专题01 一元二次方程（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据一元二次方程的定义求参 【解惑】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 3．已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 类型二、代入方程的解求参 【解惑】若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【融会贯通】 1．如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 3．若关于的一元二次方程的一个根为．则 ． 类型三、整体代入 【解惑】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【融会贯通】 1．已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 类型四、变形求值 【解惑】若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【融会贯通】 1．已知a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C． D． 2．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 3．若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 类型五、赋值求解 【解惑】已知下面三个关于x的一元二次方程恰好有一个相同的实数根b，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【融会贯通】 1．方程的一个根为（    ） A．1 B． C． D． 2．若关于的一元二次方程与有且只有一个相等的实数根，则的值为 ． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ． 类型六、根据判别式与根求参 【解惑】若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 类型七、根与系数关系变形求值 【解惑】已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 2．已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 类型八、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】如图，有长为的篱笆，围成矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体．（墙体的最大可用长度为），如果围成的花圃的面积为，试求的长．    【融会贯通】 1．某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为米的篱笆围成一个矩形场地，其中边，为篱笆．如果矩形场地的面积是平方米，求矩形场地的长和宽各是多少米？ 2．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 3．新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 类型九、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件．如果每月要盈利2.88万元，求每件应降价多少元？ 【融会贯通】 1．“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变） (1)设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示） (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额； (3)水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由． 2．某商场销售一种学生用的计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台．根据市场调查，发现如果每台计算器的售价每上涨1元，每周就会少卖10台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元． (1)设每台售价上涨x元，每周的销售量为y台，则y与x之间的函数关系式为______； (2)当计算器售价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？（主要步骤列方程解答） 3．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/台．厂商建议，台灯的标价应不低于25元/台，且不高于30元/台． (1)小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为25元/台时，每天能售出80台；若台灯的价格每上涨1元，日销量会下降8台．求日销售量P（台）与x（元/台）之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，小亮希望日销量不低于60台，则台灯的售价不能超过多少元/台？ (3)“618”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为450元．“618”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按30元/台标价，并打a折销售；当天销售量在80台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“618”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值． 类型十、解方程——换元法 【解惑】． 【融会贯通】 1．解方程：． 2．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 3．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【一览众山小】 1．已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 2．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪、则该矩形草坪边的长是（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．6或10 3．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 5．关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 6．随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为： ． 7．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． (3)若，求证：； 8．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ 9．阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 10．某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/件时，日销售量为件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当销售量为件时，产品售价为 元/件； (2)求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围； (3)该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利元？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据一元二次方程的定义求参 【解惑】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 3．已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 类型二、代入方程的解求参 【解惑】若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．如果0是关于的一元二次方程的一个根，那么的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程得，解方程得，然后根据一元二次方程的定义得到的值． 【详解】解：把代入一元二次方程 得， 解得， 而， 所以的值为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 2．若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，可求，由，即，可得． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 3．若关于的一元二次方程的一个根为．则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得或 当时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 类型三、整体代入 【解惑】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 2．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 3．已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】∵关于的方程的解是 ，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键． 类型四、变形求值 【解惑】若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值．本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程根的定义得到，再化简所求代数式，得出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∵ = ∴原式， 故选D． 2．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 3．若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 类型五、赋值求解 【解惑】已知下面三个关于x的一元二次方程恰好有一个相同的实数根b，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】把代入得： ， 相加得：， ， ∵， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．方程的一个根为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】分别把各选项代入方程，判断方程两边是否相等即可求解． 【详解】解：把代入方程得，， ∴是方程的解，故A符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故B不符合题意； 把代入得，， ∴不是方程的解，故C不符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟记方程的解的定义是解题的关键． 2．若关于的一元二次方程与有且只有一个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代入求出的值是解题的关键． 先解方程，可得，然后再分别代入方程中，进行计算即可解答． 【详解】， 或， ， 把代入方程中得： 解得：（不合题意，舍去）； 把代入方程中得： 解得：； 综上所述：的值为8， 故答案为：8． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意得出，求出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， 解得：， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、解二元一次方程、求代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 类型六、根据判别式与根求参 【解惑】若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可． 【详解】解：当时，即，这时方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，则， 解得且， 综上所述，m的取值范围是， 故选A． 【融会贯通】 1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式求出m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围得出m的最小整数，代入方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）由题意得： 解得： （2）∵ ∴m的最小整数为 此时方程为 解得： 类型七、根与系数关系变形求值 【解惑】已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 2．已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知，，，进而整理出，将其代入化简求值即可． 【详解】解：、是方程的两个实根， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 类型八、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】如图，有长为的篱笆，围成矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体．（墙体的最大可用长度为），如果围成的花圃的面积为，试求的长．    【答案】的长为4米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键．设的长为，则，根据围成的花圃的面积为建立方程求解，排除不符合实际的解，即可得出结果． 【详解】解：设的长为，则， 依据题意列方程得：， 解得：（舍）， 答：的长为4米． 【融会贯通】 1．某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为米的篱笆围成一个矩形场地，其中边，为篱笆．如果矩形场地的面积是平方米，求矩形场地的长和宽各是多少米？ 【答案】矩形场地的长为米，宽为米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练根据题意列出式子是解题的关键．设矩形场地的长为米，则宽为米，根据面积是平方米列式求解即可，注意长大于宽． 【详解】解：设矩形场地的长为米，则宽为米， 由题意得：， 化简得：， 解得：， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； ∴，， 答：矩形场地的长为米，宽为米． 2．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 【答案】(1)米 (2)上涨元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【详解】（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 3．新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 类型九、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件．如果每月要盈利2.88万元，求每件应降价多少元？ 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 【融会贯通】 1．“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变） (1)设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示） (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额； (3)水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由． 【答案】(1) (2)每千克售价为 54 元或 56 元时， 每天能获得 9072 元的销售额 (3)不能达到这个 “小目标”，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为：； （2）设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 或， 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额； （3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， ， 不能达到这个“小目标”． 2．某商场销售一种学生用的计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台．根据市场调查，发现如果每台计算器的售价每上涨1元，每周就会少卖10台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元． (1)设每台售价上涨x元，每周的销售量为y台，则y与x之间的函数关系式为______； (2)当计算器售价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？（主要步骤列方程解答） 【答案】(1) (2)当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）由实际销售量等于原来销量减去减少的销量即可得到关系式； （2）由每件计算器的利润乘以销售数量建立方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：， ∴， 解得，，， ∵， ∴符合题意， ∴此时计算器的售价为（元）， 即当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元． 3．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/台．厂商建议，台灯的标价应不低于25元/台，且不高于30元/台． (1)小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为25元/台时，每天能售出80台；若台灯的价格每上涨1元，日销量会下降8台．求日销售量P（台）与x（元/台）之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，小亮希望日销量不低于60台，则台灯的售价不能超过多少元/台？ (3)“618”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为450元．“618”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按30元/台标价，并打a折销售；当天销售量在80台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“618”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值． 【答案】(1) (2)台灯的售价不能超过27.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式解决实际问题以及二元一次方程的应用． （1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可． （2）根据（1）的一次函数关系式列出关于x的一元一次不等式求解即可． （3）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为： （2）， 解得， 所以台灯的售价不能超过27.5元； （3）根据题意列方程：， 整理得：． 解得或（舍去）． 类型十、解方程——换元法 【解惑】． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 【详解】解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 2．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 3．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 【一览众山小】 1．已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．如图所示，某公园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪、则该矩形草坪边的长是（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列出方程成为解题的关键． 设草坪的长为x米，则宽为且可得，再根据面积为120平方米列方程求解即可． 【详解】解：设草坪的长为x米，则宽为， ∵， ∴，解得：， 由题意可得：，解得：或6（不合题意舍弃）， ∴该矩形草坪边的长是10． 故选C． 3．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ∴，即a和c异号， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， ∴ ∴方程的两个根异号，故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，，故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ，故④正确． 故正确的有①③④． 故选：C． 4．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 5．关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题， 首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可． 【详解】 去分母得， 解得 ∴ ∴， ∴或 解得或 ∵关于x的方程的根满足， ∴或 解得（舍去），． 故答案为：6． 6．随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 设每件成本的平均降低率是x，经过第一次下降的成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，再结合现在的成本是每件192元即可列出方程． 【详解】解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：． 故答案为：． 7．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． (3)若，求证：； 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； （3）因为，结合和，得，则，又因为，即可证明． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； （3）证明：因为， 把和代入上式， 得， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即． 8．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ 【答案】(1)米 (2)50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为10000元， 根据题意得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元． 9．阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 10．某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/件时，日销售量为件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当销售量为件时，产品售价为 元/件； (2)求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围； (3)该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利元？ 【答案】(1) (2)（，x为整数）． (3)该产品的售价每件应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用， （1）利用售价，即可求出结论； （2）利用日销售量，即可找出日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式； （3）利用电商每天销售该产品获得的利润=每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元/件）， ∴当销售量为件时，产品售价为元/件． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ∵该产品的进货价为元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元/件， ∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为； （3）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该产品的售价每件应定为元． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$