专题01 一元二次方程（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程解的估算 【解惑】根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【融会贯通】 1．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 类型二、配方法的应用 【解惑】阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【融会贯通】 1．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： (1)初步思考：自变量的取值范围是 ； (2)探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第 象限； (3)深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值． 2．先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 3．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 类型三、十字相乘法的应用 【解惑】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【融会贯通】 1．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 2．阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．先阅读理解下面的例题，再解答问题： 例：解一元三次方程 ∵  即 由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得 x＝0或x＋1＝0或x－1＝0 ∴     根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答： (1)解一元三次方程； (2)解一元三次方程． 类型四、换元法的应用 【解惑】【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 2．阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得． 当时，，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想； (2)仿照上面的方法，解方程． 3．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 类型五、根与系数的对称式 【解惑】阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【融会贯通】 1．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 2．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 3．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 类型六、找规律 【解惑】阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【融会贯通】 1．按如下规律摆放黑色棋子： (1)填写表格 图案序号 棋子个数 (2)直接写出第18个图案的棋子个数为______． (3)若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有1443个棋子，如果有，请求出来；如果不存在，说明理由． 2．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 3．[问题提出]如图1，每一个图形中的小圆点都按一定的规律排列，设每条边上的小圆点个数为a，每个图形中小圆点的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写∶ a 1 2 3 4 … 8 … S 1 6 … … [变式探究]请运用你在图1中获得的经验，结合图2中小圆点的排列规律，写出第n个图形的小圆点总数S与n之间的关系式_________________． [应用拓展]生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图3的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到721个？若能，求出n的值；若不能，说明理由． 类型七、阅读理解 【解惑】综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； (2)求出代数式的取值范围； 2．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值． 3．【阅读理解】我们把叫做一元二次方程（）根的判别式.当一元二次方程（）有实数根时，判别式，即得到一个关于a、b、c的不等关系式，我们把利用判别式解决问题的方法叫做判别式法． 【例题示范】例：已知关于x的方程有实数根，求c的取值范围． 解：一元二次方程有实数根的条件是，即，解得． 【问题解决】 (1)关于x的方程有实数根，求t的值或取值范围． (2)用一段长16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长是xcm，面积是S． ①用x的代数式表示S，并将此等式整理成关于x的一元二次方程的一般形式； ②请运用判别式法求S的最大值，并求出此时x的值． 类型八、一元二次方程的应用——几何动点 【解惑】如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 2．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 类型九、一元二次方程的新定义 【解惑】定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”． (1)不等式与 “整数交集”；（填“有”或“没有”）； (2)关于的不等式与不等式“有整数交集”，求的取值范围； (3)若关于的不等式与“没有整数交集”，则的取值范围是 ． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 3．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 类型十、一元二次方程与函数、几何结合 【解惑】【问题背景】 如图1，在平行四边形中，，点是边的中点，连接，点是线段上的动点，连接，且满足． 【初步尝试】 （1）如图 2，当四边形是正方形时，若，则____，______． 【猜想验证】 （2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段的中点，可得始终为定值．请你猜想这个定值是多少？并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图 3，在（2）的基础上，若，当四边形是菱形时，求菱形的边长． 【融会贯通】 1．如图1，在边长为的正方形中，对角线、相交于点O，点E、F是上的两个动点，且，连接、．分别取、、的中点H、K、G，连接、． (1)如图1，求证：①；②； (2)直接写出的最小值； (3)如图2，连接、，求证：四边形是平行四边形； (4)若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形，求的长． 2．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，直线的关系式为，且，直线，点P是的平分线与直线l的交点．    (1)求点P的坐标______． (2)如果直线、l、x轴不能围成三角形，且的面积为，求直线的解析式． (3)如果作直线，过点作x轴的平行线与直线l交于点M，与直线g交于点N．过点N作y轴的平行线与直线交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【一览众山小】 1．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ） A．9尺 B．10尺 C．8尺 D．6尺 3．如图，点同时从矩形的顶点出发，点沿运动，到达点将暂停后继续运动，点沿运动，两点到达点后均停止运动．已知，，点在矩形长边运动时速度均为，点、在矩形短边运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，与的函数关系如图．则下列说法中错误的是（   ） A．的值为16 B．当时，的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 4．若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则 ． 5．如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 6．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上（点不与点，点重合），连接，，且，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则 （用含的代数式表示），的长为 ． 7．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)当时，连接，取线段的中点，请直接写出的长度． 8．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 9．小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】 当时，根据题意，在图①上画出图形， 在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角， 第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值． 10．如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．    (1)当时，求t的值． (2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由． (3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程解的估算 【解惑】根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【融会贯通】 1．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 类型二、配方法的应用 【解惑】阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3) 【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等． （1）根据题意配方即可得到本题答案； （2）先提出2，再配方即可求最值； （3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 【融会贯通】 1．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： (1)初步思考：自变量的取值范围是 ； (2)探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第 象限； (3)深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值． 【答案】(1) (2)一、三 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，判断反比例函数图象所过象限，以及配方法在最值问题中的应用． （1）根据函数解析式分母不为0即可求解； （2）根据当时，；当时，和象限坐标特点判断，即可解题； （3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：函数自变量的取值范围是， 故答案为：． （2）解：当时，；当时，． 该函数图像在第一、三象限． 故答案为：一、三． （3）解：当时， ， 于是，当时，即时，的最大值是． 2．先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 3．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)6； (2) (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； （2）解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． 类型三、十字相乘法的应用 【解惑】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 2．阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得，或． 所以原方程的解为，． 3．先阅读理解下面的例题，再解答问题： 例：解一元三次方程 ∵  即 由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得 x＝0或x＋1＝0或x－1＝0 ∴     根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答： (1)解一元三次方程； (2)解一元三次方程． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）先分组后，再分组分解，然后提公因式，再利用公式法因式分解，再根据“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”转化为一元一次方程，解方程即可； （2）先分组后，再分组分解，然后提公因式，再利用公式法因式分解，再根据“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”转化为一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解一元三次方程， 因式分解得， ， ， 由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得： 或或， ∴； （2）解一元三次方程， ， ， ， ∴， 由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得： 或或， ∴，，． 【点睛】本题考查高次方程的解法，因式分解化为因式及为0的形式，转化为一元一次方程来解，掌握因式分解法是解高次方程的专用工具． 类型四、换元法的应用 【解惑】【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 【答案】(1)；1 (2)①，②或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可； （2）①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或或， 解得， 故答案为：；1； （2）解：①∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴； ②令，则， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 2．阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得． 当时，，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想； (2)仿照上面的方法，解方程． 【答案】(1)降次 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想， 故答案为：降次． （2）解： 设， ∴原方程化为： ∴ 解得： 当时，，即， ∴ 解得：； 当时，，即 ∵ ∴此方程无解， ∴原方程的根为 3．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)；；； (2)， 【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换； （1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可； （2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可； 【详解】（1）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为：；；；． （2）设，则有， 原方程可化为：， 解得（舍）或， ， ， 解得或； 经检验：，是原方程的解． 类型五、根与系数的对称式 【解惑】阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 【融会贯通】 1．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 2．阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 3．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，求的值； (3)已知．满足，则正整数的最小值为______． 【答案】(1)，，，6 (2)2或 (3)3 【分析】（1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到,即可得到p、q的值； （2）讨论：当时，易得原式；当时，把m、n看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答； （3）利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴,解得． 故答案为：，，，6． （2）解：∵m,n满足， 当时，原式； 当时，m、n可看作方程的两根， ∵， ∴原式． 综上，的值为2或． （3）解：∵， ∴， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而c＞0， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么由求根公式可推出，是解答本题关键． 类型六、找规律 【解惑】阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 【融会贯通】 1．按如下规律摆放黑色棋子： (1)填写表格 图案序号 棋子个数 (2)直接写出第18个图案的棋子个数为______． (3)若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有1443个棋子，如果有，请求出来；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)有，第个图案 【分析】本题考查了图形类规律探究，解一元二次方程； （1）观察图象，找到规律，棋子的个数为序号的平方加上序号的2倍，完成填表即可； （2）根据（1）的结论，当时，即可求解； （3）设第个图案的棋子数为个，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：填写表格 图案序号 1 2 3 4 … n 棋子个数 3 8 15 24 … （2）当时，， 故答案为：． （3）设第个图案的棋子数为个，列方程得， 解得或（舍去） 答：存在第个图案，恰好含有个棋子． 2．【观察思考】 【规律发现】 （）第个图案中“”的个数为______； （）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示） 【规律应用】 （）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多． 【答案】（）；（），；（）． 【分析】（）根据前几个图案的规律，即可求解； （）根据题意，结合图形规律，即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了图形类规律以及解一元二次方程，根据图形找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， ∴第个图案中“”的个数是个， 故答案为：； （）第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中“”的个数是个， ∴第个图案中“”的个数可表示为， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中有个○， 第个图案中“○”的个数是， ∴第个图案中“○”的个数是， 故答案为：，； 由题意可得，， 整理得，， 解得：（舍去）或． 3．[问题提出]如图1，每一个图形中的小圆点都按一定的规律排列，设每条边上的小圆点个数为a，每个图形中小圆点的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写∶ a 1 2 3 4 … 8 … S 1 6 … … [变式探究]请运用你在图1中获得的经验，结合图2中小圆点的排列规律，写出第n个图形的小圆点总数S与n之间的关系式_________________． [应用拓展]生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图3的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到721个？若能，求出n的值；若不能，说明理由． 【答案】问题提出：见解析；变式探究：；应用拓展：，经过若干轮分裂后，细胞总数能达到721个，此时． 【分析】本题考查了图形的规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 问题提出：根据前4个图形归纳类推出一般规律，再填表即可； 变式探究：观察图形可知，第1-3个图形的小圆圈总数依次为，，，再结合问题提出中的结论，归纳类推出一般规律即可得； 应用拓展：观察图形可知，经过1-3轮分裂后细胞总数依次为，，，再结合变式探究中的结论，归纳类推出一般规律，然后根据“细胞总数达到1261个”建立方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：问题提出：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为， 第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为， 第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为， 第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为， 则当时，， 当时，， 将表格填写如下： 1 2 3 4 5 … 8 … 1 3 6 10 15 … 36 … 变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为， 第2个图形的小圆圈的总数为， 第3个图形的小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为， 故答案为：； 应用拓展：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为， 经过2轮分裂后细胞总数为， 经过3轮分裂后细胞总数为， 归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为， 假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到721个， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 所以假设成立， 所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到721个，此时． 类型七、阅读理解 【解惑】综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； (2)求出代数式的取值范围； 【答案】(1)a＝6或a＝﹣6 (2)或≥﹣2 【分析】（1）仿照例题，设，变形为，根据，列出不等式，根据最小值为﹣6，即可求解； （2）仿照例题，设y＝，变形为，根据，得，解法方程，得，根据材料二即可求解． 【详解】（1）解：设，变形为， ∵， ∴可得， 而由已知y≥﹣6， 故3﹣＝﹣6， ∴a＝6或a＝﹣6． （2）设y＝，变形为， ∵， ∴，化简得， 解得：， ∴根据材料二，， ∴y或y≥﹣2． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式来确定代数式的取值范围，仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，掌握一元二次方程根的判别式与解一元二次方程是解题的关键． 2．阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值． 【答案】(1)a＝6或a＝﹣6 (2)y或y≥﹣2 (3)或 【分析】（1）根据材料一设，化为x的一元二次方程用△≥0得y的范围，再列出a的方程求解； （2）设y＝，变形之后用△≥0求解，再根据材料二得到结论； （3）用△≥0得到代数式值的不等式，已知代数式值的最大、最小值，实质是已知和这个不等式对应的方程的二根，代入便可以求解． 【详解】（1）解：设，变形为， ∵△≥0， ∴可得， 而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6， ∴a＝6或a＝﹣6． （2）设y＝，变形为， ∵△≥0， ∴，化简得， 先求出的二根， ∴根据材料二得y或y≥﹣2． （3）设y＝，变形得， ∵△≥0， ∴， 整理得， 由已知可得﹣4≤y≤7， 根据材料二知的二根是， 代入整理得， 解得或． 【点睛】本题难度较大，主要考查阅读能力，能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系和一元二次方程根的判别式． 3．【阅读理解】我们把叫做一元二次方程（）根的判别式.当一元二次方程（）有实数根时，判别式，即得到一个关于a、b、c的不等关系式，我们把利用判别式解决问题的方法叫做判别式法． 【例题示范】例：已知关于x的方程有实数根，求c的取值范围． 解：一元二次方程有实数根的条件是，即，解得． 【问题解决】 (1)关于x的方程有实数根，求t的值或取值范围． (2)用一段长16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长是xcm，面积是S． ①用x的代数式表示S，并将此等式整理成关于x的一元二次方程的一般形式； ②请运用判别式法求S的最大值，并求出此时x的值． 【答案】(1)t=2 (2)①，；②S最大值为16，x=4 【分析】（1）根据材料提供的思路即可解决； （2）①由题意可表示出矩形的宽，从而可得到S关于x的关系式，然后整理即可； ②根据材料提供的思路即可求得S的最大值及此时x的值． 【详解】（1）由题意得：，     整理得：， ∵， ∴t−2=0， 即t=2． （2）①由题意得：矩形的宽为， 则矩形的面积为：， 整理成关于x的一元二次方程的一般形式为：； ②由于关于x的一元二次方程有正实数解， ∴， ∴， 即S的最大值为16，此时，解得： ， 即当x=4时，S取得最大值16． 【点睛】本题是材料阅读与问题解决的问题，读懂题中提供的材料并能灵活运用是解题的关键． 类型八、一元二次方程的应用——几何动点 【解惑】如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 2．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据矩形，，，，结合点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，得到，继而得到，利用三角形面积公式计算的面积即可； （2）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，解方程即可求t的值． （3）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，利用一元二次方程根的判别式计算解答即可． 【详解】（1）∵矩形，，， ∴， ∵点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， ∴． （2）∵，且的面积等于8平方厘米， ∴， 解得或． （3）∵，且的面积等于10平方厘米， ∴， 整理，得， ∴， ∴方程无实数根， 故不存在的面积等于10平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的面积，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （3）分两种情况，列出的方程可得出答案． 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得， 舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． 类型九、一元二次方程的新定义 【解惑】定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式“有整数交集”；反之，如果两个一元一次不等式没有公共整数解，那么称这两个不等式为“没有整数交集”． (1)不等式与 “整数交集”；（填“有”或“没有”）； (2)关于的不等式与不等式“有整数交集”，求的取值范围； (3)若关于的不等式与“没有整数交集”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)有； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式组的整数解，理解不等式“有整数交集”和“没有整数交集”是解题的关键． （）把不等式的解集在数轴上表示出来即可求解； （）求出两个不等式的解集，由两个不等式“有整数交集”可得，解之即可求解； （）求出不等式为，根据不等式与“没有整数交集”可得． 【详解】（1）解：不等式的解集在数轴上表示如下，由数轴可知，它们有“整数交集”， 故答案为：有； （2）解：由不等式得，， 由不等式得，， ∵两个不等式“有整数交集”， ∴， 解得； （3）解：由不等式得，， ∵不等式与“没有整数交集”， ∴， 故答案为：． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2)方程的“最值码”为； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是 ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】解决问题：（1）；（2）；探究问题：（1）；（2）当时，为“完美数”，理由见解析；拓展结论：当时，最大，最大值为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． [解决问题]（1）把34分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； [探究问题]（1）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； [拓展结论]由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：解决问题：（1）根据题意得：； 故答案为：； （2）根据题意得：， ，， ∴； 故答案为：； 探究问题：（1）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （2）当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； 拓展结论：， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 3．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)①见解析；②或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）①利用一元二次方程根的判别式列式计算即可求解； ②先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴方程不是差积方程； 故答案为：不是； （2）解：①∵， ∴， ∴关于的方程不论取何值，方程总有实数根； ②∵， ∴， 解得：， ∵是差积方程， ∴， 即或． 解得：或． 类型十、一元二次方程与函数、几何结合 【解惑】【问题背景】 如图1，在平行四边形中，，点是边的中点，连接，点是线段上的动点，连接，且满足． 【初步尝试】 （1）如图 2，当四边形是正方形时，若，则____，______． 【猜想验证】 （2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段的中点，可得始终为定值．请你猜想这个定值是多少？并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图 3，在（2）的基础上，若，当四边形是菱形时，求菱形的边长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）菱形的边长为或 【分析】（1）根据正方形的性质，点E是边的中点，再根据勾股定理求出，进而推出，，根据等面积求出，由，作答即可； （2）取线段和的中点H、M，连接，则MH是的中位线，由的性质，点E是边的中点，进而推出，则，推出； （3）分情况讨论，根据勾股定理和解一元二次方程，即可求出菱形的边长． 【详解】解：（1）在正方形中，，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由如下：如图，取线段和的中点H、M，连接，    则是的中位线， ∴，， 在中，，， ∵点E是边的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴∠HFG=∠DGF， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）情况1：如图，取中点M，连接，    ∵菱形， ∴，， 由（2）得， ∴，得， 解得（舍去），， ∴， 在中，， 在中，， 情况2：如图，取中点M，连接， ∵菱形， ∴， 由（2）得， ∴，， 得， 解得（舍去），， ∴， 在中，， 在中，， ∴菱形的边长为或． 【点睛】本题是平行四边形综合题，考查了勾股定理，平行四边形的性质，解一元二次方程，三角形全等的判定和性质，解题的关键是分类讨论，作辅助线． 【融会贯通】 1．如图1，在边长为的正方形中，对角线、相交于点O，点E、F是上的两个动点，且，连接、．分别取、、的中点H、K、G，连接、． (1)如图1，求证：①；②； (2)直接写出的最小值； (3)如图2，连接、，求证：四边形是平行四边形； (4)若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)见解析 (4)或2 【分析】（1）①利用正方形，得出，，利用中点定义可得出，利用中位线定理可得出，，利用平行线的性质可得出，结合，即可得出结论； ②利用①中的结论直接证明即可； （2）利用（1）中，得出，则可求，则当A、F、G三点共线时，取最小值，最小值为，在中，利用勾股定理求出即可； （3）利用（1）中，得出，利用平行线的性质得出，利用补角的性质得出，利用平行线的判定得出，结合，利用平行线四边形的判定即可得证； （4）分点E在线段和线段上讨论，利用等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，矩形的性质求解即可． 【详解】（1）证明∶ ①∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是的中点，G是的中点， ∴， 又K是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ②由①知，，， ∴； （2）解：连接， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，，，， ∴， 即取最小值为； （3）证明：∵ ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （4）解：∵正方形的边长为 ， ∴， 当E在线段上时，如图，过点F作于M， ∵四边形是矩形， ∴， 又K是中点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） 当E在线段上时，如图，过点F作于M， 设， 同理可求，，，， 在中，， ∴， 解得（舍去），； ∴若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形，则的长为或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 2．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，直线的关系式为，且，直线，点P是的平分线与直线l的交点．    (1)求点P的坐标______． (2)如果直线、l、x轴不能围成三角形，且的面积为，求直线的解析式． (3)如果作直线，过点作x轴的平行线与直线l交于点M，与直线g交于点N．过点N作y轴的平行线与直线交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，的和是定值． 【分析】（1）利用角平分线的性质与一次函数的性质列方程求解即可； （2）由直线，l，x轴不能围成三角形，可得，则直线为：，求解，，再结合面积公式列方程求解即可； （3）如图，求解，，；可得，，再分情况讨论即可； 【详解】（1）解：∵直线， ∴设， ∵点P是的平分线与直线l的交点． ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵直线，l，x轴不能围成三角形， ∴， ∴直线为：，    当时，，当时，， ∴，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴直线为：； （3）解：如图，    当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ∴，， 当时， ∴， 当时，； 当时， ∴， 当时，，但，故此情况舍去， 综上：当时，的和是定值． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．如图，直线分别与轴，轴交于点，点，点是反比例函数图象与直线在第一象限内的交点，过点作轴于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是直线右侧反比例函数图象上一点，且，直线交轴于点，点，是直线上两点，点在点的左侧且，求的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时； (3)或 【分析】（1）先依次求出点A、点B、点P的坐标，进而利用待定系数法求解k值即可； （2）过D作y轴的平行线交直线于K，设，，则，利用三角形的面积公式和坐标与图形求得，利用待定系数法求得直线的表达式为，则， 将点D沿射线方向平移个单位长度得到，连接，由平行四边形的判定与性质得到，当E、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长；利用两点坐标距离公式可求得，求出直线的表达式为，联立方程组求得，再利用平移性质可求得； （3）分当在的左侧时和当在的右侧时两种情况，分别利用坐标与图形性质，结合全等三角形、联立方程组解方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得，则， ∴， ∵， ∴，则， 由题意，点P的横坐标为2， 将代入中得， ∴， 将点P坐标代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：过D作y轴的平行线交直线于K， 设，，则， ∵，，， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为，则， ∵，， ∴， 将点D沿射线方向平移个单位长度得到，连接，， 则四边形是平行四边形，则， ∴，当E、M、共线时取等号， 此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴直线的表达式为，， 由得， ∴，则， ∴的最小值为，此时； （3）解：当在的左侧时，如图， 设直线与x轴的交点为Q，则， ∴，则， ∵当时，， ∴，则， 过M作轴于H， ∴，，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即点E、M、F共线， 则点F为直线与反比例函数图象的交点， 由得， 解得或（舍去）； 当在的右侧时，如图，轴，则， 则， ∴，则， ∴直线的表达式为， 由得， 解得或（舍去）， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 【一览众山小】 1．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解．即，即可解得、的关系． 【详解】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴无解， 即， 解得：或． 当时，一定满足要求． 故选：A． 2．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ） A．9尺 B．10尺 C．8尺 D．6尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程等．根据题意设竿长为尺，则门宽尺，门高尺，门对角线长尺，根据勾股定理列式即可得到本题答案． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽尺，门高尺，门对角线长尺， ∴，整理得：， 即：（舍）或， 则门高尺， 故选：C． 3．如图，点同时从矩形的顶点出发，点沿运动，到达点将暂停后继续运动，点沿运动，两点到达点后均停止运动．已知，，点在矩形长边运动时速度均为，点、在矩形短边运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，与的函数关系如图．则下列说法中错误的是（   ） A．的值为16 B．当时，的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象问题、函数的解析式，涉及待定系数法求一次函数等知识点，根据运动速度、矩形各边长度可求得不同时间段内点E和点F的位置，根据的面积为求出段和段的函数解析式，即可求解． 【详解】解：由题意知，当时，点E运动到B点，点F运动到D点，， 此时，即， 故选项A说法正确，不合题意； 时，点E、点F的位置及各线段长度如下图所示： ， 段的函数解析式为， 故选项C说法错误，符合题意； 当时，解得（负值舍去）， 当时，若，则，解得（负值舍去）， 当时，的值为3或， 故选项B说法正确，不合题意； 当时，点E在上，点F运动到C点，， 此时， ， 当时，点E运动到C点，， ， 设段的函数解析式为，将和代入，解得， 段的函数解析式为， 故选项D说法正确，不合题意； 故选C． 4．若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，设方程的两个根分别为a、b，方程的两个根分别为c、d，则由根与系数的关系得到，，进而得到，，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为a、b，方程的两个根分别为c、d， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为 . 【答案】或 【分析】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．过点F作于H，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设，从而得出，，然后根据折叠的性质可得，再利用勾股定理求出x，即可求出结论． 【详解】解：过点F作于H， ∵四边形为矩形，平分 ∴ ∴为等腰直角三角形，设， 则，， 由折叠的性质可得， 在中， 即 解得：， ∴或 故答案为：或． 6．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上（点不与点，点重合），连接，，且，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则 （用含的代数式表示），的长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质和折叠性质得到，，；进而推导出，，过D作于H，利用角平分线的性质得到，证明得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，，， ∵将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，则， 过D作于H，则， ∴，又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由得， 整理，得， 解得，， 即，， 当时，此时，则点E与A重合， 故不合题意，应舍去； 所以．　 故答案为：5或． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，涉及矩形的性质、折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 7．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)当时，连接，取线段的中点，请直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)的值为或． (3) 【分析】（1）过点作于点，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解； （2）分点在线段上，点在线段上，点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，三种情况计算即可； （3）延长交延长线于点，过点作于点，由，得，，再证明，得，，，再利用勾股定理及直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：平行四边形中， ∵，，， ∴，， 如图，过点作于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴平行四边形的面积为：（）． 答：平行四边形的面积为； （2）解：∵由（）知平行四边形的面积为． ∴当的面积为平行四边形的面积的时， 的面积为：（）， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，，，同（1）高为（）， ∴， ∴（舍）或， ∴，符合题意； 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒，， ∴，不符合题意； 当点运动到线段上时，且运动时间为秒时，点也运动到线段上， 如图，过点作垂直于点，垂直于延长线于点， ∵四边形为平行四边形，，，， ∴， ∴， ∴同（1），（）， ∴， 化简得：， ∴（舍去），， 当时，点位于线段上，点位于线段上，符合题意． 综上所述，的值为或． （3）解：延长交延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质或平行四边形的性质是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1)和； (2)； (3)或． 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或． 9．小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D直线右侧的一动点．作点关于直线的对称点为点，连接，直线与直线交于点，连接，． (1)【动手操作】 当时，根据题意，在图①上画出图形， 在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角， 第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，如图②，当时，若，，请继续研究并求的值． 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作出点C关于直线AD的对称点E，再连接对应线段即可作图，根据轴对称性质可知对应角相等； （2）根据等边对等角证明，结合（1）的结论得出，再由勾股定理即可得出，，根据对称性质得，由此得出结论； （3）同理可得，进而可得，在利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由轴对称性质可知：，，， 故答案为：，， （2）结论：，， ∵点C关于直线AD的对称点是点E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3）由对称的性质可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分别过点C、B作、垂足分别为、， ∴在中，， ∴，， ∴， ∴在中， ， 设， 在中，， ∴，， ∴在中，，即：， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 10．如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．    (1)当时，求t的值． (2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由． (3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在值 (3) 【分析】（1）由题意得，，由平行四边形的性质得出，，，，证出四边形是平行四边形，得出，得出方程，解方程即可； （2）作于，延长交延长线于，由直角三角形的性质得出，，求出平行四边形的面积，由直角三角形的性质得出，，得出，得出的面积，由题意得出方程，解方程即可； （3）证出四边形是平行四边形，得出，由（2）得，，，，求出，由线段垂直平分线的性质得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）由题意得：，， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：（秒； （2）不存在，理由如下： 作于，延长交延长线于，如图2所示：    则， ，， 平行四边形的面积， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积， 若的面积是平行四边形面积的， 则， 整理得：， ， 方程无解， 不存在值，使得的面积是平行四边形面积的； （3）存在，理由如下： 延长交延长线于，如图3所示：    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）得：，， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， 解得：， 存在的值，使得点在线段的垂直平分线上，秒． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形面积公式、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$