河南省卢氏县第一高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

2023-2024学年下期期末质量检测 高一数学试题 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（ ） A．36 B． C． D． 3. .已知事件A与事件B是互斥事件,则(　　) A.P()=0　B.P(A∩B)=P(A)P(B) C.P(A)=1-P(B)　D.P()=1 4．设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A．若,则 B．若,则 C．若m,n是两条不同的异面直线，，则 D．若,则m与所成的角和n与所成的角互余 5．中，设,若,则的形状是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 6．如右图所示，正三棱锥中，D,E,F分别是的中点，P为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（ ） A． B． C． D．随P点的变化而变化 7．如图，四面体中，两两垂直，,点E是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点B到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 8．在中，已知分别为角的对边．若,且，则（ ） A． B． C． D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 10．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．P为线段的中点时，过D,P,Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．的最小值为 D．直线与直线所成角的取值范围为 11．如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点A折至处（平面）,若M为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为,则在折起过程中，下列说法正确的是（ ） A．存在某个位置，使得 B．面积的最大值为 C． D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知p:向量与的夹角为锐角．则实数m的取值范围为___________． 13．在中，角所对的边分别为，且．当取最小值时，___________． 14．甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则第一局甲胜且第二局乙胜的概率为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）在中，已知角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若边上的中线为，求的值； 16（本小题15分）从参加某环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下. (1)成绩在[80,90)内的频数、频率分别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数;(同一组中数据用该组区间中点值作代表) (3)从成绩是80分及以上的学生中选两人,求他们的成绩在同一分数段的概率. 17（本小题15分）为普及安全知识,某学校组织安全知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均需参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响,各轮结果也互不影响. (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大? (2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18.（本小题17分）如图，在三棱锥中，为等边三角形，且，分别为的中点，交于点． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分）如图，在直角梯形中，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为． （1）当时，求证：平面平面； （2）若为的中点，当时，求二面角的正切值． 2023-2024学年下期期末质量检测 高一数学试题参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．【详解】因为,所以， 所以z的共轭复数,对应的点坐标为位于第四象限． 故选：D 2．【答案】C 【详解】在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为36，所以所求的直观图的面积为． 故选：C 3．【答案】D　事件A与事件B是互斥事件,不一定是互斥事件,所以P()不一定为0,故A错误;因为A∩B=⌀,所以P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不一定为0,故B错误; 事件A与事件B是互斥事件,不一定是对立事件,故C错误; 事件A与事件B是互斥事件,则是必然事件,所以P()=1,故D正确. 故选D. 4.【答案】C【详解】A．,则,又，则,所以不正确，A不正确； B．,则或,故B不正确； C．若m,n是两条不同的异面直线，,则,C正确． D．由时，m,n与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知n与所成的角相等，m与所成的角相等， 因此m与所成的角和n与所成的角不一定互余，D不正确． 故选：C 5．【答案】A 【详解】解：, , ∴角A为钝角， 故选：A． 6．【答案】C 【详解】试题分析：连接与是正三角形，,则平面,即;又,所以, 即与所成的角的大小是． 7．【答案】D 【详解】由题知面,又,点E是的中点，，且又面, 过B作于E,则,又面为直线与平面所成角，即为B到平面的距离． ，解得,利用等面积知． 故选D 8．【详解】因为， 由余弦定理得,整理得， 由正弦定理得 ， 又因， 所以， 解得或， 而, 且, 所以,所以． 故选：C． 二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC 10．【答案】BC 【详解】选项A,面面面, 到面的距离等于到面的距离， ,故A正确； 选项B,连接, 分别为线段的中点，且, 又 且且, 所以过三点的截面为梯形, 易知, 作,则， 所以梯形的面积，故B错误； 选项C:将侧面展开如图，显然当Q,P,D三点共线时，取得最小值，最小值为,故C错误； 选项D,连接,则 , 则直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 则当P与C重合时，直线与直线所成角最小为， 当P与重合时，直线与直线所成角最大为， 所以直线与直线所成角的取值范围为，故D正确． 故选：BC． 12．【答案】BD 【详解】对于A,如图1，取的中点N,连接,显然, 图1 且,又，且,所以, 所以四边形为平行四边形，故, 又，且N为的中点，则与不垂直， 所以s不垂直，故A错误； 对于B,由得，, 所以当时，最大，最大值为,B正确； C选项，如图2，取的中点的中点Q，作平面, 且点O在平面内，连接， 图2 由知，, 又,且,所以, 所以在平面上的射影在直线上，即点O在直线上， 所以为平面与平面所成的二面角，则, 所以， 又在平面上的射影为,则,所以， 所以,C错误； D选项，结合C可知，, 如图3，当点O,P重合时，即平面时，最大，最大值为， 因为,所以点Q为三棱锥的外接球球心G在平面上的投影， 故,连接,过点G作于点F, 因为平面平面,所以, 则， 设,则, 由勾股定理得, 设三棱锥的外接球半径为R,则, 故,解得, 图3 所以其外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确． 故选：BD 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【答案】． 13.【答案】 【详解】因为，由余弦定理得：,整理得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则此时,此时， 又因为，所以． 故答案为：． 14.【答案】 解析　比赛结果为第一局甲胜且第二局乙胜,则第二局为乙执黑子先下,在第一局中谁执黑子先下需要分类讨论, 若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为, 若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为, 又第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,所以所求概率为. 四．解答题（本大题共6小题，共77分） 15.【详解】（1）由，以及正弦定理可得：， 即， 即 又在中，，所以， 又，所以， （2） 16.【详解】　(1)由题图可得,成绩在[50,60)内的频率为0.015×10=0.15, 成绩在[60,70)内的频率为0.025×10=0.25, 成绩在[70,80)内的频率为0.035×10=0.35, 成绩在[90,100]内的频率为0.005×10=0.05, 则成绩在[80,90)内的频率为[1-(0.15+0.25+0.35+0.05)]÷2=0.1, 其频数为40×0.1=4. (2)估计这次竞赛成绩的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68. 因为0.1+0.15+0.25=0.5,所以估计这次竞赛成绩的中位数为70分. (3)记“取出的2人的成绩在同一分数段”为事件E, 易得成绩在[80,90)内的人数为40×0.1=4,设这4个人分别为a,b,c,d, 成绩在[90,100]内的人数为40×0.05=2,设这2个人分别为A,B, 从这6人中选出2人,所有样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15个, 其中事件E包含的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共7个, 则P(E)=. 17.【详解】(1)设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”,A2=“甲在第二轮比赛中胜出”,B1=“乙在第一轮比赛中胜出”,B2=“乙在第二轮比赛中胜出”,A=“甲赢得比赛”,B=“乙赢得比赛”. 则P(A1)=, ∴P(A)=P(A1)P(A2)=, P(B)=P(B1)P(B2)=.( ∵,∴派甲参赛赢得比赛的概率更大. (2)由(1)知A∪B=“两人中至少有一人赢得比赛”. 易得P(, ∴P(A∪B)=1-P(. 18.【详解】（2）假设线段上存在一点使平面，连接， 平面，平面平面， ， 是的中点， 是的中点， 又是等边三角形的重心， ， 点是线段上靠近的三等分点． 19．【详解】（1）当时，平面平面． 在直角梯形中，，所以，所以， 因为平面平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，即证． （2）取的中点，连接，因为，所以． 因为为的中点，连接，则为的中位线，所以． 因为，所以， 所以为二面角的平面角，即． 因为平面 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 因为平面平面， 所以过作，交于点， 则平面． 平面，过作与点，连结． 所以． 所以为二面角的平面角． 在中，． 在中，． 在中，， 所以， 故二面角的正切值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$