精品解析：青海省海东市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

海东市第一中学2023~2024学年度第二学期第二次月考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，即可得以及. 【详解】因为，可得， 所以，即． 故选：B. 2. 已知向量，它们的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的计算公式即可代入求值. 【详解】因为向量，它们的夹角为，所以， 所以. 故选：C. 3. 将图(1)中的等腰直角三角形沿斜边 的中线折起得到空间四面体，如图(2)，则在空间四面体中, 与的位置关系是（ ） A. 相交且垂直 B. 相交但不垂直 C. 异面且垂直 D. 异面但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判断定理，证出平面；再由线面垂直的定义即可证出，由于不相交即可得出答案. 【详解】折起前，折起后有，，且， 所以平面，所以又与不相交，故与异面且垂直. 故选C 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及线面垂直的定义，需掌握线面垂直的判定定理内容，证明异面直线垂直一般先证线面垂直，此题属于基础题. 4. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误； 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确； 数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确； 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确． 故选：A． 5. 如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中，则的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 故的面积． 故选：A． 6. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系求，再运用三角形面积公式计算即得结果. 【详解】因为，，故， 所以的面积为. 故选：A. 7. 已知是虚数单位，则复数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用完全平方和公式展开，再4次方即可求出. 【详解】因为，所以. 故选：B. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. （多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市中小学生每天的运动时间 B. 某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查 C. 农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中8位店员的生活质量情况 【答案】AC 【解析】 【分析】 选项B要普查，选项D容量小可以普查，选项A,C总体容量大，用抽样调查. 【详解】因为B中要对所有小朋友进行检查，所以用普查的方式；D中共8名店员，可采用普查的方式；A，C中总体容量大，难以做到普查，故采用抽样调查的方式. 故选:AC. 【点睛】本题考查抽样调查适用的范围和条件，属于基础题. 10. 若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为1 C. 在复平面上对应的点位于第一象限 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据乘方的周期性以及复数除法法则化简复数，再判断选项即可. 【详解】因为复数， 对于A,B,的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确； 对于C，，所以在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 11. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若非零向量满足，且不共线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量相等判断A；取判断B；由数量积公式结合数乘运算判断C；由平面向量基本定理判断D. 【详解】根据平面向量相等的定义，A正确；若，则不能推出，B错误； 表示与共线的向量，表示与共线的向量，C错误； 根据平面向量基本定理，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点：按比例抽样，即所占比例不变． 【详解】高二人数占总人数的比例为，高二抽取的人数为 故答案为：10． 13. 在中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再结合同角三角关系分析求解. 【详解】由正弦定理，可得， 又因为，则， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解. 【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： （1）求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数； （2）求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和标准差s. 【答案】（1）86分 （2）85分，5 【解析】 【分析】（1）依题意可得职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数，从而计算可得； （2）根据平均数、标准差公式计算可得. 【小问1详解】 解：∵， ∴抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为第个与第个数据的平均数， 即， 故抽取的10名退休职工问卷得分的分位数为86分. 【小问2详解】 解：抽取的10名退休职工问卷得分的平均数为分. 抽取的10名退休职工问卷得分的标准差 . 16. 在中，分别是内角的对边，已知. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题中等式利用余弦定理解出答案； （2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算的结果； 【小问1详解】 由， 有. 又， 因为,所以. 【小问2详解】 由，有， 可得，得.， 的面积为. 17. 在四棱柱中，已知底面ABCD是菱形，平面ABCD，M、N分别是棱、的中点 （1）证明：平面DMN； （2）证明：平面平面在D. 【答案】（1）证明： 连接，在四棱柱中， 因为，， 所以，所以为平行四边形，所以 又M，N分别是棱，的中点， 所以，所以 又平面DMN，平面DMN， 所以平面 （2）证明： 因为四棱柱是直四棱柱， 所以平面，而平面， 所以 又因为棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面也是菱形， 所以，而，所以 又，，平面，且， 所以平面 而平面DMN，所以平面平面D. 【解析】 【分析】连接，推导出为平行四边形，从而推导出，从而由此能证明平面DMN． 推导出 ，由，得，再由，得平面由此能证明平面平面D. 【详解】(1)略； (2)略. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，熟悉定理是解题的关键，是中档题． 18. 已知向量不共线，向量. （1）若，求的值； （2）若为相互垂直的单位向量，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行关系列出等式结合平面向量基本定理求参； （2）应用两个向量垂直得出数量积为0，再应用向量的模求出向量的平方计算求参即可. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以存在实数，使得， 则，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 即. 因为为相互垂直的单位向量，所以， 则，即. 19. 在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1） 如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF， 因为是等边三角形，F是PA的中点，所以， 又因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以， 因为四边形ABCD是矩形，所以，所以， 又因为，所以， 因为，且平面PAB，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面BEF，所以. （2）2 【解析】 【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得； （2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面PAB，平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面PDA，所以， 过作的垂线，垂足为，连接，如图所示， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，所以二面角的大小为， 在等边中，因为，可得， 在直角中，由，则，可得， 在直角中，可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海东市第一中学2023~2024学年度第二学期第二次月考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 3 2. 已知向量，它们的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. D. 13 3. 将图(1)中的等腰直角三角形沿斜边 的中线折起得到空间四面体，如图(2)，则在空间四面体中, 与的位置关系是（ ） A. 相交且垂直 B. 相交但不垂直 C. 异面且垂直 D. 异面但不垂直 4. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 5. 如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中，则的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 6. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是虚数单位，则复数（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. （多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市中小学生每天的运动时间 B. 某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查 C. 农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中8位店员的生活质量情况 10. 若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为1 C. 在复平面上对应的点位于第一象限 D. 11. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若非零向量满足，且不共线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为___________. 13. 在中，，，，则______. 14. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某单位为了了解退休职工生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查，满分100分，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下： 分数 77 79 81 84 88 92 93 人数 1 1 1 3 2 1 1 试回答以下问题： （1）求抽取的10名退休职工问卷得分的分位数； （2）求抽取的10名退休职工问卷得分的平均数和标准差s. 16. 在中，分别是内角的对边，已知. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 17. 在四棱柱中，已知底面ABCD是菱形，平面ABCD，M、N分别是棱、的中点 （1）证明：平面DMN； （2）证明：平面平面在D. 18. 已知向量不共线，向量. （1）若，求的值； （2）若为相互垂直的单位向量，且，求的值. 19. 在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $