点之间距离的意义求解． 【详解】解：根据数轴上两点之间距离的意义可知： 原式的最小值即为数轴上与-1009、-506、1012对应的点之间的距离，如图所示， ∵1012-（-1009）=2021， ∴所求最小值为2021， 故答案为2021． 【点睛】本题考查数轴的应用，熟练掌握数轴上两点之间距离的意义是解题关键． 类型二、绝对值的最值 【解惑】数轴上表示x和2的两点之间的距离是|x﹣2|，则|x+3|+|x﹣2|的最小值是（    ） A．-3 B．2 C．1 D．5 【答案】D 【分析】弄清楚|x+3|+|x﹣2|可以理解为数轴上表示x的点到表示-3和2这两点的距离之和，即可求解． 【详解】解：|x+3|+|x﹣2|的最小值为|2-(-3)|=5， 故选：D 【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解． 【融会贯通】 1．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解． 【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 取得最小值时，的取值范围是； 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解． 2．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 3．若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 类型三、绝对值方程 【解惑】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【融会贯通】 1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： (1)直接写出式子的最小值是　　　　； (2)当为何值时，代数式的最小值是2； (3)式子的最小值是　　 　． 【答案】(1)5 (2)或 (3)8 【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示3与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据原式的最小值为2，得到在表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可获得答案； （3）设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数，分情况讨论当点处在数轴上不同位置时式子的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：的最小值是5，理由如下： ， 在数轴上点分别表示数、3、，如下图，    几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以，的最小值是5； （2）当为或时，代数式为或，数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为2，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为2， 所以，当为或时，原式的最小值是2； （3）式子的最小值是8，理由如下：①③④ 设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数， ①如下图，当点在点左侧时，    ； ②如下图，当点与点重合时，    ； ③如下图，当点在线段上时，    ； ④如下图，当点与点重合时，    ； ⑤如下图，当点在线段上时，    ； ⑥如下图，当点与点重合时，    ； ⑦如下图，当点在点右侧时，    ． 综上所述，式子的最小值是8． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 3．【方法引入】 数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数通过减法运算得到． 如图，点A，B间的距离为：； 点B，C间的距离为：； 点A，C间的距离为：． 【方法应用】 数轴上点P，Q代表的数分别为和4，求点P，Q间的距离； 数轴上点M，N代表的数分别为和，求点M，N间的距离； 【方法拓展】 数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，求另一个点表示的数． 【答案】方法应用：点P，Q间的距离为；点M，N间的距离为；方法拓展：另一个点表示的数为或． 【分析】方法应用：根据数轴上两点间的距离求解即可； 方法拓展：根据数轴上两点间的距离和列绝对值方程进行求解即可 ． 本题考查数轴上两点间的距离、解绝对值方程等知识，涉及数形结合方法，是重要考点，解题的关键是理解题意，掌握相关知识． 【详解】方法应用：∵数轴上点P，Q代表的数分别为和4， ∴点P，Q间的距离为； ∵数轴上点M，N代表的数分别为和， ∴点M，N间的距离为； 方法拓展：设另一个点表示的数为m． 由题可得，， 解得或， 即另一个点表示的数为或． 类型四、循环小数化为分数 【解惑】我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离．类似的， 的几何意义就是：数轴上数a和数b对应的两点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．如图数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．    (1)点M、N之间的距离可以表示为_______，通过计算可以得到线段的长度是_______； (2)根据几何意义，表示_______（填“P、M”或“P、N”）两点之间的距离；如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值为_______； (3)若点P到点M的距离，求出x的值； (4)当点P到点M、点N的距离之和是20时，直接写出x的值． 【答案】(1)；12 (2)P、N； (3)或 (4)或8 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式即可求出答案； （2）根据绝对值的意义即可求出表示P、N间的距离，再根据点P到点M、点N的距离相等列出含绝对值的等式，解方程即可求出答案； （3）根据点P到点M、点N的距离之和是20，列出含绝对值的方程，再根据绝对值的性质，分情况讨论即可求出答案； （4）根据题意列出含绝对值的方程，根据点P的位置关系去绝对值解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵轴上两点M、N对应的数分别为、4， ∴点M、N之间的距离可以表示为， 故答案为：；12． （2）解：根据几何意义，表示表示P、N两点之间的距离； ∵点P到点M、点N的距离相等， ∴点P一定在点M与点N之间， ∴， 解得：， 故答案为：P、N；． （3）解：∵点P到点M的距离， ∴， ∴或， 解得：或． （4）解：∵点P到点M、点N的距离之和是20， ∴，即， 当时，上式为：， 解得：； 当时， 上式为：，此方程无解； 当时，上式为： 解得：； 综上所述，x的值为：或8． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，两点间的距离，绝对值的意义，解绝对值方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，数轴上两点间距离公式． 【融会贯通】 1．阅读材料并回答问题： 的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题： (1)若，则的值是______； (2)利用上述方法解下列方程：①；② 【答案】(1) (2)①或，②或 【分析】（1）根据表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）①根据，表示在数轴上与3的距离为2的点对应的数，求出答案； ②根据，表示在数轴上表示数的点到表示数1与表示数3的距离之和为8，求出答案． 【详解】（1）解：，数轴上表示数的点到原点的距离为2，因此或， 故答案为：； （2）①在数轴上到3的距离为2的点对应的数， 或． ②在数轴上到1和3的距离和为8的点对应的数， 或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． 2．小明对循环小数转化成分数该过程进行了探究，以下是他以和 （1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 请仿照小明的推导过程，分别把和（写出具体推导过程）． 【答案】，． 【分析】仿照小明的推导过程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解小明的推导过程是解题的关键． 3．阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数，又如、的循环节分别为“3”“456”，它们可分别写作，像这样的循环小数称为混循环小数．把纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：，根据材料回答问题： (1)是________循环小数(填“纯”或“混”)； (2)将化为分数是________； (3)将化为分数，写出过程． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法运算即可； （3）根据混循环小数化分数的方法运算即可． 【详解】（1）解：由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数， 故答案是：是； （2）， 故答案为：； （3）． 【点睛】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，有理数的四则混合运算等知识，认真读题，理解题意是解题关键． 类型五、裂项求和 【解惑】阅读理解题：无限循环小数与分数． 如果一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.666…的循环节是“6，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数；又如，0.1333…的循环节是“3”，它可以写作，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数． 请将下列分数化成小数：______；______； (2)无限循环小数化成分数，有两种方法： 方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数． 例如：． 请将纯循环小数化为分数：______； 如果小数是混循环小数，可以通过先扩大倍数再缩小的方法化为纯循环小数，然后再化为分数． 例如：． 请将混循环小数化为分数：______． 方法二：应用一元一次方程来解． 例如：将纯循环小数化成分数． 设，则， ， ． 所以． (3)试一试，请你用方法二将化成分数（要求写出过程）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了无理数的相关知识点，正确读懂材料内容是解题关键． （1）将分数化成小数即可； （2）根据材料中给出的两种方法即可求解； （3）设，则，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， 故答案为：， （2）解：由材料可知：； ； 故答案为：， （3）解：设，则， ， ． 所以． 【融会贯通】 1．小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解： ［小明提出问题］利用一元一次方程将化成分数． ［小明解答］解：设，方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即，可解得，即. （请你体会将方程两边都乘以10起到的作用） (1)请你仿照上述方法把循环小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程； (2)请你仿照小明的方法把小数化成分数：______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用． （1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可； （2）根据转化分数的方法，设，，仿照例题的解法（换成）转化为，求出其解即可． 解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． 【详解】（1）解：设，方程两边都乘以10，可得． 由，可知， 即，可解得，即. （2）设，方程两边都乘以100，可得： 由，可知：， 即， 解得，即， 故答案为：． 2．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 3．观察下列等式，并解下列各题． ，，， 讲以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想并写出：__________； (2)直接写出下列各式得计算结果：__________． (3)探究并利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中给出的例子即可找出规律； （2）根据（1）中得出的规律进行计算即可； （3）根据得出的规律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键． 类型六、数列求和 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：＝ ＝ ； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝ （n为正整数）； (3)求 的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可； （2）根据所给的等式，进行总结可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 第5个等式：； 故答案为：，． （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 以此规律可得，， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【融会贯通】 1．观察下列等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 请回答下列问题： （1）按以下规律列出第个等式：______________________________； （2）用含的代数式表示第个等式：______________________________（为正整数） （3）求的值． （4）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）直接根据前面的4个式子，即可得到答案； （2）根据题意，总结出前面几个式子的规律，然后得到答案； （3）分别把每个数代入计算，进行化简整理，即可得到答案； （4）根据题意，模仿（2）中的结论，把每个分数进行拆分，然后进行计算，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵， ， ， ； ∴； 故答案为：，； （2）根据（1）中的式子，可知： ； 故答案为：，； （3） = = = = =； （4） = = = = = =. 【点睛】本题主要考查数字的变化类题目，有理数的混合运算，正确理解题意，找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解题的关键． 2．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 3．求数列的和： 观察题目，我们发现式子里面后一项都是前一项的2倍． 假设原式总和为   ① 接下来我们来看一下是多少， ①：     ② 然后②-①： 所以 (1)根据上面所学，请计算：． (2)由此，请推导出这类数列求和的规律：． (3)由你推导出的规律，请直接写出= ． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）根据样例推算即可得到答案； （2）根据样例推算，根据和两种情况讨论即可得到答案； （3）将原式分解成2020个式子相加，再根据已知的公式代入计算即可得到答案． 【详解】（1）设① ①的：② ②-①得： 即； （2）设①， ①得：②， ②-①的： 当时，， 当时，； （3）设， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的规律，解题的关键是能够将整式分解成已知公式的整式的和． 类型七、数轴动点求t 【解惑】阅读探究：，，，… (1)根据上述规律，小亮发现，求出___________． (2)小聪继续又发现： ，求出___________． (3)若，请运用小聪的方法求和的值 【答案】(1)6 (2)7 (3)， 【分析】（1）根据阅读材料，发现规律即可求解； （2）根据阅读材料，发现规律即可； （3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ 故答案为：6 （2）解：∵， ， ∴， ∴. 故答案为：7 （3）解：∵， ∴ ∵， ∴，. 【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料． 【融会贯通】 1．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】 （1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝ 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____； 同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________； 如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________； ……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________． 于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________． 【理论推导】 （2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，① 将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，② 由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1． 即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1 根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程． 【规律应用】 （3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”） 【答案】（1）；；；()n；1 - ()n ；（2）+()2+()3+…+()n  = 1-()n，推导过程见解析；（3）= 【分析】（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解 （2）根据材料中的计算求和的方法即可求解； （3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小． 【详解】解：（1）S阴影2＝1－－()2=1-==， S阴影3＝1－－()2－()3=1-==， S阴影4＝1－－()2－()3－()4==， ⋯ S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n， 于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =1 - ()n 故答案为：；；；()n；1 - ()n （2）解：设S = +()2+()3+…+()n， ① 将①×得：S = ()2+()3 +)4 …+()n + ()n+1 ，② ①－②得：S = - ()n+1 ，③ 将③×2得：S = 1-()n 即得+()2+()3+…+()n  = 1-()n （3）=，理由如下： ∵＋＋＋……=1-()n ，当n越来越大时，()n越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n趋于无穷时，()n就等于0，故1-()n就等于1， 故答案为：= 【点睛】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． 2．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 3．已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；1；6 (2)8 (3)不变；3 【分析】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2）首先确定的取值范围，再化简绝对值即可； （3）根据题意，用表示出，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）解：∵所对应的点分别为， 由（1）可知，，，， ∴点A表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是6， ∵根据题意，点P在B、C间运动， ∴， ∴； （3）解：不变，理由如下： 根据题意，当经过秒钟过后， 点A表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，， ∴， ∴的值不变，． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、化简绝对值、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离以及数轴上动点问题等知识，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 类型八、数轴新定义 【解惑】数轴上有A、B、C个点，分别表示有理数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，移动时间为t秒．    (1)用含t的代数式表示P对应的数字为　　　　． (2)当P运动到B时，Q从A出发以每秒3个单位的速度向C运动，Q到达C后，立即以同样的速度返回，运动到终点A时停止．在Q开始运动后： ①请用含t的代数式表示：Q的移动时间为　　　　，Q未到达C前Q到C的距离　　　　，Q到达C后Q到C的距离　　　　． ②P、Q两点之间的距离能否为3个单位？如果能，请求出此时t的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，，；②能，t的值为或9或或 【分析】（1）由题意知，P对应的数字为； （2）①由题意知，P运动到B时，用时秒，由P运动到B时，Q从A出发，可知Q的移动时间为；Q未到达C前，对应的数字为，然后求即可，Q从A出发到达C，用时秒，Q到达C后，Q到C的距离；②当Q到达C前，，由，可得，计算求解即可；当 Q到达C后，，由（2）①可知，此时对应的数字为，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，P对应的数字为， 故答案为：； （2）①解：由题意知，P运动到B时，用时秒， ∵P运动到B时，Q从A出发， ∴Q的移动时间为； Q未到达C前，对应的数字为，   ∴Q到C的距离， Q从A出发到达C，用时秒， ∴Q到达C后，Q到C的距离， 故答案为：，，； ②解：当Q到达C前，， ∵， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 当Q到达C后，， 由（2）①可知，此时对应的数字为， ∵， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，P、Q两点之间的距离能为3个单位，t的值为或9或或． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程，熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 【答案】(1)30，，36 (2)6或 (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36． （2）点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或． 解法2 设点C表示的数为，点表示的数为30，点表示的数为， 当点在点的右侧时，则，， ， ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则，， ， ∴， 解得； 故点在数轴上表示的数为6或． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 2．对于数轴上的点，给出如下定义：若在数轴上存在点，使得点到点的距离是点到点距离的倍（为有理数），则称点为点的倍关联点． (1)当时． ①点表示的数为2，点表示的数为点3，点P位于原点O和点之间，求点表示的数？ ②点表示的数为2，点表示的数为点3，则点表示的数为_______． (2)点表示的数为t，点表示的数为，点位于点，之间（可以与，重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①1②4或 (2) 【分析】（1）表示出的距离和的距离，根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出，设点表示的数为，用含的式子表示， 即可求出最终结果； 本题主要考查运用数轴和距离进行列式计算，解题的关键是利用数形结合的方法进行求解． 【详解】（1）①设点表示的数为， 点P位于原点和点之间， 故答案为：1 ②设点表示的数为， 解得：或 点B表示的数为：4或． （2）解：设点表示的数为， 点位于点之间（可以与重合） 整理： ． 3．数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)40或或 【分析】（1）根据题意求得与的关系，得出答案； （2）分点P为A、B的中点关联点，A为P、B的中点关联点，B为A、P的中点关联点列式解答即可． 【详解】（1）解：因为点A表示数，点表示数1，且点是点与点的中点， 所以， 所以点表示的数为； （2）解：分三种情况： ①若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ②若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ③若点是点，的“中点”则点表示的数是：． 故点表示的数为40或或． 【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离，理解新定义，分类讨论是解题关键． 【一览众山小】 1．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（　　） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键； 根据有理数的比较大小，即可找出最小的数. 解：∵，，， 最小的数是. 故选：D. 2．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 3．当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 4．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 5．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7． (1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　； (2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值． 【答案】(1)1，6 (2)﹣4或6 【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答； （2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧． 【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3， ∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1， d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6， 故答案为：1，6； （2）分两种情况： 当点E在点A的左侧， d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x， d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴2﹣x＝3（﹣2﹣x）， ∴x＝﹣4， 当点E在点B的右侧， d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3， d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3， ∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍， ∴3+x＝3（x﹣3）， ∴x＝6， 综上所述：x的值为﹣4或6． 【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键． 6．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】 本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1） 解：， 故答案为:； （2） 解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 7．点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）根据伴随点的定义，求出，进而得出点的值； （）根据伴随点的定义，列出关于点的方程 ，代入即可求的得值； （）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于的方程，求出值即可； 本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴点表示的数是 ∴点关于原点的伴随点表示的数是； （2）解：根据题意得，， 即， 根据数轴有， ∴可化为，， 解得； （3）解：根据题意得：点秒后的位置为，点秒后的位置为，点表示的数是， 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即 ， ∵， ∴， 解得不合，舍去， 故点关于点的伴随点是点不存在； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得； 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 综上：或或． 8．（1）一个数a，当a>0时，= ；当a<0时，= ； （2）两个数a、b，当ab<0时，= ； （3）三个数a、b、c，当abc<0，a+b+c>0，且，求的值 【答案】（1）1，-1；（2）-1；（3）-5． 【分析】（1）根据题目给出的条件，利用绝对值的性质化简即可； （2）分为两种情况：①，,②，,分别化简绝对值然后计算即可； （3）根据已知得出其中一个为负数，其余两个为正数，分为三种情况：①当a＜0时，b＞0，c＞0，②当b＜0时，a＞0，c＞0，③当c＜0时，a＞0，b＞0，化简绝对值，然后求出x的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）当a>0时，， 当a<0时，； （2）当时，有两种情况：①，,②，, ∴①当，时, ②当，时, ， ∴综上所述，当时， （3）解：，， 符合条件的只有一种情况： 其中一个为负数， 其余两个为正数， 分为以下三种情况： ①当时，，，，，， ； ②当时，，，，，， ； ③当时，，，，，， ， 综上所述，的值为 0， ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和应用，能根据绝对值的性质将等式化简是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$