精品解析：江苏省徐州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023~2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含单项选择题（第1－8题）、多项选择题（第9－11题）、填空题（第12－14题）、解答题（第15－19题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的展开式中所有不含的项的系数之和为（ ） A. B. C. 1 D. 243 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，得这些项的系数之和为. 故选：B 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 3. 设为两个事件，已知，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件概率及全概率公式列式计算即得. 【详解】由 ，得，显然， 因此，所以. 故选：D 4. “哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和.”若我们将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法求出所有拆解情况，利用古典概型公式即可求得答案. 【详解】16可以拆成在加数都大于2的条件下 共有11种情况, 其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况. 所以拆成的和式中，在加数都大于2的条件下加数全部为素数的概率为. 故选：C. 5. 经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”，则可由求出，从而可求. 【详解】设为“每年四月份降雨”，为“四级以上大风天气”， 则，， 故， 故. 故选：C. 6. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，得，则，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 7. 不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得. 【详解】当时，ξ的可能取值为1，2， ，， 因此，； 当时，的可能取值为1，2，3， ，，， 因此，， 所以，. 故选：A 8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值． 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，直三棱柱中，，，D，E，M分别为，，的中点，点N是棱AC上一动点，则( ) A. B. 存在点N，平面 C. ∥平面 D. 存在点N， 【答案】AD 【解析】 【分析】A：连接，证明平面即可； B：建立空间直角坐标系，判断MN与BN是否可能垂直即可； CD：当N是AC中点时，MN∥DE. 【详解】A选项： 连接，由题可知四边形是正方形，则， 由题知平面平面，平面平面，，平面ABC， ∴平面，又，∴， 又，平面，∴平面， ∵平面，∴. 故A正确； B选项： 如图建立空间直角坐标系，设AC＝BC＝＝2， 则，，，，，设，，则，， 若BN⊥MN，则，即，方程无实数根，即BN与MN不垂直，则不存在点N，使得平面，B错误； C选项： 当N是AC中点时，MN∥，∥DE，∴MN∥平面； 当N不是AC中点时，MN和B1C相交，若∥平面，结合∥平面可知平面∥平面，这显然与图形不符(与AC相交)，故此时与平面不平行；故C错误； D选项： 由C项可知，N为AC中点满足题意，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 的展开式中，的系数为20 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望和方差的公式即判断A；利用二项展开式的通项公式，再进行合理赋值即判断B；根据排列数和组合数的计算即判断C；结合组合计数问题及古典概率求出概率判断D． 【详解】对于A，由，得，，解得，A正确； 对于B，的展开式的通项为， 令，得的系数为，B错误； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，设随机变量X表示取得次品的个数，则，D正确． 故选：ACD 11. 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A，由每次取一球，得事件不可能同时发生，即互斥，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C、D，显然，则， 且，显然，C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设夹角，则,由即得解. 【详解】由题意知，． 设，则． 又，则，故． 故答案为： 13. 饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为__________. 【答案】##0.1 【解析】 【分析】利用列举法求出基本事件总数和其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况的种数，由此能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率． 【详解】质点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，基本事件总数有： 右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下， 下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，共10种， 其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种，右右下下下， 所以恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为． 故答案为： 14. 如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图： 依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ （1）甲同学既不站在排头也不站在排尾； （2）甲､乙､丙三位同学两两不相邻； （3）甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； （4）甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【答案】（1）30240； （2）14400； （3）2880； （4）21600. 【解析】 【分析】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得. （2）利用插空法求解不相邻问题. （3）利用捆绑法求解相邻问题. （4）利用排除法列式计算即得. 【小问1详解】 中间6个位置取1个让甲站，余下7个位置让另7个人站， 所以不同排法种数是. 【小问2详解】 排除甲､乙､丙三位同学的5名同学，再在每一种排法的6个间隙中插入甲､乙､丙， 所以不同排法种数是. 【小问3详解】 分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余4名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列， 所以不同排法种数是. 【小问4详解】 求出8个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的3人相邻的排列， 所以不同排法种数是. 16. 如图，在四面体中，平面，点在线段上. （1）当点是线段中点时，求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离； （2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【小问1详解】 由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 17. 某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.该4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元：分12期或15期付款，其利润为2万元.用X表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期 分15期 频数 30 20 10 （1）求上表中的值； （2）若以频率作为概率，求事件“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率； （3）求的分布列及均值. 【答案】（1），； （2）0.896； （3）的分布列为 1 1.5 2 0.3 0.4 0.3 ，1.5万元.【解析】 【分析】（1）根据给定的频率及购车顾客总数，列式计算即得. （2）利用互斥事件及独立重复试验的概率公式计算即得. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由分9期付款的频率为0.2，得，解得， 又，解得， 所以，. 【小问2详解】 以频率作为概率，购买该品牌汽车的顾客中采用分9期付款”的概率为， 所以“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用9期付款”的概率为： . 【小问3详解】 的可能取值为：1，1.5，2（单位万元） ，，， 所以的分布列为 1 1.5 2 0.3 0.4 0.3 的数学期望(万元). 18. 已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在中，， 翻折后，，则， 于是，而平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用翻折的特性，结合勾股定理逆定理证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，且，显然直线两两垂直， 如图，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由E是线段的中点，得，， 在平面中，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 ； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列关求出期望. （2）根据给定条件，利用二项分布的概率公式，结合互斥事件的概率求出概率，用二项分布的方差公式求出方差. （3）利用正态分布的对称性和对立事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，可知可取0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 从而的数学期望. 【小问2详解】 可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然， ，， . 所以技术攻坚成功的概率， 所以的方差. 【小问3详解】 由，得，由，得， 则， 于是，则， 记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件， 则. 所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为. 【点睛】方法点睛：判断随机变量是否服从二项分布：一是要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为，；二是看是否为次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含单项选择题（第1－8题）、多项选择题（第9－11题）、填空题（第12－14题）、解答题（第15－19题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的展开式中所有不含的项的系数之和为（ ） A. B. C. 1 D. 243 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 设为两个事件，已知，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 4. “哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和.”若我们将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 经统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，直三棱柱中，，，D，E，M分别为，，的中点，点N是棱AC上一动点，则( ) A. B. 存在点N，平面 C. ∥平面 D. 存在点N， 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 的展开式中，的系数为20 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为 11. 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________. 13. 饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为__________. 14. 如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ （1）甲同学既不站在排头也不站在排尾； （2）甲､乙､丙三位同学两两不相邻； （3）甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； （4）甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 16. 如图，在四面体中，平面，点在线段上. （1）当点是线段中点时，求点到平面的距离； （2）若二面角的余弦值为，求的值. 17. 某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.该4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元：分12期或15期付款，其利润为2万元.用X表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期 分15期 频数 30 20 10 （1）求上表中的值； （2）若以频率作为概率，求事件“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率； （3）求的分布列及均值. 18. 已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4的概率. 参考数据：若，则，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $